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1、高等院校非数学类本科数学课程高等院校非数学类本科数学课程大大 学学 数数 学学（三）（三）（三）（三）多元微积分学多元微积分学 第一章第一章 多元函数微分学多元函数微分学第一章 多元函数微分学本章学习要求：1.理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。2.知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。3.理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。4.熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数
2、的二阶偏导数。了解求偏导与求导顺序无关的条件。5.理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。6.会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。7.知道二元函数的泰勒公式形式。8.知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。9.熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。10.了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。 11.11. 了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟12. 练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。13.12. 理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约14. 束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用
3、拉15. 格朗日乘数法求条件极值。16.13. 掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些17. 较简单的最大值和最小值的应用问题。第七节第七节第七节第七节 高阶偏导数高阶偏导数高阶偏导数高阶偏导数多元函数的高阶导数与一元函数的情形类似多元函数的高阶导数与一元函数的情形类似. . 一般说来一般说来, , 在区域在区域 内内, , 函数函数 z = f (x, y) 的偏导数的偏导数仍是变量仍是变量 x , y 的多元函数的多元函数, , 如果偏导数如果偏导数的二阶偏导数的二阶偏导数. .依此类推依此类推, , 可定义多元函数的更高阶的导数可定义多元函数的更高阶的导数. .仍可偏导仍
4、可偏导, , 则它们的偏导数就是原来函数则它们的偏导数就是原来函数 一般地一般地, , 若函数若函数 f (X) 的的 m1 阶偏导数仍可偏阶偏导数仍可偏 导导, ,则称其偏导数为原来函数的则称其偏导数为原来函数的 m 阶偏导数阶偏导数. . 二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数, , 其其中中, , 关于不同变量的高阶导数关于不同变量的高阶导数, , 称为混合偏导数称为混合偏导数. . 例例 高阶偏导数还可使用下列记号高阶偏导数还可使用下列记号高阶偏导数还可使用下列记号高阶偏导数还可使用下列记号 二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项 例例 例例 例
5、例 例例共共 23 = 8 项项. . 发现求高阶导数与求导顺序有关.求求的二阶偏导数的二阶偏导数. .先求一阶偏导数：先求一阶偏导数：再求二阶偏导数：再求二阶偏导数： 例例解解求求的二阶偏导数的二阶偏导数. . 例例解解二阶混合偏导数：二阶混合偏导数：观察 发现两个混合偏导数相等发现两个混合偏导数相等 一般性？一般性？这里的两个混合偏导数均连续设设求求需按定义求函数在点需按定义求函数在点(0, 0) 处的偏导数处的偏导数: :00 不相等不相等不相等不相等 例例解解这说明只有在一定的条件下求函数的高阶偏导数才与求导顺序无关.定理定理若的二阶混合偏导数在内存在且在点处连续,则必有 废话! 求出
6、偏导数才能判断连续性, 这时一眼就可看出混合偏导数是否相等了, 还要定理干什么. 有些函数不必求出其导数,就可知道它的导函数是否连续. 懂吗！令令则则连续、可导连续、可导, , 由拉格朗日中值定理得由拉格朗日中值定理得证证即即关于变量关于变量 y 再运用拉格朗日中值定理再运用拉格朗日中值定理, , 得得同理同理, , 令令则则先关于变量先关于变量 y 再关于变量再关于变量 x 运用拉格朗日中值定理运用拉格朗日中值定理, , 得得故故由二阶混合偏导数连续性由二阶混合偏导数连续性, , 取极限后取极限后, , 即得定理的结论即得定理的结论. . 该定理的结论可推广到更高阶的混合偏导数的情形该定理的
7、结论可推广到更高阶的混合偏导数的情形该定理的结论可推广到更高阶的混合偏导数的情形该定理的结论可推广到更高阶的混合偏导数的情形. . . .现在问你, 证明定理时为什么会想到用？ 看 图 课后再想是依次将一个变量看成常数求导.引入记号：记号：在在内有直到内有直到 k 阶的连续偏导数阶的连续偏导数, ,记为记为时时, , 则在求则在求n 阶及阶及n 阶以下的偏导数时阶以下的偏导数时, , 可大大减少运算可大大减少运算次数次数. .自变量的个数越多自变量的个数越多, , 求导与求导顺序无关的作用越求导与求导顺序无关的作用越二元函数的二元函数的n 阶偏导数就有阶偏导数就有2n 项项, , 当当 明显明
8、显. . 例例解解 例例解解 例例解解这是求隐函数的高阶偏导数这是求隐函数的高阶偏导数. . 请自己计算请自己计算 例例解解利用变量代换利用变量代换将将方程方程化为关于变量化为关于变量的方程的方程. . 令令 例例解解即即同理可得同理可得将上述偏导数带入原方程将上述偏导数带入原方程, , 得到得到 利用算子可以方便地表示 高阶微分 泰勒公式高高高高 阶阶阶阶 微微微微 分分分分若若则它的全微分则它的全微分存在存在, ,且且 若若则则11121 2 131 3 3 14系数： 例例解解 称为二阶 Hessian 矩阵二阶微分的矩阵表示：又又故故 例例解解 泰勒公式 与求多元函数的偏导数的方法类似
9、, 我们想借助一元函数的泰勒公式来建立多元函数的泰勒公式.首先首先, , 将一元函数的泰勒公式写成微分形式：将一元函数的泰勒公式写成微分形式： x 为自变量时 运用点函数进行推广定理(多元函数的泰勒公式)拉格朗日余项拉格朗日余项. . 该公式称为多元函数泰勒公式的微分形式该公式称为多元函数泰勒公式的微分形式该公式称为多元函数泰勒公式的微分形式该公式称为多元函数泰勒公式的微分形式由多元函数高阶微分式：多元函数的泰勒公式可写成一般形式： 证明多元函数泰勒公式的思想方法是 引入参变量，将多元函数的问题转化为相应的一引入参变量，将多元函数的问题转化为相应的一元函数问题，选择参变量的特殊值，写出一元函数的元函数问题，选择参变量的特殊值，写出一元函数的泰勒公式，并按多元函数的求导法则求所需的各阶偏泰勒公式，并按多元函数的求导法则求所需的各阶偏导数，即可完成多元函数的泰勒公式的证明导数，即可完成多元函数的泰勒公式的证明. .于是由一元函数的泰勒公式于是由一元函数的泰勒公式再按多元函数的求导法则求出各阶导数值再按多元函数的求导法则求出各阶导数值, , 即可得到即可得到多元函数的泰勒公式多元函数的泰勒公式. . 取取 X0= 0, 泰勒公式即为马克劳林公式泰勒公式即为马克劳林公式. . 即取 m = 0由已知条件及由已知条件及 X0 的任意性的任意性, , 立即可得立即可得 例例证证
