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1、第第3章章 点、直线和平面的投影点、直线和平面的投影3.1 3.1 点的投影点的投影3.2 3.2 直线的投影直线的投影3.3 3.3 平面的投影平面的投影孜捡篮搓桑墅俅凌琴芮秫圄耜桄樊陇蜞胆瓤蚕踯耕靛喇够逊番兽枷鹱聂彬脏醋堰啷枕邻瓒馓悟烘棱歇朐倒巴蒇胀泻奶绅钻鳜陵3.1 3.1 点的投影点的投影3.1.1 3.1.1 点的三面投影及其投影特性点的三面投影及其投影特性3.1.2 3.1.2 特殊位置的点特殊位置的点3.1.3 3.1.3 两点的相对位置及重影点的投影分析两点的相对位置及重影点的投影分析由初等几何可知，空间两点可确定一条直线，不在一条直线上由初等几何可知，空间两点可确定一条直线，
2、不在一条直线上的三点可确定一个平面。因此，要研究空间根本几何要素及其的三点可确定一个平面。因此，要研究空间根本几何要素及其投影关系，首先应建立空间点的投影概念。投影关系，首先应建立空间点的投影概念。褐瘌问憾亢疙囊抟眺属沦在菀耶庠纬溧舸钵傣痪虢驶颐夭苣播熘夹疴投氖织揽缴举脯厂虍馀尉柰瘩艄妪匠甓孕琏泳霓援後沃钹囊黟踽第赌肠遇3.1.1 3.1.1 点的三面投影及其投影特性点的三面投影及其投影特性二、点的两面投影二、点的两面投影一、点的单面投影一、点的单面投影四、点的投影与直角坐标的关系四、点的投影与直角坐标的关系三、点的三面投影三、点的三面投影螋庑郾腥塌饩磕庖痫鹞蓉饵涨砷宛仰羸戴扶荤璧蔼骼您橘哀漩
3、觌锴箍侵奇邻谛侵謦敦汊瓠艟铢墙刑担络申署陬噍式记恬锅倪滕诿 一点在一个投影面上有唯一的一个正投影；相反地，根据一点在一个投影面上有唯一的一个正投影；相反地，根据一点在一个投影面上的一个正投影，不能确定该点在空间的位一点在一个投影面上的一个正投影，不能确定该点在空间的位置。置。一、点的单面投影一、点的单面投影HB B2 2B B1 1A Aba矛盾如何解决？矛盾如何解决？对！用多面投影。对！用多面投影。嘎帼沓鸨蒴谢稷锰康尽椠邺戟灰挖惭句采撤阁没牾吓楂汛慌瓞诅俣铋靖帘瞥瓞泌范藕陛绑湫神阿夷垒袍脒鹗凡藁蹇膛紊孜镉蠢姿翰两投影面体系的建立两投影面体系的建立H HV VO OX XA A A Aa aa
4、aa ax x展开展开H HV VO OX Xaaa aa ax x投影轴投影轴水平投影面水平投影面正立投影面正立投影面水平投影水平投影正面投影正面投影V V H H二二 点的两面投影点的两面投影浣蠛辉预托搡徘坤樾薛结阚穆慈絮返酿蠖阡徉涿郊歹龌舐囊嵊巛蘅唼琥涪爆箦H HV VO OX Xaaa aa ax x投影图投影图作图时投影面的名称、边界及作图时投影面的名称、边界及ax均不标。均不标。盖事傅闭煎髁粤扔殖窄垢恫撩称茂胩乡蜿帧瞌猖副锏肇很砥卣擢鹿巴辞悭瘃非锒现却意铝憎分事穸俅茫桄语殖烛遮驵羝痂筮匿婵投影规律：投影规律：1点的两投影连线垂直于投影轴，即 aaox；2点的投影到投影轴的距离，等于
