地图投影与高斯投影

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1、地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /94941安徽理工大学安徽理工大学第八章第八章 地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影 本章提要本章提要本章提要本章提要 8.1 8.1 高斯投影概述高斯投影概述8.2 8.2 高斯投影坐标正反算公式高斯投影坐标正反算公式8.3 8.3 平面子午线收敛角平面子午线收敛角8.4 8.4 方向改化公式方向改化公式8.5 8.5 距离改化公式距离改化公式8.6 8.6 坐标换带计算坐标

2、换带计算 习题习题 地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /94942安徽理工大学安徽理工大学本章提要本章提要本章提要本章提要 本章介绍从椭球面上大地坐标系到平面上直角坐标系的正形投影过程。研究如何将大地坐标、大地线长度和方向以及大地方位角等向平面转化的问题。重点讲述高斯投影的原理和方法，解决由球面到平面的换算问题，解决相邻带的坐标坐标换算。地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7

3、7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /94943安徽理工大学安徽理工大学 知识点及学习要求知识点及学习要求 1高斯投影的基本概念；2正形投影的一般条件；3高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换高斯投影的正算与反算4椭球面上观测成果（水平方向、距离）归化到高斯平面上的计算；5高斯投影的邻带换算；难点在对本章的学习中，首先要理解和掌握高斯投影的概念。高斯正算和反算计算；方向改化和距离改化计算；高斯投影带的换算与应用。返回本章首页地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯

4、投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /94944安徽理工大学安徽理工大学高斯投影概述 我们已经知道，椭球面上的大地坐标系是大地测量的基本坐标系，它对于研究地球形状大小、大地问题计算、编制地图等都很有用。可是另一方面，在椭球面上进行测量计算仍然相当复杂，人们总是期望将椭球面上的测量元素归算到平面上，以便在平面上进行计算。同时，地图也是平面的，为了控制地形测图所建立的控制点，也必须具有平面坐标。因此，为了简化测量计算和控制地形测图，就必须利用投影的方法，来解决椭球面至平面的转化问题。这

5、种归算要运用地图投影(简称投影)理论才能实现。地图投影的方法很多，我国现在采用的是高斯克吕格投影(简称高斯投影)。 地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /94945安徽理工大学安徽理工大学1.地球地球投影与变形 所谓地球投影地球投影，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个问题的专门学科叫地图投影学地图投影学。椭球面是一个凸起的曲面，如果将这个曲面上的观测元素，例如一

6、段距离、一个角度、一个图形投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形有差异，我们称其为投影变形。 地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /94946安徽理工大学安徽理工大学 讲一个简单例子：把一个平面卷成圆柱状、横套在一个空心的玻璃圆球的外面，使它与圆球上的一个大圆L0相切，设想在圆球中心O处有一个光源，它发出的光线透过球面点A点后在圆筒面上投影成a点，球面上的三角形ABC和BCD，同样也被投影成相应的三角形abc和

7、bcd,然后把圆柱面沿一条与中轴线HH相平行的直线剪开展平，就可以得到投影到圆柱面的这两个三角形的平面图。 地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /94947安徽理工大学安徽理工大学地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /94948安徽理工

8、大学安徽理工大学 我们把被投影的球面称作原面，原面上的元素投影后所在的圆柱面称作投影面。在投影中除相切的那个大圆没有变形外，投影面上的其他边长都大于原面的边长(例如abAB，cdCD)，这种变形称作长度变形。投影面上的角度也不等于原面上对应的角度(例如a A， d D)，称其为角度变形。投影面上的三角形面积，不等于原面上对应的三角形面积(例如,abcABC)，称其为面积变形。地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /9

9、4949安徽理工大学安徽理工大学 地图投影必然产生变形。投影变形一般分为角度变形、长度变形和面积变形三种。在地图投影时，我们可根据需要使某种变形为零，也可使其减小到某一适当程度。因此，地图投影中产生了所谓的等角投影（投影前后角度相等，但长度和面积有变形）、等距投影（投影前后长度相等，但角度和面积有变形）、等积投影（投影前后面积相等，但角度和长度有变形）等。地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949410安徽理工大

