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1、3.3 3.3 空间中的平面与直线空间中的平面与直线 图形的方程图形的方程(1)(1)图形上任一点图形上任一点M(x,y,z)M(x,y,z)满足此方程满足此方程; ;(2)(2)满足方程的点满足方程的点M(x,y,z)M(x,y,z)都在图形上都在图形上. .: 3.3.1 平面的方程平面的方程 1. 平面的点法式方程平面的点法式方程法向量法向量n: 垂直于平面垂直于平面 非零矢量非零矢量 设设 上点上点 M0(x0 , y0 , z0) 法向量法向量n = (A , B , C) 则点则点M(x , y , z)在平面在平面 上上 M0 Mn :即平面的点法式方程即平面的点法式方程 2、平
2、面的一般方程、平面的一般方程 由点法式方程，令由点法式方程，令 化为平面的一般方程化为平面的一般方程其中其中A , B , C不全为零不全为零. 即平面方程是一个三元一次方程。即平面方程是一个三元一次方程。: 反之，任何一个三元一次方程，只要一次项反之，任何一个三元一次方程，只要一次项系数不全为零，它的图形就是一个平面系数不全为零，它的图形就是一个平面. 证证 设三元一次方程设三元一次方程找出一组解找出一组解 x0 , y0 , z0，即，即:两式相减得两式相减得 即点即点M(x , y , z)在过点在过点 M0(x0 , y0 , z0)且与向且与向量量n = (A , B , C)垂直的
3、平面上垂直的平面上 ，因此一次方程，因此一次方程表示过表示过M0且垂直于向量且垂直于向量n的平面的平面 : 例例1 求过点求过点 (1 , 1 , 2) 且与向量且与向量 n = (1 , 2 , 1) 垂直的平面垂直的平面 解解 由点法式方程，有由点法式方程，有即即 : 例例2 求通过求通过x轴与点轴与点(4 , -3 , -1)的平面方程的平面方程 解解 所求平面通过所求平面通过 x 轴，法向量轴，法向量n=(0 ,B , C) 平面的方程为平面的方程为因为点因为点(4 , -3 , -1)在平面上，因此有在平面上，因此有 所求的平面方程为所求的平面方程为:3. 三点式方程三点式方程 知
4、为不共线三点，则取与平面平行的矢量 . 设 为平面上任意点，则有: 例例3 平面过三点平面过三点M1(1 , 1 , 1)、M2(-2 , 1 , 2)、M3(-3 , 3 , 1) ，求这平面的方程，求这平面的方程 解一解一 设平面方程为设平面方程为那么那么M1、 M2、 M3三点的坐标满足方程三点的坐标满足方程 ，有，有 :解得解得 由于由于A、B、C不能同时为零，因此不能同时为零，因此A0 .于是平面方程为于是平面方程为即即 : 解二解二 设设M(x , y , z)为空间的任意一点，为空间的任意一点，那么那么 共面，即共面，即 化简得所求的平面方程为化简得所求的平面方程为 : 4、平面
5、的截距式方程、平面的截距式方程 设一平面与三坐标轴都相交但不通过原点，设一平面与三坐标轴都相交但不通过原点，三交点分别为三交点分别为P(a , 0 , 0)、Q(0 , b , 0)、R(0 , 0 , c)其中其中a 、 b 、 c均不为零均不为零 设平面的一般方程为设平面的一般方程为oxyzP(a , 0 , 0)Q(0 , b , 0)R(0 , 0 , c):将三点坐标代入得方程组将三点坐标代入得方程组解得解得代入平面的一般方程得平面的截距式方程代入平面的一般方程得平面的截距式方程 其中其中a、b、c 称为平面在三坐标轴上的截距称为平面在三坐标轴上的截距 。: 例例4 写出平面写出平面
6、 3x-4y+z-5 = 0的截距式方程的截距式方程 解解 所求的平面截距式方程为所求的平面截距式方程为 : 利用平面方程研究平面利用平面方程研究平面 1、平面的位置、平面的位置 设平面的一般方程为设平面的一般方程为 （1A0，B0，C0，D0平面不过原点，在平面不过原点，在 x轴、轴、y轴、轴、z轴、上的截距分轴、上的截距分别为别为-D/A、-D/B、-D/C.:（2） A0，B0， C0，D = 0 平面过原点平面过原点（3A、B、C中有一个为零中有一个为零A = 0，平面方程为，平面方程为 By+Cz+D = 0平面平行于平面平行于x轴轴oxyzoxyz:B = 0 , 平面方程为平面方
7、程为 Ax+Cz+D = 0平面平行于平面平行于y 轴轴C = 0 , 平面方程为平面方程为 Ax+By+D = 0平面平行于平面平行于z 轴轴oxyzoxyz:（4A、B、C中有两个中有两个为为零零A = 0， B = 0 , 平面方程平面方程为为 Cz+D = 0平面与平面与z 轴轴垂直垂直B = 0， C = 0 , 平面方程平面方程为为 Ax+D = 0平面与平面与x 轴轴垂直垂直oxyzoxyz:A = 0， C = 0 , 平面方程平面方程为为 By+D = 0平面与平面与y 轴轴垂直垂直(5) z = 0，xOy平面；平面； x = 0，yOz平面；平面； y = 0，xOz平面。平面。oxyz:
