第三节第三节 竖曲线竖曲线l 1 1．定义．定义l纵纵断断面面上上两两个个坡坡段段的的转转折折处处，，为为了了便便于于行行车车用用一一段段曲线来缓和，称为竖曲线曲线来缓和，称为竖曲线α1α2ωi1i2i3变坡点：相邻两条坡度线的交点变坡点：相邻两条坡度线的交点变变坡坡角角：：相相邻邻两两条条坡坡度度线线的的坡坡角角差差，，通通常常用用坡坡度度值值之之差代替，用差代替，用ωω表示，即表示，即 ω=αω=α2 2-α-α1 1≈tgα≈tgα2 2- tgα- tgα1 1=i=i2 2-i-i1 1凹型凹型竖曲线竖曲线 ω>0ω>0凸型竖曲线凸型竖曲线 ω<0ω<0 l2 2．．竖曲线的作用竖曲线的作用n（（1 1））缓缓冲冲作作用用：：以以平平缓缓曲曲线线取取代代折折线线可可消消除除汽汽车车在在变坡点的突变变坡点的突变n（（2 2）保证公路纵向的行车视距）保证公路纵向的行车视距n 凸形：纵坡变化大时，盲区较大凸形：纵坡变化大时，盲区较大n 凹形：下穿式立体交叉的下线凹形：下穿式立体交叉的下线n 3. 竖竖曲线的线形曲线的线形n《《规范规范》》规定采用规定采用二次抛物线二次抛物线作为竖曲线的线形。
作为竖曲线的线形n 抛物线的纵轴保持直立，且与两相邻纵坡线相切抛物线的纵轴保持直立，且与两相邻纵坡线相切 AB一、竖曲线要素的计算公式一、竖曲线要素的计算公式n1 1．竖曲线的基本方程式：．竖曲线的基本方程式：设变坡点相邻两纵坡坡度设变坡点相邻两纵坡坡度分别为分别为i i1 1和和i i2 2n式中：式中：k k————抛物线顶抛物线顶点处的曲率半径点处的曲率半径 ；；n i i————竖曲线顶竖曲线顶（底）点处切线的坡度底）点处切线的坡度 抛物线上任一点的曲率半径为抛物线上任一点的曲率半径为R R，，n抛物线上任一点的曲率半径抛物线上任一点的曲率半径 R R = k= k（（1+i1+i2 2））3/23/2n竖竖曲曲线线底底部部的的切切线线坡坡度度i i1 1较较小小，，故故i2可可略略去去不不计计 ，，则竖曲线底部的曲率半径则竖曲线底部的曲率半径R R为：为：R ≈ kR ≈ kn对竖曲线上任一点对竖曲线上任一点P P，，其切线的斜率（纵坡）为其切线的斜率（纵坡）为 n当当x=0时，时，n当当x=L时，时， n则则 2 2．竖曲线诸要素计算公式．竖曲线诸要素计算公式n（（1 1）竖曲线长度）竖曲线长度L L或竖曲线半径或竖曲线半径R Rn L = L = x xA A - - x xB Bn （（2 2）竖曲线切线长）竖曲线切线长T Tn 因为因为T = TT = T1 1 = T= T2 2，，则则 i2AB（（3 3））竖竖曲曲线线外距外距E E i2n（（4）竖曲线上任一点竖距）竖曲线上任一点竖距h n下半支曲线在竖曲线终点的切线上的竖距下半支曲线在竖曲线终点的切线上的竖距h’为：为： hL-xh’ n（（4）竖曲线上任一点竖距）竖曲线上任一点竖距h n下半支曲线在竖曲线终点的切线上的竖距下半支曲线在竖曲线终点的切线上的竖距h’为：为： 为简单起见，将两式合并写成下式，为简单起见，将两式合并写成下式， 式中：式中：x——竖曲线上任意点与竖曲线始点或终点的水平距离，竖曲线上任意点与竖曲线始点或终点的水平距离， y——竖竖曲曲线线上上任任意意点点到到切切线线的的纵纵距距，，即即竖竖曲曲线线上上任任意意点点与坡线的高差与坡线的高差。
竖曲线外距竖曲线外距E E§ 上半支曲线x = T1时：故 T1 = T2 = T§ 由于外距是边坡点处的竖距，则E1 = E2 = E，§下半支曲线x = T2时： n （一）竖曲线设计限制因素（一）竖曲线设计限制因素n 1 1．缓和冲击．缓和冲击n 汽车在竖曲线上行驶时其离心加速度为汽车在竖曲线上行驶时其离心加速度为: : 二、竖曲线的最小半径二、竖曲线的最小半径 n根据试验，认为离心加速度应限制在根据试验，认为离心加速度应限制在0.5～～0.7m/s2比较比较合适我国合适我国《《标准标准》》规定的竖曲线最小半径值，相当于规定的竖曲线最小半径值，相当于a=0.278 m/s2 n 2．时间行程．时间行程不过短不过短n 最短应满足最短应满足3 3s s行程§3 3．满足视距的要求：．满足视距的要求：．满足视距的要求：．满足视距的要求： 凸形竖曲线：坡顶视线受阻凸形竖曲线：坡顶视线受阻 凹形竖曲线：下穿立交凹形竖曲线：下穿立交4. 4. 凸形竖曲线主要控制因素：行车视距凸形竖曲线主要控制因素：行车视距。
凹形竖曲线的主要控制因素：缓和冲击力凹形竖曲线的主要控制因素：缓和冲击力 （二）凸形竖曲线最小半径和最小长度（二）凸形竖曲线最小半径和最小长度（二）凸形竖曲线最小半径和最小长度（二）凸形竖曲线最小半径和最小长度n 凸形竖曲线最小长度凸形竖曲线最小长度以满足停车视距要求为主以满足停车视距要求为主n按竖曲线长度按竖曲线长度L和停车视距和停车视距ST的关系分为两种情况的关系分为两种情况n 1．当．当L
