机械制图与计算机绘图2011年年2月月 轴测轴测 投影投影图图 第五章第五章 轴测投影图轴测投影图学习目的学习目的 掌握正等测和斜二测的画法掌握正等测和斜二测的画法知识要点知识要点 1 1、建立轴测投影的基本概念，了解轴向伸缩系数和轴间、建立轴测投影的基本概念，了解轴向伸缩系数和轴间角的几何意义角的几何意义 2 2、掌握绘制轴测投影的基本方法掌握绘制轴测投影的基本方法 5.1 5.1 轴测图基本知识轴测图基本知识一、视图与轴测图的比较一、视图与轴测图的比较视图视图是多面投影图，真实反映物体形状和大小，标注尺寸是多面投影图，真实反映物体形状和大小，标注尺寸方便，但缺乏立体感；方便，但缺乏立体感；轴测图轴测图是单面投影图，立体感强是单面投影图，立体感强因此，工程上轴测图常作为帮助读图的辅助性图样，用于因此，工程上轴测图常作为帮助读图的辅助性图样，用于产品说明书、结构设计、管道系统图及广告等方面产品说明书、结构设计、管道系统图及广告等方面图图 二、轴测图的形成二、轴测图的形成1 1、、形成形成：将物体连同其直角坐标系，沿不平行于任一坐标：将物体连同其直角坐标系，沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在平面的方向，用平行投影法将其投射在单一单一投影面（即投影面（即轴轴测投影面测投影面）上所得到的图形称为）上所得到的图形称为轴测图轴测图。
如图如图 轴测图轴测图视视 图图 轴测图的形成轴测图的形成 2 2、、分类分类：：正轴测图正轴测图和和斜轴测图斜轴测图1 1））正轴测图正轴测图：投射线与轴测投影面垂直，：投射线与轴测投影面垂直，如图所示如图所示2 2））斜轴测图斜轴测图：投射线与轴测投影面倾斜，：投射线与轴测投影面倾斜，如图所示如图所示 3 3、投影特性、投影特性（（1 1））平行性平行性：物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互：物体上互相平行的线段，在轴测图上仍互相平行 相平行 （（2 2））定比性定比性：物体上两平行线段或同一直线上的两线段：物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比，在轴测图上保持不变长度之比，在轴测图上保持不变3 3））实形性实形性：物体上平行轴测投影面的直线和平面，在：物体上平行轴测投影面的直线和平面，在轴测图上反映轴测图上反映实长实长和和实形实形 返回返回 正轴测图正轴测图 斜轴测图斜轴测图 三、轴测图的基本术语和参数三、轴测图的基本术语和参数1 1、、轴测轴轴测轴：空间直角坐标系的坐标轴在轴测投影面上的：空间直角坐标系的坐标轴在轴测投影面上的投影2 2、、轴间角轴间角：：两轴测轴间的夹角。
两轴测轴间的夹角3 3、、轴向伸缩系数轴向伸缩系数：沿轴测轴方向的线段长度：沿轴测轴方向的线段长度( (轴测投影长轴测投影长度度) )与物体上沿坐标轴方向的对应线段长度与物体上沿坐标轴方向的对应线段长度( (真实长度真实长度) )之之比分别分别用符号用符号p p1 1 、、q q1 1 、、r r1 1表示各轴的轴向伸缩系数各轴的轴向伸缩系数：：如图如图（（1 1））X X轴的轴向伸缩系数：轴的轴向伸缩系数：p p1 1=O=O1 1C C1 1/OC/OC（（2 2））Y Y轴的轴向伸缩系数：轴的轴向伸缩系数：q