10、学安徽理工大学 在地图投影中原面是椭球面，投影面是平面。但有一些特殊要求比上述情况复杂，两者之间不能用直观的几何关系表示，要用一定的数学关系表示。例如在原面上的一点A(图)，它的大地坐标是B、L，用横圆柱投影，假定在投影面上A点的投影点是a，其平面坐标为x、y。则两者的数学关系一般可表示为：地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949411安徽理工大学安徽理工大学 式中L，B是椭球面上某点的大地坐标，而x，y是该点

11、投影后的平面(投影面)直角坐标。式中表示了椭球面上一点同投影面上对应点之间坐标的解析关系，也叫做坐标投影公式。投影问题也就是建立椭球面元素与投影面相对应元素之间的解析关系式。投影的方法很多，每种方法的本质特征都是由坐标投影公式F的具体形式体现的。 地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949412安徽理工大学安徽理工大学2大地测量对地图投影的要求 1.应采用等角投影（又称正形投影）。对于大地测量来说，等角投影尤为重

12、要，因为三角测量大量工作是测量水平方向(或角度)。角度如能不变形，就可保证了在三角测量中大量的角度元素在投影前后保持不变，免除了大量的投影工作；所测制的地图在有限的范围内只有等角投影才能使地形图与实地图形保持相似，在测图时可以直接缩绘,用图时可以直接量取。如图多边形，相应角度相等，但长度有变化，投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比。图中 地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949413安徽理工大学安徽

13、理工大学2.要求长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起的改正数。为此地图投影应该限制在不大的投影范围内，从而控制变形并能进行简单计算。3.要求投影能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样的计算公式把各带联成整体。保证每个带进行单独投影，并组成本身的直角坐标系统，然后再将这些带用简单的数学方法联接在一起，从而组成统一的系统。即在微小范围内保证了形状的相似性，当ABCDE无限接近时，可把该多边形看作一个点，因此在正形投影中，长度比m仅与点的位置有关，与方向无关，给地图测制及地图的使用等带来极大方便。地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7

14、 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949414安徽理工大学安徽理工大学3高斯投影的基本概念 所谓高斯投影即将椭球面元素(大地坐标、大地方位角、大地线的长度和方向)按照一定的数学关系归算至平面上，这个平面称为高斯平面。高斯平面。 高斯投影高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影，是德国测量学家高斯于18251830年首先提出的。实际上，直到1912年，由德国另一位测量学家克吕格推导出实用的坐标投影公式后，这种投影才得到推广，所以该投影又称高斯-克吕格投影。 地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投

15、影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949415安徽理工大学安徽理工大学 想象有一椭圆柱面横套在地球椭球体有一椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线（称中央子午外面，并与某一条子午线（称中央子午线或轴子午线）相切，椭圆柱的中心轴线或轴子午线）相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定的投影方通过椭球体中心，然后用一定的投影方法将中央子午线两侧各一定经差范围内法将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面的地区投影到椭圆柱

16、面上，再将此柱面展开即成为投影面。展开即成为投影面。 地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949416安徽理工大学安徽理工大学NSc中中中中央央央央子子子子午午午午线线线线赤道赤道高斯投影平面高斯投影平面赤道赤道中中央央子子午午线线高斯投影的原理高斯投影的原理: :地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5

17、 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949417安徽理工大学安徽理工大学 高斯投影就是以这样一个平面直角坐标系为基础，并对投影函数F1、F2提出下列三个要求： (1)椭球面上的角度投影到平面上后，保持不变，也就是角度没有变形，满足等角的要求。 (2)轴子午线的投影是一条直线，并且是投影点的对称轴。 (3)轴子午线投影没有长度变形，也就是轴子午线方向上满足等长(或正长)的条件。 如何根据这三个条件推求函数F1和F2的具体形式将是本章讨论的主要内容。地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 91