保证跨线桥下行车有足够的视距n《《标标准准》》规规定定竖竖曲曲线线的的最最小小长长度度应应满满足足3s行行程程要要求求 （三）凹形竖曲线最小半径和最小长度（三）凹形竖曲线最小半径和最小长度n凹凹形形竖竖曲曲线线最最小小长长度度相相当当于于各各级级道道路路计计算算行行车车速速度的度的3秒行程秒行程 三、逐桩设计高程计算三、逐桩设计高程计算三、逐桩设计高程计算三、逐桩设计高程计算 变坡点桩号变坡点桩号BPDBPD变坡点设计高程变坡点设计高程H H竖曲线半径竖曲线半径R R1 1．纵断面设计成果．纵断面设计成果HR 2 2．竖曲线要素的计算公式：．竖曲线要素的计算公式：l 变坡角变坡角ω= i2- i1l 曲线长：曲线长：L=Rωl 切线长：切线长：T=L/2= Rω/2l 外外 距：距： xn 竖曲线起点桩号竖曲线起点桩号: QD=BPD - Tn 竖曲线终点桩号竖曲线终点桩号: ZD=BPD + Tyx三、逐桩设计高程计算三、逐桩设计高程计算三、逐桩设计高程计算三、逐桩设计高程计算 纵纵 距：距： H HT TH HS Sy yHnBPDBPDn nBPDn-1-1Hn-1-1i in ni in-1n-1i in+1n+1LczLcz1 1LczLcz- -BPDBPDn n-1-13. 3. 逐桩设计高程计算逐桩设计高程计算 切线高程：切线高程：LczLcz2 2H HT T 直坡段上，直坡段上，y=0。
x——竖曲线上任一点离开起（终）点距离；竖曲线上任一点离开起（终）点距离； 其中：其中： y——竖曲线上任一点竖距竖曲线上任一点竖距；；设计高程：设计高程： HS = HT ± y （（凸竖曲线取凸竖曲线取“-”，凹竖曲线取，凹竖曲线取“+”）） 3. 3. 逐桩设计高程计算逐桩设计高程计算 切线高程：切线高程：以变坡点为分界计算：以变坡点为分界计算： 上半支曲线上半支曲线 x = Lcz - QD 下半支曲线下半支曲线 x = ZD - Lcz以竖曲线终点为分界计算：以竖曲线终点为分界计算： 全部曲线全部曲线 x = Lcz - QD n[例例 3-3]：： 某某 山山 岭岭 区区 一一 般般 二二 级级 公公 路路 ，， 变变 坡坡 点点 桩桩 号号 为为k5+030.00，，高高程程H1=427.68m，，i1=+5%，，i2=- -4%，，竖竖曲曲线线半半径径R=2000mn试试计计算算竖竖曲曲线线诸诸要要素素以以及及桩桩号号为为k5+000.00和和k5+100.00处处的设计高程。
的设计高程n解：解：1．计算竖曲线要素．计算竖曲线要素n ω=i2- - i1= - - 0.04- -0.05= - - 0.09<0，，为凸形n 曲线长曲线长 L = Rω=2000×0.09=180mn 切线长切线长 n 外外 距距 n 竖曲线起点竖曲线起点QD＝（＝（K5+030.00））- - 90 = K4+940.00n 竖曲线终点竖曲线终点ZD＝（＝（K5+030.00））+ + 90 = K5+120.00 2 2．计算设计高程．计算设计高程．计算设计高程．计算设计高程l K5+000.00：：位于上半支位于上半支l 横距横距x1= Lcz – QD = 5000.00 – 4940.00＝＝60ml 竖距竖距 n切线高程切线高程 HT = H1 + + i1（（ Lcz - - BPD））n = 427.68 + 0.05×(5000.00 - - 5030.00)n = 426.18m n设计高程设计高程 HS = HT - - y1 = 426.18 - - 0.90=425.18m n （（凸竖曲线应减去改正值）凸竖曲线应减去改正值） K5+100.00K5+100.00：：：：位于下半支位于下半支位于下半支位于下半支l①①按竖曲线终点分界计算：按竖曲线终点分界计算：l 横距横距x2= Lcz – QD = 5100.00 – 4940.00＝＝160ml 竖距竖距 n 切线高程切线高程 HT = H1 + + i1（（ Lcz - - BPD））n = 427.68 + 0.05×(5100.00 - - 5030.00)n = 431.18m n 设计高程设计高程 HS = HT – y2 = 431.18 – 6.40 = 424.78m K5+100.00K5+100.00：：：：位于下半支位于下半支位于下半支位于下半支l②②按变坡点分界计算：按变坡点分界计算：l 横距横距x2= ZD – Lcz = 5120.00 – 5100.00 ＝＝20ml 竖距竖距 n 切线高程切线高程 HT = H1 + + i2（（ Lcz - - BPD））n = 427.68 - - 0.04×(5100.00 - - 5030.00)n = 424.88m n 设计高程设计高程 HS = HT – y2 = 424.88 – 0.10 = 424.78m l作业：作业：l某二级公路一路段有三个变坡点，详细资料如下：某二级公路一路段有三个变坡点，详细资料如下：l 变坡点桩号变坡点桩号 设计高程设计高程 竖曲线半径竖曲线半径 l K12+450 172.513 5000l +950 190.013 4000l K13+550 173.513 3000l试计算试计算K12+700～～K13+300段段50m间隔的整桩号的设计高程值。
间隔的整桩号的设计高程值。