一阶逻辑基本概念PPT课件

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1、第第4 4章章 一阶逻辑基本概念一阶逻辑基本概念离离 散散 数数 学学本章本章说明明q本章的主要内容本章的主要内容一阶逻辑基本概念、命题符号化一阶逻辑基本概念、命题符号化一阶逻辑公式、解释及分类一阶逻辑公式、解释及分类q本章与后续各章的关系本章与后续各章的关系克服命题逻辑的局限性克服命题逻辑的局限性是第五章的先行准备是第五章的先行准备 命题逻辑的缺陷把命题看成是一个个孤立的命题，忽略了命题之间的联系，不能反映某些重要的常见的逻辑思维过程。1. 繁琐例. 表述集合个体性质及相互关系 S=1,2,50表述S中所有元素都大于3这样一个性质，需要13, 23, , 503 等50个命题。2. 不能描述

2、命题间的逻辑联系q例如，逻辑学中著名的苏格拉底三段论：P：所有人必死Q：苏格拉底是人R：苏格拉底必死q表示为命题逻辑：应该有 (PQ) R，也就是公式(PQ)R应该是恒真的。q显然该公式不是恒真的，解释P，Q，R就能弄假该公式。q原因：命题R和命题P, Q是有内在关系的，只是这种关系在命题逻辑中无法表示。q因此，需要对命题的成分、结构和命题间的共同特性等作进一步的分析，分析出个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的内在联系和数量关系，这正是谓词逻辑所要研究的问题。本章内容本章内容4.1 4.1 一阶逻辑命题符号化一阶逻辑命题符号化4.2 4.2 一阶逻辑公式及解释一阶逻辑公式及解释 本章

3、小结本章小结 习题习题 作业作业4.1一一阶逻辑命命题符号化符号化q一阶逻辑命题符号化的三个基本要素一阶逻辑命题符号化的三个基本要素个体词个体词谓词谓词量词量词个体词及相关概念q个体词一般是充当陈述句主语的名词或代词个体词一般是充当陈述句主语的名词或代词说明说明q个个体体词词：指指所所研研究究对对象象中中可可以以独独立立存存在在的的具具体体或或抽抽象的象的客体客体。q举例举例命题：电子计算机是科学技术的工具。命题：电子计算机是科学技术的工具。个体词：电子计算机。个体词：电子计算机。命题：他是三好学生命题：他是三好学生。个体词：他。个体词：他。心物一元心物一元 or 心物二元？心物二元？量子力学

4、中的测不准原理量子力学中的测不准原理q个个体体常常项项：表表示示具具体体或或特特定定的的客客体体的的个个体体词词，用用小小写写字字母母a a, , b b, ,c c，表示。表示。q个个体体变变项项：表表示示抽抽象象或或泛泛指指的的客客体体的的个个体体词词，用用x x, ,y y, ,z z, ,表表示。示。q个体域（或称论域）个体域（或称论域）：指个体变项的取值范围。：指个体变项的取值范围。可以是有穷集合，如可以是有穷集合，如 a a, , b b, , c c, 1, 2, 1, 2。可以是无穷集合，如可以是无穷集合，如N N, ,Z Z, ,R R, ,。q全总个体域（全总个体域（uni

5、verseuniverse）由宇宙间一切事物组成由宇宙间一切事物组成 。个体个体词词及相关概念及相关概念q本教材在论述或推理中，如果没有指明所采本教材在论述或推理中，如果没有指明所采用的个体域，都是使用的全总个体域。用的个体域，都是使用的全总个体域。说明说明谓词谓词及相关概念及相关概念q谓词（谓词（predicatepredicate）是用来刻画个体词性质及个体词之间相是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词。互关系的词。(1)(1) 是无理数。是无理数。 是个体常项，是个体常项，“是无理数是无理数”是谓词，记为是谓词，记为F F，命题符号化命题符号化为为F(F( ) ) 。(2) (2)

6、 x x是有理数。是有理数。x x是个体变项，是个体变项，“是有理数是有理数”是谓词，记为是谓词，记为G G，命题符号化命题符号化为为G(G(x x) )。(3) (3) 小王与小李同岁。小王与小李同岁。小王、小李都是个体常项，小王、小李都是个体常项，“与与同岁同岁”是谓词，记为是谓词，记为H H，命题符号化为命题符号化为H(H(a,ba,b) ) ，其中，其中a a：小王，小王，b b：小李：小李。(4) (4) x x与与y y具有关系具有关系L L。x x，y y都是个体变项，谓词为都是个体变项，谓词为L L，命题符号化为命题符号化为L(x,y)L(x,y)。q谓词常项谓词常项：表示具体

7、性质或关系的谓词。用大写字母表示。：表示具体性质或关系的谓词。用大写字母表示。如如(1)(1)、 (2)(2) 、(3)(3) 中谓词中谓词F F、G G、H H。q谓词变项谓词变项：表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。用大写：表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。用大写字母表示。如字母表示。如(4)(4) 中谓词中谓词L L。qn n( (n n 1)1)元谓词元谓词：P(xP(x1 1,x,x2 2, ,x,xn n) )表示含表示含n n个个体变项的个个体变项的n n元谓元谓词。词。n=1n=1时，一元谓词时，一元谓词表示表示x x1 1具有性质具有性质P P。n2n2时，多元谓词时，多元

8、谓词表示表示x x1 1,x,x2 2, ,x,xn n具有关系具有关系P P。q0 0元谓词元谓词：不含个体变项的谓词。如：不含个体变项的谓词。如F(a)F(a)、G(a,b)G(a,b)、 P(aP(a1 1,a,a2 2, ,a,an n) )。若。若F F、G G、P P为谓词常项，则上述为谓词常项，则上述0 0元谓词为命元谓词为命题常项；若题常项；若F F、G G、P P为谓词变项，则为命题变项。为谓词变项，则为命题变项。 qn n元谓词是命题吗？元谓词是命题吗？不是，只有用谓词常项取代不是，只有用谓词常项取代P P，用个体常项取代用个体常项取代x x1 1,x,x2 2, ,x,x

