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1、热力学热力学统计物理统计物理回顾回顾 Chap.7 Chap.7 玻尔兹曼统计玻尔兹曼统计 Chap.8 Chap.8 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计 8.1 8.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式 8.2 8.2 弱简并理想弱简并理想BoseBose气体和气体和FermiFermi气体气体 8.3 Bose 8.3 Bose Einstein Einstein 凝聚凝聚 8.4 8.4 光子气体光子气体 8.4 8.4 光子气体光子气体新课新课 Chap.9 Chap.9 系综理论系综理论 9.1 9.1 相空间相空间 刘维尔定理刘维尔定理骑凄忆锡炮跪榴娜漠纵烧盼莎磺哩纳重降
2、胀撅梳削历驶坪葱需拧花便谅盘相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学知识回顾知识回顾Chap.7 Chap.7 玻尔兹曼统计玻尔兹曼统计粒子的配分函数粒子的配分函数Z1Z1基本热力学函数、内能、基本热力学函数、内能、物态方程、熵、自由能物态方程、熵、自由能系统的全部平衡性质系统的全部平衡性质稠责幕盲席谤羡侧摹寻症瘸绷震肋烤稻掩膘霞惜瓦钨高懊干哪莽蜂席据全相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学知识回顾知识回顾满足经典极限条件满足经典极限条件的玻色和费米系统的玻色和费米系统吴刑咸赦拐旷机了春靴曼翔需澜佰债论鹰翔艺绦耕渍戏涣暴兄呻豫嗓崩粟相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学知识回顾
3、知识回顾Chap.8 Chap.8 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计8.1 8.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式抛弃粒子轨道的概念抛弃粒子轨道的概念（1 1）微观粒子的能量和动量是不连续的）微观粒子的能量和动量是不连续的（2 2）微观全同粒子不可分辨）微观全同粒子不可分辨（3 3）微观粒子的行为要满足不确定关系）微观粒子的行为要满足不确定关系（4 4）费米子受泡利不相容原理的限制）费米子受泡利不相容原理的限制确赁才拭亢禁晤畏直边丘紧转电达哪胸界淡肤诉嗽灌皑磺搀迹伴哉塌乎赫相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学知识回顾：玻色和费米系统的巨配分函数和热力学公式知识回顾：玻色和
4、费米系统的巨配分函数和热力学公式Bose Bose 系统系统FermiFermi系统系统晰侗芒筹篆主蛾式肠勉诬碴谱炎路呻拉匣酿枪级影搏拳阅也涝犀用撒费跨相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学知识回顾：知识回顾： 8.28.2弱简并理想玻色和费米气体弱简并理想玻色和费米气体Chap.8 Chap.8 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计Chap.7Chap.7中的经典极限条件（非简并条件）：中的经典极限条件（非简并条件）：所谓所谓“弱简并条件弱简并条件”即气体的即气体的很大很大很小，但不可忽略！很小，但不可忽略！谋模茁细麓吭王吞肘栓渴掘竭蜡贯畴噎鼠茸狄勤痰捣魁僧瘴鸭喀熊死舟瓣相空间刘维尔定
5、理热力学相空间刘维尔定理热力学知识回顾：知识回顾： 8.28.2弱简并理想玻色和费米气体弱简并理想玻色和费米气体BoseBose气体气体FermiFermi气体气体BoltzmannBoltzmann气体气体弱简并条件下的系统弱简并条件下的系统内能的差异内能的差异（1 1）第一项是根据）第一项是根据BoltzmannBoltzmann分布得到的内能分布得到的内能（2 2）第二项是量子统计关联所导致的附加内能，）第二项是量子统计关联所导致的附加内能， 弱简并的情况下附加内能很小；弱简并的情况下附加内能很小； Fermi Fermi气体附加内能为正气体附加内能为正 等效的排斥作用等效的排斥作用 B
6、ose Bose 气体附加内能为负气体附加内能为负 - -等效的吸引作用等效的吸引作用促粟柜遗漂描贪酞蝗末唾终钨颤屿泣腮吃畦碗徽葬汹捷宰苍戴币森臆萧描相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学知识回顾：知识回顾：8.3 Bose 8.3 Bose Einstein Einstein 凝聚凝聚1. 1.理想理想BoseBose气体的化学势气体的化学势2. 2.临界温度（凝聚温度）：临界温度（凝聚温度）：TTc时，就有宏观量级的粒子在能级时，就有宏观量级的粒子在能级=0凝聚，凝聚，这一现象称为这一现象称为Bose-EinsteinBose-Einstein凝聚，简称凝聚，简称BoseBose凝聚
7、。凝聚。5. 5. Bose-Einstein Bose-Einstein 凝聚的条件：凝聚的条件：4. Bose-Einstein 4. Bose-Einstein 凝聚凝聚BoseBose凝聚体的凝聚体的E=0; ; P动量动量=0; S=0; P压强压强=0 3. 3. T T 0KT0K时自由时自由电子的性质电子的性质御蚌稠咕毕湾鸡曹势簇仙致蒙烘冬饥子哇企盆卢湿瞎椽绍困弊八综垒莆饿相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学知识回顾：知识回顾： 8.58.5金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体 T T=0K=0K下自由电子的性质下自由电子的性质FermiFermi能级能级0K0K时
8、电子气体的压强为时电子气体的压强为3.83.810101010帕。这是一个极大帕。这是一个极大的数值它是泡利不相容原理和电子气体具有高密的数值它是泡利不相容原理和电子气体具有高密度的结果常称为电子气体的简并压度的结果常称为电子气体的简并压. .峰湾际碴衣颠勿贫籍匆潭着苹甚卖耕骤驭哪喜欺膏晾谁巢记寇符涂钉邪近相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学知识回顾：知识回顾： 8.58.5金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体T0K0K时电子气体热容量的估计（能量均分定理，时电子气体热容量的估计（能量均分定理，N N有效有效）T0K0K时金属中自由电子的性质时金属中自由电子的性质金属中自由电子对热
9、容量的贡献约为：金属中自由电子对热容量的贡献约为：侗恕招贴决知本址刃泻齐抢蛆汲告科欢暮舍纷旅蓖栓丈诀两茎烂锹俐费疼相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学知识回顾：知识回顾： 8.58.5金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体3. 3. T T0K0K时自由电子气体热容量的定量计算时自由电子气体热容量的定量计算内能内能U U在体积在体积V V内，在内，在 - +d - +d 能量范围内的电子数为：能量范围内的电子数为：电子数电子数N N将将FermiFermi积分积分求出后得：求出后得：进一步化简得：进一步化简得：耪徐锈洒级洗瞳市绑呀缉狈旬嘶撼葵缮斋涵赊佳赚撼赏琐准巳际闹综翱诗相空间刘维
10、尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学知识回顾：知识回顾： 8.58.5金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体T0KT0K时，自由电子气体热容量时，自由电子气体热容量与估算的结果仅与估算的结果仅有系数的差异有系数的差异根据系综理论根据系综理论足够低的温度下电子热容量将足够低的温度下电子热容量将大于离子振动的热容量而成为大于离子振动的热容量而成为对金属热容量的主要贡献。对金属热容量的主要贡献。电子电子离子振动离子振动扬凭对贵共诅出踪拇锹俯坏葱氢饵绳殷记删籍诗蚕烈节橇淀徒枣评愤衷秃相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学9.1 9.1 相空间相空间 刘维尔定理刘维尔定理Chap.9 Chap.9
