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1、第八章第八章 数理统计初步数理统计初步 8.1 8.1 数理统计基础知识数理统计基础知识 8.1.1 总体、样本与统计量总体、样本与统计量引例引例8.8.1 1 某工厂为了检测一批出厂的十万只灯泡某工厂为了检测一批出厂的十万只灯泡的寿命，出厂时随机抽取了的寿命，出厂时随机抽取了10001000只灯泡进行检测只灯泡进行检测. .引例引例8.8.2 2 为了统计全国的人均消费，规定每个地为了统计全国的人均消费，规定每个地区随机抽取千分之一的人口进行统计调查区随机抽取千分之一的人口进行统计调查. . 在数理统计中我们把研究对象的全体称为在数理统计中我们把研究对象的全体称为总总体体，组成总体的每一单元
2、称为，组成总体的每一单元称为个体个体，被抽取到的，被抽取到的所有个体的集合称为所有个体的集合称为样本样本. .总体总体样本样本总体总体样本样本 在进行统计抽样时，由于调查具有破坏性（如在进行统计抽样时，由于调查具有破坏性（如检测灯泡寿命、检验炸弹的威力等）或者总体所包检测灯泡寿命、检验炸弹的威力等）或者总体所包含的个体数量非常庞大（如调查全国的人均消费水含的个体数量非常庞大（如调查全国的人均消费水平、股票指数的变化等）等原因，不可能对所有个平、股票指数的变化等）等原因，不可能对所有个体进行观测体进行观测. .而只能抽取其中一部分样本进行观测而只能抽取其中一部分样本进行观测. .从总体中抽取样本
3、时，为了使抽取的样本具有代表从总体中抽取样本时，为了使抽取的样本具有代表性，通常要求：性，通常要求：1. 抽取方法要统一，应使总体中每一个个体被抽抽取方法要统一，应使总体中每一个个体被抽到的机会是均等的到的机会是均等的. .2.每次抽取是独立的，即每次抽样结果不影响其每次抽取是独立的，即每次抽样结果不影响其它各次抽样结果，也不受其它各次抽样结果的它各次抽样结果，也不受其它各次抽样结果的影响影响. .满足以上两点的抽样方法称为满足以上两点的抽样方法称为简单随机抽样简单随机抽样，由，由简单随机抽样得到的样本叫做简单随机抽样得到的样本叫做简单随机样本简单随机样本，今，今后我们凡提到抽样及样本都是指简
4、单随机抽样和后我们凡提到抽样及样本都是指简单随机抽样和简单随机样本简单随机样本. .我们通常只关心总体的一个或几个指标，这些指我们通常只关心总体的一个或几个指标，这些指标可用随机变量来表示标可用随机变量来表示. .在对样本进行观测时，每在对样本进行观测时，每个个体的取值结果都是一个随机变量个个体的取值结果都是一个随机变量. .n个样本个样本样本观测值样本观测值表示表示样本样本样本的某种函数样本的某种函数集中样本中我集中样本中我们关心的信息们关心的信息 统计量统计量“加工加工” “提炼提炼” 在在引例引例8.1中，我们希望知道全体灯泡的平均寿命，中，我们希望知道全体灯泡的平均寿命，一个简单的方法
5、就是用样本一个简单的方法就是用样本的平均寿命的平均寿命 去估计总体的平均寿命去估计总体的平均寿命.在此过程中，我们将称在此过程中，我们将称为统计量为统计量.常用的统计量有：常用的统计量有：样本均值样本均值 (9.1)样本方差样本方差 (9.2)样本均方差样本均方差 (9.3)8.1.2 统计量的分布统计量的分布 统计量是随机变量，其概率分布又称统计量是随机变量，其概率分布又称抽样分布抽样分布.这些这些分布在统计推断时起重要作用分布在统计推断时起重要作用.下面我们介绍几种常下面我们介绍几种常见分布见分布.设设 是是X X的一个样本，则的一个样本，则 或或 (9.4) (9.4)一、样本均值的分布
6、一、样本均值的分布设设 ，对给定的，对给定的 ，称满足，称满足条件条件 (8.5)或或 (8.6)的点的点 为标准正态分布的上为标准正态分布的上 分位点或上侧分位点或上侧临界值，简称上临界值，简称上 点，点，(8.5)式的几何意义如图式的几何意义如图81所示所示. 图图81 ： 称满足条件称满足条件的点的点 为标准正态分布的双侧为标准正态分布的双侧 分位点或双侧分位点或双侧临界值，简称双临界值，简称双 点，其几何意义见图点，其几何意义见图82所示所示.在在统统计计中中， 可可直直接接由由（8.6）式式通通过过查查本本书书后后附附表表1正态分布表求得正态分布表求得, 可由可由 查表求得查表求得.