9、n n时，才能使时，才能使n n元谓词变为命题。元谓词变为命题。思考思考谓词谓词及相关概念及相关概念谓词的形式化定义q设D是非空个体名称集合，定义在Dn上取值于0，1上的n元函数，称为n元命题函数或n元谓词。其中Dn表示集合D的n次笛卡尔乘积。例：令G(x，y)： “x高于y”，G(x，y)是一个二元谓词。 将x代以个体 “张三”，y代以个体 “李四”，则G(张三，李四)就是命题： “张三高于李四”。qG(x，y)不是命题，而是一个命题函数即谓词。q将x，y代以任意确定的个体，由G(x，y)都能得到一个命题。 D=2, 3, 4u设P(x)：x大于3，则P(x)为一元谓词。 指定元素-命题：P

10、(2)=0, P(3)=0, P(4)=1u设P(x,y)：x大于y,则P(x,y)为二元谓词。指定元素-命题：P(2,3)=0, P(4,2)=1u设P(x,y,z)：若x+y-1=z，则P(x,y,z)为1，否则为0 。则P(x,y,z)为三元谓词。指定元素-命题：P(2,3,4)=1,P(4,2,2)=0例例题题例例题题将命题将命题“这只大红书柜摆满了那些古书。这只大红书柜摆满了那些古书。”符号化符号化. .(1)(1)设设 F(x,y)F(x,y)：x x摆满了摆满了y y，R(x)R(x)：x x是大红书柜是大红书柜Q(y)Q(y)：y y是古书，是古书，a a：这个书柜这个书柜 b

11、 b：那些书那些书 符号化为：符号化为：R(a)Q(b)F(a,b) R(a)Q(b)F(a,b) (2)(2)设设 A(x)A(x)：x x是书柜，是书柜，B(x)B(x)：x x是大的是大的 C(x)C(x)：x x是红的，是红的，D(y)D(y)：y y是古老的是古老的E(y)E(y)： y y是图书，是图书，F(x,y)F(x,y)：x x摆满了摆满了y ya a：这个东西这个东西b b：那些东西那些东西 符号化为：符号化为：A(a)B(a)C(a)D(b)E(b)F(a,b) A(a)B(a)C(a)D(b)E(b)F(a,b) q用谓词的概念可将苏格拉底三段论做如下的符号化： 令H

12、(x)表示 “x是人”，M(x)表示 “x必死”。 则三段论的三个命题表示如下：P： H(x)M(x)Q： H(苏格拉底)R： M(苏格拉底)现在可以将在可以将苏格拉底三段格拉底三段论符号化符号化为q 令命题P為：所有人都会死 ，其否定命題為P = (H(x)M(x)= (H(x)M(x)= H(x)M(x)亦即，命题 P“所有人都会死” 的否定命题是 “所有人都不會死”。这和人们对命题 “所有人都必死”的否定的理解並不一致。但但问题是是q原因命题P的确切意思应该是： “对任意x，如果x是人，则x必死”。 但是H(x)M(x)中并没有确切的表示出 “对任意x”这个意思，因此，在谓词逻辑中除引进

13、谓词外，还需要引进 “对任意x”这个语句，及其对偶的语句 “存在一个x”。量词（量词（quantifierquantifier）是表示个体常项或个体变项数量屬性的词。是表示个体常项或个体变项数量屬性的词。1 1. . 全称量词全称量词：符号化为：符号化为“ ” （A Allll）q日日常常生生活活和和数数学学中中所所用用的的“一一切切的的”、“所所有有的的”、“每每一一个个”、“任意的任意的”、“凡凡”、“都都”等词可统称为全称量词。等词可统称为全称量词。qx x表表示示个个体体域域里里的的某某個個个个体体， x x F(x)F(x)表表示示个个体体域域里里所所有有个个体体都有性质都有性质F

14、F。2 2. .存在量词存在量词：符号化为：符号化为“ ” （E Existxist）q日日常常生生活活和和数数学学中中所所用用的的“存存在在”、“有有一一个个”、“有有的的”、“至少有一个至少有一个”等词统称为存在量词。等词统称为存在量词。qy y表表示示个个体体域域里里某某個個个个体体， y y G(y)G(y)表表示示个个体体域域里里存存在在个个体体y y具有性质具有性质G G。 量量词词及相关概念及相关概念q引入谓词后，命题P就可确切地符号化如下：x(H(x)M(x)命题P的否定命题为： P = (x(H(x)M(x) = x(H(x)M(x)亦即 “至少有一个人是不死的”。这个命题才

15、是 “所有人都要死”的否定。q三段论的三个命题，在谓词逻辑中可以如下表示：P：x(H(x)M(x)Q：H(苏格拉底)R：M(苏格拉底)q以后可以证明，在谓词逻辑中，R是P和Q的逻辑结果。q例例 符号化下述命题：符号化下述命题： （1 1）所有的所有的老虎都要吃人；老虎都要吃人； （2 2）每一个每一个大学生都会说英语；大学生都会说英语； （3 3）所有的所有的人都长着黑头发；人都长着黑头发； （4 4）有一些有一些人登上过月球；人登上过月球； （5 5）有一些有一些自然数是素数。自然数是素数。 解解 设有如下谓词：设有如下谓词：P(x)P(x)：x x会吃人；会吃人；Q(x)Q(x)：x x会

16、说英语；会说英语；R(x)R(x)：x x长着黑头发；长着黑头发；S(x)S(x)：x x登上过月球；登上过月球；T(x)T(x)：x x是素数。是素数。（1 1）( ( x)P(x) x)P(x) x x 老虎老虎 ；（2 2）( ( x)Q(x) x)Q(x) x x 大学生大学生 ；（3 3）( ( x)R(x) x)R(x) x x 人人 ；（4 4）( ( x)S(x) x)S(x) x x 人人 ；（5 5）( ( x)T(x) x)T(x) x x 自然数自然数 。不便之不便之处处（1 1）从从书写上书写上十分不便，总要特别注明个体域；十分不便，总要特别注明个体域；（2 2）在同

17、一个比较复杂的句子中，不同命题函数中在同一个比较复杂的句子中，不同命题函数中的个体可能属于不同的个体域，此时的个体可能属于不同的个体域，此时无法清晰无法清晰表达；表达； 如例如例 (1)(1)和和(4)(4)的合取的合取 ( ( x)P(x) (x)P(x) ( x)R(x) x)R(x) x人人x老虎老虎不便之不便之处处(续续)（3 3）若个体域的注明不清楚，将造成若个体域的注明不清楚，将造成无法确定命题真值无法确定命题真值。即即对于同一个对于同一个n n元谓词，不同的个体域有可能带来不同的真元谓词，不同的个体域有可能带来不同的真值值。 例如例如 对于语句对于语句“( ( x)(x+6 =

