2022年广州数学中考一模汇编解答压轴题

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1、解答压轴题2022年广州数学中考一模汇编1 . 如图，在4 A Be中，NA = 90。 ，AB = 3, AC = 4 , 点M , Q分别是边AB , BC上的动点( 点M不 与A, B重合) ，且M Q 1BC ,过 点M作M N / / B C .交A C于 点N,连 接NQ,设B Q = x .( 1 ) 是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，并说明理由;( 2 ) 当 BM = 2 时，求 x 的值； 当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值.2 . 如图，在直角坐标系中有一直角三角形AO B , 0为坐标原点，。 4 = 1, tan B AO = 3 ,

2、将此三角形绕原点0逆时针旋转90。 ，得 到L D O C ,抛物线y = ax2 + b x + c经过点A, B , C.( 1 ) 求抛物线的解析式；( 2 ) 若 点 P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t,设抛物线对称轴I与 x 轴交于一点E ,连 接PE ,交 C O 于 F , 求 出 当 A C E F与 C OD相似时，点P的坐标； 是否存在一点P，使XPC D得面积最大？若存在，求 出A PC D的面积的最大值；若不存在，请说明理由.3 . 在平面直角坐标系中，二次函数y = a / + | + c 的图象经过点C (0,2)和 点 。 ( 4,一 2 ) . 点 E

3、 是直 线 y = gx + 2 与二次函数图象在第一象限内的交点. 求二次函数的解析式及点E的坐标.( 2 ) 如图，若 点M是二次函数图象上的点，且在直线C E的上方，连 接M C, O E, ME .求四边形C OE M面积的最大值及此时点M 的坐标.F,求 点F的坐标.4. 矩 形 。 /1 B C在平面直角坐标系中的位置如图所示，已 知8 (8 ,6 ),点4在x轴上，点C在y轴上，动 点D从 点 。 出 发 沿0T A以 每 秒1个单位长度的速度匀速运动，到 达 点A停止. 在运动过程中，C。 。 的外接圆交0B于 点P.连 接C D交0B于 点E ,连 接P D ,将 PE D沿

4、PD翻折，得 到AP FD.( 1 )求 tan/CDP.( 2 )如 图2 ,移动过程中，当 点P恰好落在。8的中点时，求 点F的坐标.( 3 )设 点D运动的时间为t秒，A PE D的面积为S ,求S关于时间t的关系式.5 . 如 图 1,已知在平面直角坐标系中，点 。 为坐标原点，点 4 在 x轴负半轴上，直 线 y = - x +6与 x轴、 y轴分别交于B , C两点，四边形A BC D为平行四边形，且 A C = B C , 点 P 为L A C D 内一点，连接 AP , B P 且 AAPB = 90 .( 1 ) 求证：乙 P AC = P B C.( 2 ) 如 图 2,点

5、E在 线 段BP上，点F在 线 段A P上，且AF B E, AEF = 4 5 , 求EF2 + 2 AE2 的值.6 . 如图 1,己知 A, B , C 是 。 。 上的三点，AB = AC, B AC = 1 2 0 .图i( 1 ) 求证：O 0 的半径R = AB . 如 图 2 , 若 点D是 B A C所对弧上的一动点，连 接DA, DB , DC. 如探究DA, DB , D C三者之间的数量关系，并说明理由. 若AB = 3,点 C 与 C ， 关 于A D对称，连 接C D , 点 、 E 是 C D的中点，当 点D从点B运动到点C时，求 点E的运动路径长.7 . 如图，

6、A B 是 。 。 的直径，弦 CD 1AB , Z.CAB = 3 0 .( 1 ) 求证：H A C D是等边三角形.( 2 )若点、E 是 R 的中点，连 接A E ,过 点C作C F 1 A E ,垂 足 为F ,若CF = 2,求线段OF的长. 若 O 。 的半径为4,点 Q 是 弦A C的中点，点 P 是直线A B上的任意一点，将 点 P绕点C逆时针旋转6 0 。得 点P ,求线段P , Q的最小值.做题用图8 . 圆内接四边形4 8 C D , 点 4 是 给 的 中 点 ， D C = 1 2 0 。 .( 1 ) 求 /ABC的度数，并求证：AB + DC = B C.( 2

7、 ) 连 接AC, BD相交于点H ,如 图 1 , 若 4 。= 3 , B C = 5 , 求 H D 4C的值. 在 ( 2 ) 的条件下，点E是四边形A BC D内一动点，点 P 在 线 段BC上，且P E = 1 ,P C = 3,以 点D为旋转中心，将D E逆时针旋转1 2 0 , 并缩短得到线段DF,使 得 D F =IDE,如 图 2 ,连 接P F ,试 探 索PF的长是否有最小值，若有请求出该值；若没有，请说明理由.9 . 如图，在四边形A BC D中，AC 1 BD于 点E, AB = AC = B D , 点 M 为 BC中点，N为线段A M上的点，且 M B = M

8、N( 1 ) 求证：BN平 分/.AB E；( 2 ) 若连接D N,当四边形D NBC为平行四边形时，求线段BC的长;( 3 ) 若 点 尸 为 AB的中点，连 接FN , F M ( 如图) ，求证：乙 M F N = 4B DC.D1 0 . 如图，经过原点的抛物线y = ax2- x + b与直线y = 2交 于 4 C两点，其对称轴是直线x =2 ,抛物线与%轴的另一个交点为D ,线 段4 c与y轴交于点B .( 1 )求抛物线的解析式，并写出点D的坐标；( 2 )若 点E为 线 段BC上一点，且EC - EA = 2 ,点P (O ,t)为线段0B上不与端点重合的动点，连 接P E

9、 ,过 点E作 直 线PE的垂线交x轴 于 点F ,连 接P F ,探 究 在P点运动过程中，线 段P E, PF有何数量关系？并证明所探究的结论；( 3 )设抛物线顶点为M,求 当t为何值时，K D MF为等腰三角形？11 . 如图所示，A BC D为平行四边形，AD = 13, AB = 25, DAB = a ,且cosa =卷，点E为直线C D上一动点，将线段E A绕 点E逆时针旋转a得到线段E F ,连 接CF.( 1 )求平行四边形A BC D的面积； 当 点C, B , F三点共线时，设E F与力B相交于点G ,求线段BG的长; 求线段C F的长度的最小值.12 . 如图，在矩形

10、A BC D中，AB = 4, BC = 3 ,点P是 边A B上的一动点，连 接DP .( 1 )若 将A O /IP沿D P折叠，点A落在矩形的对角线上点4处，试 求A P的长； 点P运动到某一时刻，过 点P作 直 线PE交BC于 点E ,将 Z M P与4 PBE分别沿D P与PE折叠，点4与 点B分别落在点A, B 处，若P , 4 , B 三点恰好在同一直线上，且4 B = 2 ,试求此时A P的长；( 3 ) 当 点P运动到边A B的中点处时，过 点P作 直 线PG交BC于 点 G , 将与PBG分 别 沿D P与PG折叠，点A与 点B重合于点F 处，请直接写出F到BC的距离.13

11、 . 如图，四边形A BC D内接于。 。 ，A C为直径，A C和BD交于点E, AB = B C.( 1 ) 求 乙4D B 的度数；( 2 ) 过 B 作 AZ)的平行线，交力C 于 F , 试判断线段EA, CF, E F之间满足的等量关系，并说明理由；( 3 ) 在(2 ) 条件下过E, F分别作AB , BC的垂线，垂足分别为G, H ,连 接G H ,交 B。 于若 G = 3, S四 边 形AGMO：S四 边 形CHA/O = 8:9，求 0 的半径,14 . 如图，抛物线y = ax2 + b x + 6与x轴交于点4(6,0), 与y轴交于点C.( 1 ) 求抛物线的解析式

12、.( 2 ) 若 点P为抛物线上一个动点. 过 动 点 P 作 y 轴的垂线交直线A C于 点D , 点 、 P的坐标是多少时，以 。 为圆心，OD的长为半径的。 。 与 A C 相切？ 是 否 存 在 点P ，使 为 直 角 三 角 形 ？若存在，有几个？求出所有符合条件的点P的坐标：若不存在，说明理由.15 . 已知抛物线y = a / + Ox + c(a力0 ) 与x轴交于A, B两点，与y轴交于C点，其对称轴为x = 1 , 且 4(一 1,0), C(0,2).( 1 ) 直接写出该抛物线的解析式;( 2 ) P是对称轴上一点，APAC的周长存在最大值还是最小值，请求出取值范围(

13、最大值或最小 值 ) 时 点P的坐标； 设对称轴与x轴交于点H,点D为线段C H上的一动点( 不与点C, H重合) ，点 P 是( 2 ) 中所求的点，过 点D作D E / / P C交 x轴 于 点E ,连 接P D, P E ,若C D的长为m, PD E的面积为S,求 S与 m 之间的函数关系式，试说明S是否存在最值，若存在，请求出最值，并写出S取得的最值及此时m的值，若不存在，请说明理由.1 6 . 如图，在A A BC中，4 c = 4 5 。 ，点 。 在 4c上，且 ADB = 6 0 , A B为4 BC D外接圆的切线.( 1 ) 用尺规作出 B C D 的外接圆( 保留作图

14、痕迹，可不写作法) ；( 2 ) 求NA的度数；( 3 ) 求 色的值.17 .如 图 1 , 抛物线y = ax2 + b x + 3交 x轴于点7 1( - 1, 0 ) 和 点 8 ( 3 , 0 ) .求该抛物线所对应的函数解析式；( 2 ) 如 图2 ,该抛物线与y轴交于点C ,顶点为F,点 0 ( 2 , 3 ) 在该抛物线上.求四边形A C F D的面积： 点P是线段A B上 的 动 点 ( 点P不与点A , B重合) ，过 点 P 作 PQ lx轴交该抛物线 于 点Q,连 接AQ , D Q,当XA QD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标.18 .在平面直角坐标系xO

15、y中，抛物线y = - x2 + b x + c与 x 轴交于4(一 3 ,0 ),点两点,与y轴交于点C.求抛物线的解析式；( 2 ) 若 点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，且 点P的横坐标为t ,连 接P A, P C, AC. 求A A C P的面积S关 于t的函数关系式； 求A C P 的面积的最大值，并求出此时点P的坐标.19 .如图，己知抛物线y = a( x - 2)2 + c 与 x 轴从左到右依次交于A, B两点，与y轴交于点C,其中点B的坐标为(3 ,0 ),点C的坐标为(0 ,- 3 ) ,连 接AC, B C.( 1 ) 求该抛物线的解析式； 若 点P是该抛物线的对

16、称轴上的一个动点，连 接P A, P B , P C ,设 点P的纵坐标为h ,试探究： 当h为何值时， P A - P C 的值最大？并求出这个最大值； 在P点的运动过程中，乙4 P B 能 否 与乙 A C B相等？若能，请求出P点的坐标；若不能,请说明理由.20 . 己知点 A, B 在 O 。 上，Z.AO B = 90, O A = V2.( 1 ) 点P是优弧A B上的一个动点，求UPB的度数;（ 2） 如图，当 tanzO/lP = V2 - 1 时，求证：乙4PO = NBP。 ；图如图，当 点P运动到优弧A B的中点时，点 Q 在 厢 上 移 动 （ 点Q不与点P, 8 重合

17、） ，若4 QPA的面积为S r4 QPB的面积为52，求 S 1 + S 2的取值范围.图 备用图21 .己 知 A B 是 。 。 的直径，C, E 是 。 。 上的点，C 0 J .4 B 于 点D, EF 1 A B于 点F ,过点E 作 EG 1 0C于点，延 长E G交 。 4 于 点H.22 .如图，在四边形OA BC中，OABC, /.O AB = 90, 0为原点，点C的坐标为（ 2,8） , 点 A 的坐 标 为 （ 26,0） , 点 。 从 点 B 出发，以 每 秒 1 个单位长度的速度沿BC向 点C运动，点E同时从点。 出发，以每秒3 个单位长度的速度沿折线OA B运

