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1、等差数列的前等差数列的前n项和项和的性质及应用的性质及应用1 1等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式: :形式形式1:1:形式形式2:2:复习回顾复习回顾2 23 34 4前前100个自然数的和：个自然数的和：1+2+3+100= ； 前前n个奇数的和：个奇数的和：1+3+5+(2n-1)= ；前前n个偶数的和：个偶数的和：2+4+6+2n= .思考题：思考题：如何求下列和？如何求下列和？n2n(n+1)5 5 1. 1.将等差数列前将等差数列前n n项和公式项和公式 看作是一个关于看作是一个关于n n的函数，这个函数的函数，这个函数 有什么特点？有什么特点？当当d00时时,S,Sn
2、 n是常数项为零的二次函数是常数项为零的二次函数则则 Sn=An2+Bn令令6 6【说明说明】推导等差数列的前推导等差数列的前n项和公式的项和公式的方法叫方法叫 ；等差数列的前等差数列的前n项和公式类同于项和公式类同于 ；an为等差数列为等差数列 ，这，这是一个关于是一个关于 的没有的没有 的的“ ” 倒序相加法倒序相加法梯形的面积公式梯形的面积公式Sn=an2+bnn常数项常数项二次函数二次函数（ 注意注意 a 还还可以是可以是 0）7 7例例1 已知数列已知数列an中中Sn=2n2+3n， 求证：求证：an是等差数列是等差数列.8 8例例1、若等差数列、若等差数列an前前4项和是项和是2，
3、前，前9项和是项和是6，求其前，求其前n 项和的公式。项和的公式。，解之得：解之得：解：设首项为解：设首项为a1，公差为，公差为d，则有：，则有：9 9 设设 Sn= an2 + bn，依题意得：，依题意得：S4=2, S9= 6,即即解之得：解之得：另解：另解：1010等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例1.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法1由由S3=S11得得 d=2当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.1111等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例1.已知等差数列已知
4、等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法2由由S3=S11得得d=20当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.则则Sn的图象如图所示的图象如图所示又又S3=S11所以图象的对称轴为所以图象的对称轴为7n113Sn1212等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例1.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法3由由S3=S11得得d=2当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49. an=13+(n-1) (-2)=2n+15由由得得1313a7+a8=
5、0等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例1.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法4由由S3=S11得得当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.a4+a5+a6+a11=0而而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又又d=20a70,a8 0, 前前n项和为项和为Sn，Sm= Sl ,问问: n为何值时，为何值时，Sn最大？最大？例例1的的变式题一变式题一：等差数列：等差数列an中，中，首项首项a1，S3 = S11，问：这个数列，问：这个数列的前几项的和最大？的前几项的和最大？151
6、5例例2：已知数列：已知数列an是等差数列，且是等差数列，且a1= 21，公差，公差d=2，求这个数列的前，求这个数列的前n项和项和Sn的最大值。的最大值。的前的前n项和为项和为 , ,当当n n为何值时，为何值时， 最大，最大，数列数列 的通项公式的通项公式 已知已知 求：求：例例3设等差数列设等差数列1616求等差数列前求等差数列前n项的最大项的最大(小小)的方法的方法方法方法1:由由 利用二次函利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值的值.方法方法2:利用利用an的符号的符号当当a10,d0时时,数列数列前面有若干项为正前面有若干项为正,此时所有正
7、项的和为此时所有正项的和为Sn的最大值的最大值,其其n的值由的值由an0且且an+10求得求得.当当a10时时,数列前面有若干项为负数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为此时所有负项的和为Sn的最小值的最小值,其其n的值的值由由an 0且且an+1 0求得求得.1717练习练习:已知数列已知数列an的通项为的通项为an=26-2n,要使此数列的前要使此数列的前n项和项和最大最大,则则n的值为的值为( )A.12 B.13 C.12或或13 D.14C18182.等差数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质性质性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也成等差数列也成等差数列,公差为公差为在
8、等差数列在等差数列an中中,其前其前n项的和为项的和为Sn,则有则有性质性质2:若若Sm=p,Sp=m(mp),则则Sm+p=性质性质3:若若Sm=Sp (mp),则则 Sp+m=n2d0- (m+p)性质性质4: 为等差数列为等差数列.1919两等差数列前两等差数列前n项和与通项的关系项和与通项的关系性质性质6:若数列若数列an与与bn都是等差数列都是等差数列,且且前前n项的和分别为项的和分别为Sn和和Tn,则则2020例例1.设等差数列设等差数列an的前的前n项和为项和为Sn,若若S3=9,S6=36,则则a7+a8+a9=( )A.63 B.45 C.36 D.27例例2.在等差数列在等
9、差数列an中中,已知公差已知公差d=1/2,且且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=( )A.85 B.145 C.110 D.90BA3.等差数列等差数列an前前n项和的性质的应用项和的性质的应用2121例例3.一个等差数列的前一个等差数列的前10项的和为项的和为100,前前100项的和为项的和为10,则它的前则它的前110项的和为项的和为 .110例例4.两等差数列两等差数列an 、bn的前的前n项和分项和分别是别是Sn和和Tn,且且求求 和和 . 等差数列等差数列an前前n项和的性质的应用项和的性质的应用2222例例5.一个等差数列的前一个等差数列的前12项的和为
10、项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为的项的和之比为32:27,则公差为则公差为 .例例6.(09宁夏宁夏)等差数列等差数列an的前的前n项的和项的和为为Sn,已知已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则则m= .例例7.设数列设数列an的通项公式为的通项公式为an=2n-7,则则|a1|+|a2|+|a3|+|a15|= .510153等差数列等差数列an前前n项和的性质的应用项和的性质的应用2323例例8.设等差数列的前设等差数列的前n项和为项和为Sn,已知已知a3=12,S120,S13013a1+136d0等差
11、数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质2424(2) Sn图象的对称轴为图象的对称轴为由由(1)知知由上得由上得即即由于由于n为正整数为正整数,所以当所以当n=6时时Sn有最大值有最大值.Sn有最大值有最大值.2525练习练习1 1已知等差数列已知等差数列25,21,19, 25,21,19, 的前的前n项和项和为为Sn, ,求使得求使得Sn最大的序号最大的序号n的值的值. .练习练习2:2:求集合求集合的元素个数，并求这些元素的和的元素个数，并求这些元素的和. .2626练习练习3：已知在等差数列：已知在等差数列 an n 中中, ,a10=23, ,a25=-22 , ,Sn为其前为其
12、前n项和项和. .（1 1）问该数列从第几项开始为负？）问该数列从第几项开始为负？（2 2）求）求S10（3 3）求使）求使 Sn0, S130。(1)求公差求公差d的取值范围的取值范围;(2)指出指出S1 , S2, , S12中哪个值最大，中哪个值最大，作业：作业：1: 等差数列等差数列an的前项和的前项和Sn满足满足S5=95, S8=200,求求Sn。2: 若数列若数列an的前项和的前项和Sn满足满足Sn=an2+bn,试判断试判断an是否是等差数列。是否是等差数列。2929设设Sn=an2+bn, 则有：则有： 。解之得：解之得： ， Sn=3n2+n。1、2、是。、是。 简单提示：利用公式：简单提示：利用公式：3、（1） ， （2）S6最大。最大。3030