7、 图图82 ：二、 分布设设 为取自正态总体为取自正态总体 的的样本，则称样本，则称 为服从为服从 个自由度的个自由度的 分布，记作分布，记作 分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为注注注注 式中式中 为为 函数：函数：在在 的函数值的函数值.n=10n=4n=1 图图83 ： 0.50 1 3 5 7 9 11 13 15 17 y 0.40.30.20.1类似于标准正态分布，我们称满足：类似于标准正态分布，我们称满足： (8.7)的点的点 为为 分布的上分布的上 分位点或上侧临界分位点或上侧临界值，简称上值，简称上 点，其几何意义如图点，其几何意义如图84所示所示.这这里里 是是 分布的
8、概率密度分布的概率密度. 图图84： y 显然，在自由度取定以后，显然，在自由度取定以后， 的值只与的值只与 有关有关.三、三、 分布分布设设 ， 且且X与与Y相互独立，则称随机变量相互独立，则称随机变量服从服从 个自由度的个自由度的 分布或学生氏分布，记作分布或学生氏分布，记作 . 分布的概率密度函数为：分布的概率密度函数为：其图形如图其图形如图85所示所示0.10.20.30.4-3 -2 -1 0 1 2 3n=1 图图85： 其形状类似标准正态分布的概率密度的图形其形状类似标准正态分布的概率密度的图形.当当 较大较大 时，时， 分布近似于标准正态分布分布近似于标准正态分布.对于给定的对
9、于给定的 ，我们也称满足条件：，我们也称满足条件： (8.8) 的点的点 为为 分布的上分布的上 分位点或上侧临界分位点或上侧临界值，简称上值，简称上 点，其几何意义如图点，其几何意义如图86所示所示 ： 图图86： 由由 分布的对称性，也称满足条件：分布的对称性，也称满足条件： (8.9)的点的点 为为 分布的双侧分布的双侧 分位点或双侧分位点或双侧临界值，简称双临界值，简称双 点，其几何意义如图点，其几何意义如图87所所示示. 图图87： 在附表在附表4中给出了中给出了 分布临界值表分布临界值表. 当当 时，时，可以用标准正态分布代替可以用标准正态分布代替 分布查分布查 的值，的值， .四
10、、四、 F 分布分布 设设 ，且，且 与与 相相互独立，则称随机变量互独立，则称随机变量服从第一自由度为服从第一自由度为 、第二自由度为、第二自由度为 的的 分布，记作分布，记作 F分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为:其中其中其图形如图其图形如图88所示所示. 图图88： 0 1 2 y类似于类似于 分布与分布与 分布分布 ,F分布的上分布的上 分位分位点或上侧临界值简称上点或上侧临界值简称上 点是指满足条件：点是指满足条件： (8.10)的点的点 ，其几何意义如图，其几何意义如图89所示，所示，其中其中 为为F分布的概率密度分布的概率密度. 的值可由的值可由F分布表分布表(附表附表5)
11、查得：查得：在附表在附表5中所列的中所列的 值都比较小，当值都比较小，当 较大时，较大时，可用下面公式可用下面公式 (8.11)查查F分布表得到分布表得到 图图89： y 8.1.3 关于分布的几个性质关于分布的几个性质性质性质8.1 分布具有可加性分布具有可加性.设设 ，且相互独立，则，且相互独立，则性质性质8.2 设设 为来自总体为来自总体 的样本，则：的样本，则：(1)样本均值样本均值 与样本方差与样本方差 相互独立；相互独立；(2) (8.12)性质性质8.3设设 为来自总体为来自总体 的的样本，则统计量样本，则统计量 (8.13) 性质性质8.4设设 和和 分别来自正态总分别来自正态
12、总体体 和和 的样本，且它们相互独立，的样本，且它们相互独立，则统计量则统计量 (8.14) 其中其中 ， ， 分别为两总体的样分别为两总体的样本方差本方差.性质性质8.5 设设 为正态总体为正态总体 的样本容量的样本容量和样本方差；和样本方差； 为正态总体为正态总体 的样本的样本容量和样本方差，且两个样本相互独立，则统计容量和样本方差，且两个样本相互独立，则统计量量 (8.15)随堂练习随堂练习1、 设样本值如下：设样本值如下： 191，200，212，18.8，196，205，220，216，194，20.3.求样本均值求样本均值 ，样本方差，样本方差 。解：按定义，样本均值为按定义，样本
13、均值为样本方差为：样本方差为：2、 设总体设总体 ，(1)抽取容量为抽取容量为36的样本，求的样本，求 ；(2)抽取容量为抽取容量为64的样本，求的样本，求 ；(3)取样本容量取样本容量n多大时，才能使多大时，才能使 解： 若总体服从正态分布若总体服从正态分布 ，其，其样本均值服从样本均值服从 ，经标准化有经标准化有 。(1)对于容量为对于容量为36的样本的样本（2）对于容量为）对于容量为64的样本的样本，（3）所以所以3、设总体设总体 ，己知样本容量，己知样本容量n24，样本方差样本方差 求总体标准差求总体标准差 大于大于3的概率。的概率。解：对于总体对于总体 ，样本方差满足，样本方差满足查自由度查自由度n23的的 分布表得分布表得
