§1-3§1-3 几何作图几何作图§1-3 §1-3 几何作图几何作图一、圆周的等分和正多边形一、圆周的等分和正多边形二、斜度和锥度二、斜度和锥度三、圆弧连接三、圆弧连接四、工程上常见的平面曲线四、工程上常见的平面曲线 §1-3§1-3 几何作图几何作图一、圆周的等分和正多边形1.1.六等分圆周和正六边形六等分圆周和正六边形R=D/2D 方法一方法一: : 使用圆规，用半径六等分圆周，绘制正六边形使用圆规，用半径六等分圆周，绘制正六边形 §1-3§1-3 几何作图几何作图一、圆周的等分和正多边形D1.1.六等分圆周和正六边形六等分圆周和正六边形方法二方法二: : 使用丁字尺、使用丁字尺、30° — 60° 三角板绘制正六边三角板绘制正六边形 §1-3§1-3 几何作图几何作图一、圆周的等分和正多边形D1.1.六等分圆周和正六边形六等分圆周和正六边形方法二方法二: : 使用丁字尺、使用丁字尺、30° — 60° 三角板绘制正六边三角板绘制正六边形 §1-3§1-3 几何作图几何作图一、圆周的等分和正多边形D1.1.六等分圆周和正六边形六等分圆周和正六边形方法二方法二: : 使用丁字尺、使用丁字尺、30° — 60° 三角板绘制正六边三角板绘制正六边形。
形 §1-3§1-3 几何作图几何作图一、圆周的等分和正多边形D1.1.六等分圆周和正六边形六等分圆周和正六边形方法二方法二: : 使用丁字尺、使用丁字尺、30° — 60° 三角板绘制正六边三角板绘制正六边形 §1-3§1-3 几何作图几何作图一、圆周的等分和正多边形D1.1.六等分圆周和正六边形六等分圆周和正六边形方法二方法二: : 使用丁字尺、使用丁字尺、30° — 60° 三角板绘制正六边三角板绘制正六边形 §1-3§1-3 几何作图几何作图一、圆周的等分和正多边形D1.1.六等分圆周和正六边形六等分圆周和正六边形方法二方法二: : 使用丁字尺、使用丁字尺、30° — 60° 三角板绘制正六边三角板绘制正六边形 §1-3§1-3 几何作图几何作图一、圆周的等分和正多边形2.2.五等分圆周和正五边形五等分圆周和正五边形oABCDDDPHEIFG作图步骤作图步骤:•确定确定OB 的中点的中点P ;•以以PC 为半径为半径, 确定确定H ;(CH 为五边形的边长为五边形的边长)•以以C 为圆心为圆心, CH 为半径为半径,求求E 和和 I ;•分别以分别以E 、、I 为圆心为圆心, CH 为半径为半径, 求求F 和和G ；；•依次连点得五边形。
依次连点得五边形 §1-3§1-3 几何作图几何作图一、圆周的等分和正多边形2.2.五等分圆周和正五边形五等分圆周和正五边形oCDEIFG §1-3§1-3 几何作图几何作图二、斜度和锥度1.1.斜度斜度1:2h30°§ 斜度符号：斜度符号：§ 定义：一条直线相对于另一条直线倾斜的程度定义：一条直线相对于另一条直线倾斜的程度tanα= H / L——1:nL H§ 斜度符号的标注：符号方向应与斜度方向一致斜度符号的标注：符号方向应与斜度方向一致举例：举例：α §1-3§1-3 几何作图几何作图32二、斜度和锥度n举例：以举例：以1:1 1:1 的的比例抄画下图所示平面图形比例抄画下图所示平面图形5013.8 7 7a10a1:103213.875071:10 §1-3§1-3 几何作图几何作图二、斜度和锥度n举例：以举例：以1:11:1 的的比例抄画下图所示平面图形比例抄画下图所示平面图形5013.8 7 7a10a1:10323213.875071:10 §1-3§1-3 几何作图几何作图二、斜度和锥度n举例：以举例：以1:11:1 的的比例抄画下图所示平面图形。
