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1、一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念定义定义定义定义为阶方阵，为阶方阵，为数，为数， 为维非零向量，为维非零向量，若若则则称为称为的的特征值特征值，称为称为的的特征向量特征向量（）（）注注注注并不一定唯一；并不一定唯一；阶方阵阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组的特征值，就是使齐次线性方程组特征向量特征向量 ，特征值问题只针对与方阵；，特征值问题只针对与方阵；有非零解的有非零解的值，即满足值，即满足的的都是都是方阵方阵的特征值的特征值定义定义定义定义称以称以为未知数的一元次方程为未知数的一元次方程为为的的特征方程特征方程定义定
2、义定义定义称以称以为变量的一元次多项式为变量的一元次多项式为为的的特征多项式特征多项式定理定理定理定理设阶方阵的特征值为设阶方阵的特征值为则则证明证明证明证明 当是当是的特征值时，的特征值时，的特征多项的特征多项式可分解为式可分解为令令得得即即证明证明证明证明 因为行列式因为行列式它的展开式中，主对角线上元素的乘积它的展开式中，主对角线上元素的乘积是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至多含个主对角线上的元素，多含个主对角线上的元素，含的项只能在主对角线上元素的乘积项中含的项只能在主对角线上元素的乘积项中故有故有比较比较，有，有因此，特征
3、多项式中因此，特征多项式中定义定义定义定义 方阵方阵的主对角线上的元素之和称为方阵的主对角线上的元素之和称为方阵的的迹迹. .记为记为二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质推论推论推论推论 阶方阵阶方阵可逆可逆的个特征值全不为零的个特征值全不为零. .若数若数为可逆阵的为可逆阵的的特征值，的特征值，则则 为为 的特征值的特征值推论推论推论推论则则 为为 的特征值的特征值推论推论推论推论则则 为为 的特征值的特征值推论推论推论推论则则 为为 的特征值的特征值推论推论推论推论特别特别特别特别单位阵单位阵的一个的一个特征值为特征值为三
4、、应用举例三、应用举例三、应用举例三、应用举例、若、若为可逆阵为可逆阵的特征值，则的特征值，则的一个特征值为（）的一个特征值为（）、证阶方阵、证阶方阵的满足，则的满足，则的特征值为的特征值为或或、三阶方阵、三阶方阵的三个特征值为、，则的三个特征值为、，则（）（）、求下列方阵的特征值与特征向量、求下列方阵的特征值与特征向量四、特征向量的性质四、特征向量的性质四、特征向量的性质四、特征向量的性质定理定理定理定理 互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。定理定理定理定理 互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征向量并
5、在一块，所得的向量组仍然向量并在一块，所得的向量组仍然线性无关。线性无关。定理定理若阶矩阵若阶矩阵的任重的任重特征值特征值对应的线性无对应的线性无关的特征关的特征向量向量的个数不超过的个数不超过一、定义一、定义一、定义一、定义定义定义设设、都是阶矩阵，若有可逆矩阵都是阶矩阵，若有可逆矩阵，使得使得则称则称是是的的相似矩阵相似矩阵，或者说，或者说矩阵矩阵与与相似相似称为对称为对进进行行相似变换相似变换，对对进行运算进行运算可逆矩阵可逆矩阵称为把称为把变成变成的的相似相似变换矩阵变换矩阵记作记作：二、性质二、性质二、性质二、性质（1 1） 反身性：反身性：（2 2） 对称性：对称性：（3 3） 传
6、递性：传递性：；，则，则；，则，则；（4 4），则，则 （5 5），则，则 （6 6），且，且可逆，则可逆，则 定理定理若阶矩阵若阶矩阵与与相似，则相似，则与与有相同的特征有相同的特征多项式，从而多项式，从而与与有相同的特征值有相同的特征值推论推论若阶矩阵若阶矩阵与对角矩阵与对角矩阵相似，相似，就是就是的个特征值的个特征值则则而对而对对角阵对角阵有有则则若有可逆若有可逆矩阵矩阵使使（8 8），则，则的多项式的多项式特别特别 这样可以方便地计算这样可以方便地计算的多项式的多项式（7 7），则，则若能寻得相似变换矩阵若能寻得相似变换矩阵使使对阶方阵对阶方阵，称称之为之为把方阵把方阵对角化对角化三、
