六年级奥数（学生版）

《六年级奥数（学生版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《六年级奥数（学生版）（216页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第1讲定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：* 、。等，这是与四则运算中的“ 十、一、X、 ”不同的。新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。二、精讲精练【 例题 1 】假设 a * b = ( a + b ) + ( a - b ) ,求 1 3 * 5 和 1 3 * ( 5 * 4

2、) 。练习1 ：1 、将新运算 “ * ” 定义为：a * b = ( a + b ) X ( a - b ) . 。求 2 7 * 9 。2 、设 a * b = a ? + 2 b , 那么求 1 0 * 6 和 5 * ( 2 * 8 ) 。【 例题2 】设 p、q 是两个数，规定：pA q= 4 X q- ( p+ q) 4 - 2o求 3 Z ( 4 Z S6 ) 。练习2 ：1 、设 p、q 是两个数，规定 pA q = 4 X q ( p+ q) +2,求 5 4 ( 6 A 4 ) 。2 、设 p、q 是两个数，规定 pZ q = p2 + ( pq) X 2O 求 3 0 4

3、 ( 5 A 3 )。【 例题 3 】如果 1 * 5 = 1 + 1 1 + 1 1 1 + 1 1 1 1 + 1 1 1 1 1 , 2 * 4 = 2 + 2 2 + 2 2 2 + 2 2 2 2 , 3 * 3 = 3 + 3 3 + 3 3 3 ,4 * 2 = 4 + 4 4 , 那么 7 * 4 = ； 210*2=0练习3 ：1 、如果 l * 5 = l + H + i n + i n i + l H l l , 2 * 4 = 2 + 2 2 + 2 2 2 + 2 2 2 2 , 3 * 3 = 3 + 3 3 + 3 3 3 , . . .那么4 * 4 = o2

4、、规定，a*b=a+aa+aaa+.+aa. a 那么 8 * 5 =(b-iyh a【 例题4 】规定= 1 X 2 X 3 , = 2 X 3 X 4 ,= 3 X 4 X 5 , = 4 X 5 X 6 , . . .如果1 / - 1 / = 1 / X A , 那么，A是几？练习4 ：1 、规定：= 1 X 2 X 3 , = 2 X 3 X 4 , = 3 X 4 X 5 , = 4 X 5 X 6 , 如果 1 / 一1 / = 1 / X A , 那么A =2 、规定：= 2 X 3 X 4 , = 3 X 4 X 5 , = 4 X 5 X 6 , = 5 X 6 X 7 ,

5、 . . .如果 1 / + 1 / ( 1 1 ) = 1 / ( 1 1 ) 义匚1 , 那么口=0【 例题5 】设 a G ) b = 4 a 2 b + a b / 2 , 求 xG ) ( 4 0 1 ) = 3 4 中的未知数x。练习5 ：1 、设 a ( D b = 3 a 2 b , 已知 x。 ( 4 0 1 ) = 7 求 x。2 a - b2 、对两个整数a 和 b定义新运算“ ： a A b = 殳+ b ) X Q - b ) ,求 6 4 4 + 9 Z 8 。3 、设 M 、N 是两个数，规定 M * N = M / N + N / M , 求 1 0 * 2 0

6、 1 / 4 。三、课后作业1 、设 a * b = 3 a - b X l / 2 , 求 ( 2 5 * 1 2 ) * ( 1 0 * 5 ) 。2 、如果 2 * 1 = 1 / 2 , 3 * 2 = 1 / 3 3 , 4 * 3 = 1 / 4 4 4 , 那 么 ( 6 * 3 ) + ( 2 * 6 ) =3 、如 果 保 2 = 1 + 2 , 2 派3 = 2 + 3 + 4 , . . .5 X 6 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 1 0 , 那么 xX 3 = 5 4 中，x =4xy4、对任意两个整数x和y定于新运算， “ * ： x*y= +3y （

7、其中m是一个确定的整数）。如果1*2 = 1 ,那么3*12= o第2讲简便运算( 一)一、知识要点根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。二、精讲精练【 例题 11 计算 4 . 7 5 - 9 . 6 3 + ( 8 . 2 5 - 1 . 3 7 )练习1 ：计算下面各题。8 91 、6 . 7 3 - 2 + ( 3 . 2 7 - 1 )1 7 1 72 、7 - - ( 3 . 8 + 1 - ) -1-9 9 57 173 、1 4 . 1 5 ( 7 6 )2 . 1 2 58 2 0【 例题 2】计算

8、333387, X 79+790 X 6666,24练习2：计算下面各题：I 1 41、 3.5X 11+125% + 1 - 4 - -4 2 52、975X0. 25+9- X 7 6 -9 . 7542 13、9 - X 425+4. 254- -5 60【 例题3】计算：36X 1.09+1.2X67.3练习3 ：计算:1 、 4 5 X 2 . 0 8 + 1 . 5 X 3 7 . 62 、 5 2 X 1 1 . 1 + 2 . 6 X 7 7 83 、 4 8 X 1 . 0 8 + 1 . 2 X 5 6 . 8【 例题 4 计算：3 - X 2 5 - + 3 7 . 9

9、X 6 -5 5 5练习4 ：计算下面各题：1 、6 . 8 X 1 6 . 8 + 1 9 . 3 X 3 . 2139x137 12 、 + 1 3 7 X 3 、4 . 4 X 5 7 . 8 + 4 5 . 3 X 5 . 61 3 8 1 3 8【 例题 5 计算 8 1 , 5 X 1 5 . 8 + 8 1 . 5 X 5 1 . 8 + 6 7 . 6 X 1 8 . 5练习5 ：1 、5 3 . 5 X 3 5 . 3 + 5 3 . 5 X 4 3 . 2 + 7 8 . 5 X 4 6 . 52 、2 3 5 X 1 2 . 1 + + 2 3 5 X 4 2 . 2 -

10、 1 3 5 X 5 4 . 3三、课后作业7 1 71 、1 3 - - ( 4 - + 3 ) - 0 . 7 51 3 4 1 32, 0. 9999X0. 7+0. 1111X2. 73、 72X2.09-1.8X73.64. 3. 75X735-3/8X5730 + 16. 2X62. 5第3讲 简 便 运 算 （ 二）一、知识要点计算过程中，我们先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运用乘法分配律来简算，这种思考方法在四则运算中用处很大。二、精讲精练【 例题 1 】计算：1 2 3 4 + 2 3 4 1 + 3 4 1 2 + 4 1 2 3练习1 ：1 、2 3

11、4 5 6 + 3 4 5 6 2 +4 5 6 2 3 + 5 6 2 3 4 +6 2 3 4 52 、4 5 6 7 8 + 5 6 7 8 4 + 6 7 8 4 5 + 7 8 4 5 6 +8 4 5 6 74【 例题 2 】计算： 纹 X2 3 . 4 + 1 1 . 1 X 5 7 . 6 + 6 . 5 4 X 2 8练习2 ：计算下面各题：1、9 9 9 9 9 X 7 7 7 7 8 + 3 3 3 3 3 X 6 6 6 6 62、3 4 . 5 x7 6 . 5 - 3 4 5 x6 . 4 2 - 1 2 3 x1 . 4 5【 例题3】计算( 1 9 9 3 x

12、1 9 9 4 - 1 )( 1 9 9 3 + 1 9 9 2 x 1 9 9 4 )练习3 ：计算下面各题:1( 3 6 2 + 5 4 8 x3 6 1 ) ( 3 6 2 x5 4 8 - 1 8 6 )2 ( 1 9 8 8 + 1 9 8 9 x 1 9 8 7 )( 1 9 8 8 x 1 9 8 9 - 1 )【 例题4】有一串数1, 4, 9, 16, 25, 36. 它们是按一定的规律排列的，那么其中第2000个数与2001个数相差多少？练习4：计算：1、19912-199022、99992+199993、999X274+6274【 例题5】计算： ( 924 + 724

13、) + ( -5 + -5)7 9 7 9练习5：计算下面各题:1、( 23_ + 5 + 24)11 7 92、 (37 12 + 1 ) 4-11 13三、课后作业1、124. 68 + 324. 68 + 524. 68 + 724. 68+924. 682、77X13 + 255X999 + 5103、(204 + 584x1991) 1(1992 x 584 -380)1434、(96 + 36 )73254- (32 + 12 )7325第4讲 简 便 运 算 （ 三）一、知识要点在进行分数运算时，除了牢记运算定律、性质外，还要仔细审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理地把参加运算

14、的数拆开或者合并进行重新组合，使其变成符合运算定律的模式，以便于口算，从而简化运算。二、精讲精练【 例 题1】44计算：（ 1） X 3715(2)27义 福练 习1用简便方法计算下面各题:1、141 5义822、 X 126113、3 5 X -7 44、7 3义 而【 例 题2】计算：7 3 x |练习2计算下面各题:1 11、6 4n x92、2 220 X21111 3 1 43、y X57- 4、41- X - +51- X -i3【 例题3】计算：-X27+- X415 5练习3计算下面各题：1、7 X39+7 X27 2、J X35+1 X 174 4 6 6613X5L1821

15、3X5-9113X5-【 例题4】计算:6练习4计算下面各题:2、173 3X4 +7X61 6+ 一71X125 16 1 1 53、g X 7 9 - +50X - +- X -7 3 1 7 1 1泉 +15 X16 +I5 X 32【 例题5】计算：(1) 166：1l20 I(2)19984-199819981999练习5计算下面各题：22381、 547 4-17 2、 2384-2385/ j y三、课后作业19971、, X199915 12、 - X5+r X5+- X10O O O113、 163 4-41第5讲简便运算(四)一、知识要点前面我们介绍了运用定律和性质以及数的

16、特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向同学们介绍怎样用拆分法(也叫裂项法、拆项法) 进行分数的简便运算。运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。一般地，形 如乂 ) 7 、的分数可以拆成- 4 r ；形 如乂 ， 、的分数可以拆成,x-aX (a+1) a a+1 aX (a+n) n ai 9+卜 i i),形如F 的分数可以拆成一 + 匚等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。a+n aX b a b二、精讲精练【 例题 11 计算：ix2 +2X3 +3X4 + 99X100练 习1计算下面各题：1 1 1 11、 + + + , , , , . +4X5 5

17、X6 6X7 39X401 1 1 1 1+ + + +10X11 11X12 12X13 13X14 14X151111 1 13、 2 +6 +12 +20 + 30【 例题2】丁 卜1 笄 ： 2X4 + 4X6 + 6X8 + . +48X50练 习2计算下面各题:11 -3X515 |4 = 7172O O 1O 0 10原分数的分母是：1 8 -1 = 1 7 或 1 5 + 2 = 1 7答：这个分数为第o练习2 ：1 、将一个分数的分母加上2 得5 ,分母加上3 得| o原来的分数是多少？2 、将一个分数的分母加上3 得| ,分母加上2得（。原来的分数是多少？3 、将一个分数的

18、分母加上5 得得，分母加上4得5。原来的分数是多少？4 、将一个分数的分母减去9 得焉,分母减去6 得（。原来的分数是多少？【 例题3 】在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于半。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于: ，求原来的最简分数是多少。解法一： 两个新分数在未约分时， 分母相同。 将这两个分数化成分母相同的分数，即申= 带，| 二（ 。根据题意，两个新分数分子的差应为2的倍数，所以分别想言和 的分子和分母再乘以2 。所以5 _ j0 _20 1 _7_ _147 =14 =2 8 ，2 =14 =281 7故原来的最简分数是经o解法二：根据题意，两个新分数的和等于原分

19、数的2 倍。所以（7与 ）, 2 = 诋答：原来的最简分数是痣。Zo练习3 ：1 、一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于孩o 如果在它的分子上减去O同一个数，这个分数就等于3,求这个分数。2 、一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于号o 如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于: ，求这个分数。O【 例题4 】将一个分数的分母加3 得* ,分母加5 得 , o 原分数是多少？7 91解法一：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，即5 = 称 ，Q 91217 o 根据题意，两个新分数的分母应相差2 , 而现在只相差1 , 所以分别将方和H

20、的分子和分母再同乘以2 。则J | = 磊。所以，原分数的分Z o y Z / 04 4 Zo 0049母 是 （ 5 4 3=） 5 1 。原分数是詈-51Q解法二：因为分子没有变，所以把分子看做单位“ 1 ”。分母加3 后 是 分 子 的 分 母 加 5 后是分子的4 ,因此，原分数的分子是（ 5 - 3 ） 4 - 4 9） = 4 2 o 原分数的分母是4 24?4 - 7 X 9 - 3 = 5 1 , 原分数是兑o练习4 ：1 、一个分数，将它的分母加5 得 | , 加 8 得（，原来的分数是多少？ （ 用两种方法）2 、将一个分数的分母减去3 , 约分后得与；若将它的分母减去5

21、, 则得（。原来的分数是多少？ （ 用两种方法做）3 、 把一个分数的分母减去2 , 约分后等于,。如果给原分数的分母加上9 , 约分后等于半。求原分数。【 例题5 】有一个分数，如果分子加1 , 这个分数等于,；如果分母加1 , 这个分数就等于| ,这个分数是多少？根据“ 分子加1 , 这个分数等于T ”可知，分母比分子的2 倍多2 ；根据“ 分母加1 这个分数就等于; ”可知，分母比分子的3 倍少1 。所以，这个分数的分子是（ 1 + 2 ） 4 - （ 3 - 2 ） = 3 , 分母是3 义2 + 2 = 8。所以，这个分数是。O练 习5 ：1、一个分数，如果分子加3 ,这个分数等于g

22、 ,如果分母加上1 ,这个分数等于J ,这个分数是多少？2、一个分数，如果分子加5 ,这个分数等于1，如果分母减3 ,这个分数等于上，这个分数是多少？三、课后练习351、历 的分子、分母加上同一个数并约分后得7,那么加上的数是多少？2、将一个分数的分母加上2得,，分母加上2得（。原来的分数是多少？73、一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于卜。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于| ,求这个分数。4、一个分数，如果分子减1 ,这个分数等于: ；如果分母加1 1 ,这个分数等于: ，这个分数是多少？第 22讲特殊工程问题一、知识要点有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之

23、间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。二、精讲精练【 例题1 】修一条路，甲队每天修8 小时，5 天完成；乙队每天修1 0 小时，6 天完成。两队合作，每天工作6 小时，几天可以完成？把前两个条件综合为“ 甲队4 0 小时完成”，后两个条件综合为“ 乙队6 0 小时完成”。则1 . 5X8 1 1 0 X 6 . 6 = 4 （ 天）或 （ 5 X 8 +1 0 X 6 ）* 6 = 4 （ 天）答：4 天可以完成。练习1 ：1 . 修一条路，甲队每天修6小时，4天可以完成；乙队每天修8 小时，5 天可以完成。现在让甲、乙两队合修，要求2

24、 天完成，每天应修几小时？2 . 一项工作，甲组3人 8 天能完成，乙组4 人 7天也能完成。现在由甲组2 人和乙组7 人合作，多少天可以完成？3 . 货场上有一堆沙子，如果用3 辆卡车4 天可以完成，用 4 辆马车5 天可以运完，用 2 0 辆小板车6天可以运完。现在用2辆卡车、3辆马车和7 辆小板车共同运两天后，全改用小板车运，必须在两天内运完。问：后两天需要多少辆小板车？【 例题2 】有两个同样的仓库A和 B , 搬运一个仓库里的货物，甲需要1 0 小时，乙需要1 2 小时， 丙需要1 5 小时。 甲和丙在A 仓库， 乙在B 仓库， 同时开始搬运。 中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同

25、时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？设搬运一个仓库的货物的工作量为“ 1 ”。总整体上看，相当于三人共同完成工作量“ 2 ”三人同时搬运了+*” 8 （ 小时）丙帮甲搬了（X 8 ） 4 - 7 7 = 3 （ 小时）丙帮乙搬了8- 3 = 5 （ 小时）答：丙帮甲搬了 3 小时，帮乙搬了 5 小时。练习2 ：1 . 师、徒两人加工相同数量的零件，师傅每小时加工自己任务的需，徒弟每小时加工自己任务的白o 师、徒同时开始加工。师傅完成任务后立即帮助徒弟加工，直至完成任务，师傅帮徒弟加工了几小时？2 .有两个同样的仓库A和 B , 搬运一个仓库里的货物，甲需要1 8 小时，乙需要1 2 小时，丙需要9

26、小时。甲、乙在A仓库，丙在B 仓库，同时开始搬运。中途甲又转向帮助丙搬运。最后，两个仓库同时搬完。甲帮助乙、丙各多少小时？3、甲、乙两人同时加工一批零件，完成任务时，甲做了全部零件的5，乙每小时加工1 2个O零件，甲单独加工这批零件要12小时，这批零件有多少个？ 例题3 一件工作，甲独做要2 0天完成，乙独做要12天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用了 14天。这件工作由甲先做了几天？解法一：根据两人做的工作量的和等于单位“ 1”列方程解答，很容易理解。解：设甲做了 x天，则乙做了 (1 4 -x )天。由 x + J X (14-x) =1X=5解法二： 假设

27、这14天都由乙来做， 那么完成的工作量就是* X 1 4 ,比总工作量多了* X U -1 4 ，乙每天的能够做量比甲每天的工作两哦了得 * $ ，因此甲做了! $ =5b 1Z ZU JU o 3U( 天)练习31 .一项工程，甲独做12天完成，乙独做4天完成。若甲先做若干天后，由乙接着做余下的工程，直至完成全部任务，这样前后共用了 6天，甲先做了几天？2 .一项工程，甲队单独做需3 0天完成，乙队单独做需4 0天完成。甲队单独做若干天后，由乙队接着做，共用35天完成了任务。甲、乙两队各做了多少天？3.一项工程，甲独做要50天，乙独做要75天，现在由甲、乙合作，中间乙休息几天，这样共用40天

28、完成。求乙休息的天数。【 例题4】甲、乙两人合作加工一批零件，8 天可以完成。中途甲因事停工3 天，因此,两人共用了 10天才完成。如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？解法一：先求出乙的工作效率，再求出甲的工作效率。最后求出甲单独做需要的天数。17甲、乙同时做的工作量为6 X （ 10-3）= -O O7 1乙单独做的工作量为i m =O O乙的工作效率为1甲的工作效率为: 一： = 白o1Z 甲 单 独 做 需 要 的 天 数 为 =12 （ 天）解法二：从题中得知，由于甲停工3 天，致使甲、乙两人多做了（ 10-8=） 2 天。由此可知,甲3 天的工作量相当于这批零件的2 8=1

29、/434- （ 10-8） 4-812 （ 天）或3X 84- （ 10-8） =12 （ 天）答：甲单独做需要12天完成。练习4：1、 甲、 乙两人合作某项工程需要12天。 在合作中， 甲因输请假5 天， 因此共用15天才完工。如果全部工程由甲单独去干，需要多少天才能完成？2、一段布，可以做3 0件上衣，也可做4 8条裤子。如果先做2 0件上衣后，还可以做多少条裤子？3、一项工程，甲、乙合作6小时可以完成，同时开工，中途甲通工了 2 . 5小时，因此，经过7 . 5小时才完工。如果这项工程由甲单独做需要多少小时？4.一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合作7天，这样才完成全工程的一半，已知甲、