比例抄画下图所示平面图形5013.87 71:10323213.875071:10 §1-3§1-3 几何作图几何作图二、斜度和锥度2.2.锥度锥度§ 锥度符号：按下图绘制锥度符号：按下图绘制§定义：圆锥的底圆直径与其高之比定义：圆锥的底圆直径与其高之比tanα = H / 2LLH§ 锥度符号的标注：符号方向应与锥度方向一致锥度符号的标注：符号方向应与锥度方向一致α1:41.4h30°2tanα = H / L——1:n1:7 §1-3§1-3 几何作图几何作图50二、斜度和锥度n举例：以举例：以1:11:1 的的比例抄画下图所示平面图形比例抄画下图所示平面图形52φ40φ4052101:5 §1-3§1-3 几何作图几何作图50二、斜度和锥度n举例：以举例：以1:11:1 的的比例抄画下图所示平面图形比例抄画下图所示平面图形52φ401:5φ4052101:5 §1-3§1-3 几何作图几何作图三、圆弧连接n什么是圆弧连接什么是圆弧连接? ?R35R16R12用圆弧连用圆弧连接两圆弧接两圆弧用圆弧连接一用圆弧连接一直线和一圆弧直线和一圆弧用圆弧连用圆弧连接两直线接两直线§光滑作图的关键：确定光滑作图的关键：确定连接圆弧连接圆弧的的圆心圆心和和切点切点。
即用即用半径已知的圆弧半径已知的圆弧去去光滑连接光滑连接两已知线段的作图，两已知线段的作图， 其中，该圆弧其中，该圆弧称为称为连接圆弧连接圆弧 §1-3§1-3 几何作图几何作图三、圆弧连接n圆弧连接的作图原理圆弧连接的作图原理与已知直线相切与已知直线相切R Rooot 连接圆弧的连接圆弧的圆心轨迹圆心轨迹在一条与已知直线平行，距离为在一条与已知直线平行，距离为R（连接圆弧的半径）的直线上连接圆弧的半径）的直线上 切点切点为由连接圆弧的圆心向已知直线所作垂线的垂足为由连接圆弧的圆心向已知直线所作垂线的垂足已知直线已知直线连接圆弧连接圆弧圆心轨迹圆心轨迹切点切点 §1-3§1-3 几何作图几何作图切点切点三、圆弧连接n圆弧连接的作图原理圆弧连接的作图原理与已知圆弧相切与已知圆弧相切—外切外切R1RtR1+Rt连接圆弧的连接圆弧的圆心圆心在与已知圆同心的圆周上，半径为在与已知圆同心的圆周上，半径为R1+R ；；圆心轨迹？圆心轨迹？已知圆已知圆连接圆弧连接圆弧圆心轨迹圆心轨迹切点在已知圆的圆心和连接圆弧的圆心的连线上切点在已知圆的圆心和连接圆弧的圆心的连线上。
§1-3§1-3 几何作图几何作图R切点切点三、圆弧连接n圆弧连接的作图原理圆弧连接的作图原理与已知圆弧相切与已知圆弧相切—内切内切R1R2t连接圆弧的连接圆弧的圆心圆心在与已知圆在与已知圆同心同心的圆周上，其半径为的圆周上，其半径为R1-R 圆心轨迹？圆心轨迹？已知圆已知圆连接圆弧连接圆弧圆心轨迹圆心轨迹R2 = R1-R切点在已知圆的圆心和连接圆弧的圆心的连线上切点在已知圆的圆心和连接圆弧的圆心的连线上 §1-3§1-3 几何作图几何作图三、圆弧连接n圆弧连接作图举例圆弧连接作图举例两直线成钝角两直线成钝角两直线成锐角两直线成锐角两直线成直角两直线成直角1.1.用半径为用半径为R 的圆弧连接两已知直线的圆弧连接两已知直线 ROOt R ROR Rt RR tt t t §1-3§1-3 几何作图几何作图三、圆弧连接n圆弧连接作图举例圆弧连接作图举例2.2.用半径为用半径为R 的圆弧连接两已知直线和圆弧的圆弧连接两已知直线和圆弧RO1 R1 Ot 1 RR1+Rt 2 §1-3§1-3 几何作图几何作图三、圆弧连接n圆弧连接作图举例圆弧连接作图举例3.3.用半径为用半径为R 的圆弧外切两已知圆弧。