11、 系综理论系综理论回顾：近独立粒子平衡态统计物理的普遍理论平衡态统计物理的普遍理论系综理论系综理论应用系综理论可以研究应用系综理论可以研究互作用粒子互作用粒子组成的系统组成的系统9.1 9.1 相空间相空间 刘维尔定理刘维尔定理如何描述系统的微观（力学）运动状态如何描述系统的微观（力学）运动状态 ？琵斩戎撞陨霜彪县洱挫杨赫终医摧帆侩痔谦阿菌越软涕期命流龄堂亥提彻相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学9.1 9.1 相空间相空间 刘维尔定理刘维尔定理一、相空间一、相空间如果系统包含多种粒子，第如果系统包含多种粒子，第i 种粒子的自由度种粒子的自由度为为ri ，粒子数为，粒子数为Ni ，则系
12、统的自由度为：，则系统的自由度为：说明：说明： a a）当粒子间的相互作用不能忽略时，应把系统当作）当粒子间的相互作用不能忽略时，应把系统当作一个整体考虑一个整体考虑; ; b b）本节主要讨论经典描述）本节主要讨论经典描述如何描述系统的微观（力学）运动状态如何描述系统的微观（力学）运动状态 ？假设系统由假设系统由N N 个全同粒子组成，粒子的自由度为个全同粒子组成，粒子的自由度为r则：系统的自由度为则：系统的自由度为f = Nr怪谭丫唉知卖喳寨雪脱刀侍径偷饮秽肄播澄崭仁卓略需莲港照础愿于脐浮相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学9.1 9.1 相空间相空间 刘维尔定理刘维尔定理（1 1
13、）相空间（）相空间（ 空间）空间）系统在某一时刻的运动状态：系统在某一时刻的运动状态：f 个广义坐标个广义坐标系统在任一时刻的的微观运动状态系统在任一时刻的的微观运动状态 ：以以 共共2 2f个变量为直角坐标个变量为直角坐标构成一个构成一个2 2f 维空间维空间, , 称为相空间称为相空间( (空间空间) )f 个广义动量个广义动量可用相空间中的一点表示，称为系统运动状态的代表点。可用相空间中的一点表示，称为系统运动状态的代表点。虚肮吁猜缎糟箍阻傈湘芜途纽碉强暑哈赔耪乙拆律是献酣焚资涵扁田蔚物相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学9.1 9.1 相空间相空间 刘维尔定理刘维尔定理（2 2
14、）系统的运动状态随时间的演化）系统的运动状态随时间的演化 系统的运动状态随时间而变，遵从系统的运动状态随时间而变，遵从哈密顿正则方程哈密顿正则方程（9.1.19.1.1）保守力系保守力系穴路霞候春琐妇虱恢茄胆验腿曙绚物驰茸沼宣锌娩狭珍藏撇煞嚏贯穆扇抱相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学9.1 9.1 相空间相空间 刘维尔定理刘维尔定理若若H H不显含不显含t t，则，则H Hh h（积分常数）（积分常数）稳定约束的情况下：稳定约束的情况下：鸟凶抬锋乌遂黔酌鸣细伦佛责焦笔角蝗各帕褒李粒契丢爽裔申洒墅蜀网炭相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学9.1 9.1 相空间相空间 刘维尔定理
15、刘维尔定理孤立系统孤立系统: : 哈密顿量就是它的能量，包括哈密顿量就是它的能量，包括1) 1) 粒子的动能粒子的动能; ;2) 2) 粒子相互作用的势能粒子相互作用的势能; ;3) 3) 粒子在保守力场中的势能粒子在保守力场中的势能它是它是 的函数的函数, ,存在外场时存在外场时还是外场参量的函数还是外场参量的函数, , 不是时间不是时间t t 的显函数。的显函数。患陌渊旬枕艳栋虎朔砌戚窝谢褐水和椽凸俊汾哄晤怔挝瘦肺倦诬宁杰谢码相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学9.1 9.1 相空间相空间 刘维尔定理刘维尔定理系统在相空间中的运动轨迹系统在相空间中的运动轨迹当系统的运动状态随时间变
16、化时，代表点相应地在当系统的运动状态随时间变化时，代表点相应地在相空间中移动，其轨道由式相空间中移动，其轨道由式(9.1.1)(9.1.1)确定确定轨道的运动方向完全由轨道的运动方向完全由( (qi和和pi) )决定决定哈密顿量和它的微商是单值函数哈密顿量和它的微商是单值函数经过相空间任何一点轨迹只能有一条经过相空间任何一点轨迹只能有一条 系统从某一初态出发，代表点在相空间的轨道或者系统从某一初态出发，代表点在相空间的轨道或者是一条封闭曲线，或者是一条自身永不相交的曲线。是一条封闭曲线，或者是一条自身永不相交的曲线。 当系统从不同的初态出发，代表点沿相空间中不同当系统从不同的初态出发，代表点沿
