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1、第五节第五节 不定积分的计算不定积分的计算一一 第一类换元积分法第一类换元积分法二二 第二类换元积分法第二类换元积分法三三 分部积分法分部积分法四四 几类特殊函数的积分几类特殊函数的积分一、第一类换元积分法一、第一类换元积分法 设设则则如果如果（可微）可微）由此可得不定积分的一个重要特性由此可得不定积分的一个重要特性积分积分形式的不变形。形式的不变形。（1 1） 定理定理1 1 设设 具有原函数具有原函数 ， 可可 导，导，则有以下公式则有以下公式 2.2.使用公式使用公式(1)(1)的关键在于将的关键在于将化为化为 ，进而化为进而化为 说明：说明：1.1. 定理定理1 1说明说明不论积分变量
2、是自变量不论积分变量是自变量还是中间变量不定积分形式总是不变的。即还是中间变量不定积分形式总是不变的。即原来对变量原来对变量x的积分可通过变量代换变成对的积分可通过变量代换变成对变量变量u的积分。的积分。这种计算不定积分的方法称这种计算不定积分的方法称为第一类换元法为第一类换元法，也称凑微分法。也称凑微分法。例例1 1 求求解解： 被被积积函函数数中中的的一一个个因因子子为为 ， ；剩下的因子剩下的因子 恰好是中间变量恰好是中间变量 的的导数，于是有导数，于是有例例2 2 求求解：解：例例3 3 求求解法解法一一:解法解法二：二：解法解法三：三：一般地，对于积分一般地，对于积分 总可以取总可以
3、取 ，使之化为使之化为 例例4 4 求求解：解：一般地，对于积分一般地，对于积分 总可以取总可以取 ，使之化为使之化为 例例5 5 求求解：解：熟练以后就不需要进行熟练以后就不需要进行 转化了转化了例例6 6 求求类似地，类似地，解：解：例例7 7 求求解解：例例8 8 求求解：解：例例9 9 求求解：解：例例1010 求求解法一：解法一： 解法二解法二: :例例1111 求求解：解：例例1212 求求解法一解法一:（使用了三角函数恒等变形）类似地可推出类似地可推出解法二：解法二：（应用例（应用例9 9的结论）的结论） xdxcsc例例1313 求求解：解：例例1414 求求当被积函数是三角函
4、数相乘时，拆开奇次项去当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分。凑微分。解解：例例1515 求求解：解：二二、第二类、第二类换元积分法换元积分法凑微分法是通过中间变量凑微分法是通过中间变量 将积分将积分 化成化成 , ,下面要下面要介绍的换元积分法是通过变量代换介绍的换元积分法是通过变量代换 将积分将积分 化为积分化为积分证：证： 设设 为为 的原函数的原函数,令令则则定理定理2 2 设设 是单调的、可导的函数是单调的、可导的函数, ,并并且且 ，又设，又设 具有原函数，具有原函数，则有换元公式则有换元公式其中其中 是是 的反函数的反函数（2 2）式为第二类换元积分公式）式为第二类换元积
5、分公式这说明这说明 为为 的原函数。的原函数。例例1616 求求解解:例例1717 求求解解：令令其中其中例例1818 求求解解: 令令其中其中说明说明以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换. .三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令基本积分表例例1919 求求解解:例例2020 求求解解:例例2121 求求解解:定理定理3 3 设设 ， 具有连续导数，则具有连续导数，则 三、分部积分法三、分部积分法（3 3）式为分部积分公式）式为分部积分公式或或 （3 3）证明：证明： 由乘积的求
6、导公式由乘积的求导公式 得得故故或写成或写成例例2222 求求 如果令如果令显然，显然， 选择不当，积分更难进行选择不当，积分更难进行解解: 令令则则 容易积出。容易积出。要比要比(2)要容易求得；要容易求得；(1)一般要考虑下面两点：一般要考虑下面两点：和和选取选取 例例2 23 3 求求解：解：（再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正( (余余) )弦函数或幂弦函数或幂函数和指数函数的乘积函数和指数函数的乘积, , 就考虑设幂函数为就考虑设幂函数为 , ,使使其降幂一次其降幂一次( (假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数) )。例例24
7、24 求求 解：解：例例2525 求求 解：令解：令例例2626 求求 解解: : 当分部积分公式比较熟练之后，就不必再把当分部积分公式比较熟练之后，就不必再把 和和 写写出出来来了了，只只要要把把被被积积表表达达式式凑凑成成 的的形形式式，便便可使用分部积分法。可使用分部积分法。总结 如如果果被被积积函函数数是是幂幂函函数数与与对对数数函函数数的的乘乘积积或或幂幂函函数数与与反反三三角角函函数数的的乘乘积积，可可设设 为为对对数数函函数数或或反反三角函数三角函数. .例例2727 求求 解：解：又解：又解：总总结结 若若被被积积函函数数是是指指数数函函数数与与三三角角函函数数的的乘乘积积，则
