《曲面积分曲线积分习题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《曲面积分曲线积分习题（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题课一、一、 曲线积分的计算法曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法 线面积分的计算 第十一章 一、曲线积分的计算法一、曲线积分的计算法1. 基本方法曲线积分第一类 ( 对弧长 )第二类 ( 对坐标 )(1) 选择积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2) 确定积分上下限第一类: 下小上大第二类: 下始上终解答提示解答提示: 计算其中L为圆周提示提示: 利用极坐标 ,原式 =说明说明: 若用参数方程计算, 则P244 3 (1)P244 3(3). 计算其中L为摆线上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.提示提示:P244 3(6). 计算其中 由平面 y
2、= z 截球面提示提示: 因在 上有故原式 = 从 z 轴正向看沿逆时针方向.(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ;(2) 利用积分与路径无关的等价条件;(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ;(5) 利用两类曲线积分的联系公式 .2. 基本技巧基本技巧例例1. 计算其中 为曲线解解: 利用轮换对称性 , 有利用重心公式知( 的重心在原点) 例例2. 计算其中L 是沿逆时针方向以原点为中心、解法解法1 令则这说明积分与路径无关, 故a 为半径的上半圆周.解法解法2 它与L所围区域为D,(利用格林公式)思考思考:(2) 若 L 同例2 , 如
3、何计算下述积分:(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:则添加辅助线段思考题解答思考题解答:(1)(2)计算其中L为上半圆周提示提示: :沿逆时针方向.练习题练习题: P244 题 3(5) ; P245 题 6; 11. 3(5).用格林公式: P245 6 . 设在右半平面 x 0 内, 力构成力场,其中k 为常数, 证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.提示提示:令易证F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为P245 11. 求力沿有向闭曲线 所作的其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三提示提示: 方法方法1从 z 轴正向看去沿顺时针方向.利用对
4、称性角形的整个边界,功,设三角形区域为 , 方向向上, 则方法方法2 利用利用公式 斯托克斯公式斯托克斯公式二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法1. 基本方法曲面积分第一类( 对面积 )第二类( 对坐标 )转化二重积分(1) 选择积分变量 代入曲面方程(2) 积分元素投影第一类: 始终非负第二类: 有向投影(3) 确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面思思 考考 题题1) 二重积分是哪一类积分? 答答: 第一类曲面积分的特例.2) 设曲面问下列等式是否成立? 不对不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关 2. 基本技巧基本技巧(1) 利用对称性及重心公式简化计算(2) 利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3) 两类曲面积分的转化练习练习:P244 题题4(3) 其中 为半球面的上侧.且取下侧 , 原式 =P244 题题4(2) , P245 题题 10 同样可利用高斯公式计算.记半球域为 ,高斯公式有计算提示提示: 以半球底面为辅助面, 利用例例8. 计算曲面积分中 是球面解解: 利用对称性用重心公式