7、相似对角化三、相似对角化三、相似对角化三、相似对角化定理的推论说明，定理的推论说明，如果阶矩阵如果阶矩阵与对角矩阵与对角矩阵相相似，似，那么，使得那么，使得的的矩阵矩阵又是怎样构成的呢？又是怎样构成的呢？则则的主对角线上的元素就是的主对角线上的元素就是的全部特征值的全部特征值设存在设存在可逆，可逆， 使得使得有有于是有于是有因为因为可逆，可逆， 故故于是于是是是的个线性的个线性无无关的特征向量。关的特征向量。反之，反之，即即设设可逆，且可逆，且则则若若有个线性无关的特征向量有个线性无关的特征向量所以所以即即与对角矩阵与对角矩阵相似相似定理定理阶矩阵阶矩阵能与对角矩阵能与对角矩阵相似相似有阶线性
8、无关的特征向量有阶线性无关的特征向量推论推论如果阶矩阵如果阶矩阵有个不同的特征值，则矩阵有个不同的特征值，则矩阵注意注意中的列向量中的列向量的的排列顺序要与排列顺序要与的的顺序一致顺序一致（1 1）可相似对角化可相似对角化（2 2）是是的的基础解系中的解基础解系中的解向量，向量，因因的的取法不是唯一的，取法不是唯一的，故故因此因此也是也是不唯一的不唯一的（3 3）所以如果不计所以如果不计的的排列顺序，排列顺序，的根的根只有个（重根按重数计算）只有个（重根按重数计算）又又是是唯一的唯一的则则推论推论若阶矩阵若阶矩阵可相似对角化可相似对角化的任重的任重特征值特征值对应个线性无关的特征对应个线性无关
9、的特征向量向量例题：一、一、一、一、内积内积内积内积的定义与性质的定义与性质的定义与性质的定义与性质1 1 1 1、定义、定义、定义、定义设维设维实实向量向量称实数称实数为向量为向量与与的的内积内积，记作，记作注：注：注：注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有、性质、性质、性质、性质（1 1）对称性：）对称性：（2 2）线性性：）线性性：（3 3）正定性：）正定性：当且仅当当且仅当时时推广性质：推广性质：推广性质：推广性质：、长度的概念、长度的概念、长度的概念、长度的概念二、向量的长度与夹角二、向量的长度与夹角二、向量的长度与夹角二、向量的长度与夹
10、角令令为维向量为维向量的的长度长度（模模或或范数范数）. .特别特别特别特别 长度为的向量称为长度为的向量称为单位向量单位向量. .（1 1）正定性：）正定性：（2 2）齐次性：）齐次性：（3 3）三角不等式：）三角不等式：、性质、性质、性质、性质（4 4）柯西施瓦兹（）柯西施瓦兹（CauchyCauchySchwarzSchwarz）不等式）不等式: :当且仅当当且仅当与与的线性相关时，等号成立的线性相关时，等号成立. .注注注注 当当时，时，由非零向量由非零向量得到单位向量得到单位向量是是的的单位向量单位向量. .称为把称为把单位化单位化或或标准化标准化. .的过程的过程、夹角、夹角、夹角
11、、夹角设设 与与 为维空间的两个非零向量，为维空间的两个非零向量， 与与 的夹的夹角的余弦为角的余弦为因此因此 与与 的的夹角夹角为为例例解解练习练习三、正交向量组及其求法三、正交向量组及其求法三、正交向量组及其求法三、正交向量组及其求法1 1 1 1、正交、正交、正交、正交当当，称，称与与正交正交. .注注注注 若若 ，则，则与任何向量都正交与任何向量都正交. . 对于非零向量对于非零向量与与，2 2 2 2、正交组、正交组、正交组、正交组若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则这个向量组称为这个向量组称为正交向量组正交向量组，简称，简称正交组
12、正交组. .3 3 3 3、标准正交组、标准正交组、标准正交组、标准正交组由单位向量组成的正交组称为由单位向量组成的正交组称为标准正交组标准正交组. .定理定理定理定理4 4 4 4、性质、性质、性质、性质正交向量组必为线性无关组正交向量组必为线性无关组. .定理定理定理定理若向量若向量与与与与中每个向量都正交，中每个向量都正交，则则的任一线性组合也正交的任一线性组合也正交. .5 5 5 5、正交基、正交基、正交基、正交基若若正交向量组正交向量组则称则称为向量空间为向量空间上的一个上的一个正交基正交基. .为向量空间为向量空间上的一个基，上的一个基，6 6 6 6、标准正交基、标准正交基、标
13、准正交基、标准正交基若标准若标准正交组正交组则称则称为向量空间为向量空间上的一个上的一个标准正交基标准正交基. .为向量空间为向量空间上的一个基，上的一个基，7 7 7 7、施密特（、施密特（、施密特（、施密特（SchmidtSchmidtSchmidtSchmidt）正交化法）正交化法）正交化法）正交化法设设是是向量空间向量空间的一个基，要求向量空的一个基，要求向量空间间的一个标准正交基，就是的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单要找到一组两两正交的单位向量位向量，使，使与与等价，等价，此问题称为把此问题称为把这组基这组基标准正交化标准正交化. .1 1）正交化）正交化令令就就得到得到