18、5)x)(x+6 = 5)”可表示为：可表示为：“有一些有一些x x，使得，使得x+6 = 5x+6 = 5”。该语句在下面两种个体域下有不同的。该语句在下面两种个体域下有不同的真值：真值： （a a）在实数范围内时，确有在实数范围内时，确有x=-1x=-1使得使得x+6 = 5x+6 = 5，因此，因此，( ( x)(x+6 = 5)x)(x+6 = 5)为为“真真”； （b b）在正整数范围内时，则找不到任何在正整数范围内时，则找不到任何x x，使得，使得x+6=5x+6=5为为“真真”，所以，所以，( ( x)(x+6=5)x)(x+6=5)为为“假假”。 不便之不便之处处的根源的根源因

19、为需要特别标注每个谓词的个体因为需要特别标注每个谓词的个体域！域！全总个体域全总个体域特性特性谓词谓词新的问题出现了，新的问题出现了，U(x)如何与如何与( x)P(x)，( x)S(x)结合才符合逻辑结合才符合逻辑呢？呢？U(x)：x是老虎是老虎x老虎老虎U(x)：x是人是人x人人例 将下面两个命题符号化: (1) 所有的老虎都会吃人。 (2) 有些人登上过月球。 特性特性谓词谓词的使用的使用（1）令）令 P(x)：x会吃人会吃人 U(x)：x是老虎是老虎 则符号化的正确形式应该是则符号化的正确形式应该是( x)(U(x)P(x) 它的含义是：它的含义是：“对于任意的对于任意的x,如果如果x

20、是老虎，则是老虎，则x会吃人会吃人”，符合原命题的逻辑含义。，符合原命题的逻辑含义。 若符号化为若符号化为 ( x)(U(x) P(x) 它的含义是：它的含义是：“对于任意的对于任意的x, x是老虎，并且是老虎，并且x会吃人会吃人”，与原命题与原命题“所有的老虎都要吃人所有的老虎都要吃人”的逻的逻辑含义不符。辑含义不符。（2）令）令 S(x)：x登上过月球登上过月球 U(x)：x是人是人 则符号化的正确形式应该是则符号化的正确形式应该是( x)(U(x) S(x) 它的含义是：它的含义是：“存在存在x, x是人并且是人并且x登上过月球登上过月球”，符合原命题的逻辑含义。，符合原命题的逻辑含义。

21、 若符号化为若符号化为 ( x)(U(x) S(x) 它的含义是：它的含义是：“存在存在x, 如果如果x是人，则是人，则x登上过月登上过月球球”，与原命题与原命题“有人登上过月球有人登上过月球”的逻辑含义的逻辑含义似乎差不多似乎差不多U(x)S(x)Universe谓词逻辑谓词逻辑符号化的符号化的规则规则q若统一个体域为若统一个体域为全总个体域全总个体域，对每一个句子中个体变量的，对每一个句子中个体变量的变化范围用一元变化范围用一元特性谓词特性谓词刻划，这种特性谓词在加入到刻划，这种特性谓词在加入到命题函数中时命题函数中时必须必须遵循如下原则：遵循如下原则：（1）对于全称量词）对于全称量词(

22、x)，刻划其对应个体域的，刻划其对应个体域的特性谓词作为蕴涵式之前件加入。特性谓词作为蕴涵式之前件加入。（2）对于存在量词）对于存在量词( x)，刻划其对应个体域的，刻划其对应个体域的特性谓词作为合取式之合取项加入。特性谓词作为合取式之合取项加入。 例例题题用谓词逻辑符号化下述语句：用谓词逻辑符号化下述语句：(1) (1) 天下乌鸦一般黑；天下乌鸦一般黑；(2) (2) 没有人登上过木星；没有人登上过木星；(3) (3) 在美国留学的学生未必都是亚洲人；在美国留学的学生未必都是亚洲人；(4) (4) 每个实数都存在比它大的另外的实数；每个实数都存在比它大的另外的实数；(5) (5) 尽管有人很

23、聪明，但未必一切人都聪明；尽管有人很聪明，但未必一切人都聪明；(6) (6) 对于任意给定的对于任意给定的 00，必存在着，必存在着 00，使得对任意的，使得对任意的x x，只要，只要|x-a|x-a| ，就有，就有|f(x)-f(a)|f(x)-f(a)|0，必存在着，必存在着 0，使得对任意，使得对任意的的x，只要，只要|x-a| ，就有，就有|f(x)-f(a)|0)()( 0) ( x) (|x-a| )(|f(x)-f(a)|3 则x P(x)等价于 P(2) P(3) P(4) 所以其真值为 0 0 0 x P(x)等价于 P(2) P(3) P(4) 所以其真值为 0 0 课课堂

24、堂练习练习设个体域D=1，2，3，P(x) ：x2。试判断下列公式的真值：(1) xP(x) P(2)；(2) P(3) xP(x).(1)xP(x) P(2)等价于(P(1) P(2) P(3) P(2)所以其真值为 (001) 0 =1 0 = 0(2)P(3) xP(x)等价于1( P(1) P(2) P(3)所以其真值为 1 ( 0 0 1) = 1 0 = 0课课堂堂练习练习（续续）设设 P(x)P(x)：x x是素数；是素数；I(x)I(x)：x x是整数；是整数；Q(x, y)Q(x, y)：x+y=0x+y=0。用语句描述下述句子，并判断其真假值。用语句描述下述句子，并判断其真

25、假值。 （1 1）( ( x)(I(x)P(x)x)(I(x)P(x)； （2 2）( ( x) (I(x)P(x)x) (I(x)P(x)； （3 3）( ( x) (x) ( y)(I(x)I(y)Q(x, y)y)(I(x)I(y)Q(x, y)； （4 4）( ( x)(I(x)(x)(I(x)( y)(I(y)Q(x, y)y)(I(y)Q(x, y)； （5 5）( ( x)(x)( y)(I(x)(I(y)Q(x, y)y)(I(x)(I(y)Q(x, y)。 解解 句子句子(1)(1)可描述为：可描述为：“对任意的整数对任意的整数x x，x x一定是素数一定是素数”，真值为真值

26、为“假假”； 句子句子(2)(2)可描述为：可描述为：“存在一些整数存在一些整数x x，x x是素数是素数”，真值，真值为为“真真”； 句子句子(3)(3)可描述为：可描述为：“对任意的整数对任意的整数x x，y y，都有，都有x+y=0x+y=0”，真值为，真值为“假假”； 句子句子(4)(4)可描述为：可描述为：“对任意的整数对任意的整数x x，都存在着整数，都存在着整数y y，使得使得x+y=0x+y=0”，真值为，真值为“真真”； 句子句子(5)(5)可描述为：可描述为：“存在着整数存在着整数x x，使得对任意的整数，使得对任意的整数y y，都有，都有x+y=0x+y=0”，真值为，真

27、值为“假假”。 例例符号化下述一组语句：符号化下述一组语句： 只要是需要室外活动的课，郝帥都喜欢；所有的公共体育只要是需要室外活动的课，郝帥都喜欢；所有的公共体育课都是需要室外活动的课；篮球是一门公共体育课；郝帥喜欢课都是需要室外活动的课；篮球是一门公共体育课；郝帥喜欢篮球这门课。篮球这门课。解解 设设 O(x)O(x)：表示：表示x x是需要室外活动的课；是需要室外活动的课； L (x, y) L (x, y)：表示：表示x x喜欢喜欢y y； S (x) S (x)：表示：表示x x是一门公共体育课；是一门公共体育课； Hao Hao：表示郝帥；：表示郝帥；BallBall：表示篮球。：表

28、示篮球。上述句子可符号化为：上述句子可符号化为： ( ( x)(O(x)L(Hao, x)x)(O(x)L(Hao, x)； ( ( x)(S(x)O(x)x)(S(x)O(x)； S(ball) S(ball)；L(Hao, Ball)L(Hao, Ball)。 例例符号化下述一组语句：符号化下述一组语句： 海关人员检查每一个进入本国的不重要人物；某海关人员检查每一个进入本国的不重要人物；某些走私者进入该国时仅仅被走私者所检查；没有一个些走私者进入该国时仅仅被走私者所检查；没有一个走私者是重要人物；海关人员中的某些人是走私者。走私者是重要人物；海关人员中的某些人是走私者。 解解 设设 E(x

29、)E(x)：表示：表示x x进入国境；进入国境； V(x) V(x)：表示：表示x x是重要人物；是重要人物； C(x) C(x)：表示：表示x x是海关人员；是海关人员； P(x) P(x)：表示：表示x x是走私者；是走私者； B(x, y) B(x, y)：表示：表示y y检查检查x x。解解上述句子可符号化为：上述句子可符号化为：( ( x)(E(x) x)(E(x) V(x)(V(x)( y)(C(y)B(x, y)y)(C(y)B(x, y)；( ( x)(P(x)E(x)(x)(P(x)E(x)( y)( B(x,y)P(y)y)( B(x,y)P(y)；( ( x)(P(x)x

30、)(P(x)V(x)V(x)；( ( x)(P(x)C(x)x)(P(x)C(x)。 4.24.2一一阶逻辑公式及解公式及解释q同在命题逻辑中一样，为在一阶逻辑中进行演算和推理，同在命题逻辑中一样，为在一阶逻辑中进行演算和推理，必须给出一阶逻辑中公式的抽象定义，以及它们的分类及必须给出一阶逻辑中公式的抽象定义，以及它们的分类及解释。解释。q一阶语言一阶语言是用于一阶逻辑的形式语言，而一阶逻辑就是建是用于一阶逻辑的形式语言，而一阶逻辑就是建立在一阶语言基础上的逻辑体系，一阶语言本身不具备任立在一阶语言基础上的逻辑体系，一阶语言本身不具备任何意义，但可以根据需要被解释成具有某种含义。何意义，但可以

31、根据需要被解释成具有某种含义。q一阶语言的形式是多种多样的，一阶语言的形式是多种多样的，本书给出的一阶语言是便本书给出的一阶语言是便于将自然语言中的命题符号化的一阶语言，记为于将自然语言中的命题符号化的一阶语言，记为F F。一一阶语阶语言中的字母表言中的字母表定义定义4.1 4.1 一阶语言一阶语言F F的的字母表字母表定义如下定义如下: :(1)(1)个体常项：个体常项：a ,b ,c ,ai ,bi ,ci ,i 1(2)(2)个体变项：个体变项：x ,y ,z,xi ,yi ,zi ,i 1(3)(3)函数符号函数符号：f ,g ,h ,fi ,gi ,hi ,i 1；当个体名称集合D给

32、出时，n元函数符号f(x1，xn)可以是Dn到D的任意一个映射。(4)(4)谓词符号：谓词符号：F ,G ,H ,Fi ,Gi ,Hi ,i 1；当个体名称集合D给出时，n元谓词符号P(x1，xn)可以是Dn上的任意一个谓词，换言之，是Dn到0,1的任意一个映射。 (5)(5)量词符号量词符号: : ， (6)(6)联结词符号联结词符号:, :, (7)(7)括号与逗号括号与逗号:(,),:(,),，为为何需要函数符号？何需要函数符号？例如例如 符号化符号化“周红的父亲是教授周红的父亲是教授”：设设f(x)f(x)：x x的父亲；的父亲；P(x)P(x)：x x是教授；是教授；c c：周红：周

33、红此时此时P(f(c)P(f(c)表示表示“周红的父亲是教授周红的父亲是教授”这一命题。这一命题。 函数的使用给谓词逻辑中的个体词表示函数的使用给谓词逻辑中的个体词表示带来了很大的方便带来了很大的方便否则就需要引入二元谓词否则就需要引入二元谓词g(x, y): x 是是 y 的父亲，的父亲，符号化为：符号化为：P(x) g(x, c)，不如函数简单明了。不如函数简单明了。一一阶语言中的言中的项定义定义4.2 4.2 一阶语言一阶语言F F的的项项的定义如下的定义如下: : (1) (1) 个体常项和个体变项是个体常项和个体变项是项项。 (2) (2) 若若(x(x1 1,x,x2 2, ,x,

34、xn n) )是任意的是任意的n n元函数，元函数，t t1 1,t,t2 2, ,t,tn n是任是任意的意的n n个项，则个项，则(t(t1 1,t,t2 2, ,t,tn n) )是是项项。 (3) (3) 所有的项都是有限次使用所有的项都是有限次使用(1)(1)，(2)(2)得到的。得到的。 一一阶语言中的原子公式言中的原子公式定义定义4.34.3 设设R(xR(x1 1 ,x,x2 ,2 , ,x ,xn n) )是一阶语言是一阶语言F F的的任意任意n n元谓词，元谓词， t t1 1 ,t,t2 2 , , ,t ,tn n是一阶语言是一阶语言F F的任意的的任意的n n个项，则