的圆弧外切两已知圆弧RO1 O2 R2 R1 R1+RR2+RRt2t1O §1-3§1-3 几何作图几何作图四、工程上常用的曲线工程上常用的曲线工程上常用的曲线有：有：1.1.椭圆椭圆2.2.抛物线抛物线3.3.双曲线双曲线4.4.阿基米德螺线阿基米德螺线5.5.圆的渐开线圆的渐开线6.6.摆线摆线以下逐一介绍各类曲线的画法以下逐一介绍各类曲线的画法 §1-3§1-3 几何作图几何作图四、工程上常用的曲线已知长、短轴已知长、短轴——同心圆法同心圆法绘制椭圆绘制椭圆1.1.椭圆椭圆1)1)分别以长、短轴为直径画同心圆；分别以长、短轴为直径画同心圆；2)2)N 等分圆周（大圆和小圆分成相等分圆周（大圆和小圆分成相同的等分）；同的等分）；3)3)过大圆上各分点画短轴的平行线；过大圆上各分点画短轴的平行线；4)4)过小圆上各分点画长轴的平行线；过小圆上各分点画长轴的平行线；5)5)连接相应平行线的交点得椭圆连接相应平行线的交点得椭圆作图步骤：作图步骤： §1-3§1-3 几何作图几何作图四、工程上常用的曲线已知长、短轴已知长、短轴——四心扁圆法四心扁圆法画画近似近似椭圆1.1.椭圆椭圆ABCDFO12 O3 OO4O1)1)连接长短轴端点连接长短轴端点AC ; ;2)2)向上、下延长短轴向上、下延长短轴CD ; ;3)3)以以O点为圆心画弧点为圆心画弧 AE ; ;4)4)以以C点为圆心画弧点为圆心画弧EFEF交交AC 于于F ; ;5)5)作作AF 的中垂线交的中垂线交AB于于O1，， 交交CD 于于O2 ; ;6)6)求求O1、、O2 的对称点的对称点O3、、O4 ; ;7)7)分别以分别以O1、、O2、、O3、、O4为为 圆心画弧。
圆心画弧EABCDO作图步骤：作图步骤： §1-3§1-3 几何作图几何作图焦点焦点顶点顶点四、工程上常用的曲线 一动点到一焦点和定直线的距离相等一动点到一焦点和定直线的距离相等,该动点该动点的轨迹即为抛物线的轨迹即为抛物线2.2.抛物线抛物线1)1)画主轴，定顶点画主轴，定顶点A ( (FM 中点中点) )；；3)3)以以F 为圆心分别以为圆心分别以M1、M2、 M3 为半径画弧；为半径画弧；4)4)将各点依次光滑连线即可将各点依次光滑连线即可画图方法如下：画图方法如下：AF导线导线主轴主轴已知导线和焦点，绘制抛物线已知导线和焦点，绘制抛物线2)2)在主轴上任取在主轴上任取1、2、3 ... 点；点；1234过各点作导线的平行线；过各点作导线的平行线；交相应平行线上的各点即为抛交相应平行线上的各点即为抛物线上的点；物线上的点；2P M3MM1M2 §1-3§1-3 几何作图几何作图四、工程上常用的曲线 一动点到两焦点的距离之差为一常数（两顶点一动点到两焦点的距离之差为一常数（两顶点间的距离）间的距离）,该动点的轨迹即为双曲线该动点的轨迹即为双曲线。