18、01010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949418安徽理工大学安徽理工大学投影带的划分投影带的划分 我国规定按经差我国规定按经差66和和33进行投影分带。进行投影分带。 66带自首子午线开始，带自首子午线开始，按按66的经差自西向东分的经差自西向东分成成6060个带。个带。 33带自带自1.5 1.5 开始，开始，按按33的经差自西向东的经差自西向东分成分成120120个带。个带。高斯投影带划分高斯投影带划分地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 91010

19、10106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949419安徽理工大学安徽理工大学 6 6 带与带与3 3 带中央子午线之间的关系如图带中央子午线之间的关系如图: : 3 3 带的中央子午线与带的中央子午线与6 6 带中央子午线及分带子带中央子午线及分带子午线重合，减少了换带计算。午线重合，减少了换带计算。 工程测量采用工程测量采用3 3 带，特殊工程可采用带，特殊工程可采用1.5 1.5 带带或任意带或任意带地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106

20、6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949420安徽理工大学安徽理工大学 按照按照66带划分的规定，第带划分的规定，第1 1带中央子午线的经带中央子午线的经度为度为33，其余各带中央子午线经度与带号的关系，其余各带中央子午线经度与带号的关系是：是： L L。=6N=6N3 3 （N N为为66带的带号）带的带号） 例：例：2020带中央子午线的经度为：带中央子午线的经度为： L L。6 206 2033117 117 按照按照33带划分的规定，第带划分的规定，第1 1带中央子午线的经度带中央子午线的经度为为33，其余各带中央子午线经度与带号的关

21、系是：，其余各带中央子午线经度与带号的关系是： L L。=3n =3n （n n为为33带的带号）带的带号） 例：例：120120带中央子午线的经度为带中央子午线的经度为 L L。3 1203 120360 360 地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949421安徽理工大学安徽理工大学 若已知某点的经度为若已知某点的经度为L L，则该点的，则该点的66带的带号带的带号N N由下式计算：由下式计算： 若已知某点的

22、经度为若已知某点的经度为L L，则该点所在，则该点所在33带的带号按下式计算：带的带号按下式计算： （四舍五入）（四舍五入）地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949422安徽理工大学安徽理工大学高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系的建立：的建立：x x轴轴 中央子午线的投影中央子午线的投影y y轴轴 赤道的投影赤道的投影原点原点O O 两轴的交点两轴的交点OxyP（X，Y）高斯自高斯自然坐标然坐标注：注：X X

23、轴向北为正，轴向北为正， y y轴向东为正。轴向东为正。赤道赤道中央子午线中央子午线地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949423安徽理工大学安徽理工大学 由于我国的位由于我国的位于北半球，东西横于北半球，东西横跨跨1212个个66带，各带带，各带又独自构成直角坐又独自构成直角坐标系。标系。 故：故：X X值均为正，值均为正， 而而Y Y值则有正有值则有正有负。负。世界地图世界地图赤赤 道道地图投影与高斯投影地

24、图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949424安徽理工大学安徽理工大学xyo500km =500000+ = 500000+ 国家统一坐标：国家统一坐标： （带号）（带号）（带号）（带号）地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949425安徽理工大学安

25、徽理工大学例：例：有一国家控制点的坐标有一国家控制点的坐标: :x=3102467.280m ,y=19367622x=3102467.280m ,y=19367622380m380m，（1 1）该点位于）该点位于6 6 带的第几带？带的第几带？（2 2）该带中央子午线经度是多少？）该带中央子午线经度是多少？（3 3）该点在中央子午线的哪一侧？）该点在中央子午线的哪一侧？ （4 4）该点距中央子午线和赤道的距离为多少？）该点距中央子午线和赤道的距离为多少？（第（第19带）带） （L。=619-19-3=111）（先去掉带号，原来横坐标（先去掉带号，原来横坐标y367622.380500000，