q1 1=O=O1 1G G1 1/OG/OG（（3 3））Z Z轴的轴向伸缩系数：轴的轴向伸缩系数：r r1 1=O=O1 1H H1 1/OH/OH 轴测图的轴间角和轴向伸缩系数轴测图的轴间角和轴向伸缩系数 5.2 5.2 正等轴测图正等轴测图一、正等轴测图的形成和参数一、正等轴测图的形成和参数1 1、、形成形成：当物体上的三根直角坐标轴与轴测投影面的倾：当物体上的三根直角坐标轴与轴测投影面的倾角相角相等等时，用时，用正正投影法所得到的图形，称为投影法所得到的图形，称为正等轴测图正等轴测图，，简称简称正等测正等测。
图图2 2、、轴间角轴间角：在正等轴测图中，由于直角坐标系的三根轴：在正等轴测图中，由于直角坐标系的三根轴对轴测投影面的倾角相等，因此，对轴测投影面的倾角相等，因此，轴间角轴间角都是都是120120°°，其，其中中OZOZ1 1轴规定画成轴规定画成铅垂铅垂方向图图 3 3、、轴向伸缩系数轴向伸缩系数：各轴向的伸缩系数相等，都是：各轴向的伸缩系数相等，都是0.820.82 画图时，为了避免计算，一般用画图时，为了避免计算，一般用1 1代替代替0.820.82, , 叫叫简化系数简化系数，，并分别以并分别以p p、、q q、、r r表示图图 正等轴测图的形成正等轴测图的形成如图正方体分别绕如图正方体分别绕Z Z轴和轴和X X轴轴旋转一定角度，使对角线垂旋转一定角度，使对角线垂直于轴测投影面时，沿对角直于轴测投影面时，沿对角线投射即得物体正等轴测图线投射即得物体正等轴测图 正等轴测图的轴测轴、轴间角与轴向伸缩系数正等轴测图的轴测轴、轴间角与轴向伸缩系数 采用简化伸缩系数画出的正等轴测图采用简化伸缩系数画出的正等轴测图，，三个轴向尺寸都放大了约三个轴向尺寸都放大了约1.221.22倍，倍，但这并不影响正等轴测图的立体感以及物体各部分的比例。
但这并不影响正等轴测图的立体感以及物体各部分的比例 特别提示特别提示：：轴测图中，用粗实线绘制物体的可见轮廓线轴测图中，用粗实线绘制物体的可见轮廓线通常通常不画虚线不画虚线，，必要时可以用虚线绘制物体的不可见轮廓必要时可以用虚线绘制物体的不可见轮廓线轴测轴轴测轴可以随轴测图同时画出，也可以省略不画可以随轴测图同时画出，也可以省略不画二、正等轴测图的画法二、正等轴测图的画法1 1、平面立体的画法、平面立体的画法 常用方法常用方法：：坐标法坐标法、、切割法切割法、、堆积法堆积法和和综合法综合法1 1））坐标法坐标法 根据立体表面上各顶点的坐标，分别画出它们的轴测投影，根据立体表面上各顶点的坐标，分别画出它们的轴测投影，然后依次连接成立体表面的轮廓线然后依次连接成立体表面的轮廓线坐标法坐标法是画轴测图的是画轴测图的基本方法基本方法，，适用于适用于任何形状任何形状的物体 作图步骤作图步骤：：①①分析物体的形状，确定坐标原点和作图顺序分析物体的形状，确定坐标原点和作图顺序②②画轴测轴画轴测轴③③画各点轴测图，顺次连接各点，得各面轴测图画各点轴测图，顺次连接各点，得各面轴测图④④擦去作图线，描粗、加深，完成全图。