30、乙工作效率的比是3 ： 2,如果这件工作由乙单独做，需要多少天才能完成？【 例题5】放满一个水池的水，如果同时开放号阀门，1 5小时放满；如果同时开放号阀门，1 2小时可以放满；如果同时开放号阀门，8小时可以放满。问：同时开放这五个阀门几小时可以放满这个水池？从整体入手，比较条件中各个阀门出现的次数可知，号阀门各出现3次，号阀门各出现2次。如 果 专 总 再加一个上，则是五个阀门各放3小时的总水量。1 + 4 +白 + +Q）+3 = 1 + J +3 = 6 （ 小时）10 1U 1Z o o Z练习5 ：1 .完成一件工作，甲、 乙合作需1 5小时， 乙、 丙两人合作需1 2小时，甲、 丙

31、合作需1 0小时。甲、乙丙三人合作需几小时才能完成？2 .一项工程，甲干3天，乙干5天 可 以 完 成 甲 干5天、乙 干3天 可 完 成 甲 、乙合干需几天完成？3 .完成一件工作，甲、乙两人合作需2 0小时，乙、丙两人合作需2 8小时，丙、丁两人合作需3 0小时。甲、丁两人合作需几小时？4、一项工程，由一、二、三小队合干需18天完成，由二、三、四小队合干需15天完成，由一、二、四小队合干需12天完成，由一、三、四小队合干需2 0天完成。由第一小队单独干需要多少天？第2 3讲周期工程问题一、知识要点周期工程问题中，工作时工作人员（ 或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。解答时，首先要弄清一个循

32、环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。二、精讲精练例题1 一项工程，甲单独做需要1 2 小时，乙单独做需要1 8 小时。若甲做1 小时后乙接替甲做1 小时，再由甲接替乙做1 小时两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？把 2 小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。需循环的次数为：1+（ ! 小 ）片 7 （ 次）1 2 1 8 57 个循环后剩下的工作量是：1 - （ 白 + y - ）义7 41 Z lo J 。余下的工作两还需甲做的时间为：!（ 小时）36 1 2 3完成任务共用的时间为

33、：2 X7+ g=1 4； （ 小时）答：完 成 任 务 时 需 共 用 小 时 。O练习1 :1 、一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要1 0 小时完成。如果按甲、乙；甲、乙的顺序交替工作，每次1 小时，需要多少小时才能完成?2、一部书稿，甲单独打字要14小时，乙单独打字要2 0 小时。如果先由甲打1 小时,然后由乙接替甲打1 小时；再由甲接替乙打1 小时两人如此交替工作，打完这部书稿共需用多少小时？3、一项工作，甲单独完成要9 小时，乙单独完成要12小时。如果按照甲、乙；甲、乙的顺序轮流工作，每人每次工作1 小时，完成这项工程的2 /3 共要多少时间？2【 例 题 2】一项工程，甲、

34、乙合作26鼻天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能完成？由题意可以推出“ 甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否 则 不 论 “ 甲先”还是 “ 乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根 据 “ 甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：甲乙甲乙. . .甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙; 甲竖线左边做的天数为偶数， 谁先做没关系。 竖线右边可以看出， 乙做一天等于甲做半天，即甲的工作效率是乙的2 倍。甲每天能做这项工程的1 26（ X方 亮甲单独做完

35、成的时间1+ 与 =40 （ 天）答：这项工程由甲单独做需要40天才能完成。练 习2 ：1、一项工程，乙单独做2 0天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，也恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲独做几天可以完成？2、一项工程，甲单独做6天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，恰好也用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多; 天才能完成。这项工程由甲、乙合作合作几天可以完成？3、一项工程，甲、乙合作1 2 ,小时可以完成。如果第一小时甲做，第二小时乙做，这样轮流交

36、替做，也恰好用整数小时完成。如果第一小时乙做，第二小时甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多; 小时才能完成。这项工程由甲独做几小时可以完成？4、蓄水池有一跟进水管和一跟排水管。单开进水管5小时灌满一池水，单开排水管3小时排完一池水。现在池内有半池水，如果按进水、排水；进水、排水的顺序轮流依次各 开1小时，多少小时后水池的水刚好排完？【 例 题3】一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天数完成。如果第一天乙做， 第二天甲做， 这样交替轮流做， 做到上次轮流完成时所用的天数后，还 剩6 0个不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5 ： 3。甲、乙每天各做多少个？由题意可以推

37、出“ 甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否 则 不 论 “ 甲先”还是 “ 乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根 据 “ 甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：甲乙甲乙. . . . 甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙剩6 0个竖线左边做的天数为偶数， 谁先做没关系。 竖线右边可以看出， 剩下的6 0个零件就是甲、乙工作效率的差。甲每天做的个数为：6 0 + ( 5 - 3)乙每天做的个数为：6 0 4- ( 5 - 3)X 5 =1 5 0 （ 个 ）X3=9 0 （ 个 ）答：甲每天做1 5 0个，乙每天做9 0个。练 习3：1、 一批零件如果第一天师傅做， 第二天徒弟做，

38、 这样交替轮流做， 恰好用整数天完成。如果第一天徒弟做， 第二天师傅做， 这样交替轮流做， 做到上次轮流完成时所用的天数后，还 剩8 4个不能完成。已知师、徒工作效率的比是7： 40师、徒二人每天各做多少个？2、一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流恰好用整数天完成。如果9死一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做要多: 天才能完成。如果让甲、乙二人合作，只D需呼天就可以完成。现在，由乙独做需要几天才能完成？3、 红星机械厂有1 0 8 0 个零件需要加工。 如果第一小时让师傅做， 第二小时让徒弟做，这样交替轮流， 恰好整数小时可以完成。如果第一小时让徒弟做， 第二小时让师傅做， 这样

39、交替轮流，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩6 0 个不能完成。如果让师、徒二人合作，只需3 小时36 分就能完成。师、徒每小时各能完成多少个? 例题4打印一部稿件，甲单独打要1 2 小时完成，乙单独打要1 5 小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作。甲工作1 小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1 小时；甲工作 1 小时，乙工作2 小时如此这样交替下去，打印这部书稿共要多少小时？根据已知条件，我们可以把6小时的工作时间看做一个循环。在每一个循环中，甲、乙都工作了 3 小时。9每循环一次，他们共完成全部工程的宅+ 后 ）X 3 = -总工作量里包含几个9 / 20： 1弓9 1甲、乙工作两个

40、循环后，剩下全工程的1- 而 X 2 = 由于3 ， 所以， 求甲工作1 小时后剩下的工作由乙完成还需的时间为（ 士二）.1 1 - - -, 15 -4打印这部稿件共需的时间为：6 X 2+ 1+ ；=13； （ 小时）答：打印这部稿件共需13（小时。练习4 ：1、一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管，24 分钟能包空池灌满；单开乙管,18 分钟能把空池灌满。 现在，甲、乙两管轮流开放， 按照甲1分钟，乙2 分钟，甲2 分钟，乙 1 分钟，甲 1分钟，乙2 分钟如此交替下去，灌满一池水共需几分钟？2、一件工作，甲单独做，需 12小时完成；乙单独做需15 小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作

41、，甲工作2 小时，乙工作1 小时；甲工作1 小时，乙工作2 小时；甲工作2 小时，乙工作1 小时如此交替下去，完成这件工作共需多少小时？3、一项工程，甲单独做要5 0天完工，乙单独做需6 0天完工。现在，自某年的3 月 2日两人一起开工，甲每工作3 天则休息1 天，乙每工作5天则休息一天，完成全部工程的, 为几月几日？4 、 一项工程， 甲工程队单独做完要15 0天， 乙工程队单独做完需18 0天。 两队合作时,甲队做5 天，休息2 天，乙队做6天，休息1天。完成这项工程要多少天？【 例题5】有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、

42、丙、甲次序轮做。比原计划多用0 .5天；如果按丙、甲、 乙次序做， 比原计划多用; 天。 已知甲单独做13天完成。 且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？由题意可以推出：按甲、乙、丙次序轮做，能够的天数必定是3的倍数余1或余2。如果是3的倍数，三种轮流方式完工的天数，必定相同。如果按甲、乙、丙的次序轮流做，用的天数是3的倍数余1。三种轮流方式做的情况可表示如下：甲乙丙，甲乙丙，甲乙丙，甲乙丙甲，乙丙甲，. . .乙丙甲，乙T丙丙甲乙，丙甲乙，丙甲乙，丙: 甲O919 1 9从中可以退出：丙4甲；由于乙=甲一丙=甲一5甲，又推出乙q甲；与题中“ 三个工程队的工效各不相

43、同”矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序轮做，用的天数必定是3的倍数余2。三种轮流方式用的天数必定如下所示：甲乙丙，甲乙丙，. . .甲乙丙，甲乙乙丙甲，乙丙甲，乙丙甲，乙丙; 甲丙甲乙，丙甲乙，. . .丙甲乙，丙 甲 ! 乙01 9由此推出：丙方甲，丙二鼻乙丙队每天做这项工程的4 413 2 26乙队每天做这项工程的1 今七9 *3zb 6 5/ 1 3 7甲、乙、丙合作完工需要的时间为1+ ( + + ) = 5 -( 天)13 26 52 97答：甲、乙、丙合作要天完工。练 习5 ：1、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮

44、做。比原计划多用：天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用 天。已知甲单独做7天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？2、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比 原 计 划 多 用 天 ；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用：天。已知甲单独做10天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？3、有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用; 天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划

45、多用3天。已知这项工程由甲、乙、丙三个工程队同时合作，需133天可以完成，且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲独做需要多少天才能完成？4、蓄水池装有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5 小时。要排光一池水，单开乙管要4 小时，单开丁管要6 小时。现知池内有上池水，如果按甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁的顺序轮流各开1小时，多长时间后水开始溢出水池？第24讲比较大小一 、知识要点我 们 已 经 掌 握 了 基 本 的 比 较 整 数 、小 数 、分 数 大 小 的 方 法 。本周将进一步研究如何比较一些 较 复 杂 的 数 或 式 子 的 值 的

46、 大 小 。解 答 这 种 类 型 的 题 目 ，需 要 将 原 题 进 行 各 种 形 式 的 转 化 ，再利用一些不等式的性质进行推 理 判 断 。如 ：ab0 ,那 么 a的 平 方 1? 的 平 方 ；如 果 ab0 ,那么, 0 ,那 么 ab等 等 。比 较大小时，如 果 要 比 较 的 分 数 都 接 近 1时 ，可 先 用 1减 去 原 分 数 ，再根据被减数相等（ 都 是 1 ）,减 数 越 小 ，差 越 大 的 道 理 判 断 原 分 数 的 大 小 。如 果 两 个 数 的 倒 数 接 近 ，可 以 先 用 1分 别 除 以 这 两 个 数 。再 根 据 被 除 数 相

47、等 ，商 越 小 ，除 数 越 大 的 道 理 判 断 原 数 的 大 小 。除 了 将 比 较 大 小 转 化 为 比 差 、 比 商 等形式外，还常常要根据算式的特点将它作适当的变形 后 再 进 行 判 断 。二 、精讲精练, 1 1 U / 7 7 7 7 7 3 工 8 8 8 8 8 4 , , . . .【 例 题 1 】 比较7 7 7 7 7 8 和8 8 8 8 8 9 的 大 小 。这两个分数的分子与分母各不相同，不能直接比较大小，使用通分的方法又太麻烦。由于这里的两个分数都接近1 ，所以我们可先用1 分别减去以上分数，再比较所得差的大小，然后再判断原来分数的大小。7 7

48、7 7 7 3 _ 5 8 8 8 8 8 4 _ 5因为 1 7 7 7 7 7 8 777778 8 8 8 8 8 9 8 8 8 8 8 95 _ _ 57 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 97 7 7 7 7 3 8 8 8 8 8 4所以7 7 7 7 7 8 10T H T所 以 总 以 1nl 1 1 1 1 1练习2 ：1、比较A=儡 和B = 的大小1 6 6 6 1 6 62、比较1 1 1 1 1 1 1 1 02 2 2 2 2 2 2 2 14 4 4 4 4 4 4 4 38 8 8 8 8 8 8 8 7的大小3、卜 廿 六8 8 8 8 8 8 7 和

49、9 9 9 9 9 9 1比牧8 8 8 8 8 8 9 和9 9 9 9 9 9 4的大小。【 例 题3】 比 较 会 券 和 急 募 的 大 小 。yo/ oi y( s /OD两 个 分 数 中 的 分 子 与 分 子 、分 母 与 分 母 都 较 为 接 近 ，可 以 根 据 通 分 的 原 理 ，用交叉相乘法 比 较 分 数 的 大 小 。因为 1 2 3 4 5 X 9 8 7 6 5 = 1 2 3 4 5 X 9 8 7 6 1 + 1 2 3 4 5 X 4 = 1 2 3 4 5 X 9 8 7 6 1 + 4 9 3 8 01 2 3 4 6 X 9 8 7 6 1 =

50、1 2 3 4 5 X 9 8 7 6 1 + 9 8 7 6 1而 9 8 7 6 1 4 9 3 8 0所以 1 2 3 4 6 X 9 8 7 6 1 1 2 3 4 5 X 9 8 7 6 5向 1 2 3 4 5 1 2 3 4 6如 9 8 7 6 1 1 5 1 5 . 2 4 - - 1 5 - - X 1 5 = 1 3 - 1 4 . 8 X = 1 4 . 6yy 3 j 4 o / 4答：因为, 小 x 1 5 的积最小，所以B 最大。练习49 4 11 、已知 A X 5 = B X 9 0 % = C 4 - 7 5 % = D X - = E4 - 1 - 。把

51、A 、B 、C 、D 、E 这 5 个数从小到大排列，第二个数是.2 、有八个数，0 . 灯，-0 . 5 i , 薨 ,是其中的六个数，如果从小到大排列时，第四个数是0 . 5 1 1 1 ，那么从大到小排列时，第四个数是哪个？3 、在下面四个算式中，最大的得数是几？( 1 ) ( 7 ) X 2 0 ( 2 ) ( / ) X3 0(3)( ) X 4 0 ( 4 ) ( yr ) X5 0【 例题5 】图2 4 1 中有两个红色的正方形，两个蓝色的正方形，它们的面积已在图中标出( 单位：平方厘米) 。问：红色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正方形面积大？红蓝通过计算结果再比较大小自然是可

52、以，但比较麻烦。我们可以采取间接比较的方法。1 9 9 7 2 1 9 9 7 ? = ( 1 9 9 7 + 1 9 6 6 ) X ( 1 9 9 7 - 1 9 9 6 ) = 3 9 9 31 9 9 3 2 1 9 9 2 ? = ( 1 9 9 3 + 1 9 9 2 ) X ( 1 9 9 3 - 1 9 9 2 ) = 3 9 8 5因为 1 9 9 7 2 1 9 9 7 ? 1 9 9 32- 1 9 9 22所以 1 9 9 72+ 1 9 9 72 1 9 9 32+ 1 9 9 22练 习 51、如图242 所示，有两个红色的圆和两个蓝色的圆。红色的两圆的直径分别是1

53、992厘 米 和 1949厘米，蓝色的两圆的直径分别是1990厘 米 和 1951厘米。问：红色的两圆面积之和大，还是蓝色的两圆面积之和大？图 2422、如 图 243 所示，正方形被一条曲线分成了 A、B 两部分，如 果 x y ,是比较A、B两部分周长的大小。X1 R 5 7 Q Q 13、问 b , 求 篙 的 最 小 值 。3 、设 x 和 y 是选自前2 0 0 个自然数的两个不同的数，且 x y , 求W:的最大值;x y求出的最小值。x y【 例题2 】有甲、乙两个两位数，甲数? 等于乙数的|。这两个两位数的差最多是多少？9 9甲数：乙数W ： y = 7 ： 3 , 甲数的7

54、份，乙数的3 份。由甲是两位数可知，每份的数量最大是1 4 , 甲数与乙数相差4 份，所以，甲、乙两数的差是1 4 X ( 7 - 3 ) = 5 6答：这两个两位数的差最多是5 6 。练习2 ：1 . 有甲、乙两个两位数，甲数的义等于乙数的这两个两位数的差最多是多少？1 0 52 、 甲、 乙两数都是三位数， 如果甲数的|恰好等于乙数的。 这两个两位数的和最小是多少？3 . 加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做4 8 个、3 2个、2 8 个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？【 例题3 】如果两个四位数的差等于8 9 2 1 , 就是说这

55、两个四位数组成一个数对。问：这样的数对共有多少个？在这些数对中，被减数最大是9 9 9 9 , 此时减数是9 9 9 9 8 9 2 1 = 1 0 7 8 , 被减数和剑术同时减去1 后， 又得到一个满足题意条件的四位数对。 为了保证减数是四位数， 最多可以减去7 8 ,因此，这样的数对共有7 8 + 1 = 7 9 个。答：这样的数对共有7 9 个。练习31 、两个四位数的差是8 9 2 1 。这两个四位数的和的最大值是多少？2、如果两个三位数的和是5 2 5 ,就说这两个三位数组成一个数对。那么这样的数对共有多少个？组成这样的数对的两个数的差最小是多少？最大是多少？3、如果两个四位数的差

56、是3456,就说这两个数组成一个数对。 那么， 这样的数对共有多少个？组成这样的数对的两个数的和最大是多少？最小是多少？【 例题4】三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是114。这三个数中最小的是多少？因为： 最大数X中间数一最小数X中间数= 1 1 4 ,即：（ 最大数一最小数）X中间数= 114而三个连续自然数中，最大数一最小数= 2 ,因此，中间数是114 + 2 = 5 7 ,最小数是57- 1 = 56答: 最小数是56。练习41、 桑连续的奇数， 后两个数的积与前两个数的积之差是252。 三 个 数 中 最 小 的 数 是 .2、a、b、c是从小到大排列的三个数，且a

57、 b = b c ,前两个数的积与后两个数的积之差是280。如果b = 3 5 ,那么c是 o3、被分数J，。 ，卸 除得的结果都是整数的最小分数是I X A 乙 J L【 例题5】三个数字能组成6个不同的三位数。这6个三位数的和是2886。求所有这样的6个三位数中的最小的三位数。因为三个数字分别在百位、 十位、 个位各出现了 2次。 所以，2886 222能得到三个数字的和。设三个数字为a、b、c ,那么6个不同的三位数的和为abc+acb+bac+bca+cab+cba=(a+b+c) X 100X2+ (a+b+c) X 100X2+ (a+b+c) X 100X2=(a+b+c) X