35、称个项，则称R(tR(t1 1 ,t,t2 2 , , ,t ,tn n) )是一阶语言是一阶语言F F的的原子公式原子公式。 例如例如：1 1元谓词元谓词F(x)F(x)，G(x)G(x)，2 2元谓词元谓词H(x,y)H(x,y)，L(x,y)L(x,y)等都是等都是原子公式。原子公式。 一一阶语言言 F 的合式公式的合式公式定义定义4.4 4.4 一阶语言一阶语言F F的的合式公式合式公式(well-formed formula)(well-formed formula)定义如下定义如下: : (1) (1) 原子公式是合式公式。原子公式是合式公式。 (2) (2) 若若A A是合式公式

36、，则是合式公式，则(A)A)也是合式公式。也是合式公式。 (3) (3) 若若A A，B B是合式公式，则是合式公式，则( (AB)AB)，(AB)(AB)，(AB)(AB)，(A(AB)B) 也是合式公式。也是合式公式。 (4) (4) 若若A A是合式公式，则是合式公式，则 xAxA， xAxA也是合式公式。也是合式公式。 (5) (5) 只有有限次的应用只有有限次的应用(1)(1)(4)(4)构成的符号串才是合式公式。构成的符号串才是合式公式。 一阶语言一阶语言F F的合式公式也称为的合式公式也称为谓词公式谓词公式，简称，简称公式公式。 qA A，B B代表任意公式，是元语言符号。代表任

37、意公式，是元语言符号。q下文的讨论都是在一阶语言下文的讨论都是在一阶语言F F中，因而不再提及。中，因而不再提及。 说明说明自由出自由出现与与约束出束出现定义定义4.54.5 指导变元、辖域、约束出现、自由出现指导变元、辖域、约束出现、自由出现q在公式在公式 xAxA和和 xAxA中，称中，称x x为为指导变元指导变元。q在公式在公式 xAxA和和 xAxA中，中，A A为相应量词的为相应量词的辖域辖域。q在在 x x和和 x x的辖域中，的辖域中，x x的所有出现都称为的所有出现都称为约束出现约束出现。qA A中不是约束出现的其他个体变项均称为是中不是约束出现的其他个体变项均称为是自由出现自

38、由出现的。的。 量词辖域的确定方法：量词辖域的确定方法： （1）若量词后）若量词后有括号有括号，则，则括号内的子公式括号内的子公式就是该量就是该量词的辖域；词的辖域； （2）若量词后）若量词后无括号无括号，则，则与量词邻接的子公式与量词邻接的子公式为该为该量词的辖域。量词的辖域。 例例确定以下公式各量词的辖域以及各个体变量为自由变确定以下公式各量词的辖域以及各个体变量为自由变元还是约束变元。元还是约束变元。 （1 1）( ( x)(P(x)(x)(P(x)( y)R(x, y)y)R(x, y)； （2 2）( ( x)P(x)Q(x, y)x)P(x)Q(x, y)； （3 3）( ( x)

39、(x)( y)(P(y,z)Q(x,y)(y)(P(y,z)Q(x,y)( x)R(x,y)x)R(x,y)； （4 4）( ( x)(P(x)R(x)(x)(P(x)R(x)( y)Q(x,y)y)Q(x,y)。解解 在在(1)(1)中，中，P(x)P(x)中的中的x x，R(x,y)R(x,y)的的x x，y y都为约束变元。都为约束变元。 在在(2)(2)中，中，P(x)P(x)中的中的x x为约束变元，为约束变元，Q(x,y)Q(x,y)中的中的x x，y y是自由变元。是自由变元。 在在(3)(3)中，中，P(y,z)P(y,z)、Q(x,y)Q(x,y)中的中的x,yx,y都为约束

40、变元，都为约束变元，z z为自由变元；为自由变元；R(x,y)R(x,y)中的中的x x为约束变元，为约束变元，y y为自由变元。为自由变元。 在在(4)(4)中，中，P(x)P(x)，R(x)R(x)中的中的x x为约束变元，为约束变元，Q(x, y)Q(x, y)中的中的x x为自由变元、为自由变元、y y为约束变元。为约束变元。变变元混淆元混淆（4 4）( ( x)(P(x)(P(x x)R()R(x x)()( y)Q(y)Q(x x, y), y)约束变约束变元元自由变元自由变元 在一个公式中，某一个变元的出现既可以是自由的，在一个公式中，某一个变元的出现既可以是自由的，又可以是约束

41、的，如又可以是约束的，如(4)中的中的x。为了使得我们的研究。为了使得我们的研究更方便，而不致引起混淆，同时为了使公式给人以一更方便，而不致引起混淆，同时为了使公式给人以一目了然的结果，对于表示不同意思的个体变元，我们目了然的结果，对于表示不同意思的个体变元，我们总是以不同的变量符号来表示。总是以不同的变量符号来表示。 改名改名规则约束变元的改名规则约束变元的改名规则（1 1）将量词中出现的变元以及该量词辖域中此）将量词中出现的变元以及该量词辖域中此 变量的所有约束出现都用新的个体变元替换；变量的所有约束出现都用新的个体变元替换；（2 2）新的变元应有别于公式中的所有其它变量。）新的变元应有别

42、于公式中的所有其它变量。代入代入规则自由变元的代入规则自由变元的代入规则（1 1）将公式中出现该自由变元的每一处都用新的）将公式中出现该自由变元的每一处都用新的个体变元替换；个体变元替换；（2 2）新变元不允许在原公式中以任何约束形式出）新变元不允许在原公式中以任何约束形式出现。现。 例例（1 1）将公式）将公式( ( x)(P(x)Q(x, y)R(x, y)x)(P(x)Q(x, y)R(x, y)中的约中的约束变元束变元x x进行改名；进行改名；（2 2）将公式）将公式( ( x)(P(x)Q(x, y)R(x, y)x)(P(x)Q(x, y)R(x, y)中的约中的约束变元束变元y