18、动，当 点E达到点B 时，点 。也停止运动，从运动开始，设 D（ E）点运动的时间为t 秒.( 1 )当t为何值时，四边形A BD E是矩形；( 2 )当t为何值时，DE = C0 2( 3 )连 接A D ,记 4 D E的面积为S,求S与t的函数关系式.2 3 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线y = / + b x + c与x轴交于4 ( 3 , 0 ) , 8 ( 1, 0 )两点，与y轴交于点C.求抛物线的解析式；( 2 )若 点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，且 点P的横坐标为t ,连 接P A, P C, AC. 求AACP的面积S关 于t的函数关系式. 求AACP的面积的最

19、大值，并求出此时点P的坐标.2 4 .如图，已 知Z i M B C内接于。0 , NBOC = 12 0。 ，点A在 优 弧BC上运动，点 ” 是 念 的中点，BM交A C于 点D,点N是a的中点，C N交A B于 点E, B D, C E相交于点F.（ 符用图）求证:EF = D F ；在 （ 1）中，若4 A Be的边长为2,将& A BD绕 点D ,按 逆 时 针 方 向 旋 转 得 到 H G D （ DH DG） , AB 与 DH 交于点 J, DG 与 CN 交于点 I ,当 0 m 6 0 时，4 DIJ的面积S是否改变？如果不变，求 S的值；如果改变，求 S的取值范围.2

20、5 .如图，以 原 点 。 为圆心，3为半径的圆与x 轴分别交于A, B两点，在 半 径 。 8 上取一点（ 其 中 0m 0, n 0 ) ,当2 W x W 4时，函数有最大值5.( 1 )求此二次函数图象与坐标轴的交点；( 2 )将函数y = a / - 2ax - 3(a 0 )图 象x轴下方部分沿x轴向上翻折，得到的新图象与直线y = n恒有四个交点，从左到右，四个交点依次记为A, B , C, D ,当 以BC为直径的O F与x轴相切时，求n的值. 若P l。 ,%)是 (2 )中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若 关 于m的一元二次方程m2 - yom + fc -4 + yo

21、 = O恒有实数根时，求实数k的最大值.33. 如图，在平面直角坐标系中，顶 点 为 (4 , - 1 )的抛物线交y轴 于4点，交 工轴 于B , C两点( 点B在 点C的左侧) ，已 知A点坐标为(0,3).( 1 )求此抛物线的解析式( 2 )过 点B作线段A B的垂线交抛物线于点D ,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴/ 与0 C有怎样的位置关系，并给出证明；( 3 )已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A, C两点之间，问：当 点P运动到什么位置时, PA C的面积最大？并求出此时P点的坐标和P 4 C的最大面积.34 . 已知，如 图 1 , 正方形A BC

22、D的边长为5 , 点E, F分别在边AB , A D的延长线上，且 BE =D F ,连 接EF.( 2 ) 将A E F绕 点A顺时针方向旋转，当旋转角a 满 足 0 a 0 , n 0 ) , 当 2WxW4时，函数有最大值5 .( 1 ) 求此二次函数图象与坐标轴的交点；( 2 ) 将函数y = ax2 - 2 ax - 3( a 0 ) 图 象x轴下方部分沿x轴向上翻折，得到的新图象与直线 y = n 恒有四个交点，从左到右，四个交点依次记为A, B , C, D ,当 以BC为直径的圆 与 x轴相切时，求 n 的值. 若 点 P ( x o - y o ) 是 ( 2 ) 中翻折得到

23、的抛物线弧部分上任意一点，若 关 于 m的一元二次方程m2 - yom + k - 4 + yo = O恒有实数根时，求实数k的最大值.37 . 我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.如图1 ,四边形ABCD中，点E, F, G, H分别为边AB, BC, CD, D A的中点.求证:中点四边形EFGH是平行四边形；( 2 )如图，点P是四边形ABC D内一点，且满足PA = PB, PC = PD, /.APB = /.C P D ,点E,F, G, H分别为边AB, BC, CD, D A的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想：( 3 )若

24、改变中的条件，使N4P8 = NCPD = 90。 ，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状.( 不必证明)38.如图，四边形ABC D内接于0 0, A B是的直径，A C和B D相交于点E ,且DC2 =CE - CA.( 1 )求证：BC = CD-,( 2 ) 分别延长AB , D C交 于 点P,过 点A作 4F1CD交C D的延长线于点F ,若P B = 0 B ,CD = 2 V 2 , 求 DF 的长.39 . 已知在平行四边形A BC D中，N B = 6 0 。 ，E, F分别为AB , A D边上的两动点，且在运动过程中保持/ E C F = 6 0 。 ，A C

25、为平行四边形A BC D的对角线.( 1 ) 如图，若AD = AB , 当 点E与 点A重合时，探 索 AE + AFy .AC的值； 当 点 E 与点力不重合时，探 索 Q 4 E + A F ) : 4 c 的值；( 2 ) 如图 ，参 考 ( 1 ) 研究方法，若AD = 2 AB , 当 点 E 与 点 4 重合时，探 索( AE + 2 AF) : AC的值； 当 点 E 与点力不重合时，探 索CAE + 2 AFy .AC的值; 如 图 ，参 考 ( 1 ) ( 2 ) 研究方法，若AD = 3 A B时，试探索是否存在常数3使得i AE + 3AFy .AC = t ,若存在，

26、请直接写出t的值，若不存在，请说明理由.图0B40.已知直线，i：y = k x ( k 4 0)；抛物线：y = ax2 + b x + 1.( 1 ) 若 抛 物 线 经 过 (3 ,t)两点，且抛物线的顶点在直线y = x 上，求此时抛物线的顶点坐标； 若把直线h向上平移(1 + 1 ) 个单位长度得到直线12,且无论非零实数k为何值，直线12与抛物线都只有一个交点.求此时抛物线的解析式； 已 知MN是 过 点 (0,2)且平行于x 轴的直线，点P是此抛物线上的一个动点( 点P不 在 y 轴上) ，过 点P作 直 线PQH y轴与直线MN交 于 点Q , 0为 原 点 . 求 证 POQ

27、是等腰三角形.41 . 在坐标系xOy中，抛物线y - -x2 + b x + c经过点4(一 3,0)和 8 (1 ,0 ),与 y 轴交于点C.( 1 ) 求抛物线的表达式：( 2 ) 若 点D为此抛物线上位于直线A C上方的一个动点，当XD A C的面积最大时，求 点D的坐标； 设抛物线顶点关于y 轴的对称点为M , 记抛物线在第二象限之间的部分为图象G . 点 N是抛物线对称轴上一动点，如果直线MN与 图 象G有公共点，请结合函数的图象，直接写出 点 N 纵坐标t 的取值范围.42 . 如图，已知点4(一 3 ,0 ),二次 函 数y a x2 + b x + V3的对称轴为直线x =

28、 - l ,其图象过点A与 轴 x 交于另一点B , 与 y 轴交于点C.( 1 ) 求二次函数的解析式，写出顶点坐标;( 2 ) 动 点 M, N同 时 从B点出发，均以每秒2 个单位长度的速度分别沿 A BC的B A, B C边上运动，设其运动的时间为t 秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连 接 M N ,将B M N 沿MN翻折，若 点B恰好落在抛物线弧上的B ,处，试 求 t 的值及 点B 的坐标；( 3 ) 在(2 ) 的条件下，Q为BN的中点，试探究坐标轴上是否存在点P,使 得 以 8, Q , P 为顶点的三角形与AA B C 相似？如果存在，请求出点P的坐标：

29、如果不存在，试说明理由.43 . 如图，在平面直角坐标系中，己知抛物线丫 = / + 6；+ 经 过A, B , C三点，已 知 6(4,0),( 1 ) 求该抛物线的解析式和点4 的坐标；( 2 ) 点 D (m ,n )(-l m 0 )的图象的顶点为D点，与 y轴 交 于C点，与x轴交于A, B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0), O B = O C,3tan/AC。=图1( 1 )求这个二次函数的表达式.( 2 )经 过C, D两点的直线，与x轴交于点E ,在该抛物线上是否存在这样的点F ,使以点力 ,C, E, F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不

30、存在，请说明理由.( 3 )若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且 以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度. 如 图2 ,若 点G (2 ,y )是该抛物线上一点，点P是 直 线A G下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，2A PG的面积最大？求出此时P点的坐标和A A PG的最大面积.图2答案1 .【 答案】( 1 )当 BQ = M N 时 ，四 边 形 B M N Q 为平行四边形,v M N /BC , 四 边 形 B M N Q 为平行四边形.( 2 ) N B Q M =乙4 = 9 0 , NB = 4 B , B M Q s BCA,解 得 刀 = 也(

31、3 ) v = 9 0 , AB = 3 , AC = 4 ,. BC = yjAB2-VAC2 = 5,Q B M s ABC,QB _ QM _ BM pn X _ QM _ BMAB AC BC1 3 - 4 - 5 解 得 ，Q M = g x , M NBC,MN AM n n MN 3- 今/ . = , 即 一 =,BC AB 5 3解得，M N = 5 X,则四边形 BMNQ 的 面 积=ix(5 -x + x )x x = - g ( x - g ) + | | ,当x = 1 |时 ，四 边 形 B M M Q 的面积最大，最 大 值 为 |.2.【 答案】( 1 ) v

32、OA = 1. tanZ.BAO = 3 ,萼 =3 ,解得 OB = 3,OA又 由 旋 转 可 得O B = O C = 3 ,4 ( 1 ,0 ), B ( 0 ,3 ), C ( - 3 ,0 ),设抛物线解析式为y = a x2 + bx + c , 把 A, B, C 三点的坐标代入可得(a + b + c = 0, (a 1 ,9 a - 3 b + c = 0 ,解得 b = -2 ,c = 3 . ( c = 3 .抛 物 线 解 析 式 为 y = - x2 - 2 x + 3.( 2 ) 由 ( 1 )可知抛物线对称轴为x = - 1 , 顶点坐 标 为 ( - 1 ,4

33、 ),COD为直角三角形，当 4 C E F 与 4 COD相似时有两种情况，即 Z . F E C = 9 0 或 /.EFC = 9 0 ,若 LFEC = 9 0 。 ，贝 U PE 1 CE, 对称轴与x 轴垂直，此时抛物线的顶点即为满足条件的P 点，此 时 P 点坐 标 为 ( - 1 ,4 )；若 Z.EFC = 9 0 。 ，贝 ( J PE 1 CD,如图，过 P作 P G _ L x 轴于点G,贝 U Z.GPE + 乙PEG = Z.DCO + 乙PEG,：.乙GPE = /.O CD ,且 乙PGE = /.COD = 9 0 。 ， . PGEs COD,PG _ GE

34、OC = ODf E ( - l . O ), G ( t ,O ),且 P 点横坐标为 t,* * GE = - 1 t , PG = - t ? 2 t + 3 ,奇”= 三二，解 得 t = 一 2或 t = 3 , P 点在第二象限，t 一 = =一 ，Z-DAE =乙DCF,CF CD 2延长 BC 至 G ,使得 CG = 2 ,作 JLCGQ = 6 0 ,且 QG = % 连接 CQ, FQ, CF, APf PQ, BC = 5, PC = 3, . BP = BC -P C = 2,BP 2 3 ,QG j 2AB 3AB BP 3. . . - - =- -= ,CG Q

35、G 2 乙 ABP =乙 CGQ, A B P s CGQ,AP AB 3 = = ,CQ CG 2/-BAP = ( GCQ,Z.BAD = Z-DCGZ.PAE =乙QCF, _A_P_ - _A_E_ 一 3, CQ . CF 一 2, A P s CQF,PE AP 3J. _ _ , FQ - CQ - 2 PE = 1,FQ = I，点F在 以Q为圆心，以 | 为半径的圆弧上移动，P F P Q - FQ,当且仅当P, Q, F三点共线时，P F取得最小值，过点 Q 作 QHJ.CG 于 H,在 Rt HQG 中 Z.QHG = 90, Z.QGH = 60,HG = -Q G =

36、 - , HQ = V3HG = , PH = PC + CG - HG = 3 + 22 x 3 x 3 3 3 . PQ = y/PH2 + HQ2 =等， .P F的 最 小 值 为 | .9.【 答案】( 1 ) 如图，v AB = AC,: .乙ABC = Z.ACB, M是B C的中点， AM 1 BC,在 Rt ABM 中，.MABZ.ABC = 90,在 Rt CBE 中，Z.EBC + Z.ACB = 90, Z.MAB =乙 EBC,v MB = MN,M B N是等腰直角三角形，/.乙MNB =乙MBN = 45, Z,EBC + 乙 NBE = 4 MAB + 乙 AB

