有限离散Fourier变换DFT

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1、1第四章 离散序列 第四章第四章 离散序列离散序列 4.1 有限离散有限离散 Fourier 变换变换( (DFT) ) 4.2 快速快速 Fourier 变换变换( (FFT) ) 4.3 DFT 和和 FFT 的应用的应用 4.4 频谱分析实验频谱分析实验 2第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 4.1 有限离散有限离散 Fourier 变换变换( (DFT) ) 一、一、离散序列的离散序列的 Fourier 变换变换 二二、离散序列的离散序列的卷积与卷积定理卷积与卷积定理 三三、离散时间信号与离散序列的对比离散时间信号与离散序列的对比 四四、有限离散

2、有限离散 Fourier 变换变换( (DFT) ) 五五、DFT 的基本性质的基本性质 3第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 一、一、离散序列的离散序列的 Fourier 变换变换 引言引言 在实际问题中，并不是任何信号都与时间有关，也许在实际问题中，并不是任何信号都与时间有关，也许 仅仅是由一些仅仅是由一些( (物理物理) )数据所构成的序列。数据所构成的序列。 这些序列与离散时间信号的表现形式是一样的，因而这些序列与离散时间信号的表现形式是一样的，因而 同样可以像离散同样可以像离散 时间信号一样时间信号一样 进行进行 Fourier 变变 换以及换

3、以及 频谱分析。频谱分析。 对于对于( (纯粹的纯粹的) )离散序列，由于与时间没有关系，因而离散序列，由于与时间没有关系，因而 也就没有所谓的频率，但是仍然可以借用这一概念来也就没有所谓的频率，但是仍然可以借用这一概念来 反映数据变化的快慢。反映数据变化的快慢。 4第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 一、一、离散序列的离散序列的 Fourier 变换变换 1. 离散序列离散序列 示示 意意 图图 定义定义 称称 为离散序列，简记为为离散序列，简记为 或或 或或 2. 离散序列的离散序列的 Fourier 变换变换 正变换正变换 反变换反变换 事实上，将

4、离散时间序列事实上，将离散时间序列 的的 Fourier 变换中的采样间隔变换中的采样间隔 取为取为 1，即得到上述结果。，即得到上述结果。 5第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 一、一、离散序列的离散序列的 Fourier 变换变换 3. 物理意义物理意义 (1) 称称 为为 的的频谱密度函数频谱密度函数( (简称为简称为频谱频谱) )， 定义定义 它是以它是以 1 为周期的周期函数。为周期的周期函数。 (2) 称称 为为振幅谱振幅谱；称称 为为相位谱相位谱。 Fourier 第第 五五 对对 傅傅 氏氏 变变 换换 非非周期周期 离散离散 连续连续

5、周期周期 6第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 已知离散序列已知离散序列 的频谱为的频谱为 例例 求序列求序列 根据欧拉公式，有根据欧拉公式，有 解解 即得即得 7第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 二二、离散序列的离散序列的卷积与卷积定理卷积与卷积定理 1. 卷积卷积 设有离散序列设有离散序列 与与 ，称，称 定义定义 为为 与与 的的( (线性线性) )卷积卷积，记为记为 交换律交换律 性质性质 结合律结合律 分配律分配律 2. 卷积定理卷积定理 设设 ，则，则 定理定理 8第四章 离散序列 4.1 有限离散

6、Fourier 变换( (DFT) ) 二二、离散序列的离散序列的卷积与卷积定理卷积与卷积定理 3. 卷积的计算过程卷积的计算过程 左移左移 方法一方法一 ( (线上操作线上操作) ) ( (对应相乘求和对应相乘求和) ) (1) 不动不动 反转反转 右移右移 (2) 不动不动 不动不动 (3) (4) 进一步移动进一步移动 并并对应相乘求和，即得其余的对应相乘求和，即得其余的 。 9第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 二二、离散序列的离散序列的卷积与卷积定理卷积与卷积定理 3. 卷积的计算过程卷积的计算过程 方法二方法二 ( (表上操作，适合于表上操作

7、，适合于右边序列右边序列) ) (1) (2) 沿沿 “斜线斜线” 求和，即得求和，即得 。 10第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 方法一方法一 解解 * * 已知序列已知序列 和和 分别为：分别为： 求线性卷积求线性卷积 * * 。 其它其它 其它其它 例例 11第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 方法二方法二 ( n 为其它为其它 ) 解解 已知序列已知序列 和和 分别为：分别为： 求线性卷积求线性卷积 * * 。 其它其它 其它其它 例例 12第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (D

8、FT) ) 解解 已知序列已知序列 和和 分别为：分别为： 求线性卷积求线性卷积 * * 。 例例 利用了利用了 交换律交换律 (1) (2) 当当 时，时， (3) 当当 时，时， 13第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 已知序列已知序列 和和 分别为：分别为： 求线性卷积求线性卷积 例例 * * 解解 其它其它。 (1) 当当 时，时， 14第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 当当 时，时， (2) 已知序列已知序列 和和 分别为：分别为： 求线性卷积求线性卷积 例例 * * 解解 其它其它。 15第四章 离散

9、序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) (3) 当当 时，时， 解解 已知序列已知序列 和和 分别为：分别为： 求线性卷积求线性卷积 例例 * * 16第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 三三、离散时间信号与离散序列的对比离散时间信号与离散序列的对比 1. 频谱函数之间的关系频谱函数之间的关系 关系关系 设设 为离散时间信号，为离散时间信号， 为对应的离散序列，为对应的离散序列， 即即 ， 则有则有 17第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 三三、离散时间信号与离散序列的对比离散时间信号与离散

10、序列的对比 2. 卷积之间的关系卷积之间的关系 设设 和和 为两个离散时间信号，为两个离散时间信号， 对应的离散序列，对应的离散序列， 即即 ， 记为记为 记为记为 关系关系 弄清楚离散时间信号与离散序列之间的关系后，下面就只需弄清楚离散时间信号与离散序列之间的关系后，下面就只需 讨论离散序列的讨论离散序列的计算机实现计算机实现问题了。问题了。 和和 为为 则则 18第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 四四、有限离散有限离散 Fourier 变换变换( (DFT) ) 因此，还需要找到这样一种因此，还需要找到这样一种 Fourier 变换公式：变换公式：

11、 引言引言 通过前面的讨论，已得到了如下一些通过前面的讨论，已得到了如下一些 Fourier 变换：变换： 连续周期信号连续周期信号 离散频谱函数离散频谱函数 连续有限信号连续有限信号 离散频谱函数离散频谱函数 连续非周期信号连续非周期信号 连续频谱函数连续频谱函数 离散时间信号离散时间信号 连续频谱函数连续频谱函数 离散序列离散序列 连续频谱函数连续频谱函数 但是，所有这些变换都不适宜在数字计算机上完成，但是，所有这些变换都不适宜在数字计算机上完成， 有限离散有限离散 有限离散有限离散 19第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 四四、有限离散有限离散 F

12、ourier 变换变换( (DFT) ) 1. 有限离散序列的有限离散序列的 Fourier 变换变换 考虑考虑长度为长度为 N 的有限离散序列的有限离散序列 已有的变换公式，可得其已有的变换公式，可得其 Fourier 变换为：变换为： 可见，有限离散序列的频谱仍为连续函数，且是周期为可见，有限离散序列的频谱仍为连续函数，且是周期为 1 的周期函数。的周期函数。 按照前面按照前面 因此，首先需要将频谱函数离散化。因此，首先需要将频谱函数离散化。 20第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 四四、有限离散有限离散 Fourier 变换变换( (DFT) )

13、2. 频谱函数离散化频谱函数离散化 长度为长度为 N 的有限个离散值为：的有限个离散值为： 将将 区间区间 N 等分，等分， 则得到则得到 的的 记记 21第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 四四、有限离散有限离散 Fourier 变换变换( (DFT) ) 2. 频谱函数离散化频谱函数离散化 ( (?) ) 不能构成不能构成 一对变换一对变换 问题问题 仅由频谱函数仅由频谱函数 的的 N 个离散值个离散值 能否精确得到能否精确得到 ? 记记 分析分析 则有则有 22第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 四四、有限离

14、散有限离散 Fourier 变换变换( (DFT) ) 2. 频谱函数离散化频谱函数离散化 记记 则有则有 分析分析 即即 因此，只需证矩阵因此，只需证矩阵 A 可逆并求出其逆矩阵即可。可逆并求出其逆矩阵即可。 A 23第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 四四、有限离散有限离散 Fourier 变换变换( (DFT) ) 3. 矩阵矩阵 A 的性质的性质 性质性质1 对称性对称性 性质性质2 正交性正交性 记为记为 其中其中 证明证明 (1) 24第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 四四、有限离散有限离散 Four

15、ier 变换变换( (DFT) ) 3. 矩阵矩阵 A 的性质的性质 性质性质1 对称性对称性 性质性质2 正交性正交性 证明证明 (1) 其中其中 (2) 当当 时，时， 当当 时，时， 25第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 四四、有限离散有限离散 Fourier 变换变换( (DFT) ) 3. 矩阵矩阵 A 的性质的性质 性质性质1 对称性对称性 性质性质2 正交性正交性 由此有由此有 26第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 四四、有限离散有限离散 Fourier 变换变换( (DFT) ) 4. 有限离散