43、y进行代入。进行代入。解解 利用改名规则对利用改名规则对x x进行改名，则：进行改名，则： ( ( z)(P(z)Q(z, y)R(x, y)z)(P(z)Q(z, y)R(x, y) ( ( z)(P(z)R(x, y)R(x, y)z)(P(z)R(x, y)R(x, y) ( ( y)(P(y)R(y, y)R(x, y)y)(P(y)R(y, y)R(x, y) -对对 -错错 -错错 利用利用代入代入规则规则对对y进行代入，则：进行代入，则： ( x)(P(x)Q(x, z) R(x, z) ( x)(P(x)Q(x, z) R(x, y) ( x)(P(x)Q(x, x) R(x,

44、 x) -对对 -错错 -错错改名改名规则规则和代入和代入规则规则的关系的关系改名规则和代入规则之间的共同点都是不能改变原有改名规则和代入规则之间的共同点都是不能改变原有的约束关系，而不同点是：的约束关系，而不同点是：（1 1）施行的对象不同：改名规则是对约束变元施行，）施行的对象不同：改名规则是对约束变元施行，代入规则是对自由变元施行；代入规则是对自由变元施行；（2 2）施行的范围不同：改名规则可以只对公式中的一）施行的范围不同：改名规则可以只对公式中的一个量词及其辖域内施行，即只对公式的一个子公式施个量词及其辖域内施行，即只对公式的一个子公式施行；而代入规则必须对整个公式同一个自由变元的所

45、行；而代入规则必须对整个公式同一个自由变元的所有自由出现同时施行，即必须对整个公式施行；有自由出现同时施行，即必须对整个公式施行；改名改名规则规则和代入和代入规则规则的关系（的关系（续续）（3 3）施行后的结果不同：改名后，公式含义不变，）施行后的结果不同：改名后，公式含义不变，因为约束变元只改名为另一个个体变元，约束关系不因为约束变元只改名为另一个个体变元，约束关系不改变，约束变元不能改名为个体常量；代入后，不仅改变，约束变元不能改名为个体常量；代入后，不仅可用另一个个体变元进行代入，并且也可用个体常量可用另一个个体变元进行代入，并且也可用个体常量去代入，从而使公式由具有普遍意义变为仅对该个

46、体去代入，从而使公式由具有普遍意义变为仅对该个体常量有意义，即公式的含义改变了。常量有意义，即公式的含义改变了。 封封闭闭的公式的公式定义定义4.64.6 设设A A是任意的公式，若是任意的公式，若A A中不含有自由出现的个体变中不含有自由出现的个体变项，则称项，则称A A为为封闭的公式封闭的公式，简称，简称闭式闭式。例如：例如： x y(F(x) G(y)H(x ,y)为闭式，为闭式， x(F(x) G(x ,y)不是闭式不是闭式。一阶公式的解释一阶公式的解释一一阶阶公公式式没没有有确确定定的的意意义义，一一旦旦将将其其中中的的变变项项（项项的的变变项项 、谓谓词词变变项项）用用指指定定的的

47、常常项项代代替后，所得公式就具备一定的意义，有时就变成命题了。替后，所得公式就具备一定的意义，有时就变成命题了。一一阶阶公式的解公式的解释释定义定义4.74.7 一阶公式的一阶公式的解释解释I由下面由下面4 4部分组成部分组成: :( (a)a)非空个体域非空个体域D DI。(b)D(b)DI中一些特定元素的集合中一些特定元素的集合 。( (c)Dc)DI上特定函数集合上特定函数集合 | |i,n11。(d)D(d)DI上特定谓词的集合上特定谓词的集合 | | i,n11。 qA A中的第中的第i i个个n n元函数变项元函数变项 被解释为某个函数常项被解释为某个函数常项qA A中的第中的第i

48、 i个个n n元谓词变项元谓词变项 被解释成某个谓词常项被解释成某个谓词常项对对解解释释I的几点的几点说说明明q被解释的公式不一定全部包含解释中的四个部分。被解释的公式不一定全部包含解释中的四个部分。q被解释的公式被解释的公式A A中的个体变项均取值于中的个体变项均取值于D DI。qA A中的中的个体常项个体常项 ai 被解释成被解释成 。q在解释的定义中引进了几个元语言符号，如在解释的定义中引进了几个元语言符号，如给定解释给定解释I 如下：如下：(a)个体域个体域D=R(b)(c)(d)写出下列公式在写出下列公式在I下的解释下的解释,并指出它的真值并指出它的真值.(1) xF(f(x,a),

49、g(x,a)例例 x(x+0=x 0)真真(2) x y(F(f(x,y),g(x,y)F(x,y) x y(x+y=x yx=y)假假(3) xF(g(x,y),a) x(x y=0)真值不定真值不定,不是命题不是命题定理定理4.14.1 封闭的公式在任何解释下都变成命题。封闭的公式在任何解释下都变成命题。 一一阶阶公式的分公式的分类类定义定义4.8 4.8 永真式、永假式、可满足式永真式、永假式、可满足式q设设A A为一个公式，若为一个公式，若A A在任何解释下均为真，则称在任何解释下均为真，则称A A为为永真式永真式( (或称或称逻辑有效式逻辑有效式) )。q设设A A为一个公式，若为一

50、个公式，若A A在任何解释下均为假，则称在任何解释下均为假，则称A A为为矛盾式矛盾式( (或或永假式永假式) )。q设设A A为一个公式，若至少存在一个解释使为一个公式，若至少存在一个解释使A A为真，则称为真，则称A A为为可可满足式满足式。 q永真式一定是可满足式，但可满足式不一定是永真式。永真式一定是可满足式，但可满足式不一定是永真式。q在一阶逻辑中，到目前为止，还没有找到一种可行的算在一阶逻辑中，到目前为止，还没有找到一种可行的算法，用来判断任意一个公式是否是可满足的，这与命题法，用来判断任意一个公式是否是可满足的，这与命题逻辑的情况完全不同。逻辑的情况完全不同。q但对某些特殊的公式

51、还是可以判断的。但对某些特殊的公式还是可以判断的。说明说明谓词谓词公式的可判定性公式的可判定性（1）谓词逻辑公式是不可判定的；）谓词逻辑公式是不可判定的；（2）只含有一元谓词变项的公式是可判定的；）只含有一元谓词变项的公式是可判定的；（3）如下形式的公式：）如下形式的公式： ( x1)( x2)( xn)P(x1, x2, , xn)， ( x1)( x2)( xn)P(x1, x2, ,xn)。 若若P中无量词和其它自由变元时，也是可判定的；中无量词和其它自由变元时，也是可判定的；（4）个体域有穷时的谓词公式是可判定的。）个体域有穷时的谓词公式是可判定的。 q谓词逻辑中公式恒真、恒假性的判断