3.3.双曲线双曲线主轴主轴 F2F1A2A11234已知顶点和焦点，绘制双曲线已知顶点和焦点，绘制双曲线1)1)在主轴上任取在主轴上任取1、、2、、3......点；点；2)2)以以F1为圆心为圆心A 11为半径画弧，为半径画弧，4)4)将各点依次光滑连线即可将各点依次光滑连线即可焦点焦点顶点顶点以以F 2 为圆心为圆心A 21为半径画弧，为半径画弧，求得一对交点；求得一对交点； 3)3)以以F1为圆心为圆心A 12 为半径画弧，为半径画弧，以以F 2 为圆心为圆心A 22 为半径画为半径画弧，求得另一对交点，弧，求得另一对交点，以此类以此类推推, 求得若干点；求得若干点；画图方法如下：画图方法如下：A12A22 §1-3§1-3 几何作图几何作图直线直线四、工程上常用的曲线 一动点沿一直线作匀速运动，同时该一动点沿一直线作匀速运动，同时该直线又绕线上一定点作匀速回转运动直线又绕线上一定点作匀速回转运动 4.4.阿基米德螺旋线阿基米德螺旋线画图方法如下：画图方法如下：1)1)将定直线按导程将定直线按导程N 等分等分( (8 ) )；；2)2)使直线旋转使直线旋转1/8 的的360°角角, ,同同时其上一点移动时其上一点移动1/8 导程导程; ;4)4)将动点各位置依次光滑连线即可。
将动点各位置依次光滑连线即可3)3)再使直线旋转再使直线旋转( (2/8 的的360°角角),),动点同时移动动点同时移动( (导程导程2/8 ) )，，依次类依次类推推,求得直线旋转一周求得直线旋转一周,动点的位移；动点的位移；直线旋转一周，动点移动的距离称为导程直线旋转一周，动点移动的距离称为导程 导程导程动点动点 §1-3§1-3 几何作图几何作图四、工程上常用的曲线 一直线在圆周上作无滑动的滚动，该直一直线在圆周上作无滑动的滚动，该直线上任一点的轨迹即为渐开线线上任一点的轨迹即为渐开线5.5.圆的渐开线圆的渐开线画图方法：画图方法：1)1)N 等分圆周等分圆周( (12 ) )；；2)2)画圆周的展开线画圆周的展开线( (ππD ),), 并并N 等分等分( (12 ););3)3)过圆周各分点画切线；过圆周各分点画切线；4)4)光滑连线即可光滑连线即可ππDD11/12πDπD6/12ππD5/12ππD10/12ππD切线长依次为：切线长依次为： 1/12ππD、、2/12ππD、、3/12ππD、、 4/12ππD… §1-3§1-3 几何作图几何作图四、工程上常用的曲线 一滚圆在一导圆上作无滑动的滚动时，该一滚圆在一导圆上作无滑动的滚动时，该圆周上圆周上任一点的轨迹。
当任一点的轨迹当滚圆在导圆的外侧滚动时，形成滚圆在导圆的外侧滚动时，形成外外摆线摆线；在导圆的内侧滚动时形成；在导圆的内侧滚动时形成内摆线内摆线6.6.摆线摆线 §1-3§1-3 几何作图几何作图1111087654329O3四、工程上常用的曲线例：已知滚圆半径例：已知滚圆半径R 1 , 导圆弧半径导圆弧半径R , 作外摆线作外摆线6.6.摆线摆线1)1)取导圆弧弧长取导圆弧弧长 aa12 = =2ππR1 ；；2)2)12 等分滚圆、导圆弧及等分滚圆、导圆弧及滚圆滚圆 圆心的滚动轨迹圆心的滚动轨迹；；3)3)分别以分别以O0 、、O1 、、O2 、、O3 为圆心画滚圆，以为圆心画滚圆，以O为为圆圆 心心, ,过滚圆各等分点为半过滚圆各等分点为半 径画圆弧，各相应圆弧径画圆弧，各相应圆弧 与相应滚圆的交点为摆与相应滚圆的交点为摆 线上的点；线上的点；4)4)连接光滑连接各交点得连接光滑连接各交点得摆线R1Rαaa12滚圆滚圆导圆弧导圆弧滚圆圆心滚滚圆圆心滚动轨迹动轨迹作图过程：作图过程：O0O1O2O §1-3§1-3 几何作图几何作图四、工程上常用的曲线例：已知滚圆半径例：已知滚圆半径R 1 , 导圆弧半径导圆弧半径R , 作作内摆线内摆线。
6.6.摆线摆线R1αR滚圆滚圆导圆弧导圆弧作图过程：作图过程：与外摆线基本相同与外摆线基本相同 §1-3§1-3 几何作图几何作图本节结束本节结束 。