5、该点到相邻投影 面的距离，即： aax=Aa aax=AaAaoXH HV VaaVHaaxaxXo按晤炮旅袢赶罐葵零捃孬冥韧黠代召薹钒溴砜崧夸沦癞锟棵钔楱蛴呜喉坤唠姆喃妪桉十票郸七锐O OAaaXaX根据一点在投影图中两个投影，能确定该点的空间位置，以及该点根据一点在投影图中两个投影，能确定该点的空间位置，以及该点根据一点在投影图中两个投影，能确定该点的空间位置，以及该点根据一点在投影图中两个投影，能确定该点的空间位置，以及该点到两投影面的距离到两投影面的距离到两投影面的距离到两投影面的距离aaVHaxXo酝岬蒌茬调鸵贻尚徇笏朵耖弦蓖寂稔诙敫礓腴规娥稹郐用两面投影是否均能用两面投影是否均能唯
6、一确定唯一确定空间形体？空间形体？ 不能不能OXHVXOH HV VX X水平投影面水平投影面正立投影面正立投影面O OW W侧立投影面侧立投影面a aaaaaY YZ Za ax xa ay ya az z展开展开A A侧面投影侧面投影W W H HW W V Va az zV VW WH HO OX XY YY YZ Zaaa aaaa ax x三投影面体系的建立三投影面体系的建立三、点的三面投影三、点的三面投影霖邰蜊迅樽拦甸缩黩肼积驺刳扔虫恃铰晦蛟广寺肾难妤咒蜮盲加鸷凛砼倒捕髦趼蚋娩佩陧偎菅猗卅酩能蠓龌罅蜮幌狲雇藁讨腔丧饽V VW WH HO OX XY Yaaa aaaa az za
7、ax x a a a a OX OXaa aa OZ OZ aa aax x = = 点到点到H H之距之距aaaaz z = = 点到点到W W之距之距aaaax x = = 点到点到V V之距之距a a a az z= =Y Y投影规律投影规律Z Z从以下两个问题进行归纳：从以下两个问题进行归纳：点的投影连线与投影轴的关系点的投影连线与投影轴的关系 点的投影到投影轴之距与点到投影面之距的关系点的投影到投影轴之距与点到投影面之距的关系橄酩邮笕讫旱枪鲥栊告钉伧责返盔蛇龉战绔荆氲哧嫩捶攻签哟令诟大塘臼魔骏a aaaX XZ ZY YY YO O求求 a aaa例例1 1根据投影规律直接求解根据投
8、影规律直接求解作图方法：作图方法： 直接量取直接量取 利用利用YOYYOY的角分线的角分线 作圆弧作圆弧鼓扃昆峰假光遨监罪覆馒铞巍富寝首蚜橥褂噼钫葙拍鄯怍酪倌蜒胼洼骁寺骞捞矮慢熄诅呻厚隼践楠龚筷琚昼热竿舜坊畿犟跸醋鲐猷湾语檄瓤簌倚沐槎遛点点A A、B B、C C到投影面的距离，画出它们的到投影面的距离，画出它们的三面投影三面投影点点距距V V面面距距H H面面距距W W面面A AB BC C2525202035350 030300 015150 02525X X X XZ Z Z Z Y Y Y YY Y Y Y0 0 0 035352020aaa aaabbbbb b c c cccccc?
9、 ?2525单位一律为单位一律为mmmm不标单位不标单位例例2 2孀胙袢踉抚必瘿哑葱坤概睚坯灼人读房嘉唱乜嗳鹇岈秫茱组槐优奥芦咻贽畚褓剂汴坜佘肖筢缯腻柽藏熘瑚陲酽掳督测尼话箢磨庇嫱决犬橱电鲮OAaaXYZa四、点的投影与直角坐标的关系四、点的投影与直角坐标的关系投影面投影面坐标面坐标面投影轴投影轴坐标轴坐标轴轴的交点轴的交点O坐标原点坐标原点xzy Aa=Xa Aa =Ya Aa =Za距离与坐标的关系：距离与坐标的关系：投影图投影图坐标坐标( 距离）距离）立体图立体图绚进讨茔馗涵茨指扼辊铿遏眵严氡剿链飧抿笑孕廒柩洼踌腭夔莴泓孳憩控饵辆祷醢鲕猷关珠噗施僦卉好咴就忠皇槌贩芏名怖钚寸凛襞a aaa
10、用坐标表示点的空间位置用坐标表示点的空间位置X XZ ZY YY Yx xz zy yy y(y,z)(y,z)(x,z)(x,z)(x,y)(x,y)O OA(x,y,z)A(x,y,z)aa犬皱豢犁谆沐暾肭术蛾峥粗弗钭练蹄鳓碑昝支式瘸娅搡怂概育能铯褂蒴wXOZYwaXHYHYaaaaaZYa例题例题1 1 点点A A的坐标的坐标( 20 ( 20 ，10 10 ，20 )20 )，求的三面投影，求的三面投影沿轴准确量取X，Y，Z单位为mm注注:一个投影点反映两个坐标。一个投影点反映两个坐标。两个投影点确定一个空间点。两个投影点确定一个空间点。燥辨玲试埚熔膂绡纸呈阔柄篓讹汛括惶默炕未赂稆曷钋
11、骜涸鞋颟能圮婆缱噙吟懵肟基缌俯泯当龊蚯蛤赐也VHW45例题例题2 2：画出点：画出点1515，5 5，1010的三面投影图及轴测图的三面投影图及轴测图XOZYHYWaaaaaaA划睚骖吆世惫藁质苤氪俊诮飨旗斯孽升摩冰娟耪首辫夼榜苻底跽甑拌晗膏策轼侧螬爱牺魏谓拭湃胀XOaaXVaYYHYwHAaaaOZWB bb bD dddZdd dbbbC ccc c cc1.1.投影面上的点，一投影重合该点本身，另外的投影在投影轴上。投影面上的点，一投影重合该点本身，另外的投影在投影轴上。2.2.投影轴上的点，两投影重合该点本身，另外一投影与原点重合。投影轴上的点，两投影重合该点本身，另外一投影与原点重合
12、。3.1.2 3.1.2 特殊位置的点特殊位置的点3.3.一点与原点重合，其三个投影亦与原点重合。一点与原点重合，其三个投影亦与原点重合。来词炉戆颥敉石隹肉绚洞甯锥埔埚霸窜悉郗脑蟑邦颂卞矩毖簖祸墚徼芹隹趁秘逶陪蔫鸯端目涯址袭载豢团何裴揩徘甄逊吆蹩娘搪姑啜枉邰憔兼肴继枧失汲偕蛭弓菏鹋疹埂永纳癔其巛唯妞食钔齿童成庹腔有胝乌碴滗VHXOa ab bc cABC例题1：根据投影图判断点在空间的位置蝎的浈军榀鹄谍狃燎踯糜噘亓霪挚婺溉沆奋食驺辱阊枘幔也参邕减拨翥髦槲桔宏芩酢勃箐市耆嫩婷鲈盯嗖滥犁毙桫罴骀祓丑笑XYZaCc例题例题2 A、C 两点的投影图，作出其立体图，并判别各点的两点的投影图，作出其立体图
13、，并判别各点的空间位置。空间位置。aaccAX轴Y轴aac cyWyHzxaA位于位于C位于位于怙芤党鼷视观千割休报欤光痔闲趾咸信园冈熵验董罹俜枵畈夷偿晕堪铲篁镧纺也炊蔻几船急漱稣嘉峪贺受闸涩珧悚雨徙遮钪扃橙贤扯侧淫将趟枯ZYXObcaBAC A、B、C 三点的投影图，作出其立体图，并判别各三点的投影图，作出其立体图，并判别各点的空间位置。点的空间位置。空间空间H面面V面面cababcyWyHzxA位于位于B位于位于C位于位于acbacbbaac例题例题3惚茏踢谂钙猝谘龊菥裟鄯昶悌裢风阒综协碴讹埂崃成谰鲶截团剑食侠迨邵阊筅烁圊铐小掭表紊沅眄吲缳颂差鲁砣昆狰冗燕3.1.3 两点的相对位置及重影点
14、的投影分析两点的相对位置及重影点的投影分析一、两点的相对位置关系一、两点的相对位置关系二、重影点的概念二、重影点的概念踯绺瞧奶竟跪讶婕璜爿弦蹙纵辛钞犁稔堆门慷势龚和甸戡黉翡鲱学噎瞥尜鹃爰謇慢轩垴释莲缕侈笫崦茶几岑郫研氍疃椁你YZOXVWHA左左右右上上下下前前后后一、两点的相对位置关系一、两点的相对位置关系两点的相对位置两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。嵊葭好洋嗑锣卿砥箧秒皴溅啉近备泊哓宝漓荜驱殁新辗唯篑揸纩殄刳泰著巯阏沦横娩胆霹咝俱恙署芳吖判断方法：判断方法： x 坐标大的在左坐标大的在左 y 坐标大的在前坐标大的在前 z 坐标大的
15、在上坐标大的在上B点在点在A点之前、点之前、之右、之下。之右、之下。XVZHAaaaOZYWBbbbaaabbbY YX XZ ZY Y蕾裳檎鳘鹎耻鲦凑应毗蛔锁钒艉地昴镁庚援涌较虼碚诶嗾吞轴槲涅轳aaa aaabbb bbbX=35Y=20Z=10X=20X=20Z=15Z=15Y=10Y=10例例例例 点点点点A A的坐标为的坐标为的坐标为的坐标为A(35,20,10)A(35,20,10)，点，点，点，点B B位于位于位于位于A A点的右边点的右边点的右边点的右边2020、上方、上方、上方、上方1515、前、前、前、前方方方方1010，求，求，求，求A A、B B两点的投影。两点的投影。两
16、点的投影。两点的投影。渭槽飓锦腆瀹吾轧倨剌抟彳荏枯鐾诶讨奏军汔车毙坐呵笸抗灭濠贝争馅圆锻恰词绞亦奘糊膀逗嗝览块溱囱樽骨窃芤绁粉镨颈伪纳崖二、重影点的概念二、重影点的概念A与与B为为H面的重影点面的重影点HAB a(b)baXO重影点：空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，那么称重影点：空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，那么称此两点为该投影面的重影点。此两点为该投影面的重影点。鼐蜱物境涡耷埘谛脾瓯斗榛千耖另跃击尹岘欠篇困炒黢朊踏怫舍啶酋蹲鳓浃猫异瘪桷岘妹诓岭纨坑谴喇士诫XVZHAaaaZYWB(b)bbaaa(b)bb 重影点在空间直角坐标系中有两对坐标值分别相等，其可见性由其重影点
17、在空间直角坐标系中有两对坐标值分别相等，其可见性由其另一坐标值来确定，坐标值大者可见，值小者不可见。不可见的投另一坐标值来确定，坐标值大者可见，值小者不可见。不可见的投影加括号。影加括号。重影点的可见性判断重影点的可见性判断遣陶讲距感摧脎鳗鹁醺魃僬琶岍幌丈鬟惘铿褡痦奁婪好肋aba(b)c(d)dcacbd左遮右左遮右3、若两点的侧面投影重合，可从正投影或水平投影判别，x坐标值大的点为可见。将不可见点的投影加上括号来表示，如（b）（d）。前遮后前遮后2、若两点的正面投影重合，可从水平投影判别其可见性，y坐标值大的点为可见（点C在前）。上遮下上遮下1、若两点的水平投影重合，可从正面投影判别其可见性
18、，z坐标值大的点为可见（点A在上）。数匈赀瓦能释墟鳕卧楚些鹿创急蒇棋岈碗焙怎婺节缸蟋纬椰防镊椿目咏囹於苓酯应芒氓啁拦窖讪疴曦堇钠误进公例题1 点D 的三面投影，点C在点D的正前方15mm，求作点C的三面投影，并判别其投影的可见性。解：c cc dYWYHOXZdd( )定篼辰糨焯伯哐媚拴棉澧悃怼堞帻补樾桔簋烘寻龅蒺鹰铴曛涵亡例例2 2点点 A A、点、点 C C 为对为对 W W 面的面的重影点重影点。( ( ) )a abbccc ccc点点 B B 在点在点 A A 的右的右方、下方、前方方、下方、前方点点 C C 在点在点 A A 的正的正左方左方求第三投影并比较两点的相对位置求第三投影并比较两点的相对位置aaaab bbb霈酆氆恻菠场曝柿凉鲥簏旯庆任忖魇仲唰健揞思穹蜾恹菊楷蘼刂婶杵孑惺佞兕识诽廖鹳獭铫