52、异常困难。原因：谓词逻辑中的恒真(恒假)公式，要求所有解释I都满足(弄假)该公式。而解释I依赖于一个非空集合D。由于集合D可以是无穷集合，而集合D的 “数目”也可能是无穷多个。因此，所谓公式的 “所有”解释，实际上是无法考虑的。q1936年Church和Turing分别独立地证明了：对于谓词逻辑，判定问题是不可解的。q谓词逻辑是半可判定的：如果谓词逻辑中的公式是恒真的，则有算法在有限步之内检验出这个公式的恒真性。如果该公式不是恒真的(当然也不是恒假的)，则无法在有限步内判定这个事实。谓词逻辑公式的判定问题 英国天才数学家、计算机科学家图灵(Alan Mathison Turing,1912-1

53、954)在孩提时代就对化学和机械着迷,做过大量化学实验。1931年,获得了剑桥大学皇家学院的奖学金。在完成毕业论文后，被选为该学院的成员。在毕业论文中，发现了统计学中的一个著名定理中心极限定理。1935年，对判定问题着了迷，这是伟大的德国数学家希尔伯特提出的一个问题：是否有一个能用于判断任何命题是否为真的一般方法。图灵喜欢跑步，一天，在跑步之后的休息中，发现了解决判定问题的关键思想。在他的解决方案中，他发明了今天称为图灵机的计算模型，并用它作为计算机器的最一般模型。利用这个机器，发现了一个不能用一般方法判定的问题，也就是停机问题。通俗的说，停机问题就是判断任意一个程序是否会在有限的时间之内结束

54、运行的问题。从1936年到1938年，图灵在普林斯顿大学访问，与丘奇(Alonze Church)一起工作，丘奇也独立解决了希尔伯特提出的判定问题。停机停机问题问题不存在这样一个程序（算法），它能够计算任何程序（算法）不存在这样一个程序（算法），它能够计算任何程序（算法）在给定输入上是否会结束（停机）。在给定输入上是否会结束（停机）。證明：反證法。假设我们真做出了这么一个极度聪明的万能算證明：反證法。假设我们真做出了这么一个极度聪明的万能算法（就叫法（就叫God_algoGod_algo吧），只要给它一段程序（二进制描述），吧），只要给它一段程序（二进制描述），再给它这段程序的输入，它就能告诉

55、你这段程序在这个输入上再给它这段程序的输入，它就能告诉你这段程序在这个输入上会不会结束（停机）会不会结束（停机）boolGod_algo(char*program,char*input)boolGod_algo(char*program,char*input) if(if(programhalts on halts on )returntrue;returntrue;returnfalse;returnfalse; boolSatan_algo(char*program)if(God_algo(program,program)while(1);/loopforever!returnfalse;

56、/cannevergethere!elsereturntrue;Satan_algo(Satan_algo);Satan_algo(Satan_algo);显然，這個函數調用要么能够结束，要么不能结束。显然，這個函數調用要么能够结束，要么不能结束。q如果它能够结束，那么如果它能够结束，那么Santa_algoSanta_algo算法里面的那个算法里面的那个ifif判断判断就会成立（因为就会成立（因为God_algo(Santa_algo,Santa_algo)God_algo(Santa_algo,Santa_algo)将会返将会返回回truetrue），从而进入一个无穷循环（），从而进入一个

57、无穷循环（while(1);while(1);），从而函），从而函數調用數調用Satan_algo(Satan_algo) Satan_algo(Satan_algo) 就永远不会结束。就永远不会结束。q而如果它不能结束，则而如果它不能结束，则ifif判断就会失败，从而跳过那个判断就会失败，从而跳过那个while(1)while(1)返回返回truetrue，即我们调用，即我们调用Satan_algo(Satan_algo)Satan_algo(Satan_algo)又能够結束。又能够結束。总之，总之，Satan_algo(Satan_algo)Satan_algo(Satan_algo)能够

58、停机能够停机=它不能停机。它不能停机。Satan_algo(Satan_algo)Satan_algo(Satan_algo)不能停机不能停机=它能够停机。所以它它能够停机。所以它停也不是，不停也不是。得出矛盾。停也不是，不停也不是。得出矛盾。于是，我们的假设，于是，我们的假设，God_algoGod_algo算法的存在性不成立。算法的存在性不成立。为现代人工智能做出巨大贡献的图灵在理论上奠定了计算机产生的基础。对于计算机人士而言，获得图灵奖就等于物理学家获得诺贝尔奖一样。图灵测试：图灵认为如果机器能成功的伪装成人欺骗观察者，那么就认为它具有了智能。由计算机、被测试的人和主持试验人组成。计算机

59、和被测试的人分别在两个不同的房间里。测试过程由主持人提问，由计算机和被测试的人分别做出回答。观测者能通过电传打字机与机器和人联系。被测人在回答问题时尽可能表明他是一个“真正的”人，而计算机也将尽可能逼真的模仿人的思维方式和思维过程。如果试验主持人听取他们各自的答案后，分辨不清哪个是人回答的，哪个是机器回答的，则可以认为该计算机具有了智能。这是一种行为主义的思想，如今看来并不正确。 图灵测试的重要意义：使实验研究智能行为成为可能。 在1939年，图灵回到皇家学院。在第二次世界大战爆发期间，他进入了英国外交部，从事对德国密码的分析工作。他对破译机械的德国密码机Enigma的密码作出了重要贡献，在赢

60、得这次战争中起到了重要作用。1954年，图灵服氰化物自杀，没有留下遗言作明确解释。（事实上可能与图灵是同性恋有关，图灵因此被化学去势。）此外，图灵具有典型的荒岛心态来源于鲁滨逊漂流记亦即尽可能的自行制造所需的一切，譬如肥皂等，甚至连图灵自杀的氰化钾都是自己提炼的。）丘奇丘奇 丘奇(Alonze Church，1903-1995) 出生于华盛顿特区。曾在哥廷根跟随希尔伯特学习，后来转到阿姆斯特丹。从1927年到1967，执教于普林斯顿大学1967年调到加州大学洛衫矶分校(UCLA)。是符号逻辑学会(Association of Symbolic Logic)的创始人。对可计算性理论作出了实质性的