37、N =乙 MNB = 45,: , ( NBE = L A B N ,即 BN 平分 Z.ABE.( 2 ) 设 BM = CM = MN = a, 四边形D N B C是平行四边形， . DN = BC = 2Q,在A A B N和AD B N 中，AB = DB, 乙NBE = B N ,BN = BN,皎OBN(SAS),AN = DN = 2a,在 Rt ABM 中，由 AM2 + M B2 = A B2.可得：(2a + a)2 4-a2 = 1,解得：Q = 等( 负值舍去) ， BC = 2a = .5(3) TF是 4 8 的中点， 在 Rt MAB 中，MF = AF = B

38、F, NMAB =a FMN,v 匕MAB =乙CBD, 乙FMN = ( CBD, MF =MN- =1 n n 即MF一 =MN一,AB BC 2 BD BCM F N s BDC, 乙MFN =乙BDC.1 0 .【 答案】( 1 )抛物线过原点，贝IJ b = 0,% = 2 = 1，解得：a = p2a 4故抛物线的表达式为：y =令 y = -x2 x = 0,解得 = 0 或 4 ,故点D的坐标为( 4 , 0 ) .( 2 )线段PE, P F的数量关系为PF = V5PE,理由：如图1,设A C的中点为G,则点G ( 2 , 2 ) ,贝lj AE + EG = GC,GE

39、+ GE = GE + GC - AE = EC - AE = 2 ,故 EG = 1,则 点 E( l , 2 ) , . BE = 2 1 = 1 过点E作E”上工轴于点H, Z,FEH + 乙HEP = 9 0 ,乙HEP + 乙PEB = 9 0 , .乙FEH =乙PEB, 乙 PBE =乙 FHE = 9 0 ,PBEs FHE, = =故 EF = 2PE,EF H E 2在 R t P EF 中，PF2 = PE2 + FE2 = PE2 + ( 2 P E)2 = 5PE2,即 P F =遥PE. 由 y=ix2- x = i ( x - 2 )2- l 知：点 M ( 2

40、, 1 ) ,则 点 N ( l , 0 ) ,当FM = F D时，如图2 ,在 &MND 中，MD = /MN2 + DN2 = V l + 22 = V 5,在 4MNF 中，设 F M = F C = k,由勾股定理得：NF2+M N2 = MF2,即( 2 - f c )2 + l = / c2,解得：k = ： ,故 F M = F D = 3 NF = 2 - - = ,则 O F = O N + N F = 2 + 三=U ,4 4 4 4 4故点F (芳, 0 ) ；点 P ( O , t ) ,则 PB = 2 - t ,而 B E = 1 ,在 &PBE 中，PE2 =

41、BP2 + BE2,即 P E2 = 1 + ( 2 - t)2,而 PF = y/5PE,则 PF2 = 5 + 5( 2 - t )2,在 APOF 中，OP2 + OF2 = PF2,即产+ (? ) = 5 ( 2 - t )2,解得：t = J ;o当DF = D M时，如图3,连接M G ,由知 D M = V 5 = D F ,则 O F = 4-V 5 , 故点 F ( 4 - V 5, 0 ) ,由知，P E2 = 1 + ( 2 - t ) 2 , P F2 = 5 + 5( 2 - t )2,2在 R t A O P F 中，。 2 2 + 。 产 =。 产 ，即 t2

42、+( 4 - V5 )= 5( 2 - t )2-解得：t =当乂； 当F M = D M时，根据抛物线的对称性，则 点 F , 0重合，即 点 F ( 0 , 0 ) ,P E L E F ,则 点 P 在 4c的上方，这 与 点 P ( 0 , t ) 为 线 段OB上的点矛盾，故这种情况不存在；综上，t = ?或 器 .8 211. 【 答案】( 1 ) 如 图 1 , 作 D K14B 于 点K. 将线段E A绕 点E逆时针旋转a得到线段EF, Z.AEF = a , AE = EF.在 R t DA K 中，v c os DAK = c o s a =箓 =5 ，且 A D = 1

43、3 ,： .AK = 5. DK = JAD2- A K2 = , 1 3 2 - 52 = 1 2 .S 平行四边形= 4 8 x DK = 2 5 x 1 2 = 3 0 0 . 如 图 2 , 延 长C D至H ,作 乙4 HD = a ./.AHD = /.ADH = a,AH = AD = 1 3 .过 点A作A M L D H于 点M .由 ( 1 ) 知 A M = 1 2 .A D M = /AD2- A M2 = 5.DH = 1 0 .v Z-FEH =乙DEA 4 -乙a = Z .F + a, Z.DEA = Z F .在A A E H和 E F C中，Z-AEH =

44、Z F ,4 H = Z .C,.AE = EF,4 EHg Z i EF C( A A S ) . EH = CF, CE = AH = 1 3 . DE = CD - CE = 12, BF = CF - BC = 22 - 13 = 9. BG/CE, FBGs FCE.BF B G 曰 n 9 B G = ， .C F C E 22 13( 3 )如图 3 ,延长 CD 至 P ,使 ZP = ADP = a,过 点F作F M /B C ,交C D于 点M ,过 点FN L C D ,交C D于 点N.由(2 )可 知AEP =乙EFM.在A E A P和A F E M中 .= 乙 F

45、ME,AEP = 4EFM,(AE = EF, .EAPg AFEM(AAS). EM = 4P = 13, FM = EP.设 DE = x ,则 FM = EP = 10 + x, CM = 25 - (13 + x) = 1 2 -x . FN - FM - sina = |(1 0 + x), MN = FM cosa =卷(10 + x).CN = CM + MN = 1 2 - x + (10 + x) =13 13在 Rt CFN 中，CF2 = CN2 + NF2 = (208x2 - 416x + 56836).对称轴 x - -= 1.2a 2X208 当x = l时，C

46、F的值最小，C F的最小值为誓 .1 2 .【 答案】( 1 ) 当 点A 在对角线B D上时，如 图1. AB = 4, CB = 3,. BD 5.由折叠性质，AD =AD = 3, AP = APf Z,A = Z.PAD = 90. BA = 2.设 4P = % ,贝lj BP = 4 - x . , BP2 = 4 5 + 4炉 ，.(4 x)2 = %2 4- 22,解得 % = | .AP = -； 当 点 A 在对角线A C 上时，如 图 2.根据折置的性质可知DP 1 AC, DAP ABC.AD _ ABAP - BCAP =ADBC 3X3 A P 长为 : 或 I2

47、4 如 图 3.设 AP = x , 则 BP = 4 - x ,根据折叠的性质可知：P4 = P 4 = x , PB = PB = 4 x.= 2, , 4 - % % = 2.= 1 , 即 AP = 1； 如 图 4.设 A P = % ,贝 lj BP = 4 x.根据折叠性质可知：PA = PA = x, PB, = PB = 4 x.v AB1 = 2,x (4 x) = 2. , = 3 , 即 AP 3. 4 P 长 为 1 或 3. F 到 B C 的距离为【 解析】( 3 ) 如图 5 , 作 FH 1 CD 于 H , 作 F/ 1 BC 于 I.根据折叠性质可知：AD

48、 = DF = 3, BG = GF, G, F, D 三点共线.设 BG FG = xf在 Rt GCD 中，(X + 3)2 = 42 + ( 3 -X)2,解得 x = .13 5. DG = DF + FG = 匕 CG = BC -B G =3 3v FH/CG,FH DF-= -.CG DG易知四边形F IC H为矩形,FH = IC. GI = G C -IC =在 Rt FGI 中，FI = yjFG2 - GI2 = .图51 3 .【 答案】( 1 )如图1,- A C为直径， /,ABC = 90, Z,ACB + 乙BAC = 90,v AB = BCf UCB =乙B

49、AC = 45, Z.ADB = Z.ACB = 45.( 2 )线段EA, CF, E F之间满足的等量关系为：EA2 + CF2 =如图 2 ,设 Z.ABE = a , ( CBF = B， ： AD/BF, 乙EBF = Z.ADB = 45,又乙ABC = 90, a + 4 =45,过 B 作 BN 1 B E ,使 BN = B E ,连接 NC,v AB = CBf 乙ABE = LCBN, BE = BN,:4 AEBq CNB(SAS),AE = C/V,( BCN =乙BAE = 45,.理由如下: /.FCN = 90.Z.FBN = a + 0 = Z.FBE, BE

50、 = BN, BF = BF,BFE BFN(SAS),EF = FN,v 在 Rt NFC 中，CF2 + CN2 = NF2,EA2 + CF2 = EF2. 如 图3 ,延 长GE, H F交 于K,由( 2 )知 EA2 + CF2 = EF2,.-EA2+-CF2 = -E F2,2 2 2 * S“GE + S&CFH S&EFK， + S4CFH + S五边形BGEFH = F K + S五 边 形BGEFH，即 SABC = $ 矩 形BGKH ShABC = 5 s 矩 形 BGKH *, S&GBH = S&ABO = S&CBO S&BGM = S 四 边 形 C0MH，

51、S&BMH = S 四 边 形 /2,CF = V2(k + 3), EF = V2(8fc - 3), EA2 + CF2 = EF2,2 2 2( 3V2) + V2(fc + 3) = V2(8/c - 3 ),整理得：7k2一6卜一1 = 0,解得：fcj = -2 ( 舍去) ，k2 = 1.AB = 12,1 . AO = 与AB = 6V2,. O O的 半 径 为6V2.1 4 .【 答案】( 1 )当 = 0 时，y = ax2 4- hx 4- 6 = 6 ,贝 !J C(0,6),设抛物线的解析式为y = a(x + l)(x - 6),把 C(0,6)代入得 a - 1

52、 - (-6) = 6 ,解得 a = -1, 抛物线的解析式为y = (X + 1)(% - 6 ) ,即y = - x2 + 5% + 6.(2) 设P点坐标为(x,-x2 4- 5% + 6),作0 D 1 A C于0 ,过0作P,D L y轴交抛物线于P 点 ,如 图1, .(JA = 0C = 6,0 A C为等腰直角三角形， CD = AD, D(3,3),当 y = 3 时， / + 5% + 6 = 3,整理得 %2 - 5x - 3 = 0 ,解得 , x2 - s - 7 ,此 时P点坐标为(当亘,3),若 (咨亘,3)时，即P点坐标为(史弃,3),若 (士咨,3)时，以0

53、为圆心，0 D为半径的O 0与4 C相切. 如 图 ：PC2 = x2 + (-x2 + 5x)2, p A2 = a _ 6)2 + ( - / + 5x + 6)2,AC2 = 62 + 62 = 72,当 Z.PAC = 90,PA2+AC2 = PC2, (x - 6)2 + (-X2 + 5x4- 6)2 + 72 = / + (-x2 + 5x)2,整理得x2- 4%-1 2 = 0 ,解 得Xj = 6 (舍去) ，x2 = - 2 ,此 时P点坐标为(-2, - 8).当 /.PCA = 90,PC2 +AC2 = PA2,72 + x2 + (x + 5x)2 = (x -

54、6)2 + (一 久2 + 5x + 6)2,整理得x2 - 4x = 0 ,解 得 = 0 (舍去) ，x2 = 4 ,此 时P点坐标为(4,10), (% 6)2 + (x2 + 5x + 6)2 + x2 + (x2 + 5x)2 72,整理得 %3 10x2 + 20% + 24 = 0,x3 - 10x2 + 24x - 4x + 24 = 0,x(x2 - 10x + 24) - 4(x - 6) = 0x(x - 4)(x - 6) - 4(x - 6) = 0,(x 6 )(/ 4x - 4) = 0,而 x 6 0, x2 4x - 4 = 0 ,解得 x1 = 2 + 2V

55、2. x2 = 2 - 2A/2止匕时P点坐标为(2 + 2或,4 + 2鱼 ) 或(2 2鱼,4 一 2四 ) ，综上所述，符 合 条 件 的 点P的 坐 标 为( - 2 , - 8 )或(4 ,1 0 )或(2 + 2V2.4 + 2V2)或(2 -2A/2,4-2V2).15.【 答案】(1 ) y = - | x2 + x + 2 .(2 ) & PAC的周长有最小值，作 C 关于对称轴的对称点C, C (0 , 2 )对称轴为直线x = 1 , C (2 , 2 ) ,AC = J (l + 2 ) 2 + 2 2 = V1 3 ,AC = Vl2 + 22 = V5 , APAC