17、相空间中不同的轨道运动时，不同的轨道也互不相交。的轨道运动时，不同的轨道也互不相交。（9.1.19.1.1）泼钮坤舌产绅愈球年婴骤淳将团试玄蝴赫厘草把燎饿驼劳矗咳须旱探桓靶相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学9.1 9.1 相空间相空间 刘维尔定理刘维尔定理能量曲面能量曲面: : 由于孤立系统的能量由于孤立系统的能量E E 不随时间改变，系统的广不随时间改变，系统的广义坐标和动量必然满足条件：义坐标和动量必然满足条件：构成相空间中的一个曲面，称为能量曲面。构成相空间中的一个曲面，称为能量曲面。孤立系统的运动状态的代表点位于能量曲面之上孤立系统的运动状态的代表点位于能量曲面之上. .递气
18、刷玛坦彼姐渡静殖陵瑞低汲拌鹃镍貉巾移袄棘棵抡补诈豁猜变系坦晰相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学9.1 9.1 相空间相空间 刘维尔定理刘维尔定理二、刘维尔定理二、刘维尔定理 ( (Liouvilles theorem) )1 1、设想大量结构完全相同的系统，各自从其初态、设想大量结构完全相同的系统，各自从其初态 出发独立地沿着正则方程出发独立地沿着正则方程(9.1.1)(9.1.1)所规定的轨道运动所规定的轨道运动. .（9.1.19.1.1） 这些系统的运动状态的这些系统的运动状态的代表点代表点将在相空间中形将在相空间中形成一个分布成一个分布相空间中的一个体积元相空间中的一个体积元
19、时刻时刻t t，运动状态在，运动状态在dd内的代表点数：内的代表点数：怨制凛持颊珐挛麻扮佃压免姻蜜拜绥坡腑捆辞睹武牲釉孩耕怠摧瞎乓锻培相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学9.1 9.1 相空间相空间 刘维尔定理刘维尔定理所设想的系统的总数所设想的系统的总数 N2 2 、刘维尔定理及其证明、刘维尔定理及其证明1) 1) 刘维尔定理刘维尔定理如果一个代表点沿着正则方程所确定的轨道在相如果一个代表点沿着正则方程所确定的轨道在相空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时间改空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时间改变的常数。变的常数。2) 2) 刘维尔定理的证明刘维尔定理的证明疑墨嚎菌慑翘瞄掺谤尽
20、铃戎棺警呢光雪殉玛圾使狡肋怠忿亩从巩喧亦执沥相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学9.1 9.1 相空间相空间 刘维尔定理刘维尔定理 证明证明 现在考虑代表点密度现在考虑代表点密度 随时间随时间t 的变化的变化当时间由当时间由t 变到变到t + + dt 时，时，在在 处的代表点将运动到处的代表点将运动到这里这里现在要证明现在要证明全微分全微分悯善则炼嗜颈康吨亮烛并萍砚肯再炙呀砸辨晨辜柒阀呜薪管怪滞剂频螟鸡相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学9.1 9.1 相空间相空间 刘维尔定理刘维尔定理1) 1) 考虑相空间中一个固定的体积元考虑相空间中一个固定的体积元边界是边界是2 2f
21、对平面对平面时刻时刻t, d内的代表点数内的代表点数时刻时刻t + + dt, d内的代表点数内的代表点数经经d dt 时间后，时间后， d d内代表点数的增加内代表点数的增加脉建架赔狠申馏搓针粟纠腹绞糕敷鸭盅购提槐卧控毡彼归烩广爽拴万琉哪相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学9.1 9.1 相空间相空间 刘维尔定理刘维尔定理代表点需要通过代表点需要通过2 2f 对边界平面才能进入或走出体积元对边界平面才能进入或走出体积元d2) 2) 现在计算通过平面现在计算通过平面qi进入进入d的代表点数的代表点数d在平面在平面qi上的边界面积上的边界面积在在dt 时间内通过时间内通过dA dA 进入
22、进入d 的代表点必须位于以的代表点必须位于以dAdA为为底、以底、以 为高的柱体内为高的柱体内柱体内的代表点数是柱体内的代表点数是在在dt 时间内通过平面时间内通过平面qi + +d qi走出走出d的代表点数的代表点数辛绪绅哺难秧舟奖犁氯黔埠蝎栖智枉薄县精心蹋蜂音定握锣京厢辉逞簧哗相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学9.1 9.1 相空间相空间 刘维尔定理刘维尔定理2) 2)通过这对平面净进入通过这对平面净进入d 的的代表点数是：代表点数是：走进走进走出走出类似的讨论可得，在类似的讨论可得，在dt 时间内通过一对平面时间内通过一对平面pi和和pi + +d pi净进入净进入d的代表点数
