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1、八年级 数学 上册人教版人教版13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题学习目标学习目标l l 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形 的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想灵活运用最短距离问题解决实际问题。最短路径问题AABBC 两点之间两点之间, ,线段最短线段最短垂线段最短垂线段最短ll复习导入复习导入问题问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的从图中的A 地出发，
2、到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然饮马，然后到后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？最短？BAlMNs探索新知探索新知如图，点A，B 在直线的异侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 探索新知探索新知通过上面例子：你得到什么启发？如何通过上面例子：你得到什么启发？如何解决这个数学问题呢？解决这个数学问题呢？ BAlB探索新知探索新知如图，点如图，点P P关于关于OA OA 、OBOB的对称的对称点分别为点分别为C C、D D，连接，连接CDCD，交，交OAOA于于M,M,交交OBO
3、B于于N N，若，若CD=18CD=18，则，则PMNPMN的周长为的周长为 。 B知识运用知识运用把矩形把矩形ABCDABCD沿对角线沿对角线ACAC折叠，得到如图所折叠，得到如图所示的图形，已知示的图形，已知ACB=25ACB=25，则，则DOCDOC为为知识运用知识运用造桥选址问题造桥选址问题如图，如图，A A和和B B两地在一条河的两岸，现两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥要在河上造一座桥MN.MN.桥造在何处才能桥造在何处才能使从使从A A到到B B的路径的路径AMNBAMNB最短？（假定河最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）BA典例
4、精讲典例精讲BA 1 1、如图假定任选位、如图假定任选位置造桥，连接和置造桥，连接和，从，从A A到到B B的路径是的路径是AM+MN+BNAM+MN+BN，那么怎样确定什，那么怎样确定什么情况下最短呢？么情况下最短呢？ 2 2、利用线段公理解决问题我们遇、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？到了什么障碍呢？典例精讲典例精讲 我们能否在不改变我们能否在不改变AM+MN+BNAM+MN+BN的前提的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？我们呢？各抒己见各抒己见1 1、把、把A A平移到岸边平移到岸边. .2 2、把、把B B平移到岸边平移到
5、岸边. .3 3、把桥平移到和、把桥平移到和A A相连相连. .4 4、把桥平移到和、把桥平移到和B B相连相连. .探索新知探索新知上述方法都能做到使上述方法都能做到使AM+MN+BNAM+MN+BN不变不变吗？请检验吗？请检验. .1 1、2 2两种方法改变了两种方法改变了. .怎样调整呢？怎样调整呢？把把A A或或B B分别向下或上平移一个桥长分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢那么怎样确定桥的位置呢? ?探索新知探索新知探索新知探索新知如图，平移A到A1，使A1等于河宽，连接A1交河岸于作桥，此时路径最短.BAA1MN 如图，平移如图，平移A A到到A A1 1，使，使A A
6、1 1等于河宽，等于河宽，连接连接A A1 1交河岸于交河岸于作桥，此时路径作桥，此时路径最最短短. .典题精讲典题精讲理由；另任作桥理由；另任作桥，连接，连接，. .由平移性质可知，由平移性质可知，. .AM+MN+BNAM+MN+BN转化为转化为，而，而转化为转化为. .在在中，由线段公理知中，由线段公理知A A1 1N N1 1+BN+BN1 1A A1 1B B因此因此 AM+MN+BNAM+MN+BN典题精讲典题精讲作作法法：1.1.将将点点B B沿沿垂垂直直与与河河岸岸的的方方向向平平移移一一个个河河宽宽到到E E， 2.2.连接连接AEAE交河对岸与点交河对岸与点M,M, 则点则
7、点M M为建桥的位置，为建桥的位置，MNMN为所建的桥为所建的桥。ABMNECD典题精讲典题精讲典题精讲典题精讲证明：由平移的性质，得 BNEM 且BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE,所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在ACE中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN,即AC+CD+DB AM+MN+BN所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。如图：牧马人从如图：牧马人从A A地出发，先到草地边某一地出发，先到草
8、地边某一牧马，再到河边饮马，然后回到牧马，再到河边饮马，然后回到B B处，请处，请画出最短路径。画出最短路径。草地河MNPAB课堂练习课堂练习河草地MNPABAB课堂练习课堂练习已知直线mn,直线m,n外分别有两点A,B如图所示，分别在直线m,n上确定P,Q两点（PQm），使得AP+PQ+QB最小。课堂练习课堂练习如图，如图，D D、E E为为ABAB、ACAC的中点，将的中点，将ABCABC沿线段沿线段DEDE折叠，使点折叠，使点A A落在点落在点F F处，若处，若B=50B=50，则，则BDF= BDF= 度度 课堂练习课堂练习 在解决最短路径问题时，我们通在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。最短路径的选择。课堂小结课堂小结如图，四边形ABCD中，BAD120，BD90，在BC、CD上分别找一点M、N，使AMN周长最小时，则AMNANM的度数为( )A.130 B.120 C.110 D.100 课后思考课后思考
