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1、2.2.3 向量数乘运算向量数乘运算及其几何意义及其几何意义1.1.向量向量加法加法三角形法则三角形法则: :特点特点: :首尾相接，首尾连首尾相接，首尾连特点特点:同一起点同一起点,对角线对角线BAO特点：特点：共起点，连终点，方向指向被减向量共起点，连终点，方向指向被减向量2.2.向量向量加法加法平行四边形法则平行四边形法则: :3.3.向量向量减法减法三角形法则三角形法则: :思考：思考：已知非零向量已知非零向量 ，作出，作出 和和 ， 你能说明它们的几何意义吗？你能说明它们的几何意义吗？ OABCPQMN3a与与a方向相同方向相同 |3a|=3|a|-3a与与a方向相反方向相反 |-3
2、a|=3|a| 一般地，我们规定实数一般地，我们规定实数与向量与向量 的积是一个的积是一个向量向量，这种运算叫做这种运算叫做向量的数乘向量的数乘，记作，记作 ，它的长度和方向，它的长度和方向规定如下：规定如下：（1 1）（2 2）当）当 时，时， 的方向与的方向与 的方向的方向相同相同； 当当 时，时， 的方向与的方向与 的方向的方向相反相反。特别的，当特别的，当 时，时，(1) 根据定义，求作向量根据定义，求作向量3(2a)和和(6a) (a为为非零向量非零向量)，并进行比较。，并进行比较。=(2) 根据定义，求作根据定义，求作向量向量(2+3)a和和2a +3a (a为非零向量为非零向量)
3、，并进行比较。，并进行比较。(3) 已知向量已知向量 a,b，求作向量，求作向量2(a+b)和和2a+2b，并进行比较。，并进行比较。设设 为实数，那么为实数，那么特别的，我们有特别的，我们有 向量的加、减、数乘运算统称为向量的向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算线性运算.对于任意对于任意向量向量 ，以及任意实数，以及任意实数 ，恒有，恒有运算律：运算律：结合律结合律第一分配律第一分配律第二分配律第二分配律仍是向量仍是向量例例1.计算：计算：书本书本P90,P90,练习练习2,3,52,3,5练一练练一练: :-125- +5 -2成立成立向量共线定理：向量共线定理：书本书本P90,P9
4、0,练习练习4 4练一练练一练: :思考思考思考思考:1) :1) :1) :1) 为什么要是非零向量为什么要是非零向量为什么要是非零向量为什么要是非零向量? ? ? ?2) 2) 2) 2) 可以是零向量吗可以是零向量吗可以是零向量吗可以是零向量吗? ? ? ?例例2. .如图：已知如图：已知 ， ，试判断，试判断 与与 是否共线是否共线 ABDEC 与与 共线共线 解解：例例3.如图，已知任意两个向量如图，已知任意两个向量 ，试作，试作你能判断你能判断A、B、C三点之三点之间的位置关系吗？为什么？间的位置关系吗？为什么？ABCOABCO且有公共点且有公共点且有公共点且有公共点证明证明证明证
5、明三点共线三点共线三点共线三点共线的方法的方法的方法的方法: :AB=BC 且有公共点且有公共点且有公共点且有公共点A,B,CA,B,C三点共线三点共线三点共线三点共线例例4.如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点的两条对角线相交于点M，且，且 ，你能用，你能用 、 来表示来表示 。ABDCM书本书本P90P90，6 6练一练练一练: :一、一、一、一、a 的定义及运算律的定义及运算律 向量共线定理向量共线定理 (a0) b=a 向量向量a与与b共线共线 二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用： 1. 1. 证明证明证明证明 向量共线向量共线向量共
6、线向量共线 2. 2. 证明证明证明证明 三点共线三点共线三点共线三点共线: AB=: AB= BC BC 且有公共点且有公共点且有公共点且有公共点3. 3. 证明证明证明证明 两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行: : AB= AB= CDCD AB AB与与与与CDCD不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上直线直线直线直线ABAB直线直线直线直线CDCDA,B,CA,B,C三点共线三点共线三点共线三点共线ABABCDCD书本书本P91，A组，组，9,10 B组组,3设是两个不共线的向量，设是两个不共线的向量，若，若A、B、D三点共线，求三点共线，求k的值的值.书本书本P92，A组，组，12、13 （提示：连结（提示：连结AC）