26、在西侧），在西侧）（距中央子午线，距赤道）（距中央子午线，距赤道）地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949426安徽理工大学安徽理工大学 由于分带造成了边界子午线两侧的控制点和地形图处于不同的投影带内，为了把各带连成整体，一般规定各投影带要有一定的重叠度，其中每一带向东加宽，向西加宽，这样在上述重叠范围内，控制点将有两套相邻带的坐标值，地形图将有两套公里格网，从而保证了边缘地区控制点间的互相应用，也保证了地图的

27、拼接和使用。 由此可见，由于高斯投影是正形投影，故保证了投影的角度不变性、图形的相似性以及在某点各方向上长度比的同一性；由于采用了同样法则的分带投影，既限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简单公式进行由于变形引起的各项改正的计算，且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。高斯投影这些优点使它得到广泛的推广和具有国际性。地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949427安徽理工大学安徽理工大学4椭球

28、面三角系化算到高斯平面 函数F1和F2一经确定，就可根据椭球面上任一点的大地坐标(B、L)计算它的平面直角坐标(x、y)，但这样逐点计算大地坐标，再由其计算直角坐标工作量太大。所以通常是将椭球面三角网的观测值归算至投影平面，然后在平面上进行平差，并直接计算各点的平面坐标。下面简要说明三角网从椭球面到平面的归算内容。地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949428安徽理工大学安徽理工大学高斯投影坐标计算；平面子午线

29、收敛角r；方向改化，距离改化；换带计算。地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949429安徽理工大学安徽理工大学8.2 高斯投影坐标正反算公式高斯投影坐标正反算公式 已知某一点在椭球面上的大地坐标(B、L)，求其在高斯平面上的坐标(z、y)，称其为高斯投影正算。正算的关系式如下： x=F1(B、L) y=F2(B、L) 在高斯投影中，为了限制投影变形的程度，是将椭球面按子午圈分为若干相等经度差(例如60、30等)

30、的投影带，各以本带中央大地经度为L0的子午圈作为轴子午线。投影就限制在各带范围内进行。 地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949430安徽理工大学安徽理工大学 1 高斯投影坐标反算公式 B,l x,y任一大地点要进行投影计算，应先看它的大地经度L是属于那一带，设该带中央经线(即轴子午线)的经度为L0，则投影变形的程度只随L一L0=l而变，而和其它无关，因此投影正算关系式可以写为： x=F1(B、l) y=F2(

31、B、l) 为了推导高斯投影正算公式，下面我们以上式为基础，根据高斯投影的三个条件确定函数F1和F2的具体形式 ：地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949431安徽理工大学安徽理工大学 我们先根据第一个条件即等角条件，导出投影函数式应该满足的特征方程:地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4

32、 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949432安徽理工大学安徽理工大学高斯投影的第二个条件是：轴子午线的描写形是一条直线，而且是投影点的对称轴。地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949433安徽理工大学安徽理工大学 如图 (a)，OP为椭球面上投影带的轴子午线，其经度为L0，在OP两侧有对称的两点A(B、l)和A(B、-l)，轴子午线OP在平面上的描写形为ox(见图 (b)，它是一条直线，

33、同时也是平面坐标系的纵轴。因为A、 A对称于轴子午线，所以它们在平面上的投影点a和a，也必然和ox轴相对称,它们的平面坐标应分别为a(x,y)、 a(x,-y)。这就要求投影函数满足以下关系式： x=F1(B、l) y=F2(B、l)也就是说,不管经度差l是正还是负，纵坐标x都应该是正值，而横坐标y则与l同号。 地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949434安徽理工大学安徽理工大学 根据高斯投影的第三个条件，轴

34、子午线描写形没有长度变形，因此这时纵轴坐标x应该等于椭球面上该点到赤道的子午线弧长X(图)，即 地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949435安徽理工大学安徽理工大学地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949436安徽理工大学安徽