56、min = A C + AC = VT3 + V5 设直线4 C 的解析式为y = kx + b,得：， ;QK；解 得 卜 = 12k + b = 2, U =直 线A C的解析式为y = |x + |，当 x = 1 时，y = g，(3 ) v C (0 , 2 ) , W(1 , O) ,CH = 2 + 2 2 = Vs , , CD = m, DH = y/5 m, DE/BC,H D H E *- = -，H C HBDC2 V5 BE =SAHDE = (, ) 2 S“HCB = ( 等) 2 X 2 = |十 一 誓 血 + 2 ,rS A ppp = -1 BnEr. ,

57、 PniHJ = 1 、x， 25 m, x f2 = 2 x/ 5m,FEB 2 2 5 5,：S“ c H = p H O H =)H P Q ,. pn - PH9H _ _ 延 一C H 一遍 一 1 5 c1 6 n n c 1 居 2/5 SRCDP = -C D PQ = -m x = m ,S&PDE=S&CHB S&HDE SMDP SBEPc 2 2 i 4伤 Q 2V5 4A/5= 2 m d- m 2 -m - m5 5 1515= 2 m7 -.- -2-近-m一5 5= I (m2 V5m)= I (m2 y/5m + ：) + g当 租 =争 s 取得最大值，最大

58、值为【 解析】( 1 ) 由已知，得:b y一 元 = 1，Q b + c = 0,c = 2.解得/ 2a = 3, 4b =3，/3 - l)x. 2在 RtZkABE 中，由勾股定理：W AB2 = AE2 + BE2 = (AD - x)2 + (V3x), 2综 合 ，得 4。 2 + 4。. (W 一1卜 = (4。一 ) 2 +( ,切 ，化简整理，得A D = 2(3- l ) x ,AD _ 2 (V3 -1 ) X _ C= (V3 -l =【 解析】( 2 ) 方法2：设 。 。 为B C D 的外接圆，连 接 OB, OC.由切线的性质，知 /-ABO = 90. 匕A

59、DB = 60,/. Z-CDB = 120. 乙C D B 为圆周角， 其所对的圆心角为240, Z,BOC = 360 - 240 = 120. OB = OC, 乙OBC =乙OCB = (180 - 120) = 30, 乙48c = 90 - 30 = 60,/. /-A = 180 45 - 60 = 75.1 7 . 【 答案】( 1 ) 由题意可得假二: 算， 解得抛物线解析式为y = - x2 + 2x + 3.(2) y = - x2 + 2x + 3 = -(x - I)2 + 4, F(L4), C(0,3), )(2,3),CD = 2 , 且 CD/x 轴， 4(-

60、1,0),1 S 四边形 ACFD = SM C D + S“CD = 2X2X3 + -X2X(4 3 ) = 4 ；(2 ) 点P在线段A B上， /-DAQ不可能为直角，当& A QD为直角三角形时，有Z.ADQ = 9 0 或 乙4 Q D = 9 0 。 ，i .当 AADQ = 9 0 时，则 DQ 1AD, . (-1 , 0 ) , 0 (2 , 3 ) , 1 . 直 线A D解析式为y = x + 1 , 可设直线D Q解析式为y = x + ,把 0 (2 , 3 ) 代入可求得b = 5, 直 线D Q解析式为y = -x + 5 ,联立直线D Q和抛物线解析式可得y

61、= X , Q解 得 鼻 ： 或 慧 (2 (1 , 4 ) ；i i .当 AAQD = 9 0 时, 设 Q (t, -t2 + 2 t + 3 ) ,设直线A Q的解析式为y = krx + br,把 4 Q 坐标代入可得， 力 :於二匕解 得 f c i = -(t-3 ) .设直线D Q解析式为yk2x + b2,同理可求得k2 = -t,v AQ LDQ , . k1k2 = - 1 , 即 t(t - 3 ) = - 1 , 解得 t =苫渔,当 =学 时 ， f2 + 2 t + 3 =等，当 t = 竽时，一 1 2 + 2 (； + 3=竽，. Q 点坐标为( 等 ， 竽

62、)或 ( 竽 , 竽 ) .综上可知Q点坐标为(1 , 4 ) 或 ( 子 ,亨 )或 ( 竽 ， 学 )18.【 答案】(1 ) ., 抛物线 y = -x2 4 - / ?% 4 - c 与 % 轴交于 4 (一 3 , 0 ) , 点 8 (1 , 0 ) 两点,( 9 - 3 b + c = 0 ,(-1 + b + c = 0 ,解得:b = -2 ,c = 3 , 抛物线的解析式为y = - / 一 2 % + 3 .( 2 ) 设直线A C的解析式为y = k x + b ,；=3：6 = 0 ,解得:k = l,b = 3, 直 线A C的解析式为y = % + 3,过 点P作

63、P Q /y轴交直线A C于 点 Q,设 P(t,一 产2亡 + 3), Q ( t, t + 3),P Q = / 2t + 3 - t 3 = 12 31, S = S P QC + S P Q A= P Q - O A= - x 3 x ( / - 3t)= -t2-t.2 2278t = - I 时，A A C P的面积最大，最大值是q.L o此 时P点坐标为(: , 一) 1 9 . 【 答案】( 1 ) 把 8 (3 ,0 ),其0, 3 ) 代入 y = a(x -2 )2 + c,得d： 3 解得：C - F1, 1此抛物线的解析式为y = -(x - 2)2 + 1 , 即

64、y = -x2 + 4x - 3.( 2 ) 抛物线y = -x2 + 4x - 3 的对称轴为直线x = 2 , 可设点 P ( 2 ,h) .由三角形的三边关系可知， P A-P C /O A2 + O C2 = VTo.设直线A C的解析式为y = Zcx + b ( k 丰0).直 线A C的解析式为y = 3 x -3 , 九 = 3 x 2 3 = 3, 当h = 3 时，IM -P C I的值最大，最大值为JIU ； 如 图 2 , 设直线x = 2 与 x 轴的交点为点。，作 4 A B C 的外接圆O E , O E 与直线x =2 位 于 x 轴下方部分的交点为Pi，P i

65、 关 于 x 轴的对称点为P2, 则 Pi，P2均为所求的点.,:乙A P $ ,乙 4 c B 都是弧A B 所对的圆周角，. 乙 4P$ = N 4 C B ,且射线D E 上的其它点P 都不满足Z.APB = /.ACB.圆 心 E 必 在 A B 边的垂直平分线即直线x = 2 上. 点E 的横坐标为2.又 ,: OB = OC = 3, B C 边的垂直平分线即直线y = -x . 圆 心 E 也在直线y = x 上， E(2, - 2).在 Rt ADE 中，DE = 2, 4D = = | (OB - 0/1) = | (3 - 1) = 1,由勾股定理得EA = y/AD2 +

66、 DE2 = V12 + 22 = 6，EP = EA = V5,DP = DE + EP1 = 2 + V5, (2,-2 -V 5).由对称性得P2(2,2 + V5). 符合题意的点P 的坐标为PI(2,-2 - 逐 ) ，P2(2,2 + V5).2 0 . 【 答案】(1) Z.AOB = 90,1 乙APB = 4A08 = 45.2( 2 ) 过 点 。 作 。 C 1 P 力 于 C , 在 C A 上截取CD = O C ,如图所示： , tanZ-OAP = A/2 1,.-. = V 2 - 1 ,即 71C = (V2 + l)OC, CD = OC, . AD = A

67、 C -C D = (y/2 + l)0C - OC = V20C,v Z.OCD = 90, OC = CD,/. OD = V20C, “ 。 。= 45。 ，- AD OD, Z-A = Z.DOA, 乙4 + Z.DOA = /.CDO = 45, Z-A = 22.5,v OP = OAf Z.APO = Z-A = 22.5, Z.APB = 45, 乙BPO = Z.APB - Z.APO = 22.5, Z,APO =乙BPO. 连 接ABf连 接P 0并延长交A B于 F , 则PE 1 A B ,把 PB Q 沿 着P Q翻折得A P B Q如图所示：则 PB = PB =

68、 P A ,乙PQB = (P Q B ，S2 = SQPB = SQBP,v Z.AQP = Z .A B P ,乙ABP = CPAB, Z.AQP =乙 PAB, 四边形P A B Q内接于。 。， 乙 PAB + 乙 PQB = 180, . Z.AQP + Z-PQB = 180, 点Af Q, B 三点共线，I S + S2 = S4QPA + S&QBP = SPAB， ，p A2. . S1+ S2 0当且仅当PA 1 PB， 时，Si + S2有最大值 j在 Rt A PAE 中，AE = 1, PE = y2 + l, PA2 = AE2 + P E2 = 4 + 2/2,

69、 0 + S2 2 + V2.2 1 . 【 答案】(1) v EF 1 AB, EG 1 OC,“GH =乙EFH = 90,又.:乙OHG = KEHF (公共角) ，OGHs EFH,一OH =一HG ,EH HF即：H O - HF = H G - HE.( 2 ) 延 长CD, EG, E F交于点P, N, M ,连 接MN,由垂径定理得：CD = DP, EG = NG, EF = MF,F G是& E M N的中位线， FG = -M N ,2由 ( 1 ) 得 Z.AOC =乙NEM, MN = CP, FG = CD.2 2 . 【 答案】(1) ,点C的坐标为( 2 ,8

70、 ),点A的坐标为( 26,0), OA = 26, BC = 24, AB = 8, 0 (E )点运动的时间为t秒， . BD = 3 OE = 33当B D = A E时，四边形A BD E是矩形，即 t = 2 6 - 3t,解得，t = *( 2 )当CD = 0E时，四边形O E D C为平行四边形，DE = 0 C,即 2 4 - t = 3t,解得，t = 6；当C D丰0E时，四边形O E D C为等腰梯形.此时 0E = CD + 4 ,即 3t = 24 t + 4 . 解得 C = 7 .如 图1,当 点E在 。4上时，AE = 26- 3 t,则 S = 1 x A

71、E x A B = x (26 - 3t) x 8 = -1 2 t + 104,如 图2,当点 E 在 4B 上时，AE = 3t-2 6, B D = t,则 S = | x /IE x DB = 1 x (3t - 26) x t = | t2 - 13t.2 3 .【 答案】( 1 )根据题意得 1； - =解 得b Z 72,所以解析式为y = -%2 - 2x + 3. 点 。 的横坐标为0 ,所 以 点C的坐标为(0,3),因为点P的横坐标为3所以点P的坐标为 9- / - 2t + 3).如图，作P F 1.x轴 于F, P F交A C于D ,作CE 1 PF于E.设直线A C

72、的解析式为y = fcx 4- m,nl|i 俨 x 0 + m = 3,人 U x (-3 ) + m = 0.所以直线A C的解析式为y = x + 3.所以点D的坐标为(t,t + 3).所以 DP = y p - y。=一严2 t 4- 3 t 3 = - t2 3t,所以 S = S“AD + SPCD = 2 DP x 4尸 + GDP x CE,艮|J S = DP AF + CE) = DP x 3 = |DP,所以 S = + 3t)( 3 V t V 0).s = - 港+ 丁 + 全所 以 当 t = Y 时，4 A C P 的面积的最大值是能28此时点P 的坐标为( -

73、 消.2 4 . 【 答案】(1) 点 M 是 爬 的中点，点 N 是 卷 的中点， BD, CE 分别平分 U BC, UCB,A F 为 4 A B e 内心.v Z.BOC = 120,Z.BAC = -BOC = 60.2 Z-ACB = 60, 在 2 A B e 中，乙ABC = 180 - Z-ACB -乙BAC=180 - 60 - 60= 60. c BAC = Z-ACB =乙ABC = 60.: 心A B C 为等边三角形.的外心。 ，与内心F 重合.( 2 ) 方法一：如图，作乙B F C 的平分线F P 交 B C 于 点 P, 乙ABC + Z-ACB = 180

