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1、第四节第四节 参数方程和参数方程和极坐标极坐标 一、参数方程一、参数方程二、极坐标二、极坐标对于平面直角坐标系上的一条曲线对于平面直角坐标系上的一条曲线C，其对应的方，其对应的方程一般可用方程程一般可用方程 或或表示表示. 但在有些但在有些情况下，建立曲线的方程情况下，建立曲线的方程 或或困难，困难， 本节将介绍曲线的参数方程和极坐标方程本节将介绍曲线的参数方程和极坐标方程. 十分十分一、一、 参数方程参数方程 一一般般地地,在在直直角角坐坐标标系系中中,如如果果曲曲线线上上任任意意一一点点的的坐标坐标 x、y 都是某个变量都是某个变量 t 的函数的函数 -(1)并并且且对对于于t 的的每每一
2、一个个允允许许值值, 由由方方程程组组(1) 所所确确定定的的点点M (x,y) 都都在在这这条条曲曲线线上上,那那么么方方程程组组(1) 就就叫叫做做这这条条曲曲线线的的参参数数方方程程, 联联系系x、y 之之间间的的变变数数 t 叫叫做做参参变变数数，简称为简称为参数参数.1.圆圆 x2+y2=r2(r0) 的参数方程的参数方程:2.椭圆椭圆 的参数方程的参数方程:二、极坐标二、极坐标 在平面上定在平面上定义由一定点和一条定由一定点和一条定轴所所组成的坐成的坐标系称系称为极坐极坐标系系，其中定点称，其中定点称为极点极点，定，定轴称称为极极轴.如如图 0 2 . 其中其中 表示点表示点P到极
3、到极点点O的距离的距离, 表示射表示射线OP与极与极轴正向的正向的夹角角.这里里坐坐标系中的点系中的点 P 用有序数用有序数 表示表示. 若取极点作若取极点作为原点，极原点，极轴作作为x轴建立直角坐建立直角坐标系，系，这样得到得到极坐极坐标与直角坐与直角坐标的关系的关系：或或(2) x = cos ， y = sin (1) =1， 表示表示圆心在极点，半径心在极点，半径为1的的圆. 利用式利用式(1)、(2)可以把直角坐可以把直角坐标方程和极坐方程和极坐标方程方程进行互化行互化.建立建立 与与 关系的等式称为极坐标方程，如关系的等式称为极坐标方程，如 例例1 将极坐标方程将极坐标方程=2co
4、s 化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线. 则则 x2 + y2 = 2x (x- -1)2 + y2 = 1,所以它表示圆心为所以它表示圆心为(1,0)，半径为，半径为1的圆的圆. 解解 方程两方程两边同乘以同乘以 得得例例2 2 将直线将直线将将得相应的极坐标方程为得相应的极坐标方程为化为极坐标化为极坐标. .解解代入上式，得代入上式，得例例3 3 已知直角坐标点已知直角坐标点，求相应的极坐标点，求相应的极坐标点. . 所以相所以相应的极坐的极坐标点点为解解例例4 4 已知极坐标点已知极坐标点，求相应的直角坐标点，求相应的直角坐标点. . 所以相应的
5、直角坐标点为所以相应的直角坐标点为解解 r = a(1 + cos ), 下面给几个特殊的极坐标方程：下面给几个特殊的极坐标方程： (1) 心形心形线 (外外摆线的一种的一种)如如图极坐标方程为极坐标方程为 化为直角方程为化为直角方程为 r2 = a2cos2 下面给几个特殊的极坐标方程：下面给几个特殊的极坐标方程： (2) 双双纽线, 如如图极坐标方程为极坐标方程为 化为直角方程为化为直角方程为 (x2 + + y2)2 = a2(x2 - - y2) r = a 下面给几个特殊的极坐标方程：下面给几个特殊的极坐标方程： (3) 阿基米德螺线阿基米德螺线, 如如图极坐标方程为极坐标方程为例例
6、 试写出下列图形的极坐标表达式，如果图形是试写出下列图形的极坐标表达式，如果图形是封闭的，写出该图形所包围的区域极角封闭的，写出该图形所包围的区域极角的范围。的范围。作业作业P23 2(1)(3)P23 2(1)(3)，3 3目标在哪？目标在哪？在以在以为为X轴轴以以为为Y轴，轴，坐标是坐标是.算的太慢了！算的太慢了！以深南大道为以深南大道为X轴轴以南新路为以南新路为Y轴轴.请问：请问：去蛇口怎么走？去蛇口怎么走？以深南大道为以深南大道为X轴轴以南新路为以南新路为Y轴轴.精神病！精神病！以深南大道为以深南大道为X轴轴以南新路为以南新路为Y轴轴.精神病！精神病！从这向南从这向南2000米。米。请问：请问：去蛇口怎么走？去蛇口怎么走？请分析上面这句话，告诉了人家什么？请分析上面这句话，告诉了人家什么？从从这这向向南南走走 2 0 0 0米米！出发点出发点方向方向距离距离在生活中我们经常用距离和方向来表示在生活中我们经常用距离和方向来表示一点的位置。用距离和方向表示平面上一点的位置。用距离和方向表示平面上一点的位置，就是极坐标。一点的位置，就是极坐标。