35、理工大学地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949437安徽理工大学安徽理工大学2高斯投影坐标反算公式 x,y B,l 根据一点在高斯平面上的坐标x、y计算该点在椭球面上的大地坐标B、L，称其为高斯投影反算。 通过高斯投影正算，我们可以得到地面控制点的高斯平面直角坐标x、y，用平面坐标作为加密图根控制网和测图的依据非常方便。但在大地测量的某些计算和国防建设中常常需要大地坐标，如果没有各大地点的大地坐标资料，就需要

36、根据已知的平面坐标换算为大地坐标。例如，在国家控制网的拉普拉斯点上把天文方位角化为大地方位角时，在用天文大地的方法求垂线偏差的大小时，在把地面观测值归算至椭球面时，在国防上求定长距离两点间的方位和距离时，在为导弹发射提供必要的数据时都要用到大地坐标。此外，为保证大地测量计算工作的准确无误，投影正、反算也可以互相检核。 地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949438安徽理工大学安徽理工大学 在进行高斯投影反算时，

37、原面是高斯平面，投影面是椭球面，其相应的函数关系如下： B=1(x,y) +l=2(x,y) 同正算一样，高斯投影反算时，上式函数必须满足前述三个条件，推导过程与正算公式相似。 地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949439安徽理工大学安徽理工大学满足以下三个条件满足以下三个条件：x坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴； x坐标轴投影后长度不变；投影具有正形性质，即正形投影条件。地图投影与高斯投影地图投影与高

38、斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949440安徽理工大学安徽理工大学地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949441安徽理工大学安徽理工大学3高斯投影坐标正反算公式的几何解释高斯投影坐标正反算公式的几何解释 地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯

39、投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949442安徽理工大学安徽理工大学n当B=0时x=X=0，y则随l的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且为y轴。当l=0时,则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴，其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。n当l=常数时(经线),随着B值增加，x值增大，y值减小，这就告诉我们，经线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。又因 ，即当用-B代替B时，y值不变，而x值数值相等符号相反，这就说明赤道

40、是投影的对称轴。n当B=常数时(纬线)，随着的l增加，x值和y值都增大，这就是说，纬线是凸向赤道的曲线。又当用-l代替l时，x值不变，而y值数值相等符号相反，这就说明，中央子午线是投影对称轴。由于满足正形投影条件，所以经线和纬线的投影是互相垂直的。u距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949443安徽理工大学安徽理工大学平面子午线收敛角平面子午线收敛角

41、由（由（B，L）求）求 的公式的公式 地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949444安徽理工大学安徽理工大学对平行圈对平行圈来说，纬来说，纬度度B是个是个常数，因常数，因而而dB=0地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949445

42、安徽理工大学安徽理工大学地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949446安徽理工大学安徽理工大学l 由大地坐标（B，L）计算平面子午线收敛角0.001计算说明：需要知道某点的近似大地坐标（B，L）地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /

43、949447安徽理工大学安徽理工大学l 由大地坐标（B，L）计算平面子午线收敛角0.001公式分析：1）l=0或B=0，=0，即参考椭球上中央子午线或赤道上 的点，投影到高斯平面上，它们的平面子午线收敛角 为0；2）同一平行圈上的点（B不变），其的绝对值对称于中 央子午线，且离中央子午线越远，其绝对值越大；3）同一子午圈上的点（l不变），其的绝对值随纬度的 增大而增大，到达北极时，达到最大值。地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21

44、1 1 1/ /949448安徽理工大学安徽理工大学l 由平面坐标（x，y）计算平面子午线收敛角0.001地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949449安徽理工大学安徽理工大学l 由平面坐标（x，y）计算平面子午线收敛角0.001地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3

45、32 2 2 21 1 1 1/ /949450安徽理工大学安徽理工大学l 由平面坐标（x，y）计算平面子午线收敛角0.001计算说明：需要知道某点的近似平面坐标（x，y）地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949451安徽理工大学安徽理工大学方向改化公式方向改化公式 我们知道，椭球面上三角网是由大地线组成，而大地线在高斯投影平面上的投影仍为曲线，若用其弦线代替，则弦线与曲线之间的夹角叫方向改化。利用方向改化便可