74、-=180 60= 120. 点、M, N 分别是弧4 C 、弧 4 8 的中点， BM, C N 分另小平分/.ABC, Z.BCA. Z-BFC = 180 - Z-CBF 一 乙BCF= 180 - -/.ABC -ZAC B22=180。 - “ /4BC + /4CB)=180 - i x 1202= 120.乙BFP = 4CFP = -/.BFC = 60,2乙BFE = 180 -乙BFC = 180 - 120 = 60.在 L B F P 与 B F E 中,Z-PBF =乙 EBF,BF = BF,ZBFP =乙 BFE,:,ABFP经 A BFE, PF = EF. Z

75、,CFD = 1 8 0 - Z.BFC= 1 8 0 - 1 2 0 = 6 0 . 乙 BFP = Z.CFD. C N 平 分乙BCA, . Z.PCF =乙 DCF.在 A P C F 和 D C 尸 中， PCF学 DCF.(CFP = MFD,CF = CF,UPCF =乙 DCF, PF = DF. EF = DF. 由 ( 1 ) 得 X A B C 的 外 心 。，与 内 心 F 重合.A KBDA = 9 0 .由旋转的性质得4 1DJ = 90。 .方法一：过 点 D 作 0 K l e N , DLL A B ,垂足分别为K, L,Z.KD1 = A D J, Z.DK

76、I = Z.DLJ = 9 0 .K D / s .KD _ DILD - D j又 v LAEC = 9 0 , 在矩形 KDLE 中，LD = KE, DK/AE.在 C E A 中， 点。 是 C A 的中点. CK = KE.LK = CK.= t a n ZJ l C N = t a n 3 0 =.DJ CK 3设 川 = % ,贝 lj D / = V 3 x.S. = DI - Z) / = 1 x- V 3 x = y X2.在 R t C D K 中，CD = -AC = - x 2 = 1 .22DK = CD sin4KCD = 1 x sin30 =2在 Rt OCD

77、 中，DO = CD tanz/CD = 1 x tan30 = .3当 m = 0 时，。 / = 0。=圣当0。 瓶 30。时，川 随 根 的增大而减小；当 m = 30 时，DI = DK = 当30。 血 60。时，。 /随m的增大而增大；当m = 6 0 时，D G与C N交于点P,D O P是边长为y的等边三角形，DI = DP = g .:.DKW DI D O ,即 上 x y , 当 拉x苧 时，S四 随x的增大而增大， T x Q）2 也 T （ y ）即 袅 SAD” *【 解析】方法二：连 接4 F ,作FP _ L4C, F Q L A E ,垂足分别为点P, Q.由

78、（ 1）得，F为4 B C内心.AF 平分 BAC.：. FP = FQ.由（ 1）得，4BAC = 60.同方法一得：Z5FF = 60, /.BAC =乙 BFE = 60, 乙 BFE + /.EFD = 180, /.BAC + Z.EFD = 180, 在四边形 AEFP 中，/.FEA + /.FDP = 180. Z.FEA + 4 FEQ = 180, Z-FEQ =乙 FDP. Z.FQE = Z.FPD = 90。 ，在 FQE FPD 中，（ 乙FEQ = 4 FDP,AFQE = Z.FPD,（FP = FQ,FQEm AFPD. FD = FE.方法三：在A E上截取

79、AG = A D ,连接AF, FG,由 （1）得，F为A B C内心. / F为Z.BAC的平分线.Z.DAF = Z.GAF.在 A F D和 A F G中，AF = AF,Z.DAF = 4 GAF,AD = AG, /F D g 4FG./. DF = GF, /.FDA = LFGA.同方法二可证得：乙BAD =乙BFE = 60,在A B E F和L B D A中，（LEBF =乙 DBA,l/LBFE = /.BAD,B E Fs BDA.， 乙BEF = c B D A ,即 Z-BEF = Z.FDA.Z-BEF = Z .F G A .即4尸EG =EG尸. EF = FG

80、. EF = DF.方法四：连接A F ,作FP_LAC, FQ L A E ,垂足分别为点P, Q,由 （1）得，F为4 A B C内心.：- A F为N B 4 c的平分线. FP = FQ.SRBFA 2 AB - FQ，SDFA = ，由面积法得，衿乂=黑S&DFA AD B F A和2 D F A是同高的两个三角形（ 以B M直线上的线段为地，高同是点A到直线BM的距离） ，. S&BFA _ 里SDFA FD. AB _ BFAD FDBF = 一DF.AB AD同方法二可证得：/.BAD = Z.BFE = 60,在 B E F和 B D A中，（Z.EBF = 4 DBA,VB

81、FE = Z.BAD,. B E F s BDA.BF _ EFAB ADDF _ EFAD - AD方法二：作1 J的中点K ,连接在 R t E I J 中，KE = KI = KJ,在 R t D I J 中，KD = KI = KJ.KE = KI = KJ = KD.以K为圆K/为半径作O K ,则点E, I, J ,。均在0 K上.AE = AD = 1 , Z.DAE = 6 0 , A D E是边长为1的等边三角形.EK, DK, DE. DEA = 6 0。 ，点 D 至IAE 的距离 d =y当 m = 0 。时，DJ = DA = 1 ；当 0 0 m 3 0 时，D J

82、随m的增大而减小；当 m = 3 0 时，D / = d =学当 3 0 。 瓶 6 0 。时，。 /随 m 的增大而增大；当 m = 6 0 时，DJ = DE = 1 .v d DJ DA, - y D / 1 . 乙 D1J = /.DEA = 6 0 .设 DJ = X,则 Z ) / = y X ( y X l ) .rl nr nr 1 V3 V3 o -SDII = -DJ-DI = - x - x = - x2. 当 日 WX /2AD - 276V33( 2 ) 如图，PN L C D 于 点 N,乙 PND = Z.AMD = 90,乙 PDN =匕 ADM, PDNs A

83、DM.又 - AD = 2OP,DN PD PN 1- - - =- - - = - - -= ,DM AD AM 2 CD/y 轴， zOMD =乙 OMC = 90,.1 . CM = DM ( 设其长度为a),DN = -, CN = DN + MD + CM = ,2 2 乙 PNC =乙 BMC = 90,又乙PCN =乙BCM, PNCs BMC.CM _ MB, 布 =丽 由题意：BM = 3 m, AM = 3 4- m,3 -m _ a _ 2 亨 = ( = 丁解之得：m = 2.当 M = 2 时，MD = /OD2-O M2 = V32 - 22 = V5.MN = M

84、D + DN = -V5, CM = MD = V5,又 NP = x B M x 1 =| , 从而得：P ( |,|V 5 ) .方法二：设 DE = a, PF = b,易求得 CM = BM = 7 9 - m2, 由 AM = 3 + m, MD = 3 - m , AF = 6 + a,由 CMJ.X 轴，PF L x 轴，易 证 力 CM s/iADF,U 匚 i、l M AC 2 uri 3+ni 2 z 3m3所 以 - -= = - , 即 - - - -= ) 得 C L =-AF AP 3 6+a 3 2CM _ ACPF - API,即 7=1,得 b =3b 33V

85、9-77122易 证BDMs APDF,所以DM _ MBDF PF 9or, 3+m _ x/9-m2 俎 3 -m _ V 9-m2即 丁 = b J 传雪=解 得 m = 2. P(m + a ,b ) 代入得( 3 )当 m = 2 时，C(2,花) ，7 1 (-3,0), 8 (3 ,0 )在 x 轴上，经过点A, B的抛物线的解析式可设为：y = a0(x + 3 )(x -3 ),又抛物线经过点C(2, - 4 )，一V5 UQ x (2 + 3)(2 3 ) ,得：a。 =经过点A, B, C的抛物线为：y = ( x2-9 ),向右平移n个单位后的解析式为：y = ( x

86、- n )2- 9 ,将P 弓近) 点的坐标代入得：当川GET解之得”亨经检验均符合题意，故所求n的值为 * 或 者 乎 .2 6 .【 答案】(1) ; 当 x = 0 时，y = 6：当 y = 0 时，x = 6, B(6,0), C(0,6),BOC为等腰直角三角形，又 AC = BC, A C B为等腰直角三角形又 NAPB = 90,设A C与B P相交于点G,则在 Rt APG 中，Z.PAC + /.PGA = 90,同理，在 Rt ACB 中，4PBC + 4BGC = 90,而 /.PGA =乙BGC, Z,PAC =乙PBC.( 2 )连接 CE, CF,在 A F C和

87、A B E C中，(AF = BE,乙 PAC =乙 PBC,AC = BC, AFC妾BEC(SAS), CE = CF, Z-ACF =乙BCE, Z.FCE = Z.ACF + Z,ACE =乙BCE + /.ACE = Z.ACB = 90,CEF为等腰直角三角形， ( CEF = 45, CE2 = 偌7 =又 v 乙AEF = 45, Z.AEC = /.CEF + Z.AEF = 90,在 Rt AEC 中，CE2 + AE2 = AC2,.击 =心 ,2 EF2 + 2AE2 = 2AC2 = 2 x ( 6 =144.( 3 ) 设 AF = BE = PE = m, PF

88、= n,在 Rt PEF 中，EF2 = m2 4- n2,在 Rt PEA 中，AE2 = (m 4- n)2 4- m2f2 由 ( 2 ) 得 EF2 + 2AE2 = 2AC2 = 2 x ( 6。= 144,(m2 + n2) + 2(m 4- n)2 + m2) = 144,整理得 2(m + n)2 + 3m2 + n2 = 144, .另在 Rt PBA 中，PA2+ PB2 = AB2,即 (m + n)2 4- (2m)2 = 122,整 理 得 (m + n)2 + 4m2 = 144, .由 一 得 ：Qn + n)2 + M 一= 0,2n(m + ri) = 0,

89、m + 九 H 0, n = 0,即 点 P, F 重合时恰有PE = BE, 在 Rt PAB 中，AP:BP:AB = 1:2： V5,又 - AB = 12,An12 12V5-AP=过 P 作 PQ 1 A B 于 点 Q,则 APAQ s ABAP,AQ:PQ:AP = 1:2:V5,Ap 12 74 力 Q = 翁 = 芋 PQ = 2AQ = y ,OQ = 6 - 4Q = 6 一卷= , 尸 ( - 代 )2 7 . 【 答案】(1) AAOB = 90, /-APB =-AOB = 45.2( 2 ) 过 点 。 作 0 c l p 4 于 C , 在 C A 上截取CD

90、= OC,T tan2 。 力 P = V2 - 1,= V2 - 1,y4C = (V2 + l)OC,又 v CD = OC,：. AD = AC - CD = V20C,Z.OCD = 90, OC = CD,OD = V2OC, Z.CDO = 45, . AD = OD, ,. Z.A = Z,DOA,又 匕 4 + 4 。 04 = 4 。 。 0, , Z-A = 22.5, . OP = OA, .44PO = 22.5,又 Z O B = 45。 ， 上BPO = Z.AOB -乙APO = 22.5, Z-APO =乙BPO. 连 接 A B ,连 接 P O 并延长交A

91、B 于 F , 则 PE L A B ,把 PB Q 沿 着 P Q 翻折得 PB Q则 PB = PB = P A ,乙PQB =乙PQBv Z.AQP =乙ABP, B P = Z.PAB Z,AQP = 4PAB, 四边形PABQ 内接于。 。， Z.PAB + 乙 PQB = 180, 匕 AQP + Z.PQB = 180 点A, Q, 三点共线， , Si + 2 = S4QPA + S &QB, P = S&PAB，Si + S2 0 , 当且仅当PA 1 P F 时，Si + S 2 有最大值 ?，在 Rt A PAE 中，AE = 1, PE = V2 + 1, 0 Sj +

92、 S2 -6)(%+1)-x (x -5 ) 6-x 得(x 5)(x + l) = - l,解 得x = 2 + 2 /2 ( 符合题意) ，或 x = 2 2V2 ( 不合题意，舍去) ，此时点P的坐标为(2 + 2企, 4 + 2企) .以A C为斜边，当 点P在 A C的下方时，延 长 C P交 x 轴 于N,连 接AP ,则 A P C T s &P AN , TP N P 4日 一4 -X2+5X+6由 TC = N A 得 -x2-5x= - - - -6-x- - - ，nij - _ _1 x(x-5) - 6 x 得(x - 5)(x + l) = - l,解 得 x =