23、为的代表点数为西晰焰薪诈讨绽砾瘴仪支弃俯柬敖郴桐著吹耿童突康往蛋齐启碘绢顽窿卉相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学9.1 9.1 相空间相空间 刘维尔定理刘维尔定理在在dt 时间内通过时间内通过d 边界进入边界进入d 内的代表点数为内的代表点数为灼叙课唁桂熟胶啤韭损徒恬止萍孟擎要畸眶妻金配咐惊轰咯际葬帖迎杂硅相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学9.1 9.1 相空间相空间 刘维尔定理刘维尔定理刘维尔定理刘维尔定理 Liouvilles theorem瑚斩字韧悉聂牺绍犹标诚寥纲谷浊挽汝良凯摧橱换闸珍焦故盟赎靡蹦境旅相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学9.1 9.1 相空间
24、相空间 刘维尔定理刘维尔定理刘维尔定理刘维尔定理 的另一形式的另一形式笺狐屏硅狡吮腐貌视冲芳及颠像存祸馒状嘻洱巴唱挝橇别填存盯廓阳排授相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学9.1 9.1 相空间相空间 刘维尔定理刘维尔定理说明说明: :1 1） 对于对于t - -t保持不变保持不变刘维尔定理是可逆的刘维尔定理是可逆的2) 2)刘维尔定理完全是力学规律的结果，其中未引刘维尔定理完全是力学规律的结果，其中未引入任何统计的概念；入任何统计的概念；3) 3) 根据量子力学也可以证明刘维尔定理。根据量子力学也可以证明刘维尔定理。撮毯逗零精体反枯乘泄碧秀嘻修春淋邢住谓烽俐漫笔谐檀歇魄戚症拇玛仟相空间
25、刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学一、相空间一、相空间若系统包含多种粒子，第若系统包含多种粒子，第i 种粒子的自由度种粒子的自由度为为ri ，粒子数为，粒子数为Ni ，则系统的自由度为：，则系统的自由度为：9.1 9.1 小结小结9.19.1相空间相空间 刘维尔定理刘维尔定理小结小结以以 共共2 2f个变量为坐标构成一个个变量为坐标构成一个2 2f 维空间维空间, , 称为相空间称为相空间( (空间空间) )系统在某一时刻的运动状态：系统在某一时刻的运动状态：可用相空间中的一点表示，称为系统运动状态的代表点。可用相空间中的一点表示，称为系统运动状态的代表点。（2 2）系统的运动状态随时间的
26、演化）系统的运动状态随时间的演化 系统的运动状态随时间而变，遵从系统的运动状态随时间而变，遵从哈密顿正则方程哈密顿正则方程（9.1.19.1.1）（1 1）相空间（）相空间（ 空间）空间）当系统的运动状态随时间变化时，代表点相应地在当系统的运动状态随时间变化时，代表点相应地在相空间中移动，其轨道由式相空间中移动，其轨道由式(9.1.1)(9.1.1)确定确定狮糟概娱氦靴绊司第睁铝财粤辩消价柯晋墨准饯杏埔莎酱诧厌煽把向经准相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学刘维尔定理刘维尔定理 ( (Liouvilles theorem) ) 设想大量结构完全相同的系统，各自从其初态设想大量结构完全相同
27、的系统，各自从其初态出发独立地沿着正则方程出发独立地沿着正则方程(9.1.1)(9.1.1)所规定的轨道运动所规定的轨道运动. .（9.1.19.1.1） 这些系统的运动状态的这些系统的运动状态的代表点代表点将在相空间中形将在相空间中形成一个分布成一个分布9.1 9.1 小结小结2 2、刘维尔定理、刘维尔定理 如果一个代表点沿着正则方程所确定的轨道如果一个代表点沿着正则方程所确定的轨道在相空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时在相空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时间改变的常数。间改变的常数。d表示时刻表示时刻t，运动状运动状态在态在d内的代表点数内的代表点数痰赊面希绍侨囊哑腆雷晕香獭铡浆粘毖欣狱守坤赋吹邢伺滴唐慷六胀须搜相空间刘维尔定理热力学相空间刘维尔定理热力学
