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1、练习 11. 问题情境：如图 1，AB CD，PAB = 130，PCD = 120，求 APC 的度数小明的思路是过点 P 作 PE AB，通过平行线的性质来求 APC (1) 按照小明的思路，求 APC 的度数； (2) 问题迁移：如图 2，AB CD，点 P 在射线 ON 上运动，记 PAB = ，PCD = ，当点P 在 B，D 两点之间运动时，问 APC 与 ， 之间有何数量关系？请说明理由； (3) 在(2)的条件下，如果点 P 不在 B，D 两点之间运动时(点 P 与点 O，B，D 三点不重合)，请直接写出 APC 与 ， 之间的数量关系 (1) 过点 P 作 P E AB， A
2、B CD， P E AB CD， A + AP E = 180， C + CP E = 180， P AB = 130， P CD = 120， AP E = 50，CP E = 60， AP C = AP E + CP E = 110 (2) AP C = + 理由：如图 2，过 P 作 P E AB 交 AC 于 E， AB CD， P E CD， = AP E， = CP E， AP C = AP E + CP E = + (3) 如图 3 所示， 当 P 在 BD 延长线上时， CP A = ； 如图 4 所示， 当 P 在 DB 延长线上时， CP A = 24. 问题情境：如图1，
3、AB CD，判断 ABP， CDP， BPD之间的数量关系 小明的思路：如图2，过点P作PE AB，通过平行线性质，可得 ABP+ CDP+ BPD= 问题迁移：AB CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，点P在直线EF上(点P与点E，F不重合)运动 (1) 当点P在线段EF上运动时，如图3，判断 ABP， CDP， BPD之间的数量关系，并说明理由； (2) 当点P不在线段EF上运动时，(1)中的结论是否成立，若成立，请你说明理由；若不成立，请你在备用图上画出图形，并直接写出 ABP， CDP， BPD之间的数量关系 解：过点P作PE AB， 则PE CD， ABP+ BPE=180
4、， DPE+ CDP=180 ， ABP+ BPE+ DPE+ CDP=360 ， BPD= BPE+ DPE， ABP+ CDP+ BPD=360 ， 故答案为：360； (1) ABP+ CDP= BPD； 证明：如图1，过点P作PQ AB， AB CD， AB PQ CD， B= 1， D= 2， BPD= 1+ 2= B+ D； (2) 不成立，关系式是： B- D= BPD，或 D- B= BPD， 理由：如图2，过点P作PQ AB， AB CD， AB PQ CD， BPQ= B， D= DPQ， B- D= BPQ- DPQ= BPD， 即 BPQ= B- D 如图3，同理 D-
5、 B= BPD与点三点不重合请直接写出与之间的数量关系过点作理由如图过作交于如图所示当在延长线上时如图所示当在延长线在直线上点与点不重合运动当点在线段上运动时如图判断之间的数量关系并说明理由当点不在线段上运动时中的结论证明如图过点作不成立关系式是或理由如图过点作即如图同理如图已知平面内有两条直线且为一动点当点移动到之间 25. 如图，已知平面内有两条直线AB、CD，且AB CD，P为一动点 (1) 当点P移动到AB、CD之间时，如图(1)，这时 P与 A、 C有怎样的关系？证明你的结论； (2)当点P移动到图(2)、图(3)的位置时， P、 A、 C又有怎样的关系？请分别写出你的结论 解 ：(
6、1) APC= A+ C 证明：如图1，过点P作PE AB， AB CD， AB CD PE， A= APE， C= CPE， APC= APE+ CPE= A+ C (2)如图2， APC+ A+ C=360 ， 理由：过点P作PE AB， AB CD， CD PE， A+ APE=180 ， C+ CPE=180 ， APC+ A+ C=360 ； 如图3， APC= C-A 理由：过点P作PEAB， AB CD， AB CD PE， C= CPE， A= APE， APC= CPE- APE= C- A 与点三点不重合请直接写出与之间的数量关系过点作理由如图过作交于如图所示当在延长线上时
7、如图所示当在延长线在直线上点与点不重合运动当点在线段上运动时如图判断之间的数量关系并说明理由当点不在线段上运动时中的结论证明如图过点作不成立关系式是或理由如图过点作即如图同理如图已知平面内有两条直线且为一动点当点移动到之间26. 如图(1)所示，是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么你可深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“ 木尺断口问题” 如图(2)所示，已知AB CD，请问 B， D， E有何关系并说明理由； 如图(3)所示，已知AB CD，请问 B， E， D又有何关系并说明理由； 如图(4)所示，已知AB CD请问 E+ G与 B+
8、 F+ D有何关系并说明理由 解：如图所示： 过E作EM AB， AB CD，则EM CD， 故EM AB CD， MEB= B， MED= D， B+ D= E； 过E作EM AB，根据平行线的传递性，则EM CD 故EM AB CD， MEB+ B=180 ， MED+ D=180 ， B+ E+ D=360 ； 分别过E，F，G作AB 的平行线， 则 1= B， 2= 3， 4= 5， 6= D， 1+ 2+ 5+ 6= B+ 3+ 4+ D， 即， E+ G= B+ F+ D 与点三点不重合请直接写出与之间的数量关系过点作理由如图过作交于如图所示当在延长线上时如图所示当在延长线在直线上
9、点与点不重合运动当点在线段上运动时如图判断之间的数量关系并说明理由当点不在线段上运动时中的结论证明如图过点作不成立关系式是或理由如图过点作即如图同理如图已知平面内有两条直线且为一动点当点移动到之间27. 已知直线l1 l2，直线l3与l1、l2分别交于C、D两点，点P是直线l3上的一动点 (1) 如图，若动点P在线段CD之间运动(不与C、D两点重合)，问在点P的运动过程中是否始终具有 3+ 1= 2这一相等关系？试说明理由； (2) 如图，当动点P在线段CD之外且在的上方运动(不与C、D两点重合)，则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由； (3) 请画出动点P在线段CD之外
10、且在直线的下方运动(不与C、D两点重合)时的图形，并仿照图、图 标出 1， 2， 3，此时 1， 2， 3之间有何等量关系，请直接写出结论，不必说明理由 解：(1) 3+ 1= 2成立， 理由如下： 过点P作PE l1 ，如图， 1= APE， l1 l2 ， PE l2 ， 3= BPE， BPE+ APE= 2， 3+ 1= 2； (3) 3+ 1= 2不成立，新的结论为 3- 1= 2 理由为： 过点P作PE l1 ，如图 1= APE， l1 l2 ， PE l2 ， 3= BPE， BPE- APE= 2， 3- 1= 2 (3)如图所示， 1- 2= 3 与点三点不重合请直接写出与之间的数量关系过点作理由如图过作交于如图所示当在延长线上时如图所示当在延长线在直线上点与点不重合运动当点在线段上运动时如图判断之间的数量关系并说明理由当点不在线段上运动时中的结论证明如图过点作不成立关系式是或理由如图过点作即如图同理如图已知平面内有两条直线且为一动点当点移动到之间