93、2 - 2企 ( 符合题意) ，或 x = 2 + 2鱼 ( 不合题意，舍去) ，此时点P 的坐标为(2 - 2或 ,4 一 2或) .综上所述，满足条件的点 P 分别为 Pi(4,10), P 2 2,- 8), P3(2 + 2V2,4 + 2V2), P4(2 -2V2,4-2V2).30.【 答案】1 ) 过 点 。 作 D G J.E F 于 G, . ME = MD,:.乙MDE =乙MED,v EF 1 ME, Z.DME 4- Z,GED = 90, 乙 DAB = 90。 ,Z.MDE + Z.AED = 90, Z.AED =乙 GED, , 在 A A D E 和 G D

94、 E 中，AED =乙GED,lz-DAE =乙 DGE = 90。 ，.*. ADE GDE (AAS), AD = GD, A C 的半径为D C ,即 A D 的长度，E F 是 公 所 在 O 。 的切线2) AL4 =三 时，ME = M0 = 2 三=三,44 4 Rt AME 中，AE = y/ME2 - MA2 = J ? - = 1,* * * BE = AB - AE = 2 1 = 1,v EF 1 ME, 41 + 42 = 180 - 90 = 90, , 乙B = 90, z2 + Z.3 = 90,: .z l = z.3, 乙 DAB = 90,AME BEF,

95、MA _ MEBE EF 9即 := 言 ，解 得E F = i1 EF 3 RtA MEF 中，MF = 7ME? + EF2 = + 住 j = 去3） 假 设 A M F E 能是等腰直角三角形，则 ME = EF, 在 ZkAME和 A B E F 中，Z l = Z3,Z.MAE =乙 EBF,ME = EF,AME BEF (AAS), MA = BE,设 AM = BE = x ,则 MD = AD - MA = 2 x, AE = AB BE = 2 x, ME = MD,：. ME = 2 x, . ME = AE,v ME, A E分别是Rt AM E的斜边与直角边， ME

96、 H AE, 假设不成立，故 M F E不能是等腰直角三角形.3 1 .【 答案】(1) v二次函数y - ax2 + bx 4(a 0 )的图象与x轴交于4(一2,0), C(8,0)两点,2b 4 = 0 ,解 得 卜= 3(64a + 8b - 4 = 0 ,附母 | b =二,该二次函数的解析式为y = x2 - | x - 4 .( 2 )由二次函数y = ix2 - | x - 4可知对称轴x = 3,D(3,0),C(8,0),CD = 5,由二次函数 y = x2 - |x - 4 可知 B(0,-4),设直线B C的解析式为y = k x b .片+ b = 0 ,解得仍=

97、-4 , U = -4,直线B C的解析式为y = 1 x -4 ,设 E (m,m - 4),当 DC = CE 时，EC2 = (m -8 )2 + Q m -4)2 = CD2,2即 (/n 8)2 + Qm 4)= 52,解得 m1 = 8 2V5, m2 = 8 4- 25 (舍去)，F(8 -2 V 5 ,-V 5) ；当 DC = DE 时，ED2 = (m - 3)2 + g m - 4 ? = CD2,即 (m 3)2 + Qm 4)= 52,解得 m3 = 0, m4 = 8 (舍去)， E(0, - 4)；当 EC = DE 时，(m 8)2 + (gm 4)= (m 3

98、)2 + g m 4),解得 m5 = 5.5,综上，存在点E ,使 得4 C D E为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为(8 -2 V 5 ,-V 5),(0,-4), ( y ,- ; ) .( 3 ) 过 点 P 作 y 轴的平行线交x 轴于点F,t , P点的横坐标为m, . P点的纵坐标为 -m24 2 PBD的面积S = $ 梯 形OBPF - S B O D - S“FD= gm 14 - GTH2 - 4) - ( rn 3)卜/n2 - x 3 x 4= 3 m2 HI 1 7m8 4. 当 血 = 时，4 PBD的最大面积为鬻,3 24点P的 坐 标 为 管 ， 一聚)

99、 3 2 . 【 答案】( 1 ) 抛物线y = ax2 - 2 ax - 3(Q 0 ) 的对称轴为：直 线x = -浸= 1.v a 0 , 抛物线开口向上，大致图象如图1 所示. 当 N 1 时 、 y 随 X 增大而增大；由已知：当 2 x 4 时，函数有最大值5. 当 x = 4 时，y = 5,: .16a 8Q 3 = 5 , 得：a = 1.A y = X2 2% 3.令 = 0 , 得 y = - 3 , 令 y = 0 , 得 = 1 或 x = 3, 抛物线与y轴 交 于(0,-3),抛物线与x轴 交 于 (-1,0), (3,0)；(2) y = %2 - 2% - 3

100、 = (% - I)2 - 4,其折叠得到的部分对应的解析式为：y = - ( x - l )2 + 4 ( - l x 3 ) ,其顶点为(1,4).图象与直线y = n 恒有四个交点，A 0 n 4.由 一 ( I)2 + 4 = n , 解得 x = 1 V4 - n, B(1 V4 n,n), C(1 4- V4 n ,n), B C = 2V4 n .当 以BC为直径的。 尸与轴相切时，B C = 2n.即：2/4 = 2九 , A/4 n = n,. n2 = 4 n,v 0 n 0 恒成立，即 4 k y - 4yo + 1 6 恒成立，即 k W佻恒成立. P(xo， y o

101、)是 ( 2 ) 中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，0 y( )W 4,3 * 2 ) 2 + 12 3 4 (k 取 3 -2 )2 + 12 值之上限) ，4 4 实 数 k 的最大值为4.【 解析】( 2 )另法： ： B C 直径，且 O F 与 x 轴相切，FC = y = n, , 对称轴为直线 = 1,A F ( l,n ) ,则 C(1 + n,n), , 点 C 在 y = (x l)2 + 4(-1 x 3 ) 上， , n = (1 + n I)2 + 4,v 0 n a = 2,13抛物线的对 称 轴 ，与 o c 相交. 如图，过 点 P 作平行于y 轴的直线交A

102、C 于 点 Q；可求出A C 的解析式为y = -1 x + 3；设 P 点的坐标为( 孙； 机2 一 2m + 3),则 Q 点的坐标为( 6 ,一之血+ 3) ；PQ = 1 m + 3 - Q m2 2m + 3 = m2 +SAP.C = SAPAQ + SPCQ = x -m2 + x 6 = 一 ： (m 3)2 + ； 当 m = 3 时，A P a C 的面积最大为 j此时，P 点的坐标为(3 ,- .3 4 . 【 答案】( 1 ) 如 图 1.在正方形 ABCD 中，AB = AD, /.DAB = 90,v BE DF, AB BE = AD + D F ,即 AE =

103、4尸 ，又 乙DAB = 90, ZE = Z.F = 45,又 , 在正方形 A B C D 中，Z,DAC = Z.BAC = 45,/. Z.AME = 9 0 ,即 EF LA C.(2) FH2 + GE2 = HG2f理由是：如 图 2 , 过 4 作 AK 1 A C ,截 取 AK = A H ,连 接 GK, EK, A B = 45, Z.CAB =乙KAB = 45,- AG = A Gf AK = AH,. GH = GK,由旋转得：/-FAE = 9 0 , AF = AE, Z.HAE = 9 0 , Z.FAH = 4 KAE, A F H g 力E K, 乙AE

104、K = Z.AFH = 4 5 , FH = EK, Z.AEH = 4 5 , 乙KEG = 4 5 + 4 5 = 90 ,Rt G KE 中，KG2 = EG2 + EK2fB P ： FH2 + GE2 = HG2.( 3 ) 如 图 3 ,- AD =AB, Z.DAF = Z.BAE, AE = AF,D AF BAE, . Z.DFA =乙BEA, 乙PNF = N E , 乙FPE = 4 FAE = 90 , 将A E F 绕 点 A 旋转一周，总存在直线E B 与 直 线 D F 垂直， 点 P 的运动路径是：以 B D 为直径的圆，如 图 4 ,当 P 与 C 重合时，P

105、 C 最小，PC = 0,当 P 与 力 重合时，P C 最 大 为 5 V 2, 线 段 P C 的取值范围是：0 W PC45 V 2.35.【 答案】( 1 ) 二次 函 数 y = ax2 + bx - 4 ( a # ： 0)的图象与x 轴 交 于 4 ( - 2, 0 ) , C ( 8 , 0 ) 两点,4 a 2 力- 4 = 0,解得. . ( 6 4 a + 8* 4 = 0 , 腓仔 K =I 2， .该二次函数的解析式为y =4 2( 2 ) 由二次函数y = JX2- |X- 4可知对称轴% = 3 ,0 ( 3 , 0 ) , C ( 8 , 0 ) ,- CD =

106、 5f由二次函数丫 = ； % 2 一, 工一4可 知 B ( 0 , - 4 ) ,设 直 线 B C 的解析式为y = kx + b,.片+ 丁0 , 解 得 卜 力3 = - 4 , b = - 4 ,直 线 B C 的解析式为y = i x - 4 ,设 E ( m, m 4) ,2当 DC = CE 时，EC2 = (m -8 )2 + Q m - 4 ) = CD2,2即( m 8)2 + (gm - 4) = 52, 解得 m1 = 8 2A/5, m2 = 8 4- 2V5 ( 舍去) ， ( 8 - 2 其 -佝 ；当 DC = DE 时，E D2 = (m -3 )24 -

107、Q m -4 ) = CD2,即 ( m 3尸 + (gni 4) = 52, 解得 m3 = 0, m4 = 8 ( 舍去) ， ,E (0,_ 4)；当 EC = DE 时，( m 8)2 4- Qm 4 = (m 3)2 + Q m 4 , 解得 m5 = 5.5,E 管 ， - !)综上，存在点E ,使 得4 C D E为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为( 8-2V 5,-V 5) ,(0,-4),过 点 P 作 y 轴的平行线交x 轴于点F,P点的横坐标为m, P点的纵坐标为 m2 - 4, PBD的面积S = S梯 形 OBPF - S&BOD - SA F D= 1 m 4

108、 - Q m2 m 4) - / m - 3)_ ， 瓶 _ 4) 1 x 3 X 43 2 , 17=7714 Hm8 43 ( 172 , 289+ 玄 . 当血=时，4 PBD的最大面积为 警 ，3 24 点P的坐标为 仔 ， - 詈 ) -3 6 . 【 答案】( 1 ) 抛物线y = ax2- 2 ax - 3(a 0 ) 的对称轴为：久=-爰 =1. a 0 , 抛物线开口向上，大致图象如图所示.当 x 2 1 时，y 随 x 增大而增大；由已知：当 2 W x W 4 时，函数有最大值5. 当x = 4时，y = 5, 16Q 8。- 3 = 5 , 得：a = 1. y = x

109、2 2 x 3.令 = 0 , 得 y = - 3 , 令 y = 0 , 得 = -1 或 % = 3, 抛物线与y轴 交 于 ( 0 ,-3 ) ,抛物线与%轴 交 于 (-1,0), (3,0).(2) y = %2 - 2% - 3 = (x - I)2 - 4, 其折叠得到的部分对应的解析式为：y = -(% - I)2 +4(-1 x 3 ) ,其顶点为(1,4). 图象与直线y = n 恒有四个交点，0 n 4.由 一 ( I)2 + 4 = n , 解得 x = 1 V4 - n,B(1 V4 TI,九 )，C(1 + V4 - TI,n)J B C = 2V4 TI.当 以B

110、C为直径的圆与x轴相切时，B C = 2 n ,即：2右= 2n, V4 - n =v 0 n 4,-1+V17 n = -.2( 3 ) 若关于m的一元二次方程m2 - yQm + fc-4 + yo = O 恒有实数根,则须 A = (-y0)2 4(fc - 4 + y0) Z 0 恒成立，即 4k W 羽一 4% + 1 6 恒成立，即 k W仇丁”恒成立.点 PQo，% ) 是(2)中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，0 y0 4,3 (y-2)2+12 W 4 (k 取( % R + i 2 值之下限) ，4 4 实 数k的最大值为3.【 解析】( 2 ) 另法： . BC直径，且