8、则 可任选，但应注意接连几次应用分部积分公可任选，但应注意接连几次应用分部积分公式时所选的式时所选的 应为同类型函数。应为同类型函数。例例2828 求求解：解：四、四、几类特殊函数的积分几类特殊函数的积分两个多项式的商表示的函数。两个多项式的商表示的函数。有理函数的定义有理函数的定义其中其中都是非负整数；都是非负整数；及及都是实数，并且都是实数，并且1.1.有理函数的积分有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是真分式；这有理函数是假分式。这有理函数是假分式。有理函数有以下性质有理函数有以下性质 1 1）利用多项式除法）利用多项式除法
9、, , 假分式可以化成一假分式可以化成一 个多项式和一个真分式之和。个多项式和一个真分式之和。例如，我们可将例如，我们可将化为多项式与真分式之和化为多项式与真分式之和其中其中 都是待定的常数。都是待定的常数。2 2）在实数范围内真分式总可以分解）在实数范围内真分式总可以分解 成几个最简式之和。成几个最简式之和。最简分式是下面两种形式的分式最简分式是下面两种形式的分式 特殊地特殊地：分解后为分解后为3 3）有理函数化为部分分式之和的一般规律）有理函数化为部分分式之和的一般规律：（1 1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为其中其中都是待定的常数都是待定的常数（2 2）分母中若
10、有因式）分母中若有因式 ，其中其中则分解后为则分解后为其中其中iiNM ,都是待定的常数都是待定的常数), 2 , 1(kiL= =特殊地特殊地：分解后为分解后为例例2929 方法一（比较系数法方法一（比较系数法) ) 方法二（赋值法）方法二（赋值法） 令令得得令令得得两种方法都能得到两种方法都能得到例例3030例例3131 求求 解解: 有理真分式的积分归结为求下面四种类型有理真分式的积分归结为求下面四种类型的部分分式的积分：的部分分式的积分：(1)(1) (3)(3) (2)(2) (4)(4) 下面逐一给出他们的求法下面逐一给出他们的求法(1)(1) (2)(2) 当当时时, ,(3)(
11、3) 当当时时, ,(4) (4) 当当 且且 时时, ,这里这里 记记 则则即即而而结论结论 有理函数的原函数都是初等函数。有理函数的原函数都是初等函数。虽然从理论上讲，有理函数总可以分解为部分分虽然从理论上讲，有理函数总可以分解为部分分式然后再积分，但是实际上，不能机械地套用这式然后再积分，但是实际上，不能机械地套用这个原理，而要根据情况，把积分尽量简化。个原理，而要根据情况，把积分尽量简化。例例3232 求求解：解： 解解:例例3333 求求 例例3434 求求 解解:三角有理式的定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数。一般记为构成的函数。一
12、般记为2. 2. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分令令（万能置换公式）（万能置换公式）解解:由万能置换公式由万能置换公式例例35 35 求求例例3636 求求解法一：解法一：解法二：解法二： 修改万能置换公式修改万能置换公式, ,令令解法三：解法三： 可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式结论结论比较以上三种解法比较以上三种解法, , 便知万能置换不一定是便知万能置换不一定是最佳方法最佳方法, , 故三角有理式的计算中先考虑其故三角有理式的计算中先考虑其它手段它手段, , 不得已才用万能置换。不得已才用万能置换。例例3737 求求 解解: 设设 即即例例3838 求求 解解:则则 首
13、先讨论类型首先讨论类型解决方法解决方法作代换去掉根号。作代换去掉根号。例例3939 求求令令3. 3. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分解解: :例例4040 求求解解: : 令令例例4141 求求解：解： 令令接着讨论形如接着讨论形如 的积分的积分例例4242 求求 解：解： 则则 令令 对于某些含有二次根式的不定积分，还可以用对于某些含有二次根式的不定积分，还可以用“倒代换倒代换”的方法来做。的方法来做。例例4343 求求 解解：设设当当 时也有同样结果时也有同样结果当当 时时, , 有有0 t 当被积函数含有两种或两种以上的根式当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） 例例4444 求求解：解：令令 例例4545 求求 解解: :