14、的一个标准正交向量组的一个标准正交向量组. .的一组标准正交基的一组标准正交基. .如果如果上述方法称为施密特上述方法称为施密特（SchmidtSchmidtSchmidtSchmidt）正交化法正交化法. .2 2）标准化）标准化令令是是的一组基，则的一组基，则就是就是注注注注则则两两正交，且与两两正交，且与等价等价. .上述上述方法中的两个向量组对任意的方法中的两个向量组对任意的与与都是等价的都是等价的. .四、应用举例四、应用举例四、应用举例四、应用举例例例例例1 1 1 1证明：中，勾股定理证明：中，勾股定理成立成立的充要条件是正交的充要条件是正交. .解解解解所以所以成立的充要条件是
15、成立的充要条件是即正交即正交. .已知三维向量空间中，已知三维向量空间中，例例例例2 2 2 2正交，正交，试求试求是三维向量空间的一个正交基是三维向量空间的一个正交基. .解解解解 设设则则即即例例例例4 4 4 4已知向量已知向量求的一个标准求的一个标准正交基正交基.解解解解 设非零向量设非零向量 都于正交，都于正交，即满足方程即满足方程或或其基础解系为其基础解系为令令1 1）正交化）正交化令令2 2）标准化）标准化令令五、正交矩阵和正交变换五、正交矩阵和正交变换五、正交矩阵和正交变换五、正交矩阵和正交变换五、正交矩阵和正交变换五、正交矩阵和正交变换1 1、定义、定义如果阶矩阵满足：如果阶
16、矩阵满足：则称则称为为正交矩阵正交矩阵. .则则可可表示为表示为若若按列分块表示为按列分块表示为亦即亦即其中其中 的列向量是标准正交组的列向量是标准正交组. .的一个标准正交基的一个标准正交基. .正交矩阵正交矩阵的个列（行）向量构成向量空间的个列（行）向量构成向量空间2 2 2 2、正交矩阵的充要条件、正交矩阵的充要条件、正交矩阵的充要条件、正交矩阵的充要条件 的行向量是标准正交组的行向量是标准正交组. .注注注注3 3 3 3、正交变换、正交变换、正交变换、正交变换若若为正交矩阵，则为正交矩阵，则= =线性变换称为线性变换称为正交变换正交变换. .设设= =为为正交变换正交变换，则有，则有
17、经经正交变换后向量的长度保持不变正交变换后向量的长度保持不变, ,内积保持不变内积保持不变, ,注注注注从而从而夹角保持不变夹角保持不变. .判断下列矩阵是否为正交矩阵判断下列矩阵是否为正交矩阵. .定理定理定理定理对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数. .说明说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指均指实对称矩阵实对称矩阵定理定理定理定理对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交. .定理定理定理定理若阶若阶对称对称阵阵的任重的任重特征值对应的线性特征值对应的线性无关的特征无关的特征向量恰有个向量恰有个（不
18、证）（不证）定理定理定理定理若若为为阶阶对称对称阵，则必有正交阵，则必有正交矩阵矩阵，使得，使得六、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质六、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质六、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质六、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：为对角矩阵，其具体步骤为：将特征向量正交化将特征向量正交化; ;3.3.将特征向量单位化将特征向量单位化. .4.4.2.2.1.1.二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法例例设矩阵设矩阵求一个正交矩阵求一个正交矩阵P，使得，使得为对角阵。为对角阵。例例设三阶对称矩阵设三阶对称矩阵A A的特征值为的特征值为1,2,3;1,2,3;矩阵矩阵A A的属于的属于特征值特征值1 1，2 2的特征向量分别为的特征向量分别为（1）A A的属于特征值的属于特征值3 3的特征向量的特征向量。（2）求矩阵求矩阵A A。
