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1、3.1.53.1.5空间向量运算的坐标空间向量运算的坐标表示表示一、向量的直角坐标运算一、向量的直角坐标运算已知已知(3,-2,4)，(-2,5,-3)，则，则二、距离与夹角二、距离与夹角1.1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。角线的长度。在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则（2 2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式终点坐标减终点坐标减起点坐标起点坐标2.2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（
2、2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。思考：当思考：当 及及 时，的夹角在什么范围内？时，的夹角在什么范围内？练习一：练习一：1.求下列两个向量的夹角的余弦：求下列两个向量的夹角的余弦：2.求下列两点间的距离：求下列两点间的距离：三、应用举例三、应用举例例例1已知、，求：已知、，求：（1）线段的中点坐标和长度；）线段的中点坐标和长度；解：设是的中点，则解：设是的中点，则点的坐标是点的坐标是.（2）到两点距离相等的点的）到两点距离相等的点的坐标满足的条件。坐标满足的条件。解：点到的距离相等，则解：点到的距离相等，则化简整理，得化简整理，得即到两点距离相等的点的坐标满即到两点距
3、离相等的点的坐标满足的条件是足的条件是例例2如图，在正方体中，如图，在正方体中，求与所成的角的余弦值。，求与所成的角的余弦值。解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则例例2如图，在正方体中，如图，在正方体中，求与所成的角的余弦值。，求与所成的角的余弦值。练习二：练习二：练习三：练习三：四、课堂小结：四、课堂小结：1.基本知识：基本知识：（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；）向量的长度公式与两点间的距离公式；（2）两个向量的夹角公式。）两个向量的夹角公式。2.思想方法：用向量计算或证明几何问题思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。证明。思考题：