擦去作图线，描粗、加深，完成全图已知正六棱柱的正投影图，作其正等轴测图，已知正六棱柱的正投影图，作其正等轴测图，如图所示如图所示 巩固与练习巩固与练习 （（2 2））切割法切割法（（方箱法方箱法）） 先用坐标法画出完整平面立体的轴测图，先用坐标法画出完整平面立体的轴测图，然后切去多余部然后切去多余部分，形成立体的轴测图分，形成立体的轴测图适用于适用于带切面带切面的平面立体的平面立体作图步骤：作图步骤：①①形体分析，确定立体的原形及切去的各部分形体，选定形体分析，确定立体的原形及切去的各部分形体，选定坐标原点坐标原点②②作轴测轴，画出立体的原形作轴测轴，画出立体的原形③③依次切去依次切去多余部分多余部分④④整理，完成全图整理，完成全图例题：作出如图所示立体的例题：作出如图所示立体的正等轴测图正等轴测图 x xy yx x´ ´o o´ ´z z´ ´1111切割法作轴测图切割法作轴测图 作法一作法一 作法二作法二 （（3 3））堆积法堆积法（（叠加法叠加法）） 根据各基本体所在的坐标，分别画出各立体的轴测图适根据各基本体所在的坐标，分别画出各立体的轴测图适用于用于叠加叠加而形成的而形成的组合体组合体。
作图步骤作图步骤①①形体分析，将组合体分解为几个基本体，选定坐标原点形体分析，将组合体分解为几个基本体，选定坐标原点②②作轴测轴作轴测轴③③依次画出各基本体的轴测图依次画出各基本体的轴测图④④擦去作图线，描粗、加深，完成全图擦去作图线，描粗、加深，完成全图例题：作出例题：作出如图所示如图所示组合体的轴测图组合体的轴测图 形体分析并选定坐标原点形体分析并选定坐标原点 特别提示特别提示：：上述三种方法适用于画所有立体轴测图上述三种方法适用于画所有立体轴测图2 2、回转体的画法、回转体的画法（（1 1）投影分析）投影分析回转体表面除了直线轮廓线外，还有曲线轮廓线，用得最回转体表面除了直线轮廓线外，还有曲线轮廓线，用得最多的曲线轮廓线是多的曲线轮廓线是圆圆或或圆弧圆弧画回转体的正等轴测图，一画回转体的正等轴测图，一般都离不开画平行于般都离不开画平行于坐标面坐标面的圆的正等轴测图的圆的正等轴测图2 2）平行于）平行于坐标面的坐标面的圆的正等轴测图圆的正等轴测图 根据正等测的形成原理可知，平行于根据正等测的形成原理可知，平行于坐标面坐标面的的圆圆的正等轴的正等轴测图均为测图均为椭圆椭圆。
如图所示如图所示，按简化伸缩系数绘制的分别平行于，按简化伸缩系数绘制的分别平行于XOYXOY、、XOZXOZ和和YOZYOZ三个坐标面的圆的正等轴测投影三个坐标面的圆的正等轴测投影 1 11 11 11 1 由图可见由图可见：：三个椭三个椭圆的形状和大小相同但圆的形状和大小相同但方向各不相同平行于方向各不相同平行于XOYXOY、、XOZXOZ和和YOZYOZ三个坐三个坐标面的椭圆的长轴分别标面的椭圆的长轴分别垂直于垂直于O O1 1Z Z1 1轴、轴、O O1 1Y Y1 1轴、轴、O O1 1X X1 1轴 即回转体的即回转体的正等轴测正等轴测图图，其，其端面椭圆端面椭圆的的长轴长轴必定必定垂直垂直于回转体的于回转体的轴轴线线 （（3 3））椭圆的近似画法椭圆的近似画法 通常采用通常采用四段圆弧连接四段圆弧连接的近似画法即的近似画法即菱形四心法菱形四心法如图如图如图所示如图所示，求作半径为，求作半径为R R的水平圆的正等轴测图的水平圆的正等轴测图作图步骤作图步骤：：①①定出直角坐标的原点及坐标轴，做圆的外切正方形定出直角坐标的原点及坐标轴，做圆的外切正方形②②画出轴测轴，做正方形的轴测投影及对角线。