16、有限离散 Fourier 变换变换( (DFT) ) ( (正变换正变换) ) DFT: IDFT: 记记 ( (称为称为旋转因子旋转因子) )， ( (逆变换逆变换) ) ( (反变换反变换) ) 则有则有 27第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 四四、有限离散有限离散 Fourier 变换变换( (DFT) ) 5. 物理意义物理意义 Fourier 第第 六六 对对 傅傅 氏氏 变变 换换 有限有限 离散离散 离散离散 有限有限 为函数为函数 在在 区间上的区间上的 N 个等距的离散值，个等距的离散值， 其中其中 为序列为序列 的连续频谱函数。的连

17、续频谱函数。 28第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 四四、有限离散有限离散 Fourier 变换变换( (DFT) ) 6. 几点说明几点说明 则由则由 有有 如果不考虑具体的物理意义，则变换式中的如果不考虑具体的物理意义，则变换式中的 以及指数以及指数的正负号是可以互换的。的正负号是可以互换的。 即即 为为 在在 区间上的区间上的 N 个等距的离散值，个等距的离散值， 其中其中 为离散时间序列为离散时间序列 的连续频谱函数。的连续频谱函数。 若若 为离散时间信号为离散时间信号 ， 29第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DF

18、T) ) 四四、有限离散有限离散 Fourier 变换变换( (DFT) ) 6. 几点说明几点说明 对于复数序列，变换公式也是成立的。对于复数序列，变换公式也是成立的。 变换公式还可以写成如下的形式：变换公式还可以写成如下的形式： 因此在计算机实现时，只需编写一个正变换的核心程序。因此在计算机实现时，只需编写一个正变换的核心程序。 输入输入 取共轭取共轭 除以除以N 输出输出 正变换正变换 ( (DFT) )取共轭取共轭 IDFT：30第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 五五、DFT 的基本性质的基本性质 1. 求和性质求和性质 2. 线性性质线性性质

19、 则则 若若 且且 a , b 为任意常数，为任意常数， 3. 对偶性质对偶性质 若若 ( (以以 为信号序列为信号序列) ) 则则 ( (以以 为信号序列为信号序列) ) 31第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 4. 共轭对称共轭对称性质性质 五五、DFT 的基本性质的基本性质 若若 且且 为实信号，为实信号， 则则 证明证明 32第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 5. 时移性质时移性质 五五、DFT 的基本性质的基本性质 若若 m 为任意整数，为任意整数， 则则 注注 这里的时移序列这里的时移序列 是序列是序

20、列 的的循环位移循环位移。 例如例如 将如图所示的序列将如图所示的序列 分别向右和向左循环位移分别向右和向左循环位移 3 位。位。 ( (向右向右) ) ( (向左向左) ) 33第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 6. 频频移性质移性质 五五、DFT 的基本性质的基本性质 若若 m 为任意整数，为任意整数， 则则 注注 这里的频移序列这里的频移序列 是序列是序列 的的循环位移循环位移。 频移性质表明，若离散序列频移性质表明，若离散序列 乘以指数项乘以指数项 则其则其 离散傅里叶变换离散傅里叶变换 就向右就向右( ( ) )或向左或向左( ( ) )循环

21、循环 位移位移 位。位。 该性质被应用于调制信号的该性质被应用于调制信号的频谱搬移频谱搬移。 34第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 若若 m 为任意整数，为任意整数， 6. 频频移性质移性质 五五、DFT 的基本性质的基本性质 则则 特别特别 当当 时，时， 即得即得 ( (称此为称此为中心中心 DFT ) ) 中心中心 DFT 35第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 五五、DFT 的基本性质的基本性质 7. 帕塞瓦尔帕塞瓦尔( (Parseval) )等式等式 则则 若若 证明证明 特别特别 令令 ( (能量守

22、恒能量守恒) ) 有有 36第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 五五、DFT 的基本性质的基本性质 8. 周期性质周期性质 令令 则则 和和 都是周期为都是周期为 N 的周期序列。的周期序列。 若若 周期延拓，周期延拓， 其它。其它。 周期延拓，周期延拓， 其它；其它； 即即 37第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 五五、DFT 的基本性质的基本性质 8. 周期性质周期性质 证明证明 ( (只证其中一个只证其中一个) ) 令令 则则 Fourier 第第 七七 对对 傅傅 氏氏 变变 换换 周期周期 离散离散 离散

23、离散 周期周期 ( (最最 后后一一对对) ) 38第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 为为 ，序列，序列 满足满足 五、已知有限序列五、已知有限序列 的离散的离散 Fourier 变换变换( (DFT) ) 求序列求序列 的离散的离散 Fourier 变换变换 解解 已知已知 又根据欧拉公式有：又根据欧拉公式有： 39第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 解解 其中其中 周期延拓周期延拓， 其它。其它。 为为 ，序列，序列 满足满足 五、已知有限序列五、已知有限序列 的离散的离散 Fourier 变换变换( (DFT) ) 求序列求序列 的离散的离散 Fourier 变换变换 40第四章 离散序列 4.1 有限离散 Fourier 变换( (DFT) ) 休息一下