111、 O F 与 x 轴相切， FC = y = nfV 对称轴为直线 = 1, 尸 ( l,n ) ,则 C(1 + n,n),又 , C 在 y = -(% - l)2 + 4(-1 x 3 ) 上， n = (1 + n l)2 + 4 , 得 ri = T g ,v 0 n /2,6x2 3PB DA AD = 6, PB = 4,由勾股定理得 AF2 = AP2 - PF2 = AD2 - DF2,2即 122 - (DF + 6V2)= 62-D F2,求 得DF =言.3 9 .【 答案】( 1 ) 如 图1， 西边形ABC D是平行四边形， = 60, AB = BC, AD =

112、CD,v AD = AB, . A ABC, L A C D都是等边三角形. 点E与 点A重合， 点F与 点D重合， AE = 0, AF = A D = A Cf A E A F = AC, Q4E + A 尸 ) :AC = 1:1. 如 图2,若 点E与 点A不重合，由 得ABC, L A C D都是等边三角形， . Z.D = Z.CAB = 60, CD = AC, Z-ACE + 2LACF = Z.ACF + ( DCF = 60, Z-ACE 乙 DCF .在A D C F和L A C E中 ,(Z.D = Z.CAB,CD = CAfUDCF = Z.ACE, DCF i4C

113、E(ASA), AE DF, AE + AF = DF + AF = AC. Q4E + /F ):4C = 1:1.( 2 ) 如 图3,若 点E与 点A重合， Z.D =.B = Z.ECF = 60, BC = 2AB,易 知42 = 43,又 v AD/BC, z.3 = z l,z.1 = z.2.又 Z1 + Z2 4-乙ECF = 120, z l = z2 = z3 = 30.容 易 证 得乙BAC = 4 DFC = 90,AF = A C - COSZ3 = /IC,2v AE = 0,(4E + 24F):4C = V5:1. 如 图4,若 点 E 与 点 A 不重合，过

114、 点 C 作 CH J. A D 于 点 H,设 HD = x, FH = y ,由上可知 乙ECF =乙ACH = NB = zD = 60。 ,Z-ECF = Z.ACE + Z.ACF,Z-ACH =乙 HCF + AACF, Z.ACE =乙HCF.在AACE和 A H C F 中，(JLEAC = Z.FHC = 90,lz.ACE =乙 HCF,: . A C E HCF,AE ACA = .FH CH在 Rt DCH 中， ZD = 60, CD = 2%, HC = V3x, AD = 2CD = 4x.在 Rt ACD 中，AC2 -CD2 = AD2,求得 AC = 275

115、%,:.AF = A D - FD=4x - x y=3% - y,AE = F H - = 2y,:、AE + 2AF = 2y + 2(3x y) = 6x, (AE + 2AFy.AC = 6x: 2y/3x = V3:1.(3) Q4E + 34/9： /C = t = y/7.4 0 .【 答案】(1) , : 抛物线经过( 3 ,t)两点， . 抛物 线 的 对 称 轴为 % = 2, 抛物线的顶点在直线y = x ,： 该抛物线的顶点坐标为( 2,2).( 2 ) 依题意直线12的解析式为：y = kx + fc2 + l,把 y = k x + k2 + 1 代入 y = ax

116、2 + bx + 1 得，Q/ + (b _ k ) x k2 = 0,止 匕 时 4 = (b k ) 2 + 4ak2 = (1 + 4a) k ? - 2 b k + b2. , 无论非零实数k为何值，直 线12与抛物线都只有一个交点， 1 + 4Q = 0, 2 b = 0.解得 Q = - ； ，b = 0.4此时抛物线的解析式为y = -x2 + 1.4设 P ( X ,- y + l) , PQ 与 X 轴交于点 T , 则 。= |2 - ( - 9 + 1 ) | = 1 + 9 ,P O =y /O T2 + TP2= / / + ( 9 + I(书+ A = 百X2= -

117、 + 1.4 . P Q = P O , POQ是等腰三角形.4 1 . 【 答案】( 1 ) 设抛物线的解析式为y = a( x + 3)(x - 1).由题意可知：a = -1 .抛物线的解析式为y = -l(x + 3)(久一 1 ) 即 y = -x2 -2 x + 3.( 2 ) 如 图 1 所示：过 点D作DE/y轴，交A C于 点E.1.,当 x = 0 时，y = 3, C(0.3).设直线A C的解析式为y = kx + 3. : 将 4 (-3 ,0 ) 代入得：-3k + 3 = 0 , 解得：k = l,直 线A C的解析式为y = x + 3.设 点D的坐标为( d

118、,-d 2 -2 d + 3 ) , 则E点的坐 标 为 ( d,d + 3).* * DE c?2 2d + 3 - (d + 3) = -d ? - 3d. ADC 的 面 积= D E . O A= | x 3 x ( d2 3d)当 d = | 时，A D C 的面积有最大值.-。 ( - 斐 ) .( 3 ) 如 图 2 所示：当 2 ABC,P1B _ BQ _ 1AB BC 2 解得 PiB = 2, 0Pr = 1 , Pi ( -1 , 0 ) ；过Q作P2 Q _ L x轴于P2,v Z-P2BQ = Z-CBA, Z-QP2B = Z.ACB, A QBP2s 2 ABC

119、,BP2 _ P2QBC AC9解得 BP2 = i , OP2 = i , P 2 & 0 ) ；P在x轴的其它位置时，A P B Q不可能为直角三角形，不可能与& A B C相似； 同理，当P在y轴上时，作P3Q 1 BQ交y轴于P3, NP3 B Q = NB A C = NP3 B。= 3 0 , 4P3QB = 4ACB = 90, BP3Q ABC., t a nz p3fi0=7 ? = TI P3 ”冬 。3 ( 0 ,务B作P4B 1 B Q交y于p, ，但 鬻羊引 4QBP4与4 A B C不相似，P在y轴上其它位置时，4 P Q B不为直角三象形，不能与ABC相似；综上所

120、述：坐标轴上存在点P ,使得以B, Q, P为顶点的三角形与AABC相似，P点坐标为( -1 , 0 ) , &。)，(。 丹).43.【 答案】( 1 ) 抛物线 y = x2 + bx + c 经过 B, C 两点，且 B ( 4 , 0 ) , C ( 2 , -6 ) ,0 = 1 6 + 4 b + c, 6 = 4 + 2 b + c,解得(b = -3 ,l c = -4 . 该抛物线的解析式：y = X2- 3X-4 .:抛物线y = x2 - 3x - 4经过点4,且点/在入轴上, ，%2 - 3 % - 4 = 0,解得：与= - 1或2 = 4 (舍去) ， 点A的坐标(

121、 -1 , 0 ) .( 2 )如图1,过 。作轴于H, CG l x轴于G . ,点 ) ( 7 7 1 , 7 1 ) ( 1 m 2 ) ,。(2 , -6 ) , 点 点 G ( 2 , 0 ) .则S &ACD b,ADH + $ 四边形 H DCG SC G= 1 |n I ( 7n + l ) + i ( |n | + 6 ) ( 2 - m ) - |( | -1 I +2) x |-6 I= j |n | -3 m -3 . 点D( m,n )在抛物线图象上, n = m2 3m 4,v 1 m 2 , 即 Tn? - 37n 4 BD.理由如下：取E G的中点H ,连接CH

122、, DH, CD,V &EDG, & E C G为直角三角形，点”为E G的中点，CH = EH = GH = DH = -EG,2 点C, E, D, G在以点H为圆心，E G为直径的圆上,* EG CD, A B C为直角三角形，O B =4D , CD = DB = AD = -A B ,2EG ) BD： 当a = 120。时，将 A D E绕着点D旋转180。 ，得到& B D P ,连接GP.由(1) AD2 = AE-AF 得：16 = A E(AE + 6),解得AE = 2或4E = 8 (舍去) ，A A D E A B D P ,ED = DP, AE = BP = 2,

123、 N4 = zDBP, O F = 90, D G垂直平分EP, . GE = GP = y, LA + 乙ABC = 180 - 120 = 60, 乙DBP + 乙ABC = 6 0 0 ,即 4GBp = 60,过点P作PQ 1 BG,在 Rt BPQ 中，4GBp = 60。 ，BP = 2,BQ = 1, PQ =y/3, GQ = BG - BQ = x - 1,在 Rt GPQ 中，PQ = V3, GQ = x - l , G P = y , PG2 = GQ2 + PQ2,即 y2 = (x I)2 + (V3), y = Vx2 2x + 4.4 6 .【 答案】(1) C

124、(0,3).(2) v 抛物线 y = x2+ bx + c 过点 B, C,9 + 3b + c = 0,c = 3,解 得 2 : 抛物线的解析式为y = X2- 4X + 3. y = %2 4x + 3 = (% 2 / 1, 对称轴为直线x = 2, . 71(1,0).( 3 ) 由 y = - - 4 x + 3 , 可 得 。 ( 2,-1).又 v OB = 3, OC = 3, O A = lf AB = 2. OBC为等腰直角三角形.Z.OBC = 45, CB = 3& .如图，设抛物线对称轴与x 轴交于点F,AF =-A B = 1.2过 点 A 作 AE L B C

125、 于 点 E, . Z.AEB = 90, ,. BE = AE = V2, CE = 2 a在 AEC 和 AFP 中，Z.AEC = 4AFP = 90, Z.ACE =匕APF,: ， AEC AFP,即 立 = 也 ，解 得 PF = 2.AF PF 1 PF点 P 在抛物线的对称轴上，点 P 的坐标为(2 ,2 )或 (2,-2).4 7 . 【 答案】( 1 ) 抛物线 y = - / + bx + c 与 x 轴交于 71(-3,0), 8 (1 ,0 )两点,所以C-9 - 3Z ? + c = 0,( 1 + b + c = 0.解 得 忆 抛物线的解析式为y = -x2 -

126、2 x + 3.当 x = - = -1 时, y = 4.抛物线的顶点D 的坐标为(-1,4).当 =-4 或 2 时，y = -5 .此抛物线的草图如图所示. 点 D 的坐标是(-1,4),二 点 F 的坐标是(-1 ,-4 ).如图所示,若 以0 , F, P , Q为顶点的平行四边形存在，则 点 Q (x,y)的纵坐标必须满足|y |= |y F = 4 .当 y = 4 时， / 2x + 3 = 4 ,解得 x = 1 2/2.Q i点的坐标为( 1 2V, 4) , Q2点的坐标为( 1 + 2企, 4) , P i 点的坐标为(-2V2,0) , P2点的坐标为( 2V2,0)

127、 .当 y = 4 时，- 2x + 3 = 4 , 解得 x = -1 .Q3点的坐标为(-1,4).P3点的坐标为(-2,0).综上所述，符合条件的点P有三个，即 (-2 7 2 ,0 ) , P2( 2V2,0) , P3(-2,0).4 8 . 【 答案】( 1 ) 设抛物线的解析式为y = a( x + h)2+k , 点 C (0,8)是它的顶点坐标， y = ax2 + 8,又经过点4(8,0),有 64a + 8 = 0 , 解得 a =一： ,8故抛物线的解析式为：y = - i x2+ 8.O( 2 ) 是定值，解答如下：设 P ( a ,- i a2 + 8) , 则 尸

128、 (a,8), 0(0,6), P D = J a2 + Q a2- 2 )2二的: 丫= - a2 4- 2.8PF = 8 - ( -济+ 8)= * P D P F = 2.( 3 ) 当 点P运动时，D E大小不变，则PE与PD的和最小时，D E的周长最小， . , P D - P F = 2, P D = P F + 2 , PE + PD = PE + P/ + 2, 当 P, E , 尸三点共线时，PE + P F 最小，此时点P, E的横坐标都为4,将 = 4 代入 y = + 8 , 得 y = 6,8P (4 ,6 ),此 时 4 P D E 的周长最小，过 点 P 做 P

129、 H 1 X 轴，垂足为H,设 P(a ,- a2 + 8),PH = - - a2 + 8,8EH = a - 4, OH = a,S&DPE - $ 梯 形 pH。 。 SPHE - SADOE= -( 一 a? + 8 + 6), a _ - ( _ a? + 8)(a _ 4) 一 x 4 x 6=- - a2 + 3a + 44= - i ( a - 6)2 + 13. 点 P 是抛物线上点A, C 间的一个动点( 含端点) 0 a 8,当 a = 6 时，SA D P E取最大值为13,当 a = 0 时，SAP E取最小值为4,即 4 4 SDPE /3 抛物线解析式为y1 =