58、222= 2886即 a+b+c=28864-222 = 13答：所有这样的6个三位数中，最小的三位数是139。练习51、有三个数字能组成6个不同的三位数。这6个不同的三位数的和是3108。所有这样的6个三位数中最大的一个是多少？2、有三个数字能组成6个不同的三位数。这6个不同的三位数的和是2220。所有这样的6个三位数中最小的一个是多少？3、用a、b、c能组成6个不同的三位数。这6个三位数相加的和是2886。已知a、b、c三个数字中，最大的数字是最小数字的2倍，这6个三位数中最小的数是多少？第26讲乘法和加法原理一、知识要点在做一件事情时，要分几步完成，而在完成每一步时又有几种不同的方法，要

59、知道完成这件事一共有多少种方法，就用乘法原理来解决。做一件事时有几类不同的方法，而每一类方法中又有几种可能的做法就用加法原理来解决。二、精讲精练【 例题1 】由数字0 , 1 , 2 , 3 组成三位数，问：可组成多少个不相等的三位数？可组成多少个没有重复数字的三位数？在确定组成三位数的过程中，应该一位一位地去确定，所以每个问题都可以分三个步骤来完成。要求组成不相等的三位数， 所以数字可以重复使用。百位上不能取0 , 故有3 种不同的取法：十位上有4 种取法，个位上也有4 种取法，由乘法原理共可组成3 X 4 X 4 = 4 8 个不相等的三位数。要求组成的三位数没有重复数字， 百位上不能取0

60、 , 有三种不同的取法， 十位上有三种不同的取法， 个位上有两种不同的取法，由乘法原理共可组成3 X 3 X 2 = 1 8 个没有重复数字的三位数。练习1 ：1 、有数字1 ，2 , 3 , 4 , 5 , 6 共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？2 、在自然数中，用两位数做被减数，一位数做减数，共可组成多少个不同的减法算式?3 、由数字1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 可组成多少个:三位数；三位偶数；没有重复数字的三位偶数；百位是8的没有重复数字的三位数；百位是8的没有重复数字的三位偶数。【 例题2 】有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1

61、, 2 , 3 , 4 , 5 ,6 o 将两个正方体放在桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？要使两个数字之和为偶数，就需要这两个数字的奇、偶性相同，即两个数字同为奇数或偶数。所以，需要分两大类来考虑：两个正方体向上一面同为奇数的共有3 X 3 = 9 （ 种）不同的情形；两个正方体向上一面同为偶数的共有3 X 3 = 9 （ 种）不同的情形；两个正方体向上一面同为偶数的共有3 X 3 +3 X 3 = 1 8 （ 种）不同的情形。练习2 ：1 、在 1 1 0 0 0 的自然数中，一共有多少个数字1 ?2 、在 1 5 0 0 的自然数中，不含数字0 和 1 的数有多少个?3 、

62、十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？4 、由数字0 , 1 , 2 , 3 , 4 可以组成多少个没有重复数字的三位偶数?【 例题3】书架上层有6本不同的数学书，下层有5本不同的语文书，若任意从书架上取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？从书架上任取一本数学书和一本语文书， 可分两个步骤完成， 第一步先取数学书， 有6种不同的方法，而这6种的每一种取出后，第二步再取语文书，又有5种不同的取法，这样共有6个5种取法，应用乘法计算6X5=30 （ 种），有30种不同的取法。练习3：1、商店里有5种不同的儿童上衣，4种不同的裙子，妈妈准备为女儿

63、买上衣一件和裙子一条组成一套，共有多少种不同的选法？2、小明家到学校共有5条路可走，从学校到少年宫共有3条路可走。小明从家出发，经过学校然后到少年宫，共有多少种不同的走法？3、张师傅到食堂吃饭，主食有2种，副食有6种，主、副食各选一种，他有几种不同的选法？【 例题4】在2, 3, 5, 7, 9这五个数字中，选出四个数字，组成被3除余2的四位数，这样的四位数有多少个？从五个数字中选出四个数字，即五个数字中要去掉一个数字，由于原来五个数字相加的和除以3余2 ,所以去掉的数字只能是3或9。去掉的数字为3时，即选2, 5, 7, 9四个数字，能排出4X3X2X1=24 （ 个）符合要求的数，去掉的数

64、字为9时也能排出24个符合要求得数，因此这样的四位数一共有24+24=48（ 个）练习4 ：1 、在 1 , 2 , 3 , 4 , 5 这五个数字中，选出四个数字组成被3除余2的四位数，这样的四位数有多少个？2 、在 1 , 2 , 3 , 4 , 5 这五个数字中，选出四个数字组成能被3 整除的四位数，这样的四位数有多少个?3 、在 1 , 4 , 5 , 6 , 7 这五个数字中，选出四个数字组成被3除余1 的四位数，这样的四位数有多少个?【 例题5 从学校到少年宫有4条东西的马路和3条南北的马路相通（ 如图），小明从学校出发到少年宫（ 只许向东或向南行进），最后有多少种走法？为了方便解

65、答，把图中各点用字母表示如图。根据小明步行规则，显然可知由A到 T 通过 A C 边上的各点和A N 边上的各点只有一条路线，通过E点有两条路线（ 即从B点、D点来各一条路线），通过H点有3 条路线（ 即从E点来有二条路线，从 G点来有一条路线），这样推断可知通过任何一个交叉点的路线总数等于通过该点左边、上方的两邻接交叉点的路线的总和，因此，可求得通过S 点有4条路线，通过F点有3 条路线由此可见，由A点通过 T 点有1 0 条不同的路线，所以小明从学校到少年宫最多有1 0 种走法。练习5 ：1 、从学校到图书馆有5条东西的马路和5 条南北的马路相通（ 如图）。李菊从学校出发步行到图书馆（ 只

66、许向东或向南行进），最多有多少种走法？2 、某区的街道非常整齐（ 如图），从西南角A处走到东北角B处，要求走最近的路，一共有多少种不同的走法?3、如图有6 个点，9 条线段，一只小虫从A点出发，要沿着某几条线段爬到F 点。行进中，同一个点或同一条线段只能经过一次，这只小虫最多有多少种不同的走法？第27讲表面积与体积( 一)一、知识要点小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“ 数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理

67、大胆想象，正确灵活地计算。在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：( 1 ) 充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。( 2 ) 把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。( 3 ) 若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。二、精讲精练【 例题1 从一个棱长1 0 厘米的正方体木块上挖去一个长1 0 厘米、宽 2厘米、高 2 厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？这是一道开放题，方法有多种：按

68、图2 7 - 1 所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为5 92 平方厘米。按图2 7 - 2 所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为6 3 2 平方厘米。按图2 7 - 3 所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为6 7 2 平方厘米。图 2 7 - 3练习1 ：1 、从一个长1 0 厘米、宽 6 厘米、高 5 厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少？2 、把一个长为1 2 分米，宽为6分米，高为9 分米的长方体木块锯成两个想同的小厂房体木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分米？3 、 在一个棱长是4 厘米的立方体上挖一个棱长是1

69、 厘米的小正方体后， 表面积会发生怎样的变化?【 例 题2】把1 9个棱长为3厘米的正方体重叠起来，如 图2 7 -4所示，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方向上的小 正方体各面就组合成了如下图形（ 如 图2 7 -5所示）。从上往下看图 275而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。整个立体图形的表面积 可 采 用（ S上+ S左+ S前）X2来计算。( 3 X 3 X 9 + 3 X 3 X 8 + 3 X 3 X 1 0 ) X 2= ( 8 1 + 7 2 + 9 0 ) X 2= 2

70、4 3 X 2= 4 8 6 （ 平方厘米）答：这个立体图形的表面积是4 8 6平方厘米。练 习2：1、用棱长是1厘米的立方体拼成图2 7 -6所示的立体图形。求这个立体图形的表面积。图 2762 、一堆积木( 如图2 7 -7 所 示 )，是由1 6块棱长是2 厘米的小正方体堆成的。它们的表面积是多少平方厘米?图 2 7 73 、一个正方体的表面积是3 8 4 平方厘米，把这个正方体平均分割成64 个相等的小正方体。每个小正方体的表面积是多少平方厘米？【 例题3 】把两个长、宽、高分别是9 厘米、7 厘米、4 厘米的相同长方体，拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？把两个

71、相同的大长方体拼成一个大厂房体，需要把两个相同面拼合，所得大厂房体的表面积就减少了两个拼合面的面积。要使大长方体的表面积最小，就必须使两个拼合面的面积最大，即减少两个9 义7 的面。( 9 X 9 + 9 X 4 + 7 X 4 ) X 2 X 2 9 X 7 X 2=( 63 + 3 6+ 2 8 ) X 4 1 2 6= 50 8 1 2 6= 3 8 2 ( 平方厘米)答：这个大厂房体的表面积最少是3 8 2 平方厘米。练习3 ：1 、把底面积为2 0 平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是多少？2、将一个表面积为3 0平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方

72、体拼成一个大长方体。求大长方体的表面积是多少。3、用6块 （ 如图27 -8所示）长方体木块拼成一个大长方体，有许多种做法，其中表面积最小的是多少平方厘米？图 27-8 例题4 一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加4 0立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加9 0立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加9 6立方里，求原长方体的表面积。我们知道：体积= 长乂宽X高；由长增加2厘米，体积增加4 0立方厘米，可知宽X高=404-2=20 （ 平方厘米）；由宽增加3厘米，体积增加9 0立方厘米，可知长义高=90 + 3=30 （ 平方厘米）；由高增加4厘米，体积增加9 6立方厘米，可知长X宽=96

73、 4=24 （ 平方厘米）。而长方体的表面积=（ 长X宽+ 长X高+ 宽义高）*2 = （ 20+30+24） X 2=148 （ 平方厘米）。即404-2=20 （ 平方厘米）90+3=30 （ 平方厘米）96+4=24 （ 平方厘米）（ 30+20+24） X2=74X2=148 （ 平方厘米）答：原长方体的表面积是148平方厘米。练 习4 ：1、一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少4 8立方厘米；如果宽增加5厘米，则体积增加65立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加9 6立方厘米。原来厂房体的表面积是多少平方厘米？2、一个厂房体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，

74、便成为一个正方体，其表面积减少了 1 2 0平方厘米。原来厂房体的体积是多少立方厘米？3、有一个厂房体如下图所示，它的正面和上面的面积之和是2 0 9。如果它的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？图 2 7 -9【 例 题5】如图2 7 T o所示，将高都是1米，底面半径分别为1 . 5米、1米 和0 . 5米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。如果分别求出三个圆柱的表面积， 再减去重叠部分的面积， 这样计算比较麻烦。 实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。 这样， 这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、 小圆柱的侧面积。图2 7 1 03 . 1 4

75、X 1 . 5X 1 . 5X 2 + 2 X 3 . 1 4 X 1 . 5X 1 + 2 X 3 . 1 4 X 1 X 1 + 2 X 3 . 1 4 X 0 . 5X 1= 3 . 1 4 X ( 4 . 5+ 3 + 2 + 1 )= 3 . 1 4 X 1 0 . 5= 3 2 . 9 7 ( 平方米)答：这个物体的表面积是3 2 . 9 7平方米。练习5：1 、一个棱长为4 0 厘米的正方体零件（ 如图2 7 -1 1 所示）的上、下两个面上，各有一个直径为4 厘米的圆孔，孔深为1 0 厘米。求这个零件的表面积。图27-112 、用铁皮做一个如图2 7 T 2 所示的工件（ 单位

76、：厘米）,需用铁皮多少平方厘米?图 27 123 、如图2 7 T 3 所示，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上、下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。已知立方体棱长为1 0 厘米， 侧面上的洞口是边长为4 厘米的正方形， 上、 下侧面的洞口是直径为4 厘米的圆， 求该立方体的表面积和体积（ n 取 3 . 1 4 ） 。图 27-13第28讲表面积与体积（ 二）一、知识要点解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：（ 1 ）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积。把物体从水中取出，水面下降部分的体积等于物体的体积。 这是物体全部浸没在水中的情况。 如果物体不全部浸在水中

77、，那么派开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积。（ 2 ）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变。（ 3 ）求一些不规则形体体积时，可以通过变形的方法求体积。（ 4 ）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定。二、精讲精练【 例 题1】有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为6米、3米、2米。把两堆碎石分别沉在中、小水池里，两个水池水面分别升高了 6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？中、小水池升高部分是一个长方体，它的体积就等同于碎石的体积。两个水池水面分别升高了 6厘米和4厘米，两堆碎石

78、的体积就是3X3X0. 06 + 2 X2 X0. 04 = 0. 7 （ 立方米）。把它沉到大水池里，水面升高部分的体积也就是0. 7立方米，再除以它的底面积就能求得升高了多少厘米。3X3X0. 06 + 2 X2 X0. 04 = 0. 7 （ 立方米）0. 7 4 - 6 的平方= 7 / 36 0 （ 米）= 1 又 1 7 / 1 8 （ 厘米）答：大水池的水面升高了 1又1 7 / 1 8厘米。练 习1 ：1、有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米。把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了 4厘 米 和1 1厘米，如果将这两堆碎石都沉没

79、在大水池中，那么大水池水面将升高多少厘米？2、用直径为2 0厘米的圆钢，锻造成长、宽、高分别为30厘米、2 0厘米、5厘米的长方体钢板，应截取圆钢多长（ 精确到0. 1厘米）？3、将表面积为5 4 平方厘米、9 6 平方厘米、1 5 0平方厘米的三个铁质正方体熔铸成一个大正方体（ 不计损耗），求这个大正方体的体积。【 例题2 】一个底面半径是1 0厘米的圆柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入长和宽都是 8 厘米、高是1 5 厘米的一块铁块，把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？在瓶中放铁块要考虑铁块是全部沉入水中，还是部分沉入水中。如果铁块是全部沉入水中， 排开水的体积是8 X8 X 1 5 = 9

80、 6 0 （ 立方厘米）。而现在瓶中水深是8 厘米，要淹没1 5 厘米高的铁块，水面就要上升1 5 8 = 7 （ 厘米），需要排开水的体积是（ 3. 1 4 X1 0X1 08 X 8 ） X7 = 1 7 5 0 （ 立方厘米），可知铁块是部分在水中。当铁块放入瓶中后， 瓶中水所接触的底面积就是3. 1 4 X 1 0X1 08 X8 = 2 5 0（ 平方厘米） 。水的形状变了，但体积还是3. 1 4 X 1 0 X 1 0X8 = 2 5 1 2 （ 立方厘米）。水的高度是2 5 1 2 4 -2 5 0= 1 0. 04 8 （ 厘米），上升 1 0. 04 8 8 = 2 . 04

81、 8 （ 厘米）3. 1 4 X1 0X1 0X8 4 - （ 3. 1 4 X1 0X1 08 X 8 ） 8= 2 5 1 2 4 - 2 5 08= 1 0. 04 8 8= 2 . 04 8 （ 厘米）答：水面上升了 2 . 04 8 厘米。练习2 ：1 、一个底面积是1 5 平方厘米的玻璃杯中装有高3 厘米的水。现把一个底面半径是1 厘米、高 5 厘米的圆柱形铁块垂直放入玻璃杯水中，问水面升高了多少厘米（ II取 3） ?2 、一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2 . 5 厘米，玻璃杯内侧的底面积市2 平方里。在这个杯中放进棱长6 厘米的正方形铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘

82、米?3、在底面是边长为6 0厘米的正方形的一个长方形容器里，直立放着一个长1 00厘米、底面边长为1 5 厘米的正方形的四棱柱铁棍。这时容器里的水5 0厘米深。现在把铁棍轻轻地向上方提起2 4 厘米，露出睡眠的四棱柱铁棍浸湿部分长多少厘米？【 例题3】某面粉厂有一容积是2 4 立方米的长方体储粮池，它的长是宽或高的2 倍。当贴着它一最大的内侧面将面粉堆成一个最大的半圆锥体时， 求这堆面粉的体积（ 如图2 8 - 1 所图2 8 T设圆锥体的底面半径是r , 则长方体的高和宽也都是r , 长是2 人 长方体的容积是2 r xr Xr = 2 4 , 即 r的立方= 1 2 。这个半圆锥体的体积是

83、l / 3 X H r 的平方Xr + 2 = l / 6 r i r 的立方,将 r的立方= 1 2 代入，就可以求得面粉的体积。设圆锥体的底面半径是r , 则长方体的容积是2 r Xr Xr = 2 4 , r的立方= 1 2 。1 / 3X3. 1 4 Xr 的平方Xr + 2= 1 / 6 X3. 1 4 Xr 的立方= 1 / 6 X3. 1 4 X1 2= 6 . 2 8 （ 立方米）答：这堆面粉的体积是6 . 2 8 立方米。练习3：1 、已知一个圆锥体的底面半径和高都等于一正方体的棱长， 这个正方体的体积是2 1 6 立方分米。求这个圆锥体的体积。2 、一个正方体的纸盒中如图2

84、 8 - 2 所示，恰好能装入一个体积6 . 2 8 立方厘米的圆柱体。纸盒的容积有多大（ T I取 3. 1 4 ） ?3、如图2 8 - 3所掷，圆锥形容器中装有3 升水，水面告诉正好是圆锥高读的一半。这个【 例题4 】如果把1 2 件同样的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包装方法？怎样打包物体的表面积最小呢？设长方体物品的长、宽、高分别是a 、 b 、c , 并且a b c （ 入土 2 8 - 4 ）。比较“ 3 X 4 ”和 “ 2X 6 ”两种包法。图 2 8 - 5 中大长方体表面积为6 a b + 8 a c + 2 4 b c ，图 2 8 - 6 中大长方体的表面

85、积为4 a b + 1 2 a c + 2 4 b c ，两个式子中都曲调相同的部分4 a b + 8 a c + 2 4 b c 后，式与式的大小要看2 a b 与 4 a c 的大小。 （ 1 ）当b = 2 c 时，2 a b = a c , 两种包法相同。 （ 2 ）当b V2 c 时，要X 4 ”的包法表面积最小。 （ 3）当b 2 c 时， “ 2 X 6 ”的包法表面积最小。练习4：1、如果把长8厘米，宽7厘米，高3厘米的2件同样的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包装方法？怎样打包，物体的表面积最小？2、一个精美小礼品盒的形状是长9厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体。请你

86、帮厂家设计一个能装10个小礼品盒的大纸箱，你觉得怎样设计比较合理？为什么？3、一包香烟的形状是长方体，它的长是9厘米，宽是5厘米，高是2厘米。把1 0包香烟包装在一起形成一个大长方体，称为一条。可以怎样包装？算一算需要多少包装纸（ 包转念能够纸的重叠部分忽略不计）。你认为哪一种包装比较合理？【 例题5】一只集装箱，它的内尺寸是18X18X18。现在有批货箱，它的外尺寸是1X4X 9 o问这只集装箱能装多少只货箱？因为集装箱内尺寸18不是货箱尺寸4的倍数，所以，只能先在18X16X18的空间放货箱，可放18X16X18+ （ 1X4X9） =144 （只）。这时还有18X2X 18的空间，但只能

