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1、 利用幂级数的性质（特别是性质利用幂级数的性质（特别是性质 3 和性质和性质4） 可以求出一些较为复杂的幂级数的和函数可以求出一些较为复杂的幂级数的和函数 （利用幂级数的和函数又可以求出一些（利用幂级数的和函数又可以求出一些较为复杂的常数项级数的和）较为复杂的常数项级数的和） 这是属于由给出的幂级数求和函数的问题，这是属于由给出的幂级数求和函数的问题，其反问题为其反问题为 问题问题1：给定一个函数给定一个函数 f (x) （假定它在区间假定它在区间 ( a , b ) 上具有任意阶导数），如何求出上具有任意阶导数），如何求出 f (x) 在在 区间区间 ( a , b ) 上的幂级数？上的幂级
2、数？第五节、函数展开成幂级数第五节、函数展开成幂级数定理（泰勒中值定理）定理（泰勒中值定理）如果函数如果函数 f (x) 在含有点在含有点的区间的区间 ( a , b ) 内有内有直到直到 n + 1 阶的连续导数，阶的连续导数，的一个的一个 n 次多项式次多项式与一个余项与一个余项之和，即之和，即则当则当 x 在在 ( a , b ) 内取任何值时，内取任何值时，f (x) 可以表示为可以表示为其中其中一、泰勒公式及泰勒级数一、泰勒公式及泰勒级数其中其中称之为马克劳林公式。称之为马克劳林公式。再令再令则余项又则余项又可以写成可以写成（二）泰勒级数（二）泰勒级数若若 f (x) 在在称为称为
3、f (x) 的泰勒级数的泰勒级数问题问题2: 除了除了显然在显然在 f (x) 的泰的泰勒勒级数收敛于级数收敛于处，处，外，泰勒级数是否一定收敛？外，泰勒级数是否一定收敛？如果它收敛，它是否一定收敛于如果它收敛，它是否一定收敛于 f (x) ？上具有任意阶导数上具有任意阶导数 , 则在泰勒公式中则在泰勒公式中 , 让多项式的项数趋于无穷，得到级数让多项式的项数趋于无穷，得到级数泰勒级数的前泰勒级数的前 n + 1 项部分和即为项部分和即为所以有所以有由泰勒公式有由泰勒公式有所以有所以有所以所以定理：定理：设设 f (x) 在在的的充分必要条件是充分必要条件是则则 f (x) 在该邻域内可以唯一
4、表示在该邻域内可以唯一表示 ( 或展开或展开) 为泰勒级数为泰勒级数内具有任意阶导数，内具有任意阶导数，特别，当特别，当称其称其为为 f (x) 的马克劳林级数。的马克劳林级数。函数函数 f (x) 在在（1）f (x) 在在 该邻域内是否具有任意阶导数；该邻域内是否具有任意阶导数；（2）当）当时，泰勒级数成为时，泰勒级数成为内是否可以展开为泰勒级数内是否可以展开为泰勒级数或马克劳林级数取决于下面两个条件：或马克劳林级数取决于下面两个条件：时，是否满足时，是否满足二二 、函数展开成幂级数、函数展开成幂级数（一）直接展开法一）直接展开法将将 f (x) 展开成马克劳林级数的步骤如下：展开成马克劳
5、林级数的步骤如下：如果在如果在 x = 0 处某阶导数不存在，则停止计算。处某阶导数不存在，则停止计算。并求出并求出收敛半径收敛半径 R 和收敛域和收敛域 I ( 3 ) 考察在收敛域考察在收敛域 I 内余项内余项的极限的极限是否为是否为 0 ，如果为，如果为 0 ，则，则 f (x) 在在 收敛域收敛域 I 上上的马克劳林展开式即为的马克劳林展开式即为注意：注意：在上述展开中一定要验证条件在上述展开中一定要验证条件例例1：将函数将函数 展开成马克劳林级数展开成马克劳林级数解解 : (1)( 2 ) 写出函数的马克劳林级数写出函数的马克劳林级数求收敛域求收敛域（3）在收敛域内考察余项的极限）在
6、收敛域内考察余项的极限所以所以 例例1：将函数将函数 展开成马克劳林级数展开成马克劳林级数解解 : (1)在在可展成马克劳林级数可展成马克劳林级数例例2：将函数将函数 展开成马克劳林级数展开成马克劳林级数解：利用解：利用可以定出可以定出所以所以并可用比值判别法求得收敛域：并可用比值判别法求得收敛域：例例2：将函数将函数 展开成马克劳林级数展开成马克劳林级数并可用比值判别法求得收敛区间：并可用比值判别法求得收敛区间：解：利用解：利用可以定出可以定出所以所以可展成马克劳林级数可展成马克劳林级数（二）间接展开法二）间接展开法间接展开法间接展开法是以一些已知函数的幂级数展开式是以一些已知函数的幂级数展
7、开式为基础，利用幂级数的性质、变量代换等方法为基础，利用幂级数的性质、变量代换等方法，间接求出一些较为复杂函数的幂级数展开式，间接求出一些较为复杂函数的幂级数展开式例如：例如：分别令分别令则得则得例例1：将函数将函数 和和 分别展开成分别展开成 x 的幂级数的幂级数解解： （1）因为）因为所以等式两边关于所以等式两边关于 x 求导得求导得（2）因为）因为例例1：将函数将函数 和和 分别展开成分别展开成 x 的幂级数的幂级数解解：因为因为例例2：将函数将函数 展开成展开成 x 的幂级数的幂级数解解：例例2：将函数将函数 展开成展开成 x 的幂级数的幂级数解解：也收敛也收敛所以有所以有例例3：将函数将函数 展开成展开成 ( x 1) 的幂级数的幂级数解：解：在上式中取在上式中取例例3：将函数将函数 展开成展开成 ( x 1) 的幂级数的幂级数解：解：在上式中取在上式中取例例3：将函数将函数 展开成展开成 ( x 1) 的幂级数的幂级数解：解：习题习题11 5: 1(1, 6), 2, 3, 8 第十一章第五节第十一章第五节: 作业作业