130、|x2 + 2x - 2A/3.(2) 0 点对称点O ,不在抛物线y1上. 理由如下：过 0 点 作 OH_L%轴 于 H , 如图，由(1 ) 得 。 ( 一 2,0), C(0,-2V3),在 Rt OCD 中, 0D = 2, OC = 2V3,tanzODC = 当=痘,Z.ODC = 60, O CO 沿 C D 翻折后，。 点对称点0,OD = 0D = 2, Z,ODC = Z-ODC = 60, /.ODH = 60,在 RtAODH 中，sinODH = OH = 2sin60 =瓜 DH = J22 - (V3)2 = 1,0( - 3, V5),当 x = - 3 时，

131、= 1x2 + 2x 2V3= 1x9 + 2x (-3 )-2 7 3片 V3,O 点不在抛物线月上.(3) 设 E (m ,m2 + 2m 2 g ) (m /3 ( 舍去) ，m2 = 4, E(-4,-2V 3), HD = 2, EH = 2V3, DE = J 22 +(2V3)2 = 4,DE = 4, E(2,0),而 EF 1 x 轴，F 点的横坐标为2,= 1m2 2m + 2y/3,c 轴上，( 2 ni)V3,当 x = 2 时，乃 = 1x2 + 2x - 2/3 = 6 2/3, F( 2,6-2V 3) .(2). 点 E 关于直线C D 的对称点E ,恰好落在x

132、 轴，PE = PE,PE-PF EF (当点 P, E, F 共线时，取等号)，直 线 C D 上存在点P , 使 P E -P F 最大，最大值为6-2V 3.5 0 . 【 答案】( 1 ) 将 4(一1,0), 8(3 ,0 )代入抛物线 y = ax2 + bx + 3(a = 0), 0 解得 a = L b = 2.故抛物线解析式为：y = / + 2% + 3.( 2 ) 存在.将 点 D 代入抛物线解析式得：m = 3, 。 (2,3),令 = 0 , 得 y = 3, C(0,3), OC = OB, ZOCB = /.CBO = 45,如图，设 B P 交 y 轴 于 点

133、 G,: CO 轴， Z,DCB = /-OBC = 45, ， Z-DCB =乙 BCO,在 A C D B 和 LC G B 中：Z.DCB = Z.BCO,BC = BC,乙 PBC =乙 DBC, CDB CGB(ASA),: .CG = CD = 2, OG 1, 点 67(0,1),设直线 BP： y = kx 4-1,代入点8(3,0),/. k = -3 , 直线 BP： y = - x 4-1,联立直线B P 和二次函数解析式：(y = -%2 + 2x + 3,1 = T+1，解 得 二 或3舍), p ( 一 沾 ) ( 3 )直线 B C : y = -x + 3 ,直

134、线 B D : y = -3 x + 9,当0 W t W 2时，如下图：设直线CB : y = - ( x - t ) + 3 ,设直线C B 和直线BD交于点F,联立直线BD求 得 ? ( 穹 ，S SHBCD - SACCE - SACDF x 2 x 3 - x t x t - x (2 - t )(3 ,整理得：S = - t2 + 3t(0 t 2).当2 V t s 3时，如图：设直线C O 与直线D B交于点H ,直 线C O ,与直线C B交于点1,则 H( tr3t + 9), I( tf t + 3).s = SAHIB = ：(-3 t + 9) (t + 3) x (

135、 3 - t) ,整理得：S = t2- 6 t + 9 (2 t 3 ).综上所述：S = 3 + 3t(0 t 2),lt2- 6 t + 9 (2 tJBD2 - DE2 = V3x,DC = CE - DE = BE - DE =力 - l)x.AE = AD - DE = AD x.在 4 A B e 和 X A D B 中，因 为 /.ABD = /.ACB = 4 5 ,乙4 为公共角，所以 AABC s AADB,即 AB2 = AC-AD,即 AB2 = (AD + DC) -AD = AD2 + AD . ( 遍 - l)x 在 Rt ABE 中，由勾股定理，得 AB2 =

136、 AE2 + BE2 = (4D - x)2 + (V3x)2 ( 2) .由 ， ，得 AD2 + AC ( 百 l)x = AD - x)2 + (V3x)2,化简整理，解 得 4D = 2（ V 3 - l） x.所以丝一且 二k明 以 D C 一 （ 6 -l） x= 2 ,所 以 黄 = 2 .5 2 . 【 答案】( 1 ) 作 ME L x 轴 于 E , 如图所示：则 Z,MEP = 90, ME/AB . 乙MPE + 乙PME = 90 . 四边形OABC是正方形， 乙POC = 90, OA = OC = AB = BC = 4, /.BOA = 45 .v PM 1 C

137、P f Z,CPM = 90 . 乙MPE + Z.CPO = 90 . 乙PME = Z.CPO .在 A M P E 和 PC。 中( 匕PME = Z.CPO,乙 PEM =乙 COP = 90,PM = PC,M PE PCO(AAS). ME = PO = t, EP = OC = 4 . OE = t + 4 . 点 M 的坐标为：( t + 4 ,t ) . 线 段 M N 的长度不发生改变；理由如下:连 接 A M ,如图所示：v MN/OA. MEAB, Z.MEA = 90,四边形AEM F是矩形，又 EP = OC = OAt . AE = PO = t = ME, 四边

138、形AEM F是正方形，. . Z.MAE = 45 = Z-BOA .AM/OB . 四边形OAMN是平行四边形.MN = OA = 4 .(3) v ME/AB, PAD PEM,AD AP ，M E EP即 牛 = 芋 ， * * AD C 2 + ,4 BD = AB -A D = 4 - ( - 加 + , = 1 2 - + 4,V MN/OA, AB 1 OA,MN LAB, 四边形BNDM 的面积：S = -M N - BD2= 1 x 4 G /t + 4)= * 2 ) 2 + 6. . S 是 t 的二次函数，1W 0 ，s 有最小值，当 t = 2 时，S 的值最小；.

139、.当 t = 2 时，四边形BNDM 的面积最小.5 3 . 【 答案】( 1 ) 把 4(0 ,3 )代 入 月 中，乃 = / - 4x + 3.( 2 ) 抛物线y i 的对称轴：匕 = 2,抛 物 线 乃 与 抛 物 线 先 关 于y轴 对 称 ， 抛 物 线y2的 对 称 轴 ：x2 = -2 .5(-2,0). 当A B = A P时 ： O B = O P = 2, Pi(2,0). 当B A = B P时 ：在 Rt AOB 中 ，A B = V13； B A = B P = V13, OP = B P + O B = V13 + 2 或 O P = B P - O B = V

140、13 -2 , P2( -A/13 - 2,0)或 P3(V13 - 2,0). 当PA = P B时 ：设 P (x,0 ), PA = P B = x + 2f在 Rt AOP 中 ，O P2-A O2 = A P2f%2 + 32 = (% + 2)2,5-4X=o衣，一V4综上所 述 ：Pi (2 ,0)或 P2(-V 1 3 -2 ,0)或 P3(V 13-2,0)或 P4( 0). 过 点Q作 轴 、y轴 的 平 行 线 ，点4作 轴 平 行 线 ，点8作y轴 的 平 行 线 ，相交于点 、C、D E ；设 Q(%2 - 4% + 3),则 CQ = x + 2 , DQ = 3

141、(%2 4% + 3) = %2 + 4%, BC = %2 + 4% 3.S梯形BCEA = J(B C + 4E) , CE = / + 4% 3 4- (- / + 4%) x 2 = - 2 / + 8x 3,S 矩形 4DQE = E Q D Q = X(-X2 + 4%) = -%3 + 4x2,S = S梯形+ S矩形DQE = - x3 + 2 x2 + 8 x - 3,S&BCQ = g C Q - BC = |(x 4- 2 )(-x2 + 4% - 3) = -1 x3 + x2 4-|x - 3,S A DQ = A D - DQ = 1 x (-x2 + 4%) =

142、+ 2x2,SBCQ + = x3 + 3x2 + |x 3, 8 = S _(SABCQ+ S -DQ) = - / +?% = 一(% ) +詈 ， 点Q 在第四象限， 1 % 时 ，S&Q AB有最大面积为詈.5 4 . 【 答案】( 1 ) 将 B, C 两点的坐标代入得广 913b + c = 0,lc = 3.解 得 b = Ilc = 3.所以二次函数的表达式为y = - x2 + 2x + 3.( 2 ) 存在点P , 使四边形P O P C为菱形.设P点坐标为(X,-X2 + 2X + 3), P P 交 C。 于 E.若四边形P O P C是菱形，则 有P C = P O

143、.连 接P P 则P E 1 C O于E.3. 0 E = EC = .23/. V =-) 2-/ + 2+ 3 = |,解 得X 1 = 手电 = 亨 ( 不 合 题 意 ，舍去) . . p点的坐标为( 亨, | ) .过 点 P 作 y 轴的平行线与BC交于点Q,与0B交于点F .设 P ( x ,-x2 + 2% + 3),易得，直 线BC的解析式为y = -x + 3.则Q点的坐标为(%,- + 3).S 四边形 4BPC = SABC + SBPQ + SCPQ= -AB O C + B E + O F= ix 4 x 3 + |( - x2 + 3x)x332-1P?-当 =

144、|时，四边形A BPC的面积最大.此 时P点的坐标为( | , 与，四边形A B P C面积的最大值为y .55 .【 答案】(1) , : 直 线 y = -% 4- 3 恰好经过B, C 两点， C(0,3).(2) , 抛物 线 y = / + b x + c 过 点 B, C,.p + 3b + c = 0,tc = 3.解 得 f = 4, 抛物线的解析式为y = M - 4% + 3,: . 对称轴为x = 2 , 点 4(1,0).( 3 ) 由 y = / 4x + 3,可 得 。 ( 2,-1), 4(1,0), . OB = 3, OC = 3, OA = 1, AB =

145、2,可 得 A O B C 是等腰直角三角形，OBC = 45, CB = 3V2.如图，设抛物线对称轴与x 轴交于点F, . AF = -AB = 1,2过 点 A 作 AE 1 B C 于 点 E, N4EB = 90,可得 BE = AE = V2, CE = 22,在 AEC 与 AFP 中，Z.AEC =乙AFP = 90, Z.ACE = 4APF, AEC AFP,.AE _CE_ yf2 _ 2夜AF PF 1 PF解 得 PF = 2,v 点 P 在抛物线的对称轴上， 点 P 的坐标为(2,2)或 (2,-2).56 .【 答案】(1)根据题意得7 。 = 0，解 得 P =

146、 r2,= 3.解析式为 y = - x2 - 2% + 3.此抛物线的草图如图所示.( 2 ) 当 x = -= -1 时，y = 4,顶 点 D 的坐标为(-1,4),点 F 的坐标为(-1 ,-4 ).若 以0 , F, P , Q为顶点的平行四边形存在，则 点 Q (x,y )必须满足|y |=| EF 1=4. 当 y = -4 时，- 2刀 + 3 = -4 .解得，x = -1 2V2,(2i(-1 - 2V2, 4), 0 ) ,则 N(R + 1,R),代入抛物线的表达式，解 得R =上 咨 ， 当 直 线MN在x轴下方时，设圆的半径为r(r 0 ) ,贝 ! J N ( r

147、 + l,-r ) ,代入抛物线的表达式，解 得 r = 二 答 ， 圆 的 半 径 为 上 / 或 二 科 .( 4 ) 过 点 P 作 y 轴的平行线与A G交于点Q ,易得 G(2, 3 ) ,直线 AG 为 y = %1.设 P ( x ,x2 - 2x 3 ) ,贝 ij Q x ,-x 1), P Q = x2 + % + 2.S PG = SAPQ + S&GPQ当 x = T 时，A A PG的面积最大，此 时P点的坐标为& 一 号 ) ，S -P G 的最大值为学【 解析】( 1 ) 由已知得 C(0,- 3), 4(一 1,0),设该表达式为y = a(x + l)(x - 3),将 C 点的坐标代入得a = l,所以这个二次函数的表达式为y = x2-2 x -3.