87、在18X2X 16的空间放货箱，可放18X2X16+ （1 X 4X 9） =16 （ 只）。最后剩下18X 2X 2的空间无法再放货箱，所以最多能装144+16=160 （ 只）。18X16X184- （ 1X4X9） +18X2X164- （ 1X4X9）=144+16=160 （ 只）答：这只集装箱能装160只货箱。练习5：1、有一个长方体的盒子，从里面量长为40厘米、宽为12厘米、高为7 厘米。在这个盒子里放长5 厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米的长方体木块，最多可放几块?2、从一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的厂房体上面，尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽

88、可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？3、 现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5 厘米的长方体无盖铁皮盒（ 焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米？第29讲 抽 屉 原 理 （ 一）一、知识要点如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。如果把4封信投到3 个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2 封信。如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“ 抽屉原理”。基本的抽

89、屉原理有两条： （ 1 ）如果把x + k （ k l ）个元素放到x 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2 个或2 个以上的元素。（ 2 ）如果把m X x X k （ x k N l ） 个元素放到x 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m + 1 个或更多个元素。利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“ 抽屉”？哪些是“ 元素”？然后按以下步骤解答：a 、构造抽屉，指出元素。b 、把元素放入（ 或取出）抽屉。C 、说明理由，得出结论。本周我们先来学习第（ 1 ）条原理及其应用。二、精讲精练【 例题1 】某校六年级有学生3 6 7 人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？把一年中的天数看成

90、是抽屉， 把学生人数看成是元素。 把 3 6 7 个元素放到3 6 6 个抽屉中，至少有一个抽屉中有2 个元素，即至少有两个学生的生日是同一天。平年一年有3 6 5 天，闰年一年有3 6 6 天。把天数看做抽屉，共 3 6 6 个抽屉。把 3 6 7 个人分别放入3 6 6 个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有两个学生的生日是同一天。练习1 ：1 、某校有3 7 0名 1 9 9 2 年出生的学生，其中至少有2 个学生的生日是同一天，为什么？2 、某校有3 0名学生是2 月份出生的，能否至少有两个学生生日是在同一天？3 、1 5 个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？【 例

91、题2】 某班学生去买语文书、 数学书、 外语书。 买书的情况是： 有买一本的、 二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（ 每种书最多买一本）？首先考虑买书的几种可能性，买一本、二半、三本 共 有7种类型，把7种类型看成7个抽屉，去的人数看成元素。要保证至少有一个抽屉里有2人，那么去的人数应大于抽屉数。所以至少要去7 +1 = 8 （ 个）学生才能保证一定有两位同学买到相同的书。买书的类型有：买一本的：有语文、数学、外 语3种。买二本的：有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种 。买三本的：有语文、数学和外语1种。3 +3 +1 = 7 （ 种）把7种类型看做7

92、个抽屉，要保证一定有两位同学买到相同的书，至少要去8位学生。练 习2 ：1、某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。买书的情况是：有买一本的、二本的、三本或四本的。，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（ 每种书最多买一本）？2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。每个学生从中任意借两本，那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种？3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄三种，问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的？【 例题3 】一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才

93、能保证有3 副同色的？把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有1 副同色的，就是1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套。这时拿出1 副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出2只手套又能保证有一副手套是同色的，以此类推。把四种颜色看成是4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有一副就要摸出5只手套。这时拿出1 副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理，只要再摸出2只手套又能保证有一副手套是同色的。以此类推，要保证有3 副同色的，共摸出的手套有5 +2 +2 = 9 （ 只）答：最少要摸出9只手套才能保证有3 副同色的。练习3

94、 ：1 、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有4 副同色的？2 、布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。颜色有白、黑、蓝三种。问：最少要摸出多少只袜子，才能保证有3 双同色的？3 、一个布袋里有红、黄、蓝色袜子各8只。每次从布袋中拿出一只袜子，最少要拿出多少只才能保证其中至少有2 双不同袜子？【 例题4 】 任意5 个不相同的自然数， 其中至少有两个数的差是4的倍数， 这是为什么？一个自然数除以4的余数只能是0, 1 , 2 , 3 o 如果有2 个自然数除以4的余数相同，那么这两个自然数的差就是4的倍数。一个自然数除以4的余数

95、可能是0, 1 , 2 , 3 , 所以，把这4 种情况看做时个抽屉，把任意 5 个不相同的自然数看做5个元素，再根据抽屉原理，必有一个抽屉中至少有2个数，而这两个数的余数是相同的，它们的差一定是4的倍数。所以，任意5 个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数。练习4 ：1 、任意6 个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是5的倍数，这是为什么？2 、任意取几个不相同的自然数，才能保证至少有两个数的差是8的倍数?3 、证明在任意的（ n +1 ）个不相同的自然数中，必有两个数之差为n的倍数。【 例题5 】能否在图2 9 T 的5 行 5 列方格表的每个空格中，分别填上1 , 2 , 3

96、 这三个数中的任一个，使得每行、每列及对角线A D 、B C 上的各个数的和互不相同？由图2 9 T 可知：所有空格中只能填写1 或 2 或 3 。因此每行、每列、每条对角线上的5个数的和最小是1 X 5 = 5 , 最大是3 X 5 = 1 5 。从 5 到 1 5 共有1 1 个互不相同的整数值，把这1 1个值看承1 1 个抽屉，把每行、每列及每条对角线上的各个数的和看承元素，只要考虑元素和抽屉的个数就可得出结论是不可能的。因为每行、每列、每条对角线上的5个数的和最小是5 , 最大是1 5 , 从 5 到 1 5 共有1 1 个互不相同的整数值。而 5 行、5 列及两条对角线上的各个数的和

97、共有1 2 个，所以，这 1 2 条线上的各个数的和至少有两个是相同的。练习5 ：1 、能否在6行6列方格表的每个空格中，分别填上1 , 2 , 3 这三个数中的任一个，使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同？为什么？2 、证明在8 X 8 的方格表的每个空格中，分别填上3 , 4, 5 这三个数中的任一个，在每行、每列及对角线上的各个数的和中至少有两个和是相同的。3 、在 3 X 9 的方格图中（ 如图2 9 - 2 所示），将每一个小方格涂上红色或者蓝色，不论如何涂色，其中至少有两列的涂色方式相同。这是为什么？第30讲 抽 屉 原 理 （ 二）一、知识要点在抽屉原理的第（ 2 ）条原

98、则中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加，当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的等式：元素总数= 商又抽屉数+余数如果余数不是0 , 则最小数= 商+1 ；如果余数正好是0 , 则最小数= 商。二、精讲精练【 例 题 1 】幼儿园里有1 2 0 个小朋友，各种玩具有3 64 件。把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4 件或4 件以上的玩具？把 1 2 0 个小朋友看做是1 2 0 个抽屉， 把玩具件数看做是元素。 则3 64 = 1 2 0 X 3 + 4 , 4 V 1 2 0 。根据抽屉原理的第（ 2 ）条规则：如果把m X x X k （ x k l ）个

99、元素放到x 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m + 1 个或更多个元素。可知至少有一个抽屉里有3 + 1 = 4 个元素，即有人会得到4 件或4 件以上的玩具。练习1 ：1 、一个幼儿园大班有4 0 个小朋友，班里有各种玩具1 2 5件。把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4 件或4件以上的玩具？2 、把 1 6枝铅笔放入三个笔盒里，至少有一个笔盒里的笔不少于6 枝。这是为什么？3 、把 2 5个球最多放在几个盒子里，才能至少有一个盒子里有7 个球?【 例题2 】布袋里有4 种不同颜色的球，每种都有1 0 个。最少取出多少个球，才能保证其中一定有3 个球的颜色一样？把 4 种不同颜色看做4

100、个抽屉，把布袋中的球看做元素。根据抽屉原理第（ 2 ）条，要使其中一个抽屉里至少有3个颜色一样的球，那么取出的球的个数应比抽屉个数的2倍多 1 。即2 X 4 + 1 = 9 （ 个）球。列算式为（ 3 1 ） X4 + 1 = 9 （ 个）练习2 ：1 、 布袋里有组都多的5 种不同颜色的球。 最少取出多少个球才能保证其中一定有3 个颜色一样的球？2 、 一个容器里放有1 0 块红木块、 1 0 块白木块、 1 0 块蓝木块， 它们的形状、 大小都一样。当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时，为确保取出的木块中至少有4块颜色相同，应至少取出多少块木块？3 、一副扑克牌共54 张，其中1 1 3 点

101、各有4张，还有两张王的扑克牌。至少要取出几张牌，才能保证其中必有4 张牌的点数相同？【 例 题 3 】某班共有4 6 名学生，他们都参加了课外兴趣小组。活动内容有数学、美术、书法和英语，每人可参加1 个、2 个、3 个或4个兴趣小组。问班级中至少有几名学生参加的项目完全相同？参加课外兴趣小组的学生共分四种情况，只参加一个组的有4种类型，只参加两个小组的有6 个类型， 只参加三个组的有4 种类型， 参加四个组的有1 种类型。 把 4 + 6+ 4 + 1 = 1 5 （ 种）类型看做1 5个抽屉，把 4 6个学生放入这些抽屉，因为4 6= 3 X 1 5+ 1 , 所以班级中至少有4 名学生参加

102、的项目完全相同。练习3 ：1 、某班有3 7个学生，他们都订阅了 小主人报、 少年文艺、 小学生优秀作文三种报刊中的一、二、三种。其中至少有几位同学订的报刊相同？2 、 学校开办了绘画、 笛子、 足球和电脑四个课外学习班， 每个学生最多可以参加两个（ 可以不参加）。某班有52 名同学，问至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？3 、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球，每人任意搬运两个，问：在 3 1 个搬运者中至少有几人搬运的球完全相同？【 例题4 】从 1 至 3 0 中，3的倍数有3 0 + 3 = 1 0 个，不是3的倍数的数有3 0 1 0 = 2 0 个,至少要取出2 0 + 1

103、 = 2 1 个不同的数才能保证其中一定有一个数是3的倍数。练习4 ：1 、在 1 , 2 , 3 , 4 9, 50 中，至少要取出多少个不同的数，才能保证其中一定有一个数能被5 整除？2 、从 1 至 1 2 0 中，至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数是4的倍数?3 、从 1 至 3 6中，最多可以取出几个数，使得这些数中没有两数的差是5 的倍数？【 例题5】 将 4 0 0 张卡片分给若干名同学， 每人都能分到， 但都不能超过1 1 张， 试证明：找少有七名同学得到的卡片的张数相同。这题需要灵活运用抽屉原理。将分得1 , 2 , 3 , ，1 1 张可片看做1 1 个抽屉，把

104、同学人数看做元素，如果每个抽屉都有一个元素，则需1 + 2 + 3 + + 1 0 + 1 1 =66 （ 张）卡片。而 4 0 04 - 66=64 （ 张），即每个周体都有6 个元素，还余下4张卡片没分掉。而这4 张卡片无论怎么分， 都会使得某一个抽屉至少有7 个元素， 所以至少有7 名同学得到的卡片的张数相同。练习5 ：1 、把 2 80 个桃分给若干只猴子，每只猴子不超过1 0 个。证明：无论怎样分，至少有6只猴子得到的桃一样多。2 、把 61 颗棋子放在若干个格子里，每个格子最多可以放5 颗棋子。证明：至少有5 个格子中的棋子数目相同。3 、汽车8 小时行了 3 1 0 千米，已知汽

105、车第一小时行了 2 5 千米，最后一小时行了 4 5 千米。证明：一定存在连续的两小时，在这两小时内汽车至少行了 80 千米。第 31讲 逻 辑 推 理 （ 一）一、知识要点逻辑推理题不涉及数据，也没有几何图形，只涉及一些相互关联的条件。它依据逻辑汇率，从一定的前提出发，通过一系列的推理来获取某种结论。解决这类问题常用的方法有：直接法、假设法、排除法、图解法和列表法等。逻辑推理问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在，找到突破口，进行合情合理的推理，最后作出正确的判断。推理的过程中往往需要交替运用“ 排除法”和 “ 反正法”。要善于借助表格，把已知条件和推出的中间结论及时填入表格

106、内。 填表时， 对正确的（ 或不正确的） 结果要及时注上“（ 或“ X”），也可以分别用“ 1 ”或“ 0 ”代替，以免引起遗忘或混乱，从而影响推理的速度。推理的过程，必须要有充足的理由或重复内的根据，并常常伴随着论证、推理，论证的才能不是天生的，而是在不断的实践活动中逐渐锻炼、培养出来的。二、精讲精练【 例 题1】星期一早晨，王老师走进教室，发现教室里的坏桌凳都修好了。传达室人员告诉他：这是班里四个住校学生中的一个做的好事。于是，王老师把许兵、李平、刘成、张明这四个住校学生找来了解。（ 1 ）许兵说：桌凳不是我修的。（ 2 ）李平说：桌凳是张明修的。（ 3 ）刘成说：桌凳是李平修的。（ 4

107、）张明说：我没有修过桌凳。后经了解，四人中只有一个人说的是真话。请问：桌凳是谁修的？根 据 “ 两个互相否定的思想不能同真”可知：（ 2 ）、（ 4 ）不能同真，必有一假。假 设（ 2 ）说真话，则（ 4 ）为假话，即张明修过桌凳。又根据题目条件了：只 有1人说的是真话：可退知：（ 1 ）和（ 3 ）都是假话。由（ 1 ）说的可退出：桌凳是许兵修的。这样，许兵和张明都修过桌凳，这 与 题 中 “ 四个人中只有一个人说的是真话”相矛盾。因此，开头假设不成立，所以，（ 2 ）李平说的为假话。由此可退知（ 4 ）张明说了真话，则许兵、刘成说了假话。所以桌凳是许兵修的。练习1 :1 、小华、小红、小明

108、三人中，有一人在数学竞赛中得了奖。老师问他们谁是获奖者，小华说是小红，小红说不是我，小明也说不是我。如果他们当中只有一人说了真话。那么，谁是获奖者？2 、一位警察，抓获4个盗窃嫌疑犯A 、B 、C 、D , 他们的供词如下:A 说： “ 不是我偷的”。B说： “ 是A 偷的”。C说： “ 不是我”。D说： “ 是B偷 的 。他们4 人中只有一人说的是真话。你知道谁是小偷吗？3 、有 5 0 0 人聚会，其中至少有一人说假话，这 5 0 0 人里任意两个人总有一个说真话。说真话的有多少人？说假话的有多少人？【 例题2 】 虹桥小学举行科技知识竞赛，同学们对一贯刻苦学习、 爱好读书的四名学生的成绩

109、作了如下估计：（ 1 ）丙得第一，乙得第二。（ 2 ）丙得第二，丁得第三。（ 3 ）甲得第二，丁得死四。比赛结果一公布，果然是这四名学生获得前4名。但以上三种估计，每一种只对了一半错了一半。请问他们各得第几名？同学们的预测里有真有假。但是最后公布的结果中，他们都只预测对了一半。我们可以用假设法假设某人前半句对后半句错，如果不成立，再从相反方向思考推理。假 设（ 1 ）中 “ 丙得第一”说错了，则（ 1 ）中 “ 乙得第二”说对了； （ 1 ）中 “ 乙得第二”说对了，则（ 2 ）中 “ 丙得第二”说错了；（ 2 ）中 “ 丙得第二”说错了，“ 丁得第三”说对了；（ 2 ）中 “ 丁得第三”说对

110、了，（ 3 ）中 “ 丁得第四”说错了； （ 3 ）中 “ 丁得第四”说错了,则（ 3 ）中 “ 甲得第二”说对了，这与最初的假设相矛盾。所以，正确答案是：丙得死一，丁得第三，甲得第二，乙得第四。练 习2 ：1、甲、乙、丙、丁同时参加一次数学竞赛。赛后，他们四人预测名词的谈话如下：甲： “ 丙得第一，我第三”。乙： “ 我第一，丁第四”。丙： “ 丁第二，我第三”。T：没有说话。最后公布结果时，发现甲、乙丙三人的预测都只对了一半。 请你说出这次竞赛中甲、乙、丙、丁四人的名次。2、某小学最近举行一次田径运动会，人们对一贯刻苦锻炼的5名学生的短跑成绩作了如下的估计：A说： “ 第二名是D ,第三名

111、是B ”。B说： “ 第二名是C ,第四名是E ”。C说： “ 第一名是E ,第五名是A ”。D说： “ 第三名是C ,第四名是A ”。E说： “ 第二名是B ,第五名是D ”。这5位同学每人说对了一半，请你猜一猜5位同学的名次。3、某次考试考完后，A , B , C , D四个同学猜测他们的考试成绩。A说： “ 我肯定考得最好”。B说： “ 我不会是最差的”。C说： “ 我没有A考得好，但也不是最差的”。D说： “ 可能我考得最差”。成绩一公布，只有一个人说错了，请你按照考试分数由高到低排出他们的顺序。【 例 题3】张、王、李三个工人，在甲、乙丙三个工厂里分别当车工、钳工和电工。张不在甲厂，

112、王不在乙厂，在甲厂的不是钳工，在乙厂的是车工，王不是电工。这三个人分别在哪个工厂？干什么工作？这题可用直接法解答。即直接从特殊条件出发，再结合其他条件往下推，直到推出结论为止。通过可知王不是电工，那么王必是车工或钳工；又通过可知王不在乙厂，那么，王必在甲厂或丙厂； 又由知道在乙厂的是车工， 所以王只能是钳工； 又因为甲厂的不是钳工，则晚必是丙厂的钳工；张不在甲厂，必在乙厂或丙厂；王在丙厂，则张必在乙厂，是乙厂的车工，所以张是乙厂的车工。剩下的李是甲厂的电工。练 习3 ：1、某大学宿舍里A , B , C , D , E , F , G七位同学，其中两位来自哈尔滨，两位来自天津，两位来自广州，还

113、知道：( 1 ) D , E来自同一地方； ( 2 ) B , G , F不是北方人；( 3 ) C没去过哈尔滨。那么，A来自什么地方？2、每个星期的七天中，甲在星期一、 二、三讲假话， 其余四天都讲真话：乙在星期四、五、六讲假话，其余各天都讲真话。今天甲说： “ 昨天是我说谎的日子。”乙说： “ 昨天也是我说谎的日子。”今天是星期几？3、王涛、李明、江民三人在一起谈话。他们当中一位是校长，一位是老师，一位是学生家长。现在只知道：( 1 )江民比家长年龄大。 ( 2 )王涛和老师不同岁。 ( 3 )老师比李明年龄小。你能确定谁是校长、谁是老师，谁是家长吗？【 例 题 4】六年级有四个班，每个班

114、都有正、副班长各一人。平时召开年级班长会议时，各班都只有一人参加。参加第一次回师的是小马、小张、小刘、小林；参加第二次会议的是小刘、小朱、小马、小宋；参加第三次会议的是小宋、小陈、小马、小张，小徐因有病，三次都没有参加。你知道他们哪两个是同班的吗？将条件列在一张表格内，借助于表格进行分析、推理、根据题意，可列表如下:小张小马小刘小林小朱小宋小陈小徐一VVVV二VVVV三VV由上表可知，小马三次参加会议，而小徐三次都没参加，他们是同一班级的。小张和小朱是同班的，小刘和小陈是同班的，小林和小宋是同班的。练 习 4：1、某市举行家庭普法学习竞赛，有 5 个家庭进入决赛（ 每 家 2 名成员）。决赛时