46、将椭球面上的方向值改化为高斯平面上的方向值，进而把椭球面的三角网归化到平面上。 地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949452安徽理工大学安徽理工大学 为了简化公式推导，这里我们假设地球为一圆球，则球面上的大地线就是大圆弧，设如图所示，在球面上轴子午线右侧有一条大地线AB，按高斯投影原理，它在投影平面上的投影应是一条曲率很小的曲线 ab地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7

47、7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949453安徽理工大学安徽理工大学 圆球的半径为相应A，B的平均纬度的平均曲率半经Rm。那么大地线AB成了大圆弧，过A和B作大圆弧(卯酉圈)AD和BE垂直于中央子午线OP，ABED是球面四边形。 由高斯投影知大圆弧AD和BE投影到平面上是平行于y轴的直线，由此，ad和be就是AD和BE的投影。 由正形投影的性质地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6

48、65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949454安徽理工大学安徽理工大学 是四边形的球面角超。 P是四边形的面积，由此得出结论：大地线的描写形 (在高斯平面上)是一条背向中央子午线的曲线。 为了求 ，可以用平面图形ABDE的面积来代替球面图形abcd的面积，因为本身的数值很小，即使投影受到面积变形的影响，这对的计算影响也可忽略不计，根据平面梯形的面积公式，有：地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2

49、 21 1 1 1/ /949455安徽理工大学安徽理工大学 大地线一般都不是直线，而是曲线，曲率很小，曲率的变化也很小，因此我们可假定ab是一段圆弧，因而两端点处的圆弧与弦线的夹角也相等，即 ab= ba地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949456安徽理工大学安徽理工大学地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6

50、6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949457安徽理工大学安徽理工大学地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949458安徽理工大学安徽理工大学 根据上面两个四边形角度的比较过程，可以得出一个结论：大地线的投影的凹方向总是朝向x轴,并顾及符号得出方向改化公式: 地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9

51、9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949459安徽理工大学安徽理工大学方向改化较精密公式方向改化较精密公式地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949460安徽理工大学安徽理工大学一个三角形的三个内角的角度改正值（同一点相应两个方向的方向改正之差）之和应等于该三角形的球面角超的负值。 此式可用来检查此式可用来检查方向改正计算。方向改正计算

52、。地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949461安徽理工大学安徽理工大学椭球体上有两点 及其大地线S，在高斯投影面上的投影为 , s是一条曲线，而连接两点 的直线为D。由S化至D所加的改正称为距离改正距离改正8.5 距离改化公式距离改化公式。地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 4

53、3 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949462安徽理工大学安徽理工大学1、平面曲线长度、平面曲线长度s与其弦线长度与其弦线长度D的关系的关系由于由于v是一个小角，最大不会超过方向改化值是一个小角，最大不会超过方向改化值，因此可把，因此可把cosv展开为级数：展开为级数： 式中用式中用v的最大值的最大值代替代替 v地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949463安徽理工大学安徽理工大学已是二次项，已是

54、二次项， D与与s之差之差 是四次项微小量。当是四次项微小量。当取最大取最大40,s=50KM时，时，代入上式得代入上式得 ，化算为相对中误差为，化算为相对中误差为 ：所以，对现有测量方法这个误差可忽略不计，完全可以认为所以，对现有测量方法这个误差可忽略不计，完全可以认为大地线的平面投影曲线长度大地线的平面投影曲线长度s等于其弦线长度等于其弦线长度D。地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949464安徽理工大学安

55、徽理工大学2、长度比和长度变形、长度比和长度变形长度比长度比m是指椭球面上某一点的微分元素是指椭球面上某一点的微分元素dS，与其投影，与其投影面上的相应的微分元素面上的相应的微分元素ds之比，即：之比，即：由于长度比由于长度比m恒大于恒大于1，故称，故称 为为长度变形长度变形。 1）用大地坐标表示的长度比公式）用大地坐标表示的长度比公式实用时一般取至二次项实用时一般取至二次项 在在6带的边缘及低纬度处，带的边缘及低纬度处，有时用到有时用到 项。项。地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65