画出轴测轴，做正方形的轴测投影及对角线③③连点定圆心及切点连点定圆心及切点④④分别画出各段圆弧并连成近似椭圆分别画出各段圆弧并连成近似椭圆特别提示特别提示：画图时，应注意：画图时，应注意长短轴长短轴的的方向方向 与讨论与讨论：作出如图所示圆柱体的正等轴测图：作出如图所示圆柱体的正等轴测图 作图说明：作图说明：①①从投影图可知，这是一个直立的圆柱体，顶圆、底圆都从投影图可知，这是一个直立的圆柱体，顶圆、底圆都是是水平圆水平圆，可以取顶圆的圆心为原点，选取，可以取顶圆的圆心为原点，选取如图如图坐标轴②②用近似法画出顶圆的轴测投影椭圆后，可将绘制该椭圆用近似法画出顶圆的轴测投影椭圆后，可将绘制该椭圆各段圆弧的圆心沿各段圆弧的圆心沿Z Z1 1轴向下移动一个柱高的距离，可得到轴向下移动一个柱高的距离，可得到绘制下底椭圆各段圆弧的圆心位置，绘制下底椭圆各段圆弧的圆心位置，如图如图③③作两椭圆的公切线，判别可见性后，只画出底圆可见部作两椭圆的公切线，判别可见性后，只画出底圆可见部分的轮廓，具体作图结果见分的轮廓，具体作图结果见上图所示上图所示特别提示特别提示：两椭圆的：两椭圆的切线切线即为圆柱面的左右即为圆柱面的左右转向转向轮廓线轮廓线（（垂直于椭圆的长轴垂直于椭圆的长轴）。
3 3、平行于坐标面的圆角的正等轴测图的画法、平行于坐标面的圆角的正等轴测图的画法结构分析结构分析：：①①平行于坐标面的圆角，平行于坐标面的圆角，实质实质上就是平行于坐标面的上就是平行于坐标面的圆的圆的一部分一部分②②立体上的常见立体上的常见1/41/4圆柱面结构，恰好是是近似椭圆四段圆柱面结构，恰好是是近似椭圆四段圆弧中的一段圆弧中的一段因此，绘图时可先按方角画出，再根据圆角半径，参照圆因此，绘图时可先按方角画出，再根据圆角半径，参照圆的正等测椭圆的近似画法，定出近似轴测投影圆弧的圆心，的正等测椭圆的近似画法，定出近似轴测投影圆弧的圆心，从而完成圆角的正等轴测图从而完成圆角的正等轴测图例题：画出例题：画出如图所示如图所示带带圆角圆角的长方体底板的正等轴测图的长方体底板的正等轴测图 4 4、组合体正等轴测图的画法、组合体正等轴测图的画法 画组合体的正等轴测图时，也像画组合体三视图一样，要画组合体的正等轴测图时，也像画组合体三视图一样，要先进行形体分析，分析组合体的构成，然后再作图先进行形体分析，分析组合体的构成，然后再作图作图时，可先作图时，可先按按坐标法坐标法画出基本形体的轴测图，再利用画出基本形体的轴测图，再利用切切割法割法和和叠加法叠加法完成全图。
完成全图特别提示特别提示: :①①轴测图中轴测图中一般一般不画虚线不画虚线，，一般一般从前、上面从前、上面开始画起开始画起②②画图过程中应充分利用画图过程中应充分利用平行平行关系关系不变不变的特性，来加快和的特性，来加快和提高作图的速度和准确性提高作图的速度和准确性 【【例例5-15-1】】画出如图所示立体的正等轴测图画出如图所示立体的正等轴测图解解】】通过形体分析可知，该立体是由长方体切割形成的通过形体分析可知，该立体是由长方体切割形成的作图时可先画出长方体的正等轴测图，再按逐次切割的顺作图时可先画出长方体的正等轴测图，再按逐次切割的顺序作图画图步骤画图步骤：：1 1、选定坐标轴，并画轴测轴、选定坐标轴，并画轴测轴2 2、画长方体的轴测图、画长方体的轴测图3 3、切前方的斜面（侧垂面）、切前方的斜面（侧垂面）4 4、切槽（正垂面）、切槽（正垂面）5 5、清理加深，完成全图、清理加深，完成全图 【【例例5-25-2】】画出如图所示立体的正等轴测图画出如图所示立体的正等轴测图解解】】通过形体通过形体分析可知，该立分析可知，该立体是由体是由长方体长方体切切割形成作图时割形成作图时可先画出长方体可先画出长方体的正等轴测图，的正等轴测图，再按逐次切割的再按逐次切割的顺序作图。