115、进行四项比赛，每项比赛各家出一名成员参赛，第一项参赛的是吴、孙、赵 、李、王；第二项参赛的是郑、孙、吴、李、周；第三项参赛的是赵、张、吴、钱 、郑；第四项参赛的是周、吴、孙、张、王。另外，刘某因故四次均未参赛。谁和谁是同一家庭呢？2、刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛。事先规定：兄、妹不许搭伴。第一局：刘刚和小丽对李强和小英； 第二局：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹。那么，三个男孩的妹妹分别是谁？3、有三只小袋，一只小袋有两粒红珠，另一只小袋有两粒蓝珠，第三只小袋装有一粒蓝珠和一粒红珠。小兰不慎把小袋外面的三只标签都贴错了。请问从哪只小袋中摸出一粒珠，就可以知道三

116、只小袋中各装有什么颜色的珠？【 例 题5】已知张新、李敏、王强三位同学分别在北京、苏州、南京的大学学习化学、地理、物理。张新不在北京学习；李敏不在苏州学习；在北京学习的同学不学物理；在苏州学习的同学是学化学的；李敏不学地理。三位同学各在什么城市学什么？解答此题的关键是抓住三个人必在三地之一学习三种科目的某一种这个条件。这种逻辑推理题，须在两方面加以判定。尽管相对的问题要求增多了，但列表法仍然适用。综合两方面的交错因素，两表对立，一举两得。由、可列下表北京苏州南京化学地理物理X张新X李敏X王强由可知：李敏不在苏州，不学化学、学物理；张新、王强不学物理。由 在北京学习的不学物理”的条件可知：王强在

117、北京，张新在苏州，李敏在南京。北京苏州南京化学地理物理X张新XX李敏XX王强X由 “ 在苏州学习的学的是化学”的条件可知，王强学习地理。北京苏州南京化学地理物理XVX张新XXXV李敏XXVXX王强X从上表可以看出，张新在苏州学化学，李敏在南京学物理，王强在北京学地理。练 习5：北京苏州南京化学地理物理XX张新VXXXXV李敏XXVXX王强XVX1、甲、乙、丙分别在南京、苏州、西安工作，他们的职业分别是工人、农民和教师。己知：甲不在南京工作；乙不在苏州工作；在苏州工作的是工人；在南京工作的不是教师；乙不是农民。三人各在什么地方工作？各是什么职业？2、小明、小青、小菊读书的学校分别是一小、二小、三

118、小，他们各自爱好游泳、篮球、排球中的一项体育运动。 但究竟谁爱好哪一项运动， 在哪个学校读书还不清楚， 只知道：（ 1 ）小明不在一小。（ 2 ）小青不在二小。（ 3 ）爱好排球的在二小。（ 4 ）爱好游泳的在一小。（ 5 ）爱好游泳的不是小青。请你说出他们各自就读的学校和爱好的运动项目。3、甲、乙、丙分别是工程师、 会计师和教师。 他们的业余爱好分别是文学、 绘画和音乐。现在知道：（ 1 ）爱好音乐、文学者和甲一起看电影。（ 2 ）爱好绘画者常请会计师讲经济学。（ 3 ）乙不爱好文学。（ 4 ）工程师常埋怨自己对绘画和音乐一窍不通。请问每个人的职业和爱好各是什么？第 32讲 逻 辑 推 理

119、（ 二）一、知识要点解数学题，从已知条件到未知的结果需要推理，也需要计算，通常是计算与推理交替进行，而且这种推理不仅是单纯的逻辑推理，而是综合运用了数学知识和专门的生活常识相结合来运用。 这种综合推理的问题形式多样、 妙趣横生， 也是小学数学竞赛中比较流行的题型。解答综合推理问题，要恰当地选择一个或几个条件作为突破口。统称从已知条件出发可以推出两个或两个以上结论，而又一时难以肯定或否定其中任何一个时，这就要善于运用排除法、反证法逐一试验。当感到题中条件不够时，要注意生活常识、数的性质、数量关系和数学规律等方面寻找隐蔽条件。二、精讲精练【 例 题1】小华和甲、乙、丙、丁四个同学参加象棋比赛。每两

120、人要比赛一盘。到现在为止，小华已经比赛了 4盘。甲赛了 3盘，乙赛了 2盘，丁赛了 1盘。丙赛了几盘？这道题可以利用画图的方法进行推理，如图所示，用 5 个点分别表示小华、甲、乙、丙、T o 如果两人之间已经进行了比赛，就在表示两人的点之间连一条线。现在小华赛4 盘，所以小华应与其余4 个点都连线乙己有了两条线，与题中乙赛2 盘相结合,即丙赛了两盘。练 习1 :甲赛了 3 盘。由于丁只赛了一盘，所以甲与丁之间没有比赛。那么，就连接甲、乙和甲、丙。这时,1、A , B, C , D , E五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，A已经比赛了 4盘。B赛J 3盘，C赛了 2盘，D赛J

121、 1盘。E赛J儿盘？2、A先生和A太太以及三对夫妻举行了一次家庭晚会。规定每两人最多握手一次，但不和自己的妻子握手。握手完毕后，A先生问了每个人（ 包括他妻子）握手几次？令他惊讶的是每人答复的数字各不相同。那么，A太太握了几次手?3、五位同学一起打乒乓球， 两人之间最多只能打一盘。打完后，甲说：“ 我打了四盘”。乙说： “ 我打了一盘”。丙说： “ 我打了三盘”。丁说： “ 我打了四盘”。戊说： “ 我打了三盘”。你能肯定其中有人说错了吗？为什么？【 例 题2】如图是同一个标有1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6的小正方体的三种不同的摆法。图中正方体三个朝左的一面的数字之积是多少？0 9

122、 0用排除法排除不符合条件的情形，最后剩下的情况就是所要的结果。由（ 1 ）、（ 2 ）两个图可以看出，1的对面不可能为4 , 6 , 2 , 3 ,所 以1的对面必为5 ；由（ 2 ）、（ 3 ）两个图形可以看出，3的对面不可能为1 , 2 , 4, 5 ,所以3的对面必为6。由此可知，4的对面必定为2。上面正方体三个朝左一面的数字依次为2 , 5 , 6。所以它们的积为2 X 5 X 6 = 6 0。练 习2 ：1、如图是同一个标有1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6的小正方体的三种不同的摆法。图中正方体三个朝左的一面的数字之和是多少？2、 将红、 黄、 蓝、白、黑、 绿六种颜色分别

123、涂在正方体各面上（ 每一面只涂一种颜色）。现有涂色方式完全一样的相同的四块小正方体，把它们拼成长方体（ 如图32-4所示），每个小正房体红色面的对面涂的是什么颜色？黄色对面的？黑色对面呢？3、如图32 -5所示，每个正方体的6个面分别写着数字1 6 ,并且任意两个相对的面上所写的两个数之和都等于7。把这样的5个正方体一个挨一个连接起来后，金挨着的两个面上的数字之和等于8。图中写？的这个面上的数字是几?【 例题3】某班4 4人，从A, B, C, D, E五位候选人中选举班长。A得选票23张。B得选票占第二位，C, D得票相同，E的选票最少，只得了 4票。那么B得选票多少张？B , C , D的

124、选票共4 4 2 3 4 = 1 7 （ 张）， C , D的选票至少各5张。如果他们的选票超过5 张，那么B ,C , D的选票超过6 + 6 + 6 = 1 8 （ 张），这不可能。所以，C , D各得5票，B得 1 75 5 = 7 （ 张）练习3:1、某商品编号是一个三位数，现有5个三位数：874、765、123、364、925。其中每一个数与商品编号恰好在同一数位上有一个相同的数字，这个商品编号是多少？2、某楼住着4个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁。最大的男孩比最小的女孩大4岁，最大的女孩比最小的男孩大4岁。最大的男孩多少岁？3、小明将玻璃球放进大、小两

125、种盒子中。大盒装12个玻璃球，小盒装5个玻璃球，正好装完。如果玻璃球总数为9 9 ,盒子超过10个，那么两种盒子各有多少个？【 例题4】将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8八个数字分成两组，每组4个数，并且两组数之和相等。从A组拿一个到B组后，B组五个数之和将是A组剩下三数之和的2倍。从B组拿一个数到A组后，B组剩下的三个数之和A组五个数之和的5/7。这八个数如何分成两组？八个数的和是1+2+3+4+5+6+7+8=26,所以每组的四个数之和是36+2=18。从A组取出一个数到B ,两组总和不变。现 在A组三个数之和是36+ (1+2) = 1 2 ,原来A组四个数之和是1 8 ,说

126、明A组中取6到B组。同样道理，从B组取一个数到A组后，现在B组三个数之和是36+ (1+5/6) X 5/7=15。说明B组中取出的数为18 15=3。除去6和3 ,还剩6个数。A组的另外三个数之和应是186 = 1 2 ,在剩下的6个数中只有1, 4, 7三个数，它们的和是12。所以A组四个数是1, 4, 6, 7,B组四个数是2, 3, 5, 8o练习4:1、某年的8月份有4个星期四，5个星期三。这年8月8日是星期几？2、甲、一两个小朋友各有一袋糖，每袋糖不到20粒。如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖的粒数是乙的2倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖的粒数就是乙的3倍。甲、乙两个小朋友共有糖

127、多少粒？3、某各家庭有四个家庭成员。他们的年龄各不相同，总和是129岁，其中有三个人的年龄是平方数。 如果倒退15年， 这四人中仍有三人的年龄是平方数。 你知道他们各自的年龄吗？【 例题5 】在一次设计联系中，小张、小王、小李各打4发子弹，全部中靶。命中的情况如下:（ 1 ）每人4发子弹所命中的环数各不相同。 （ 2 ）每人4发子弹所命中的总环数均为1 7槐。 （ 3 ）小王有两法命中的环数分别与小张命中的两法一样；小王另两发命中的环数与小李命中的两法一样。 （ 4 ）小张和小李只有一发环数相同。 （ 5 ）每人每发子弹的最好成绩不超过 7 环。小张、小李命中相同的环数是几环？首先，用枚举法找

128、出符合条件（ 1 ）、 （ 2 ）、 （ 5 ）的所有情况。其次，再用筛选法从这些情况中去掉不符合条件（ 3 ）、 （ 4 ）的情况。剩下的就符合要求了。（ 1 ） 1 + 7 + 3 + 6 = 1 7 （ 环）（ 2 ） 1 + 7 + 4 + 5 = 1 7 （ 环）（ 3 ） 2 + 6 + 4 + 5 = 1 7 （ 环）（ 4 ） 2 + 7 + 3 + 5 = 1 7 （ 环）对照条件可知（ 2 ）、 （ 1 ）式 和 （ 3 ）式分别代表王、张、李，所以，小张和小李命中相同的环数是6 环，练习5 ：1 、甲、乙、丙三人玩转盘（ 如图所示），转盘上的数字表示应得的分。甲说： “

129、我转8次得2 6 分”。 /、乙说： “ 我转7 次得3 4 分”。 |丙说： “ 我转9次得4 1 分”。 L-一其中有一人没说真话，他是谁?2 、将 3 张数字卡片（ 均不超过1 0 ）分给甲、乙、丙三人，各人记下所得卡片上的数再重新分。分了 3 次后，每人将各字记下的数相加，甲为1 3 , 乙为1 5 , 丙为2 3 。你能西饿出三张卡片上的数吗？3 、A , B , C 三个足球队进行一次比赛，每两个队赛一场。按规定每升一场得2 分，平一场得1 分，负一场得0 分。现在已知：( 1 ) B 对一球未进，结果得一分；( 2 ) C队进一球，失 2 球，并且胜一场；求 A队结果是得几分，并

130、写出每场比赛的具体比分。第 33讲 行 程 问 题 （ 一）一、知识要点行程问题的三个基本量是距离、 速度和时间。 其互逆关系可用乘、除法计算， 方法简单，但应注意行驶方向的变化，按所行方向的不同可分为三种：（ 1 ）相遇问题；（ 2 ）相离问题；（ 3 ）追及问题。行程问题的主要数量关系是：距离= 速度义时间。它大致分为以下三种情况：（ 1 ）相向而行：相遇时间= 距离+ 速度和（ 2 ）相背而行：相背距离= 速度和X时间。（ 3 ）同向而行：速度慢的在前，快的在后。追及时间= 追及距离 速度差在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。追及距离= 速度差X时间。解决行程问题时，要注意充分利用图示

131、把题中的情节形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。二、精讲精练【 例 题1 两辆汽车同时从某地出发，运送一批货物到距离1 6 5千米的工地。甲车比乙车早到8分钟，当甲车到达时，乙车还距工地2 4千米。甲车行完全程用了多少小时？解答本题的关键是正确理解“ 已知甲车比乙车早刀8分钟，当甲车到达时，乙车还距工地2 4千米”。这句话的实质就是： “ 乙4 8分钟行了 2 4千米”。可以先求乙的速度，然后根据路程求时间。也可以先求出全程1 6 5千米是2 4千米的多少倍，再求甲行完全程要用多少小时。解法一：乙车速度：2 4 4 -4 8 X 6 0= 3 0 （ 千米/ 小时）4

132、 8甲行完全程的时间：1 6 5 4 -3 0 = 4 . 7 （ 小时）6 0解 法 二 :4 8 X （ 1 6 5 4 -2 4 ） 4 8 = 2 8 2 （ 分钟）= 4 . 7 （ 小时）答：甲车行完全程用了 4 . 7小时。练 习1 ：1、甲、乙两地之间的距离是4 2 0千米。两辆汽车同时从甲地开往乙地。第一辆每小时行4 2千米，第二辆汽车每小时行2 8千米。第一辆汽车到乙地立即返回。两辆汽车从开出到相遇共用多少小时？2、A、B两地相距900千米，甲车由A地到B地需15小时，乙车由B地 至U A地需10小时。两车同时从两地开出，相遇时甲车距B地还有多少千米？3、甲、乙两辆汽车早上

133、8点钟分别从A、B两城同时相向而行。到1 0点钟时两车相距112. 5千米。继续行进到下午1时，两车相距还是112. 5千米。A、B两地间的距离是多少干米？【 例题2】两辆汽车同时从东、西两站相向开出。第一次在离东站6 0千米的地方相遇。之后，两车继续以原来的速度前进。各自到达对方车站后都立即返回，又在距中点西侧30千米处相遇。两站相距多少千米？从两辆汽车同时从东、西两站相对开出到第二次相遇共行了三个全程。两辆汽车行一个全程时，从东站出发的汽车行了 6 0千米，两车走三个全程时，这辆汽车走了 3个6 0千米。这时这辆汽车距中点30千米，也就是说这辆汽车再行30千米的话，共行的路程相当于东、西两

134、站路程的1 .5倍。找到这个关系，东、西两这站之间的距离也就可以求出来了。所以(60X3+30) 4-1. 5=140 ( 千米)答：东、西两站相距140千米。练习2 ：1 、两辆汽车同时从南、北两站相对开出，第一次在离南站5 5 千米的地方相遇，之后两车继续以原来的速度前进。各自到站后都立即返回，又在距中点南侧1 5 千米处相遇。两站相距多少千米？2 、两列火车同时从甲、乙两站相向而行。第一次相遇在离甲站4 0千米的地方。两车仍以原速继续前进。 各自到站后立即返回， 又在离乙站2 0千米的地方相遇。 两站相距多少千米？3 、甲、乙两辆汽车同时从A 、B 两地相对开出。第一次相遇时离A站有9

135、0千米。然后各按原速继续行驶， 分别到达对方车站后立即沿原路返回。 第二次相遇时在离A地的距离占A 、B 两站间全程的6 5 虬A、B两站间的路程是多少千米？【 例题3 】A 、B两地相距9 6 0米。甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发。若相向而行,6 分钟相遇；若同向行走，8 0分钟甲可以追上乙。甲从A 地走到B 地要用多少分钟？甲、 乙两人从同时同向出发到相遇， 6 分钟共行的路程是9 6 0米， 那么每分钟共行的路程（ 速度和） 是 9 6 0 + 6 = 1 6 0 （ 米）；甲、乙两人从同时同向出发到甲追上乙需用去8 0分钟，甲追乙的路程是9 6 0米，每分钟甲追乙的路程（ 速度

136、差）是 9 6 0+ 8 0= 1 2 （ 米）。根据甲、乙速7度和与差，可知甲每分钟行（ 1 6 0+ 1 2 ） 4 -1 = 8 6 （ 米）。甲从A地到B地要用9 6 0+ 8 6 = 1 1 而（ 分钟），列算式为79 6 04 - （ 9 6 04 -6 + 9 6 04 -8 0） 4 -2 = 1 1 （ 分钟）7答：甲从A 地走到B 地要用1 1 启 分钟。练习3 ：1 、一条笔直的马路通过A 、B两地，甲、乙两人同时从A 、B两地出发，若先跟乡行走,1 2 分钟相遇；若同向行走，8分钟甲就落在乙后面1 8 6 4 米。已知A 、B两地相距1 8 00米。甲、乙每分钟各行多少

137、米？2 、父子二人在一 4 00米长的环行跑道上散步。他俩同时从同一地点出发。若想8背而行，2 苧分钟相遇；若同向而行，2 6 1 分钟父亲可以追上儿子。问：在跑道上走一圈，父子各需多少分钟？3 、两条公路呈十字交叉。甲从十字路口南1 35 0 米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。同时出发1 0 分钟后， 二人离使字路口的距离相等；二人仍保持原来速度直行，又过了 8 0分钟，这时二人离十字路口的距离又相等。求甲、乙二人的速度。【 例题4 】上午8时 8分，小明骑自行车从家里出发。8 分钟后每爸爸骑摩托车去追他。在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家。到家后他又立即回头去追小明。再追上他

138、的时候，离家恰好是8 千 米 （ 如图33- 2所示），这时是几时几分？4千米4千米小明8 ： 08出发爸爸8 : 16出发- - - - - - - - - - A图 332由题意可知：爸爸第一次追上小明后，立即回家，到家后又回头去追小名，再追上小明时走了 1 2千米。可见小明的速度是爸爸的速度的; o那么，小明先走8分钟后，爸爸只花了4 分钟即可追上，这段时间爸爸走了 4 千米。列式为爸爸的速度是小明的几倍： （ 4 + 8 ） 4 - 4 = 3 （ 倍）爸爸走4 千米所需的时间：8 + （ 31 ） = 4 （ 分钟）爸爸的速度：4 4 - 4 = 1 （ 千米/ 分）爸爸所用的时间：

139、 （ 4 + 4 + 8 ） 4 - 1 = 1 6 （ 分钟）1 6 + 1 6 = 32 （ 分钟）答:这时是8 时 32分。练习4 ：1 、A、B 两地相距21 千米，上午8 时甲、乙分别从A 、B两地出发，相向而行。甲到达B地后立即返回，乙到达A 地后立即返回。上午1 0 时他们第二次相遇。此时，甲走的路程比乙走的多9 千米，甲一共行了多少千米？甲每小时走多少千米？2、张师傅上班坐车，回家步行，路上一共要用8 0 分钟。如果往、返都坐车，全部行程要 5 0 千米；如果往、返都步行，全部行程要多长时间？3、当甲在6 0 米赛跑中冲过终点线时，比乙领先1 0 米，比丙领先20 米。如果乙和

140、丙按原来的速度继续冲向终点，那么乙到达终点时将比丙领先多少米？【 例题5 】甲、乙、丙三人，每分钟分别行6 8 米、7 0 . 5 米、7 2米。现甲、乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙和乙相遇后，又过2 分钟与甲相遇。东、西两镇相距多少器秒年米毫？乙、丙相遇点东 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 西A -甲、丙相遇点图333如图33- 3所示，可以看出，乙、丙两人相遇时，乙比甲多行的路程正好是后来甲、丙 2分钟所行的路程和，是 （ 6 8 + 7

141、 2） X2= 28 0 （ 米）。而每分钟乙比甲多行7 0 . 5 6 8 = 2. 5 （ 米）可见，乙、丙相遇时间是28 0 + 2. 5 = 1 1 2 （ 分钟），因此，求东、西两镇间的距离可用速度和乘以相遇时间求出。列式为乙、丙相遇时间： （ 6 8 + 7 2） X 24 - 2. 5 = 1 1 2 （ 分钟）东、西两镇相距的千米数： （ 7 0 . 5 + 7 2） X 1 1 24 - 1 0 0 0 = 1 5 . 9 6 （ 千米）练习5 ：1 、有甲、乙、丙三人，甲每分钟行7 0 米，乙每分钟行6 0 米，丙每分钟行7 5 米，甲、乙从A 地去B 地，丙从B 地去A

142、地，三人同时出发，丙遇到甲8 分钟后，再遇到乙。A 、B 两地相距多少千米？2、一只狼以每秒15米的速度追捕在它前面100米处的兔子。兔子每秒行4. 5米，6秒钟后猎人向狼开了一枪。狼立即转身以每秒16. 5米的速度背向兔子逃去。问：开枪多少秒后兔子与狼又相距100米？3、甲、乙两车同时从A地开往B地，乙车6小时可以到达，甲车每小时比乙车慢8千米，因此比乙车迟一小时到达。A、B两地间的路程是多少千米？第 34讲 行 程 问 题 （ 二）一、知识要点在行程问题中，与环行有关的行程问题的解决方法与一般的行程问题的方法类似，但有两点值得注意： 一是两人同地背向运动， 从第一次相遇到下次相遇共行一个全

143、程； 二是同地、同向运动时，甲追上乙时，甲比乙多行了一个全程。二、精讲精练【 例题1 】甲、乙、丙三人沿着湖边散步，同时从湖边一固定点出发。甲按顺时针方向行走，乙与丙按逆时针方向行走。甲第一次遇到乙后1 ；分钟于到丙，再过吊分钟第二次遇到乙。已知乙的速度是甲的与，湖的周长为6 0 0 米，求丙的速度。甲第一次与乙相遇后到第二西与乙相遇， 刚好共行了一圈。甲、 乙的速度和为6 0 0 + （ 1 1+ 3| ） = 1 20 米/ 分。甲、乙的速度分别是：1 20 + （ 1 + | ） = 7 2（ 米/ 分） ， 1 20 7 2= 4 8 （ 米/ 分） 。甲、丙的速度和为6 0 0 +

144、（ 1 ： + 3| + 1 ： ） = 9 6 （ 米/ 分），这样，就可以求出丙的速度。列算式为甲、乙的速度和:6 0 0 4 - （ 1 1 + 3, ） = 1 2 0 （ 米/ 分）甲速：1 2 0 + （ 1 + 1 ） = 7 2 （ 米/ 分）乙速：1 2 0 7 2 = 4 8 （ 米/ 分）甲、丙的速度和: 6 0 0 - j - （ 弓 + 3 , + 1 ； ） = 9 6 （ 米/ 分）丙的速度：9 6 7 2 = 2 4 （ 千米/ 分）答：丙每分钟行2 4 米。练习1 ：1 、甲、乙、丙三人环湖跑步。同时从湖边一固定点出发，乙、丙两人同向，甲与乙、丙1 3两人反向

145、。在甲第一次遇到乙后q分钟第一次遇到丙；再过野分钟第二次遇到途。已知甲速与乙速的比为3 ： 2 , 湖的周长为2 0 0 0 米，求三人的速度。2 、兄、妹 2人在周长为3 0 米的圆形小池边玩。从同一地点同时背向绕水池而行。兄每秒走1 . 3 米。妹每秒走1 . 2 米。他们第1 0 次相遇时，励还要走多少米才能归到出发点？3 、如图3 4 T 所示，A、B 是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点，同时出发反向而行，他们在C点第一次相遇，C点离A点8 0 米；在 D 点第二次相遇，D 点离B点 6 0 米。求这个圆的周长。【 例题2 】甲、乙两人在同一条椭圆形跑道上做特殊训练。 他们同时从

146、同一地点出发， 沿相反方向跑。每人跑完第一圈到达出发点后，立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的羡，甲跑第二圈时的速度比第一圈提高了J ,乙跑第二圈时速度提高了！ o已知甲、6 6 0乙两人第二次相遇点距第一次相遇点1 9 0 米。这条椭圆形跑道长多少米？根据题意画图3 4 - 2 ：甲、乙从A点出发， 沿相反方向跑， 他们的速度比是1 ： 5 = 3 ： 2 。 第一次相遇时，他们所行路程比是3 ： 2 ,把全程平均分成5 份，则他们第一次相遇点在B点。当甲A点时,乙又行了 2 + 3 X 2 = l ；。这时甲反西肮而行，速度提高了; 。甲、乙速度比为 3 X (14)： 2 =

147、 2 ： 1 , 当乙到达A点时，甲反向行了 ( 3 - 1 1 ) X 2 = 3 | o这时乙反向而行，甲、乙的速度比变成了 3 X1 1 1 3(17) ： 2 X ( 1 4 - ) = 5 ： 3 o 这样，乙又行了 ( 5 ) X c 5 ，与甲在C点相遇。B 、C的路程为1 9 0 米，对应的份数为3 - o O= 2 | 。列式为 1 ： | = 3 ： 2 2 . 3 X 2 = 1 ； 3 X ( 1 + 1 ) ： 2 = 2 ： 1 ( 3 1 1 ) X 2 = 3 1 3 X ) ： 2 X ( 1 + | ) = 5 ： 3( 5 -)OX5+3 851 9 0

148、4 - ( 3 ) X5 = 4 0 0 ( 米)O答：这条椭圆形跑道长4 0 0 米。练习2 ：1 、小明绕一个圆形长廊游玩。顺时针走，从 A处到C 处要1 2 分钟，从 B 处到A处要1 5分钟，从 C 处到B 处要1 1 分钟。从A处到B处需要多少分钟（ 如图3 4 - 3 所示）？.4千米图 3 4 - 3 图 3 4 - 42 、摩托车与小汽车同时从A地出发，沿长方形的路两边行驶，结果在B 地相遇。已知B 地与9C地的距离是4千米。且小汽车的速度为摩托车速度的鼻o这条长方形路的全长是多少千米O（ 如图3 4 - 4 所示）？3 、甲、乙两人在圆形跑道上，同时从某地出发沿相反方向跑步。

149、甲速是乙速的3 倍，他们第一次与第二次相遇地点之间的路程是1 0 0 米。环形跑道有多少米?【 例题3 】绕湖的一周是2 4 千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行。小王以每小时4 千米速度走1 小时后休息5 分钟， 小张以每小时6 千米的速度每走5 0 分钟后休息1 0 分钟。两人出发多少时间第一次相遇？小张的速度是每小时6 千米，5 0 分钟走5 千米，我们可以把他们出发后的时间与行程列出下表：小王时间1 小时5 分2 小 时 10分3 小时15分行程4 千米8 千米12千米小张时间1 小时2 小时3 小时行程5 千米10千米15千米1 2 + 1 5 = 2 7 , 比2 4 大

150、, 从上表可以看出，他们相遇在出发后2 小时1 0 分至3 小时1 5 分之间。出发后2小 时 1 0 分，小张已走了 1 0 + 5 4 - （ 5 0 4 - 1 0 ） = 1 1 （ 千米），此时两人相距2 4 -（ 8 + 1 1 ） = 5 （ 千米）。由于从此时到相遇以不会再休息，因此共同走完这5千米所需的时间是 5 4 - （ 4 + 6 ） = 0 . 5 （ 小时）,而2小时1 0 分+ 0 . 5 小时= 2 小时4 0 分。小张5 0 分钟走的路程：6 4 - 6 0 X 5 0 = 5 （ 千米）小张2 小时1 0 分后共行的路程：1 0 + 5 + （ 5 0 4

151、- 1 0 ） = 1 1 （ 千米）两人行2 小时1 0 分后相距的路程：2 4 （ 8 + 1 1 ） = 5 （ 千米）两人共同行5 千米所需时间：5 4 - （ 4 + 6 ） = 0 . 5 （ 小时）相遇时间: 2小时1 0 分+ 0 . 5 小时= 2 小时4 0 分练习3 ：1 、 在 4 0 0 米环行跑道上， A , B两点相距1 0 0 米。甲、乙两人分别从A , B 两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒行5 米，乙每秒行4米，每人跑1 0 0 米都要停留1 0 秒钟。那么甲追上乙需要多少秒？2 、 一辆汽车在甲、乙两站之间行驶。 往、 返一次共用去4小时。 汽车去时每

152、小时行4 5 千米，返回时每小时行驶3 0 千米，那么甲、乙两站相距多少千米?3 、龟、兔进行1 0 0 0 0 米跑步比赛。兔每分钟跑4 0 0 米，龟每分钟跑8 0 米，兔每跑5 分钟歇2 5 分钟，谁先到达终点？【 例题4 】一个游泳池长9 0 米。甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到另一端立即返回。找这样往、返游，两人游10 分钟。已知甲每秒游3 米，乙每秒游2 米。在出发后的两分钟内，二人相遇了几次？设甲的速度为a,乙的速度为b, a ： b 的最简比为m： n , 那么甲、乙在半个周期内共走m+n个全程。若 m n , 且 m、n 都是奇数，在一个周期内甲、乙相遇了 2m次；

153、若 m n , 且 m为奇数（ 或偶数）， n 为偶数（ 或奇数） ， 在半个周期末甲、乙同时在乙（ 或甲） 的出发位置，一个周期内，甲、乙共相遇（ 2m1）次。甲速：乙速= 3 ： 2 ,由于3 2 , 且一奇数一偶数，一个周期内共相遇（ 2X 3 - 1= ） 5次，共跑了 （ 3 +2） X 2= 10 个全程。10 分钟两人合跑周期的个数为：6 0 X 10 4 - 9 0 4 - （ 2+3 ） X 10 = 3 1 （ 个）3 个周期相遇（ 5 X 3 = ） 15 （ 次）；1 个周期相遇2 次。一共相遇: 15 +2= 17 （ 次）答：二人相遇了 17 次。练习4 ：1、甲、

154、乙两个运动员同时从游泳池的两端相向下水做往、返游泳训练。从池的一端到另一端甲要3 分钟，乙要3 . 2 分钟。两人下水后连续游了 4 8 分钟，一共相遇了多少次?2、 一游泳池道长10 0 米，甲、乙两个运动员从泳道的两端同时下水， 做往、 返训练15 分钟，甲每分钟游8 1米，乙每分钟游8 9 米。甲运动员一共从乙运动员身边经过了多少次？3 、马路上有一辆身长为15 米的公共汽车，由东向西行驶，车速为每小时18 千米。马路一旁人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑。某一时刻，汽车追上了甲，6秒争后汽车离开了甲，半分钟后，汽车遇到迎面跑来的乙，又经过了 2 秒钟，汽车

155、离开乙，再过几秒钟，甲、乙两人相遇？【 例题5 】甲、乙两地相距6 0 千米。张明8点从甲地出发去乙地，前一半时间平均速度为每分钟1千米，后一半时间平均速度为每分钟0 . 8 千米。张明经过多少时间到达乙地？因为前一半时间与后一半时间相同，所以可假设为两人同时相向而行的情形，这样我们可以求出两人合走6 0 千米所需的时间为 6 0 + ( 1+0 . 8 ) = 3 3 ；分钟。因此，张明从甲地到乙地的时间列算式为6 0 4 - ( 1+0 . 8 ) X2= 6 6 羡( 分钟)答：张明经过6 6 1分钟到达乙地。练习5 ：1、A、B 两地相距9 0 千米。一辆汽车从A 地出发去B 地，前一

156、半时间平均每小时行6 0 千米，后一半时间平均每小时行4 0 千米。这辆汽车经过多少时间可以到达B 地?2、甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米环行跑道行走。甲每分钟走8 0米，乙蔑分钟走50米。两人至少经过多少分钟才能在A点相遇?3、在300米的环行跑道上，甲、乙两人同时并排起跑。甲平均每秒行5米，乙平均每秒行4. 4米。两人起跑后第一次相遇在起跑线前面多少米？第35讲 行 程 问 题 （ 三）一、知识要点本周主要讲结合分数、百分数知识相关的较为复杂抽象的行程问题。要注意：出发的时间、地点和行驶方向、速度的变化等，常常需画线段图来帮助理解题意。二、精讲精练【 例题1】 客车和货车同时从A

157、、 B 两地相对开出。客车每小时行驶5 0 千米，货车的速度是客车的8 0 % , 相遇后客车继续行3 . 2 小时到达B 地。A、B 两地相距多少千米？客车- - - - - - - - - - - - - - - -力 3 . 2小时A - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - B- - - - - - - - - - - -图3 5 1 货车如图3 5 T 所示，要求A、B 两地相距多少千米，先要求客、货车合行全程所需的时间。客车3 . 2 小时行了 5 0 X 3 . 2= 16 0 （ 千米），货车行1

158、6 0 千米所需的时间为：16 0 4 - （ 5 0 X 8 0 % ） = 4 （ 小时）所 以 （ 5 0 +5 0 X 8 0 % ） X4 = 3 6 0 （ 千米）答：A、B 两地相距3 6 0 千米。练习1：1、甲、乙两车分别从A、B 两地同时出发相向而行，相遇点距中点3 20 米。已知甲的速度是乙的速度的R ，甲每分钟行8 0 0 米。求 A、B 两地的路程。o2、甲、乙两人分别从A、B 两地同时出发相向而行，匀速前进。如果每人按一定的速度前进，则 4 小时相遇；如果每人各自都比原计划每小时少走1 千米，则 5小时相遇。 那么A 、B 两地的距离是多少千米？3 、甲、乙两人同时

159、骑自行车从东、西两镇相向而行，甲、乙的速度比是3 ： 4O已知甲行了全程的;，离相遇地点还有2 0 千米，相遇时甲比乙少行多少千米?【 例题2 】从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是1 ： 2 ： 3 ,某人走这三段路所用的时间之比是4 ： 5 ： 60已知他上坡时的速度为每小时2 . 5 千米， 路程全长为2 0 千米。此人从甲地走到乙地需多长时间？要求从甲地走到乙地需多长时间，先求上坡时用的时间。上坡的路程为20xJ =学1 0 4 4 4（ 千米），上坡的时间为k +2. 57（ 小时），从甲地走到乙地所需的时间为：- - 7 - 73 3 3 4 + 5 + 6=

160、5 （ 小时）答：此人从甲地走到乙地需5 小时。练习2 ：1 、从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是2 ： 3 ： 5 , 小亮走这三段路所用的时间之比是6 ： 5 ： 4 o 已知小亮走平炉时的速度为每小时4 . 5 千米， 他从甲地走到乙地共用了 5 小时。问：甲、乙两地相距多少千米？2 、小明去登山，上午6点出发，走了一段平坦的路，爬上了一座山，在山顶停了 1 小时后按原路返回，中午1 1 点回到家。已知他走平路的速度为每小时4 千米，上坡速度为每小时3 千米，下坡速度为每小时6 千米。问：小明一共走了多少千米？3 、 青青从家到学校正好要翻一座小山， 她上坡每分钟

161、行5 0 米，下坡速度比上坡快4 0 随从就秒到学校的路程为2 8 0 0 米，上学要用5 0 分钟。从学校回家要用多少时间？【 例题3 】甲、乙两人分别从A 、B两地出发，相向而行，出发时他们的速度比是3 ： 2 o他们第一次相遇后，甲的速度提高了 2 0 % , 乙的速度提高了 3 0 虬 这 样 ，当几B 地时，乙离A地还有1 4 千米。那么A 、B 两地间的距离是多少千米？AB伍千米 份y图353把 A 、B两地的路程平均分成5份，第一次相遇，甲走了 3份的路程，乙走了 2份的路程，当他们第一次相遇后，甲、乙的速度比为 3 义 ( 1 + 2 0 % ) 3 ： 2 X ( 1 + 3

162、 0 % ) 1 8 ： 1 3 甲4到达B点还需行2份的路程，这时乙行了 2 1 8 X 1 3 = % 份路程，从图3 5 - 3 可以看出1 4 千4米对应( 5 2 1 - )份 3 X ( 1 + 2 0 % ) J ： 2 X ( 1 + 3 0 % ) =1 8 ： 1 342 4 - 1 8 X 1 3 =1 - ( 份)4 55 ( 2 + 1 ) = 1-( 份)5 ,1 4 4 - 1 - X 5 =4 5 ( 千米)答：A、B两地间的距离是4 5 千米。练 习3 ：1、甲、乙两人步行的速度比是1 3 ： 1 1 ,他们分别由A、B两地同时出发相向而行，0 .5小时后相遇

163、。如果他们同向而行，那么甲追上乙需要几小时？2、从A地 到B地，甲要走2小时，乙要走1小 时4 0分钟。若甲从A地出发8分钟后,乙从A地出发追甲。乙出发多久能追上甲？3、甲、乙两车分别从A、B两地出发，相向而行。出发时，甲、乙的速度比是5 ： 4 ,相遇后，甲的速度减少2 0 % 乙的速度增加2 0队 这样，当甲到达B地时，乙离A地 还 有1 0千米。那么，A、B两地相距多少千米？【 例 题4】甲、乙两班学生到离校2 4千米的飞机场参观，一辆汽车一次只能坐一个班的学生。为了尽快到达机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班步行，同时出发。甲班学生在中途下车步行去机场， 汽车立即返回接途中步行的乙班同

164、学。 已知凉拌学生步行的速度相同，汽车的速度是步行的7倍，汽车应在距机场多少千米处返回接乙班同学，才能使两班同学同时到达机场（ 学生上下车及汽车换向时间不计算）？如图3 5 - 4 所示， 汽车到达甲班学生下车的地方又返回到与乙班学生相遇的地点， 汽车所行路程应为乙班不行的7 倍，即比乙班学生多走6倍，因此汽车单程比乙班步行多( 6 4 - 2 )=3 ( 倍 ) 。汽车返回与乙班相遇时，乙班步行的路程与甲班学生步行到机场的路程相等。由此得出汽车送甲班学生下车地点到几长的距离为学校到机场的距离的1 /50列算式为2 4 4 - ( 1 + 3 + 1 ) =4 .8 ( 千米)答：汽车应在距飞

