共线向量与共面向量

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1、共线向量与共面向量共线向量与共面向量一、共线向量一、共线向量: :零向量与任意向量共线零向量与任意向量共线. . 1.1.共线向量共线向量: :如果表示空间向量的如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合有向线段所在直线互相平行或重合, ,则这些则这些向量叫做共线向量向量叫做共线向量( (或平行向量或平行向量),),记作记作 2. 2.共线向量定理共线向量定理: :对空间任意两个对空间任意两个向量向量 的充要条件是存在的充要条件是存在实数使实数使 推论推论: :如果如果 为经过已知点为经过已知点A A且平行且平行已知非零向量已知非零向量 的直线的直线, ,那么对任一点那么对任一点O,O,

2、点点P P在直线在直线 上的充要条件是存在实数上的充要条件是存在实数t,t,满足等式满足等式OP=OA+t OP=OA+t 其中向量叫做直线的其中向量叫做直线的方向向量方向向量. .OABPa 若若P P为为A,BA,B中点中点, , 则则例例1 1已知已知A A、B B、P P三点共线，三点共线，OO为空间任为空间任意一点，且意一点，且 ，求，求 的值的值. .例例2 2用向量的方法证明：顺次连结空间用向量的方法证明：顺次连结空间四边形各边中点所得的四边形为平行四四边形各边中点所得的四边形为平行四边形。边形。1.下列说明正确的是：下列说明正确的是：A.在平面内共线的向量在空间不一定共在平面内

3、共线的向量在空间不一定共线线B.在空间共线的向量在平面内不一定共在空间共线的向量在平面内不一定共线线C.在平面内共线的向量在空间一定不共在平面内共线的向量在空间一定不共线线D.在空间共线的向量在平面内一定共线在空间共线的向量在平面内一定共线2.下列说法正确的是：下列说法正确的是：A.平面内的任意两个向量都共线平面内的任意两个向量都共线B.空间的任意三个向量都不共面空间的任意三个向量都不共面C.空间的任意两个向量都共面空间的任意两个向量都共面D.空间的任意三个向量都共面空间的任意三个向量都共面3.对于空间任意一点对于空间任意一点O，下列命题正确的，下列命题正确的是：是：A.若，则若，则P、A、B

4、共线共线B.若，则若，则P是是AB的中点的中点C.若，则若，则P、A、B不共线不共线D.若，则若，则P、A、B共线共线4.若对任意一点若对任意一点O，且，且，则则x+y=1是是P、A、B三点共线的：三点共线的：A.充分不必要条件充分不必要条件B.必要不充分条件必要不充分条件C.充要条件充要条件D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件5.设点设点P在直线在直线AB上并且上并且，O为空间任意一点，求证：为空间任意一点，求证：二二. .共面向量共面向量: :1.1.共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做共面向量叫做共面向量. .OA注意：注意：空间任意两个向量是

5、共面的，但空间空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。任意三个向量就不一定共面的了。2.2.2.2.共面向量定理共面向量定理共面向量定理共面向量定理: : : :如果两个向量如果两个向量如果两个向量如果两个向量 不共线不共线不共线不共线, , , ,则向量则向量则向量则向量 与向量与向量与向量与向量 共面的充要共面的充要共面的充要共面的充要条件是存在实数对条件是存在实数对条件是存在实数对条件是存在实数对 使使使使 推论推论: :空间一点空间一点P P位于平面位于平面MABMAB内的充内的充要条件是存在有序实数对要条件是存在有序实数对x,yx,y使使 或对空间任一点或对空间

6、任一点O,O,有有 例例3对空间任意一点对空间任意一点O和不共线的三点和不共线的三点A、B、C，试问满足向量关系式，试问满足向量关系式（其中）的四点（其中）的四点P、A、B、C是否共面？是否共面？例例4已知已知A、B、M三点不共线，对于平面三点不共线，对于平面ABM外的任一点外的任一点O，确定在下列各条件下，确定在下列各条件下，点点P是否与是否与A、B、M一定共面？一定共面？注意：注意：空间四点空间四点P、M、A、B共面共面实数对实数对例例5如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD，从平，从平面面AC外一点外一点O引向量引向量 , , , ,求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面

7、；平面平面EG/平面平面AC。1.下列命题中正确的有：下列命题中正确的有：A.1个个B.2个个C.3个个D.4个个2.对于空间中的三个向量对于空间中的三个向量它们一定是：它们一定是：A.共面向量共面向量B.共线向量共线向量C.不共面向量不共面向量D.既不共线又不共面向量既不共线又不共面向量3.已知点已知点M在平面在平面ABC内，并且对空间任内，并且对空间任意一点意一点O， ,则则x的值为：的值为：4.已知已知A、B、C三点不共线，对平面外一点三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点，在下列条件下，点P是否与是否与A、B、C共面？共面？5.课本第课本第31页练习页练习1、2。三、课堂小结：三、课堂小结：1.共线向量的概念。共线向量的概念。2.共线向量定理。共线向量定理。3.共面向量的概念。共面向量的概念。4.共面向量定理。共面向量定理。