顺序作图1 12 23 34 45 56 67 78 81′1′2′2′3′3′4′4′ 5′5′ 8′8′6′6′ 7′7′1″1″2″2″4″4″ 5″5″8″8″3″3″6″6″7″7″L L2 2L L1 1B B2 2B B1 1H H1 1H H2 2L L4 4L L3 3 L LB BH H画长方体画长方体 H H1 1画与投影面平行的截平面画与投影面平行的截平面 画与投影面垂直的截平面画与投影面垂直的截平面H H2 2B1B2 画一般位置的截平面画一般位置的截平面234158 画一般位置的截平面画一般位置的截平面23416758 画一般位置的截平面画一般位置的截平面23416758 23416758整理、描深完成全图整理、描深完成全图 整理、描深完成全图整理、描深完成全图 画切割型组合体正等轴测图的关键画切割型组合体正等轴测图的关键①①确定截切面的位置确定截切面的位置截切面为投影面的平行面时，只需截切面为投影面的平行面时，只需一个一个方向定位方向定位；垂直面，；垂直面，需要需要两个两个方向方向；一般位置平面，需要；一般位置平面，需要三个三个方向方向②②求作截切面与立体表面的交线求作截切面与立体表面的交线投影面的投影面的平行面平行面与立体表面的交线，通常平行于立体上相与立体表面的交线，通常平行于立体上相应的线；投影面的应的线；投影面的垂直面垂直面，通常有一个或两个；投影面的，通常有一个或两个；投影面的一般位置平面一般位置平面，没有一个。
没有一个③③保证一般位置平面上的点共面保证一般位置平面上的点共面 常采用常采用平面取点法平面取点法 【【例例5-35-3】】画出如图所示立体的正等轴测图画出如图所示立体的正等轴测图解解】】分析视图可知，该立体是叠加型组合体，由底板、分析视图可知，该立体是叠加型组合体，由底板、圆柱筒、支承板三部分组成作图时按照逐个形体叠加的圆柱筒、支承板三部分组成作图时按照逐个形体叠加的顺序画图顺序画图画图步骤：画图步骤：1 1、选定坐标轴，并画轴测轴、选定坐标轴，并画轴测轴2 2、画底板的轴测图、画底板的轴测图3 3、画圆柱筒的轴测图、画圆柱筒的轴测图4 4、画支承板的轴测图、画支承板的轴测图5 5、整理加深，完成全图、整理加深，完成全图 5.3 5.3 斜二等轴测图斜二等轴测图一、斜二等轴测图的形成一、斜二等轴测图的形成1 1、形成：当物体上的两根直角坐标轴与轴测投影面平行且、形成：当物体上的两根直角坐标轴与轴测投影面平行且两轴的轴向伸缩系数相等时，用两轴的轴向伸缩系数相等时，用斜斜投影法所得到的图形，称投影法所得到的图形，称为为斜二等轴测图斜二等轴测图，简称，简称斜二测斜二测2 2、轴间角：为了画图方便和考虑到立体感、轴间角：为了画图方便和考虑到立体感∠∠X X1 1O O1 1Z Z1 1=90=90°°、、 ∠∠X X1 1O O1 1Y Y1 1= ∠Y= ∠Y1 1O O1 1Z Z1 1 =135 =135°°其中其中O O1 1Z Z1 1轴轴规定画成规定画成铅垂铅垂方向。