165、机场4 . 8千米处返回接乙班学生，才能使两班学生同时到达飞机场。练习4 ：1 、红星小学有8 0 名学生租了一辆4 0 座的车去还边观看日出。未乘上车的学生步行，和汽车同时出发，由汽车往返接送。学校离还边4 8 千米，汽车的速度是步行的9 倍。汽车应在距还边多少千米处返回接第二批学生，才能使学生同时到达还边？2 、 一辆汽车把货物从甲地云往乙地往返只用了 5 小时， 去时所用的时间是回来的倍,去时每小时比回来时慢1 7 千米。汽车往返共行了多少千米？3 , 甲、乙两人以同样的速度，同时从A 、 B 两地相向出发，内向遇后甲的速度提高了; ，用 日 小时到达B 地。乙的速度减少了1,再用多少小

166、时可到达A 地？【 例题5 】一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高2 0 96 ,可以比原定时间提前1 小时到达；如果按原速行驶1 2 0 千米后，再将速度提高2 5 %,则可提前4 0 分钟到达。那么甲、乙两地相距多少千米？此题是将行程、比例、百分数三种应用题综合在了一起。解题时，我们可先求出改车按原定速度到达乙地所需的时间，再求出甲、乙两地的路程。由车速提高2 0 %可知，现在速度与原来速度的比是（ 1 + 2 0 %） ： 1 = 6 ： 5 , 路程一定，所需时间比是速度比的反比。这样可算出原定时间为6小时。按原速行驶1 2 0 千米后，速度提高2 5 %可知，现速与原速的比是（ 1

167、 + 2 5 %） ： 1 = 5 ： 4 , 即所需时间比为4 ： 5 , 可算出行驶1 2 0 千2 1 1 1米后，还需 4 - （ 5 - 4 ） X 5 = 3 - （ 小时），这样1 2 0 千米占全程的（ 1 - - X3-）, 即可算出甲、乙两地的距离。现速与原速的比： （ 1 + 2 0 %） ： 1 = 6 ： 5原定行完全程的时间：1 4 - （ 6 5 ） X 6 = 6 （ 小时）行 1 2 0 千米后，加快的速度与原速的比: （ 1 + 2 5 %） ： 1 = 5 ： 42 1行 1 2 0 千米后，还需行走的时间：-+ （ 5 4 ） X 5 = 3 - （ 小

168、时）o o甲、乙两地的距离：1 2 0 4 - （ 1 1 X 3 ； ） = 2 70 （ 千米）答：甲、乙两地的距离2 70 千米。练习5 ：1 、一辆车从甲地开往乙地。如果把车速提高2 5 %,呢么可以比原定时间提前2 4分钟到达；如果以原速形式8 0 千米后，再将速度提高: ，那么可以提前1 0 分钟到达乙地。甲、乙两地相距多少千米?2 、一个正方形的一边减少2 0 %,另一边增加2 米，得到一个长方形。这个长方形的面积与原正方形的面积想等。原正方形面积是多少平方米？3 、客、货车同时从甲、乙两地相对开出，相遇时客、货两车所行路程的比是5 ： 4 , 相遇后货车每小时比相遇前每小时多走

169、2 7千米。 客车仍按原速前进， 结果两车同时到达对方的出发站，已知客车一共行了 1 0 小时。甲、乙两地相距多少千米？第36讲流水行船问题一、知识要点当你逆风骑自行车时有什么感觉？是的，逆风时需用很大力气，因为面对的是迎面吹来的风。当顺风时，借着风力，相对而言用里较少。在你的生活中是否也遇到过类似的如流水行船问题。解答这类题的要素有下列几点：水速、流速、划速、距离，解答这类题与和差问题相似。划速相当于和差问题中的大数，水速相当于小数，顺流速相当于和数，逆流速相当于差速。划速=( 顺流船速+ 逆 流 船 速 )+ 2 ；水速=( 顺流船速一逆流船速)+ 2 ；顺流船速= 划速+ 水速；逆流船速

170、= 划速一水速；顺流船速= 逆流船速+ 水速X 2 ；逆流船速= 逆流船速一水速X 2 o二、精讲精练【 例 题1】一条轮船往返于A、B两地之间，由A地 到B地是顺水航行，由B地 到A地是逆水航行。已知船在静水中的速度是每小时2 0千米，由A地 到B地用了 6小时，由B地 到A地所用的时间是由A地 到B地所用时间的1 . 5倍，求水流速度。在这个问题中，不论船是逆水航行，还是顺水航行，其行驶的路程相等，都等于A、B两地之间的路程；而船顺水航行时，其形式的速度为船在静水中的速度加上水流速度，而船在怒水航行时的行驶速度是船在静水中的速度与水流速度的差。解：设水流速度为每小时x千米，则船由A地 到B

171、地行驶的路程为( 2 0 + x ) X 6 千米,船 由B地 到A地行驶的路程为( 2 0 x ) X 6 X 1 . 5 千米。列方程为( 2 0 + x ) X 6 = ( 2 0 x ) X 6 X 1 . 5x = 4答：水流速度为每小时4千米。练 习1 ：1、水流速度是每小时1 5千米。现在有船顺水而行，8小时行3 2 0千米。若逆水行3 2 0千米需几小时？2、水流速度每小时5千米。现在有一船逆水在1 2 0千米的河中航行需6小时，顺水航行需几小时？3、一船从A地顺流到B地，航行速度是每小时3 2千米，水流速度是每小时4千米，2 ；天可以到达。次船从B地返回到A地需多少小时？【

172、例 题2】 有一船行驶于1 2 0千米长的河中， 逆 行 需1 0小时， 顺行要6小时， 求船速和水速。这题条件中有行驶的路程和行驶的时间，这样可分别算出船在逆流时的行驶速度和顺流时的行驶速度，再根据和差问题就可以算出船速和水速。列式为逆流速：1 2 0 + 1 0 = 1 2 （ 千米/ 时）顺流速：1 2 0 4 - 6 = 1 2 （ 千米/ 时）船速：（ 2 0 + 1 2 ） 4 - 2 = 1 6 （ 千米/ 时）水速：（ 2 0 1 2 ） 4 - 2 = 4 （ 千米/ 时）答：船速是每小时行1 6千米，水速是每小时行4千米。练 习2 ：1、有只大木船在长江中航行。逆流而上5小

173、时行5千米，顺流而下1小时行5千米。求这只木船每小时划船速度和河水的流速各是多少？2、有一船完成3 6 0千米的水程运输任务。顺流而下3 0小时到达，但逆流而上则需6 0小时。求河水流速和静水中划行的速度？3 、一海轮在海中航行。顺风每小时行4 5 千米，逆风每小时行3 1 千米。求这艘海轮每小时的划速和风速各是多少？【 例题3 】 轮船以同一速度往返于两码头之间。 它顺流而下， 行了 8小时； 逆流而上， 行了 10小时。如果水流速度是每小时3 千米，求两码头之间的距离。在同一线段图上做下列游动性示意图3 6 - 1演示：8顺 流 - - - - - - - - - - - - - - -

174、- - - - - - - - - - - - - A逆 流 Y - - - - - - Y - - - - - - - - - - - - - - - - - - -A 10图361因为水流速度是每小时3千米，所以顺流比逆流每小时快6千米。如果怒六时也行8小时，则只能到A地。那么A 、B 的距离就是顺流比逆流8小时多行的航程，即 6 X 8 = 4 8 千米。而这段航程又正好是逆流2 小时所行的。由此得出逆流时的速度。列算式为( 3 + 3 ) X 8 4 - ( 10 8 ) X 10 = 24 0 ( 千米)答：两码头之间相距24 0 千米。练习3 ：1、一走轮船以同样的速度往返于甲、乙

175、两个港口，它顺流而下行了 7 小时，逆流而上行了 10 小时。如果水流速度是每小时3 . 6 千米，求甲、乙两个港口之间的距离。2、一艘渔船顺水每小时行18 千米，逆水每小时行15 千米。求船速和水速各是多少？3、沿河有上、下两个市镇，相 距8 5千米。有一只船往返两市镇之间，船的速度是每小时18 . 5千米，水流速度每小时1. 5千米。求往返依次所需的时间。【 例 题4】汽船每小时行3 0千米，在 长17 6千米的河中逆流航行要11小时到达，返回需几小时？依据船逆流在17 6千米的河中所需航行时间是11小时，可以求出逆流的速度。返回原地是顺流而行，用行驶路程除以顺流速度，可求出返回所需的时间

176、。逆 流 速 :17 6 4 - 11= 16 （ 千米/ 时）所需时间：17 6 4 - 3 0 + （ 3 0 16 ） = 4 （ 小时）答：返回原地需4小时。练 习4 ：1、当一机动船在水流每小时3千米的河中逆流而上时，8小时行4 8千米。返回时水流速度是逆流而上的2倍。需几小时行19 5千米？2、已知一船自上游向下游航行，经9小时后，已行6 7 3千米，此船每小时的划速是4 7千米。求此河的水速是多少？3、一只小船在河中逆流航行3小时行3千米，顺流航行1小时行3千米。求这只船每小时的速度和河流的速度各是多少？【 例题5 】 有甲、乙两船，甲船和漂流物同时由河西向东而行，乙船也同时从河

177、东向西而行。甲船行4 小时后与漂流物相距10 0 千米，乙船行12小时后与漂流物相遇，两船的划速相同，河长多少千米？漂流物和水同速，甲船是划速和水速的和，甲船4小时后， 距漂流物10 0 千米，即每小时行 10 0 + 4 = 25 （ 千米） 。 乙船12小时后与漂流物相遇， 所受的阻力和漂流物的速度等于划速。这样，即可算出河长。列算式为船速：10 0 + 4 = 25 （ 千米/ 时）河长：25 X 12= 3 0 0 （ 千米）答：河长3 0 0 千米。练习5 ：1、有两只木排，甲木排和漂流物同时由A地向B 地前行，乙木排也同时从B 地向A 地前行，甲木排5小时后与漂流物相距7 5 千米

178、，乙木排行15 小时后与漂流物相遇，两木排的划速相同，A 、B 两地长多少千米？2、 有一条河在降雨后， 每小时水的流速在中流和沿岸不同。中流每小时5 9 千米， 沿岸每小时4 5 千米。有一汽船逆流而上，从沿岸航行15 小时走完5 7 0 千米的路程，回来时几小时走完中流的全程？3 、有一架飞机顺风而行4小时飞3 6 0 千米。今出发至某地顺风去，逆风会，返回的时间比去的时间多3 小时。已知逆风速为7 5 千米/ 小时，求距目的地多少千米？第37讲对策问题一、知识要点同学们都熟悉“ 田忌与齐王赛马”的故事，这个故事给我们的启示是：田忌采用了 “ 扬长避短”的策略，取得了胜利。生活中的许多事物

179、都蕴含着数学道理， 人们在竞赛和争斗中总是玩游戏， 大至体育比赛、军事较量等，人们在竞赛和争斗中总是希望自己或自己的一方获取胜利，这就要求参与竞争的双方都要制定出自己的策略，这就是所谓“ 知己知彼，百 战 不 殆 。哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最终的胜利。解决这类问题一般采用逆推法和归纳法。二、精讲精练【 例 题D两个人做一个移火柴的游戏，比赛的规则是：两人从一堆火柴中可轮流移走1至7根火柴，直到移尽为止。挨到谁移走最后一根火柴就算谁输。如果开始时有1 0 0 0根火柴，首先移火柴的人在第一次移走多少根时才能在游戏中保证获胜。先移火柴的人要取胜，只要取走第9 9 9根火柴，即利用逆推法

180、就可得到答案。设先移的人为甲，后移的人为乙。甲要取胜只要取走第9 9 9根火柴。因此，只要取到第9 9 1根就可以了（ 如 乙 取1根甲就取7根；如乙取2根甲就取6根。依次类推，甲取的与乙取的之和为8根火柴）。由此继续推下去，甲只要取第9 8 3根，第9 7 5根，第7根就能保证获胜。所以，先移火柴的人要保证获胜，第一次应移走7根火柴。练 习1 ：1、一堆火柴4 0根，甲、乙两人轮流去拿，谁拿到最后一根谁胜。每人每次可以拿1至3根，不许不拿，乙让甲先拿。问：谁能一定取胜？他要取胜应采取什么策略？2、两人轮流报数，规定每次报的数都是不超过8的自然数，把两人报的数累加起来，谁先报到8 8 ,谁就获

181、胜。问：先报数者有必胜的策略吗？3、把1994个空格排成一排，第一格中放一枚棋子，甲、乙两人轮流移动棋子，每人每次可后移1格、2格、3格，谁先移到最后一格谁胜。先移者确保获胜的方法是什么？【 例题2】 有1987粒棋子。甲、 乙两人分别轮流取棋子， 每次最少取1粒， 最多取4粒，不能不取，取到最后一粒的为胜者。现在两人通过抽签决定谁先取。你认为先取的能胜，还是后取的能胜？怎样取法才能取胜？从结局开始，倒推上去。不妨设甲先取，乙后取，剩下1至4粒，甲可以一次拿完。如果剩下5粒棋子，则甲不能一次拿完，乙胜。因此甲想取胜，只要在某一时刻留下5粒棋子就行了。不妨设甲先取，则甲能取胜。甲第一次取2粒，以

182、后无论乙拿几粒，甲只要使自己的粒数与乙拿的粒数之和正好等于5 ,这样， 每一轮后， 剩下的棋子粒数总是5的倍数，最后总能留下5粒棋子，因此，甲先取必胜。练习2：1、甲、乙两人轮流从1993粒棋子中取走1粒或2粒或3粒，谁取到最后一粒的是胜利者，你认为先取的能获胜，还是后取的能获胜，应采取什么策略？2、有1 9 9 7根火柴，甲、乙两人轮流取火柴，每人每次可取1至1 0根，谁能取到最后一根谁为胜利者，甲先取，乙后取。甲有获胜的可能吗？取胜的策略是什么？3、盒子里有4 7粒珠子，两人轮流取，每次最多取5粒，最 少 取1粒，谁最先把盒子的珠子取完，谁就胜利，小明和小红来玩这个取珠子的游戏，先名先、小

183、红后，谁胜？取胜的策略是什么？【 例 题3】在黑板上写有9 9 9个数：2 , 3 , 4 , ，1 0 0 0。甲、乙两人轮流擦去黑板上的一个数( 甲先擦，乙 后 擦 ) ，如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜。谁必胜？必胜的策略是什么？甲先擦去1 0 0 0 ,剩下的9 9 8个数，分 为4 9 9个数对：( 2 , 3 ) , ( 4 , 5 ) , ( 6 , 7 ) ,( 9 9 8 , 9 9 9 ) o可见每一对数中的两个数互质。如果乙擦去某一对中的一个，甲则接着擦去这对中的另一个，这样乙、甲轮流去擦，总是一对数、一对数地擦，最后剩下的一对数必互质。所以，甲必胜。练 习3

184、：1、甲、乙两人轮流从分别写有1 , 2 , 3 , ,9 9的9 9张卡片中任意取走一张，先取卡的人能否保证在他取走的第9 7张卡片时，使剩下的两张卡片上的数一个是奇数，一个是偶数？2 、两个人进行如下游戏，即两个人轮流从数列1 , 2 , 3 , ,1 0 0 , 1 0 1 勾去九个数。经过这样的1 1 次删除后，还剩下两个数。如果这两个数的差是5 5 ,这时判第一个勾数的人获胜。问第一个勾数的人能否获胜？获胜的策略是什么？3 、在黑板上写n1 ( n 3 )个数：2, 3 , 4 ,，n。甲、乙两人轮流在黑板上擦去一个数。如果最后剩下的两个数互质，则乙胜，否则甲胜。N分别取什么值时：

185、( 1)甲必胜？( 2)乙必胜？必胜的策略是什么？【 例题4 】甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10 的自然数，规定禁止在黑板上写已写过的数的约数，最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写，谁一定获胜？写出一种获胜的方法。这里关键是第一次写什么数，总共只有10 个数，可通过归纳试验。甲不能写1，否则乙写6, 乙可获胜；甲不能写3 , 5 , 7 , 否则乙写8, 乙可获胜；甲不能写4 , 9, 10 ,否则乙写6 , 乙可获胜。因此，甲先写6 或 8 , 才有可能获胜。甲可以获胜。如甲写6 , 去掉6的约数1, 2, 3 , 6 , 乙只能写4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 10 这六个数

186、中的一个，将这六个数分成( 4 , 5 ) , ( 7 , 9 ) , ( 8 , 10 )三组，当乙写某组中的一个数，甲就写另一个数，甲就能获胜。练习4 ：1、甲、乙两人轮流在黑板上写上不超过14 的自然数。书写规则是：不允许写黑板上已写过的数的约数，轮到书写人无法再写时就是输者。现甲先写，乙后写，谁能获胜？应采取什么对策？2、甲、乙两人轮流从分别写有3 , 4 , 5 ,，11的9张卡片中任意取走一张，规定取卡人不能取已取过的数的倍数，轮到谁无法再取时，谁就输。现甲先取，乙后取，甲能否必然获绳？应采取的对策是什么？3、甲、乙两人轮流在20 0 4粒棋子中取走1粒 ，3粒，5粒 或7粒棋子。

187、甲先取，乙后取,取到最后一粒棋子者为胜者。甲、乙两人谁能获胜？【 例 题5 有一个3 X 3的棋盘以及9张大小为一个方格的卡片如图3 7 -1所示，9张卡片分别写有：1, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10这几个数。小兵和小强两人做游戏，轮流取一张卡片放在9格中的一格，小兵计算上、下两行6个数的和；小强计算左、右两列6个数的和，和数大的一方取胜。小兵一定能取胜吗？如 图3 7 T所示，由于4个角的数是两人共有的，因而和数的大小只与放在A , B , C , D这4个格中的数有关。小兵要获胜，必须采取如下策略，尽可能把大数填入A或C格，尽可能将小数填入B格 或D格。由

188、于1+10 3 +9 ,即B +D V A +C ,小兵应先将1放 在B格 ,如 小 强 把10放 进D格，小兵再把9放 进A格，这时不论小强怎么做，C格中一定是大于或等于3的数，因而小兵获胜。如小强把3放 进A格，小兵只需将9放 到C格，小兵也一定获胜。练 习5 ：1、 在5义5的棋盘的右上角放一枚棋子， 每一步只能向左、 想下或向左下对角线走一格。37-1两人交替走，谁为胜者。必胜的策略是什么？2、甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币，规则是每人每次只能放一枚，硬币不能重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再无处可放，谁就获胜。如果甲先放，那么他怎样才能取胜？3、两人轮流在3 X 3的方

