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1、一阶方程的一般形式为一阶方程的一般形式为本节主要研究能把导数解出来的一阶方程本节主要研究能把导数解出来的一阶方程的解法的解法 这个方程虽然简单，也常常很难求这个方程虽然简单，也常常很难求出解的有限表达式出解的有限表达式几种特殊类型的一阶微分方程的解法。几种特殊类型的一阶微分方程的解法。所以本节只讨论所以本节只讨论特殊类型的一阶方程的求解特殊类型的一阶方程的求解一阶方程有时也可以写成如下的对称形式一阶方程有时也可以写成如下的对称形式它既可视为以它既可视为以 x 为自变量以为自变量以 y 为未知函数的方程为未知函数的方程也可以视为以也可以视为以 y 为自变量为自变量 以以 x 为未知函数的方程为未
2、知函数的方程很重要的观点很重要的观点考虑方程考虑方程或写成或写成两边积分得两边积分得 但并不是所有的一阶方程都能象上面但并不是所有的一阶方程都能象上面那样采取两边积分的方法来求它的通解那样采取两边积分的方法来求它的通解如如困难就在于方程的右端含有未知函数困难就在于方程的右端含有未知函数积分积分求不出来求不出来为了解决这个问题为了解决这个问题 方程的两边同乘以方程的两边同乘以 使方程变为使方程变为这样变量这样变量 x , y 已经分离在等式的两端已经分离在等式的两端两边积分得两边积分得 或或可以验证可以验证 是方程的通解是方程的通解注注y = 0 也是方程的解，但不包含在通解中也是方程的解，但不
3、包含在通解中 称为称为奇解奇解一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程. .这类方程的这类方程的特点特点是是经过适当整理，可使方程的只含有一个变量和经过适当整理，可使方程的只含有一个变量和其微分其微分解法解法分离变量法分离变量法为微分方程的解为微分方程的解.求解步骤求解步骤分离变量分离变量两边积分两边积分得到得到隐式通解隐式通解或或通积分通积分二、典型例题二、典型例题例例1 1 求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分解解通解为通解为解解由题设条件由题设条件衰变规律衰变规律例例5 5 某车间体积为某车间体积为12000立方米立
4、方米, 开始时空气中开始时空气中含有含有 的的 , 为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中 的含量的含量, 用一台风量为每秒用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机立方米的鼓风机通入含通入含 的的 的新鲜空气的新鲜空气, 同时以同样的同时以同样的风量将混合均匀的空气排出风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动问鼓风机开动6分分钟后钟后, 车间内车间内 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?解解 设鼓风机开动后设鼓风机开动后 时刻时刻 的含量为的含量为在在 内内,的通入量的通入量的排出量的排出量的通入量的通入量的排出量的排出量的改变量的改变量6分钟后分钟后, 车间内车间内 的百分比降低到的百分比降低到三、小结三、小结分离变量法步骤分离变量法步骤:1.分离变量分离变量;2.两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.注注 分离变量时，注意检查是否有漏解，特别分离变量时，注意检查是否有漏解，特别是写成对称形式的方程（因为要同除须保证分是写成对称形式的方程（因为要同除须保证分母不等于母不等于0）思考题思考题求解微分方程求解微分方程思考题解答思考题解答为所求解为所求解.练练 习习 题题练习题答案练习题答案