61、贡献，其中包括对判定问题的解、演算的发明，以及对现今称为丘奇图灵论题的陳述。在90岁生日后还发表文章。代代换实换实例例定义定义4.9 4.9 设设A A0 0是含有命题变项是含有命题变项p p1 1,p,p2 2, ,p,pn n的命题公式，的命题公式，A A1 1,A,A2 2, ,A,An n是是n n个谓词公式，用个谓词公式，用A Ai i(1in)(1in)处处代替处处代替A A0 0中的中的p pi i，所得公式所得公式A A称为称为A A0 0的的代换实例代换实例。例如例如，F(x)F(x)G(x), G(x), xF(x)xF(x)yG(y)yG(y)等都是等都是p pq q的代

62、换实的代换实例，而例，而 x(F(x)x(F(x)G(x)G(x)等等不是不是p pq q的代换实例。的代换实例。定理定理4.24.2 重言式的代换实例都是永真式，矛盾式的代换实例重言式的代换实例都是永真式，矛盾式的代换实例都是矛盾式。都是矛盾式。为什么？为什么？例例题题例例4.104.10 判断下列公式的类型。判断下列公式的类型。(1) (1) xF(x) xF(x) xF(x)xF(x)解解 记记(1) (1) 中的公式为中的公式为A A。(1)(1)设设I为任意一个解释，个体域为为任意一个解释，个体域为D D。若存在若存在x x0 0DD，使得使得F(xF(x0 0) )为假，则为假，则

63、 xF(x)xF(x)为假，所以为假，所以A A的前的前件为假，故件为假，故A A为真。为真。若对于任意若对于任意xDxD，F(x)F(x)均为真，则均为真，则 xF(x)xF(x)， xF(x)xF(x)都为真，都为真，从而从而A A为真。为真。所以在所以在I I下下A A为真。由为真。由I I的任意性可知，的任意性可知，A A是永真式。是永真式。 高高阶逻辑在一阶逻辑中，量词只能用于个体变元，并且只有个体变元能作谓词变元的主语，亦即谓词描述的是个体的性质或个体间的关系（称之为一阶谓词），这样就限制了一阶逻辑语言的表达能力。如果去掉上述限制，函数变元和谓词变元也能被量词约束，并且可作为谓词变

64、元的主语，亦即谓词还可以描述谓词的性质或谓词间的关系（称之为二阶谓词），譬如关系的对称性、传递性等，以此构造起来的逻辑系统就是二阶逻辑。二阶逻辑具有比一阶逻辑更强的表达能力。例如，对于数学归纳原则:“如果一公式对数0成立，并且如果它对某一个数成立则对该数的后继也成立，那末这个公式就对所有的（自然）数成立”，就不能在由一阶逻辑陈述的算术理论中用一个公式表达。而在二阶逻辑中，由于有了谓词量词，就可以用一个公式把该数学归纳原则 表示为： F（F(0) x(F(x)F(x+1) xF(x)）高高阶逻辑阶逻辑三阶谓词是对二阶谓词的性质及关系的描述，以此为基础构造的逻辑称为三阶逻辑。以此类推，还可以构造四

65、阶、五阶，以至无穷阶逻辑。高阶逻辑的一个重大不足是没有完全性，它的任何公理系统都不能证明系统中的全部普遍有效公式。而一阶逻辑具有完全性。虽然一阶逻辑的表达能力有限，但也已很强了，特别是有了公理集合论以后，用一阶逻辑的语言可以陈述当今数学的全部分支。因此，有许多逻辑学家认为，除一阶逻辑而外无需研讨高阶逻辑。然而，用一阶逻辑陈述许多相当简单的定义和证明显得十分复杂，而通过高阶逻辑陈述这些定义和证明则要简单得多。尽管通过集合论可以把高阶逻辑归纳到一阶逻辑，但却造成定义和证明的大大复杂化。因此，在数理逻辑中高阶逻辑仍是有生命力的。 作作业业五五1. 1. 在一阶逻辑中将下列命题符号化。在一阶逻辑中将下

66、列命题符号化。（1 1） 每个人都有心脏。每个人都有心脏。（2 2） 有的狗会飞。有的狗会飞。（3 3） 没有不犯错误的人。没有不犯错误的人。（4 4） 发光的不都是金子。发光的不都是金子。（5 5） 一切人都不一样高。一切人都不一样高。（6 6） 并不是所有的汽车都比火车快。并不是所有的汽车都比火车快。（7 7） 没有一个自然数大于等于任何自然数。没有一个自然数大于等于任何自然数。（8 8） 有唯一的偶素数。有唯一的偶素数。（9 9） 不管黑猫白猫，抓住老鼠就是好猫。不管黑猫白猫，抓住老鼠就是好猫。（1010）对平面上任意两点，有且仅有一条直线通过这两点。）对平面上任意两点，有且仅有一条直线

67、通过这两点。作作业业五五续续3作作业业五五续续4作作业业五五续续永真式永真式永真式永真式本章主要内容本章主要内容q个体词个体词个体常项个体常项个体变项个体变项个体域个体域全总个体域全总个体域q谓词谓词谓词常项谓词常项谓词变项谓词变项n(n1)n(n1)元谓词元谓词特性谓词特性谓词q量词量词全称量词全称量词存在量词存在量词本章主要内容本章主要内容q一阶逻辑中命题符号化一阶逻辑中命题符号化q一阶逻辑公式一阶逻辑公式原子公式原子公式合式公式（或公式）合式公式（或公式）闭式闭式q解释解释q一阶逻辑公式的分类一阶逻辑公式的分类逻辑有效式（或永真式）逻辑有效式（或永真式）矛盾式（或永假式）矛盾式（或永假式

68、）可满足式可满足式本章学本章学习习要求要求q要求准确地将给出的命题符号化：要求准确地将给出的命题符号化：当给定个体域时，在给定个体域内将命题符号化。当给定个体域时，在给定个体域内将命题符号化。当没给定个体域时，应在全总个体域内符号化。当没给定个体域时，应在全总个体域内符号化。在符号化时，当引入特性时，注意全称量词与蕴含联结词的在符号化时，当引入特性时，注意全称量词与蕴含联结词的搭配，存在量词与合取联结词的搭配。搭配，存在量词与合取联结词的搭配。q深刻理解逻辑有效式、矛盾式、可满足式的概念。深刻理解逻辑有效式、矛盾式、可满足式的概念。q记住闭式的性质：在任何解释下均为命题。记住闭式的性质：在任何解释下均为命题。q对给定的解释，会判别公式的真值或不能确定真值。对给定的解释，会判别公式的真值或不能确定真值。