189、格中画“ 和“ X ”，规定每人每次至少画一格，至多画三格，所有的格画满后，谁画的符号总数为偶数，谁就获胜。谁有获胜的策略？第38讲应用同余问题一、知识要点同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。同余的定义是这样的：两个整数a , b ,如果它们除以同一自然数所得的余数想同，则称a , b 对于模m同余。记作：a = b （ m o d m）。读做：a同余于b 模m。比如，12除以5, 47 除以5 , 它们有相同的余数2 , 这时我们就说，对于除数5, 12和47 同余，记做12三47 （ m o d 5）。同余的性质比较多，主要有以下一些：性 质 （ 1）：对于同一个除数，两个数之

190、和（ 或差）与它们的余数之和（ 或差）同余。比如：32除以5 余数是2, 19 除以5 余数是4 , 两个余数的和是2+4= 6 。 “ 32+19 ”除以5 的余数就恰好等于它们的余数和6 除以5 的余数。也就是说，对于除数5, “ 32+19 ”与它们的余数和 “ 2+4” 同余，用符号表示就是：32三2 （ m o d 5） , 19 = 4 （ m o d 5） , 32+19 = 2+4= 1（ m o d 5）性 质 （ 2）：对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。性 质 （ 3）：对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。性 质 （ 4）

191、：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。二、精讲精练【 例题11求 19 9 2X 59 除以7的余数。应用同余性质（ 2）可将19 9 2X 59 转化为求19 9 2除以7 和 59 除以7的余数的乘积，使计算简化。19 9 2除以7 余 4, 59 除以7 余 3。根据同余性质，“ 4 X 3”除以7的余数与“ 19 9 2X 59 ”除以7的余数应该是相同的，通过求“ 4 X 3 ”除以7的余数就

192、可知道19 9 2X 59 除以7的余数了。因为 19 9 2X 59 三4X 3三5 （ m o d 7 ）所以19 9 2X 59 除以7的余数是50练习1：1、求 4217 X 36 4除以6的余数。2、求 1339 6 55X 12除以13的余数。3、求 8 7 9 X 437 6 X 528 3除以11的余数。【 例题2】已知20 0 1年的国庆节是星期一，求 20 10 年的国庆节是星期几？一星期有7 天， 要求20 10 年的国庆节是星期几， 就要求从20 0 1年到20 10 年的国庆节的总天数被7除的余数就行了。但在甲酸中，如果我们能充分利用同余性质，就可以不必算出这个总天数

193、。20 0 1年国庆节到20 10 年国庆节之间共有2 个闰年7 个平年， 即有“ 36 6 X 2+36 5X 7 ” 天。因为 36 6 X 2三2X 2三4 ( m o d 7 ) , 36 5X 7 = 1X 7 = 0 ( m o d 7 ) , 36 6 义2+36 5X7 三2X 2+1X7= 4+0 = 4 ( m o d 7 )答：20 10 年的国庆节是星期五。练习2：1、已知20 0 2年元旦是星期二。求 20 0 8 年元旦是星期几？2、已知20 0 2年的“ 七月一日”是星期一。求 20 15年的“ 十月一日”是星期几？3、今天是星期四，再过36 5的 15次方是星期

194、几?【 例题3求 20 0 1的20 0 3次方除以13的余数。20 0 1除以13余 12,即20 0 1 = 12 ( m o d 13)。根据同余性质( 4 ) , 可知20 0 1的20 0 3次方三12的 20 0 3次 方 ( m o d 1 3 ) , 但 12的 20 0 3次方仍然是一个很大的值，要求它的余数比较困难。 这时的关键就是要找出12的几次方对模13与 1 是同余的。 经试验可知12的平方三1 ( m o d 1 3 ) ,而 20 0 3三2X 10 0 1+1。所 以 ( 12 的平方)的 10 0 1 次方三 1 的 10 0 1 ( m o d 13),即

195、12的20 0 2次方三1 ( m o d 1 3 ) , 而 12的20 0 3次方三12的20 0 2次方X 12。根据同余性质( 2)可知 12 的 20 0 2 次方X 12三I X 12三 12 ( m o d 13)因为：20 0 1的20 0 3次方三12的20 0 3次 方 ( m o d 13)12 的平方三 1 ( m o d 1 3 ) , 而 20 0 3三2X 10 0 1+112 的 20 0 3 次方三 12 的 20 0 2 次方X 12三I X 12三 12 ( m o d 13)所以20 0 1的20 0 3次方除以13的余数是12o练习3：1、求 12的2

196、0 0 次方除以13的余数。2、求 3 的9 2次方除以21余几。3、9 个小朋友坐成一圈，要把35的7 次方粒瓜子平均分给他们，最后剩下几粒?【 例题4】自然数16 520 , 149 0 3, 1417 7 除以m的余数相同，m最大是多少？自然数16 520 , 149 0 3, 1417 7 除以m的余数相同，换句话说就是16 520 三149 0 3三1417 7( m o d m ) o根据同余性质( 3 ) , 这三个饿数同余，那么它们的差就能被m整除。要求m 最大是多少，就是求它们差的最大公约数是多少？因为 16 520 149 0 3= 16 17 = 3X 7 的平方X I

197、I16 520 1417 7 = 2343= 3 X 11X 7 1149 0 31417 7 = 7 26 = 2 X 3 X 11 的平方M 是这些差的公约数，m 最大是3X 11= 33。练习4：1、若 28 36 、458 2、516 4、6 522四个整数都被同一个两位数相除，所得的余数相同。除数是多少？2、一个整数除226 、19 2、141都得到相同的余数，且余数不为0 , 这个整数是几?3、当 19 9 1和 17 6 9 除以某一个自然数m时，余数分别为2 和 1 , 那么m最小是多少？【 例题5】某数用6除余3 , 用 7除余5 , 用 8除余1 , 这个数最小是几？我们可

198、从较大的除数开始尝试。首先考虑与1模 8同余的数，9 1 ( m o d 8) , 但 9 输以7 余数不是5,所以某数不是9 o 17 = 1 ( m o d 8 ) , 17 除以7 的余数也不是5。 25三1 ( m o d 8 ),25除以7的余数也不是5。33= 1 ( m o d 8 ) , 33除以7的余数正好是5 , 而且33除以6 余数正好是3,所以这个数最小是33。 上面的方法实际是一种列举法， 也可以简化为下面的格式：被 8 除余1 的数有：9 , 1 7 , 2 5 , 3 3 , 4 1 , 4 9 , 5 7 , 6 5 , 7 3 , 81 , 89 , 其中被7

199、 除余5的数有：3 3 , 89 , 这些数中被6除余3的数最小是3 3 。练习5 ：1 、某数除以7 余 1 , 除以5 余 1 , 除以1 2 余 9 。这个数最小是几？2 、某数除以7 余 6 , 除以5 余 1 , 除以1 1 余 3 , 求此数最小值。3 、 在一个圆圈上有几十个孔( 如图3 8 T ) ,小明像玩跳棋那样从A 孔出发沿逆时针方向每隔几个孔跳一步， 希望一圈以后能跑回A 孔， 他先试着每隔2 孔跳一步， 也只能跳到B 孔。最后他每隔6 孔跳一步，正好跳回A孔。问：这个圆圈上共有多少个孔？第39讲“ 牛吃草”问题一、知识要点牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。 “

200、 一堆草可供1 0头牛吃3天，供6头牛吃几天？ ”这题很简单，用3 X 1 0 4 - 6 = 5 （ 天）,如 果 把 “ 一堆草”换 成 “ 一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了。因为草每天走在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固 定 （ 均匀变化）的问题就是“ 牛吃草”问题。解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。正确计算草地上原有的草及每天长出的草，问题就容易解决了。二、精讲精练 例 题1 一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供2 7头牛吃6周 或2 3头牛吃9周，那么这片

201、草地可供2 1头牛吃几周？这片草地上的草的数量每天都在变化， 解题的关键应找到不变量一一即原来的草的数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到是匀速生长，因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的。假 设1头牛一周吃的草的数量为1份，那 么2 7头 牛6周需要吃2 7 X 6 = 1 6 2 （ 份），此时新草与原有的草均被吃完；2 3头 牛9周需吃2 3 X 9 = 2 0 7 （ 份 ），此时新草与原有的草也均被吃完。而1 6 2份是原有的草的数量与6周新长出的草的数量的总和；2 0 7份是原有的草的数量 与9周新长出的草的数量的总和，因此每周新长

202、出的草的份数为：（ 2 0 7 - 1 6 2 ） + （ 9 - 6 ）= 1 5 （ 份），所以，原有草的数量为：1 6 2 - 1 5 X 6 = 7 2 （ 份 ）。这片草地每周新长草1 5份相当于可安排1 5头牛专吃新长出来的草， 于是这片草地可供2 1头牛吃7 2 + （ 2 1 - 1 5 ） = 1 2 （周 ）练 习11、一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供2 4头牛吃6天，2 0头 牛 吃1 0天，那么可供1 9头牛吃几天?2、 牧场上一片草地， 每天牧草都匀速生长， 这片牧草可供10头牛吃2 0天， 或者可供15头牛吃10天，问可供25头牛吃几天？3、 牧场上的青草每天

203、都在匀速生长，这片青草可供2 7头牛吃6周或2 3头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？【 例题2】由于天气逐渐冷起来， 牧场上的草不仅不长大， 反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供2 0头牛吃5天或可供1 5头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少， 但是， 我们同样可以利用与例1类似的方法求出每天减少的草和原来的草的总量。设1头牛1天吃的草为1份，20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100-90=10（ 份），说明寒冷的天气使牧场1天减少青草10份，也就是寒冷导致的每天减少的草量相当于10头牛在吃草。由“

204、草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上寒冷导致的每天减少的草量相当于10头牛同时在吃草，所以原有草两有（ 20+10） X 5=150 （ 份），由150 10=15知道，牧场原有的草可供15头牛吃10天。由寒冷导致的原因占去10头牛吃的草，所以可供5头牛吃10天。练习2：1、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草每天以均匀的速度在减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天?2 、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草以固定速度在减少。已知牧场上的草可供3 3 头牛吃 5 天或可供2 4 头牛吃6 天。照此计算，这个牧场可供多少头牛吃1 0 天？3 、经测算，地球

205、上的资源可供1 0 0 亿人生活1 0 0 年，或可供80 亿人生活3 0 0 年。假设地球新生成的资源增长速度是一样的，那么，为满足人类不断发展的需要，地球最多能养活多少亿人？【 例题3 】自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着， 两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走2 0 级台阶，女孩每分钟走1 5 级台阶，结果男孩用5分钟到达楼上，女孩用了 6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级台阶？与前两个题比较， “ 总的草量”变成了“ 扶梯的台阶总数， “ 草”变成了“ 台阶”，“ 牛”变成了 “ 速度”，也可以看成是牛吃草问题。上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动

206、扶梯的速度。男孩5 分钟走了 2 0 X 5 = 1 0 0 （ 级），女孩6分钟走了 1 5 X 6 = 9 0 （ 级），女孩比男孩少走了 1 0 0 9 0 = 1 0 （ 级），多用了 6 5 = 1 （ 分钟），说明电梯1 分钟走1 0 级。因男孩5 分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和。所以，扶梯共有（ 2 0 + 1 0 ） X5 = 1 5 0（ 级）练习3 ：1 、自动扶梯以均匀速度行驶着，渺小明和小红从扶梯上楼。已知小明每分钟走2 5 级台阶，小红每分钟走2 0 级台阶，结果小明用5 分钟，小红用了 6 分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？2 、两个顽

207、皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在 2 0 秒钟里，男孩可走2 7 级台阶，女孩可走2 4 级台阶，男孩走了 2 分钟到达另一端，女孩走了 3 分钟到达另一端，该扶梯共有多少级台阶?3 、两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的。一只每天白天爬2 0 分米，另一只爬1 5 分米。黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的。结果一只蜗牛恰好用了 5 个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用了 6 个昼夜到达井底。那么，井深多少米？【 例题4 】 一只船有一个漏洞， 水以均匀的速度进入船内， 发现漏洞时已经进了一些水。如果用1 2 人舀水，3小时舀完。如果只

208、有5个人舀水，要 1 0 小时才能舀完。现在要想2小时舀完，需要多少人？已漏进的水，加上3小时漏进的水，每小时需要( 1 2 * 3 ) 人舀完，也就是3 6 人用1 小时才能舀完。已漏进的水，加上1 0 小时漏进的水，每小时需要( 5 X 1 0 ) 人舀完，也就是5 0人用1 小时才能舀完。通过比较，我们可以得出1 小时内漏进的水及船中已漏进的水。1 小时漏进的水，2 个人用1 小时能舀完：( 5 X 1 0 1 2 X 3 ) 4 - ( 1 0 3 ) = 2已漏进的水： ( 1 2 2 ) X 3 = 3 0已漏进的水加上2 小时漏进的水，需 3 4 人 1 小时完成：3 0 + 2

209、 X 2 = 3 4用 2 小时来舀完这些水需要1 7 人：3 4 4 - 2 = 1 7 ( 人)练习4 ：1 、有一水池，池底有泉水不断涌出。用 1 0 部抽水机2 0 小时可以把水抽干，用 1 5 部相同的抽水机1 0 小时可以把水抽干。那么用2 5 部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？2 、有一个长方形的水箱，上面有一个注水孔，底面有一个出水孔，两孔同时打开后，如果每小时注水3 0 立方分米，7小时可以注满水箱；如果每小时注水4 5 立方分米，注满水箱可少用2 . 5 小时。那么每小时由底面小孔排出多少立方分米的水（ 设每小时排水量相同）？3 、有一水井，连续不段涌出泉水，每分钟涌出的

210、水量相等。如果用3台抽水机来抽水,3 6 分钟可以抽完；如果使用5台抽水机，2 0 分钟抽完。现在1 2 分钟内要抽完井水，需要抽水机多少台？【 例题5 】有三块草地，面积分别为5 , 6 , 和 8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草荐地可供1 1 头牛吃1 0 天，第二块草地可供1 2 头牛吃1 4 天。问第三块草地可供1 9 头牛吃多少天？前几天我们接触的是在同一块草地上，同一个水池中，现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。即 5 , 6 , 8 = 1 2 0这样， 第一块5 公顷可供1 1 头牛吃1 0 天，1 2 0 + 5 = 2

211、4 , 变为1 2 0 公顷草地可供1 1 X 2 4 = 2 6 4（ 头）牛吃1 0 天第二块6 公顷可供1 2 头牛吃1 4 天， 1 2 0 + 6 = 2 0 , 变为1 2 0 公顷草地可供1 2 X 2 0 = 2 4 0 （ 头）牛吃1 4 天。1 2 0 + 8 = 1 5 。问题变成：1 2 0 公顷草地可供1 9 X 1 5 = 2 8 5 ( 头) 牛吃几天？因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为：一块草地匀速生长，可供2 64 头牛吃10天或供2 4 0头牛吃14 天，那么可供2 8 5 头牛齿及天？即每天新长出的草： ( 2 4 0X 14 2 64 X 1

212、0) 4 - ( 14 10) = 18 0 ( 份)草地原有草： ( 2 64 18 0) X 10= 8 4 0 ( 份)可供2 8 5 头牛吃的时间:8 4 04 - ( 2 8 5 18 0) = 8 ( 天)答：第三块草地可供19 头牛吃8 天。练习5 ：1、 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4 个检票口需3 0分钟，同时开5 个检票口需2 0分钟。如果同时打开7 个检票口，那么需多少分钟？2 、快、中、慢三车同时从A 地出发，追赶一辆正在行驶的自行车，三车的速度分别是嵋小时2 4 千米、2 0千米、19 千米。快车追

213、上自行车用了 6 小时，中车追上自行车用了 10小时，慢车追上自行车用多少小时？3 、一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供17 头牛吃3 0天，或供19 头牛吃2 4 天。现有一群牛吃了 6 天后卖掉4 头，余下的牛又吃了 2天将草吃完。这群牛原来有多少头？第40讲不定方程一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如 5x-3y= 9 就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如 5x 3 y = 9 的解有：x=2. 4 x = 2. 7 x = 3. 06 x =

214、 3. 6 0 , y 0 , x + y 9)y = ( 99- 12 y ) 4 - 5经检验，符合条件的解有：fx = 2 fx=7. y = 15 I y = 3所以，大盒子有2 个，小盒子有15 个，或大盒子有7 个，小盒子有3 个。练习3 .1、某校6 ( 1) 班学生4 8 人到公园划船。如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5 人。那么需要小船和大船各几只？ ( 大、小船都有)2 、甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝？3 、小华和小强各用6角 4分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一枝和7 分一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强

215、多，小华比小强多买来多少枝？ 例题4 买三种水果3 0 千克， 共用去8 0 元。 其中苹果每千克4 元， 橘子每千克3 元，梨每千克2 元。问三种水果各买了多少千克？设苹果买了 x 千克，橘子买了 y 千克，梨买了( 3 0 x y ) 千克。根据题意得：4 x + 3 y + 2 * ( 3 0 - x - y ) = 8 2x = 10 乙由式子可知：y 2 0 , 则 y必须是2的倍数，所以y可取2 、4 、6 、8 、10 、12 、14 、16 、18 。因此，原方程的解如下表：苹果987654321橘子24681012141618梨191817161514131211练习41、有

216、红、黄、蓝三种颜色的皮球共2 6 只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的9 倍，蓝皮球有多少只？2 、用 10 元钱买2 5 枝笔。已知毛笔每枝2角，彩色笔每枝4角，钢笔每枝9 角。问每种笔各买几枝？ （ 每种都要买）3 、晓敏在文具店买了三种贴纸；普通贴纸每张8分，荧光纸每张1 角，高级纸每张2角。她一共用了一元两角两分钱。那么，晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张？【 例题5 】 某次数学竞赛准备例2 枝铅笔作为奖品发给获得一、 二、 三等奖的学生。原计划一等奖每人发6 枝， 二等奖每人发3 枝， 三等奖每人发2 枝。 后又改为一等奖每人发9 枝，二等奖每人发4 枝，三等奖每人发1枝。问：一、二、三等

217、奖的学生各有几人？设一等奖有x 人，二等奖有y 人，三等奖有z 人。则 6 x + 3 y + 2 z = 2 2 . 9x + 4 y + z = 2 2 由X 2 一，得 12 x + 5 y = 2 22 2 - 12 x （yX=1Yx只能取1。Y = 2 , 代入得z = 5 , 原方程的解为 y = 2z = 5所以，一等奖的学生有1人，二等奖的学生有2 人，三等奖的学生有5 人。练习51、某人打靶，8发打了 53环，全部命中在10环、7环和5环。他命中10环、7环和5环各几发？2、篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋3 0个，价值2 4元。已知煮蛋每个0 .6 0元，茶叶蛋每个1元，皮蛋每个1.20元。问篮子里最多有几个皮蛋？3、一头猪卖苗个银币，一头山羊卖g个银币，一头绵羊买T 个银币。有人用100个银币卖了这三种牲畜100头。问猪、山羊、绵羊各几头？