方向3 3、轴向伸缩系数：、轴向伸缩系数：p p1 1= r= r1 1= 1 = 1 、、q q1 1= 0.5= 0.5图图特别提示特别提示：实际上在斜轴测图中，：实际上在斜轴测图中，∠∠X X1 1O O1 1Y Y1 1和和Y Y轴的轴向伸缩轴的轴向伸缩系数可以任意选择系数可以任意选择如图如图 斜二等轴测图轴间角与轴向伸缩系数斜二等轴测图轴间角与轴向伸缩系数111 1111111形式一形式一形式二形式二 4 4、斜二等轴测图的特点及应用、斜二等轴测图的特点及应用由于斜二测中由于斜二测中XOZXOZ坐标面坐标面平行于平行于轴测投影面轴测投影面，根据平行投，根据平行投影的实形性可知，物体上平行于该坐标面的任何图形，在影的实形性可知，物体上平行于该坐标面的任何图形，在斜二轴测图上均反映实形斜二轴测图上均反映实形所以，平行于所以，平行于XOZXOZ坐标面的圆和圆弧，其斜二测投影仍是坐标面的圆和圆弧，其斜二测投影仍是圆和圆弧圆和圆弧 因此，斜二轴测图主要用于表示因此，斜二轴测图主要用于表示仅在仅在一个方向一个方向上有上有圆圆或或圆圆弧弧的物体，当物体在的物体，当物体在两个两个或或两个以上两个以上方向有圆或圆弧时，方向有圆或圆弧时，通常采用通常采用正等测正等测的方法绘制轴测图。
的方法绘制轴测图 二、斜二等轴测图的画法二、斜二等轴测图的画法作图步骤：作图步骤：1 1、选定坐标轴，画轴测轴选定坐标轴，画轴测轴2 2、依次画出各形体的斜二等轴测图依次画出各形体的斜二等轴测图3 3、整理加深，完成全图整理加深，完成全图特别说明特别说明：画斜二等轴测图通常从：画斜二等轴测图通常从最前面最前面的面开始，沿的面开始，沿Y Y1 1轴轴方向方向分层定位分层定位，在，在X X1 1O O1 1Z Z1 1轴测面上轴测面上定形定形，注意，注意Y Y1 1方向的方向的伸缩系数为伸缩系数为0.50.5作作如图所示如图所示立体的斜二轴测图立体的斜二轴测图 与讨论与讨论 5.4 5.4 轴测剖视图的画法轴测剖视图的画法 为了表达物体内部形状和结构，可假想用两个剖切平面沿为了表达物体内部形状和结构，可假想用两个剖切平面沿轴向剖切物体，画成轴测剖视图轴向剖切物体，画成轴测剖视图并按并按图图5-115-11所示所示的方向在剖面区域画上剖面符号（亦称剖的方向在剖面区域画上剖面符号（亦称剖面线）轴测剖视图示例轴测剖视图示例如图如图5-125-12 图图5-11 5-11 轴测图上剖面线的方向轴测图上剖面线的方向 图图5-12 5-12 轴测剖视图轴测剖视图 5.5 5.5 轴测草图的画法轴测草图的画法 在绘制轴测草图时应注意三点在绘制轴测草图时应注意三点：一是：一是同方向图线同方向图线要要平行平行；；二是明确二是明确不同方向圆不同方向圆的的长短轴方向长短轴方向；三是掌握；三是掌握各部分各部分的的大大致比例致比例。
画轴测草图时，平面立体常用方箱法，即在长方体的基础画轴测草图时，平面立体常用方箱法，即在长方体的基础上进行切割或叠加；圆的轴测图还是用菱形法画椭圆上进行切割或叠加；圆的轴测图还是用菱形法画椭圆轴测草图画法示例，轴测草图画法示例，图图5-135-13 图图5-13 5-13 轴测草图画法轴测草图画法 习题讲解习题讲解 第五章第五章 自测自测 答案：答案：A A、、A A、、A A、、B B、、A A、、B B、、B B、、B B、、A A、、B B 。