56、5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949465安徽理工大学安徽理工大学2）用平面坐标表示的长度比公式）用平面坐标表示的长度比公式代入代入地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949466安徽理工大学安徽理工大学m随点的位置随点的位置(B,L)或或(x,y)而异，但在一点上与方向无关；而异，但在一点上与方向无关；当当 时，由于时，由于m是是y（或（或l）的偶函数，且各项）的偶函数

57、，且各项都为都为“+”号，号，故故m恒大于恒大于1，即除中央子午线外其它投影，即除中央子午线外其它投影后都变长了；后都变长了；长度变形（长度变形（m-1）与）与 成正比例地增大，愈离远中成正比例地增大，愈离远中央子午线长度变形愈大。央子午线长度变形愈大。 在同一纬线上，即在同一纬线上，即B=常数，长度变形（常数，长度变形（m-1）随）随l的增大的增大而而 增大。增大。 在同一经线上，即在同一经线上，即l=常数，长度变形（常数，长度变形（m-1）随）随B的减少的减少而增大，在赤道处而增大，在赤道处(B=0)为最大。为最大。当当y=0 (或或l=0)时，即在纵坐标轴或中央子午线上时，各点时，即在纵

58、坐标轴或中央子午线上时，各点的的m都等于都等于1，即中央子午线投影后长度不变；，即中央子午线投影后长度不变；地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949467安徽理工大学安徽理工大学3、距离改化公式：、距离改化公式：对于一条三角边来说，由于边长较短，长度比的变化实际上对于一条三角边来说，由于边长较短，长度比的变化实际上是很微小的，可以认为是一个常数，因而可以用是很微小的，可以认为是一个常数，因而可以用D/S来代替来

59、代替dD/dS，即有：，即有：代入代入当当S70km,ym350km(6带的边带的边缘缘) 计算精度小于计算精度小于0.001m，对于，对于一等边长的归算完全可满足要求，一等边长的归算完全可满足要求，对于二等边长的归算可略去对于二等边长的归算可略去 项，对于三四等边长的归项，对于三四等边长的归算又可再略去算又可再略去 项。项。地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949468安徽理工大学安徽理工大学4、距离改化的实

60、用计算公式、距离改化的实用计算公式一等三角网的距离改正的实用公式：一等三角网的距离改正的实用公式：二等三角网的距离改正的实用公式：二等三角网的距离改正的实用公式：三等三角网以下的距离改正的实用公式：三等三角网以下的距离改正的实用公式：地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949469安徽理工大学安徽理工大学8.6 坐标换带计算 为了限制高斯投影长度变形，将椭球面按一定经度的子午线划分成不同的投影带；或者为了抵偿长度

61、变形，选择某一经度的子午线作为测区的中央子午线。由于中央子午线的经度不同，使得椭球面上统一的大地坐标系，变成了各自独立的平面直角坐标系。为了解决不同投影带之间测量成果的转换和联系，就需要将一个投影带的平面直角坐标，换算成另外一个投影带的平面直角坐标。地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949470安徽理工大学安徽理工大学 分带投影可以限制变形的程度，但也给投影带来不连续的问题，因为两相邻投影带的公共边缘予午线，在

62、两带投影平面上的投影的弯曲方向相反使得位于该边缘于午线附近，分别属于两带的地形图不能拼接，给使用地图带来不便。 地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949471安徽理工大学安徽理工大学 为了解决这个问题，规定在两相邻带之间设立重叠部分，每个带向东加宽30，向西加宽7.5 ，因此一个带的实际宽度是辅子午线以东为3030 。以西为30730”，在两相邻带公共边缘子午线附近有37 30”宽的重叠部分，在该重叠部分内，要

63、求同一大地点要计算两组坐标，一组属于东带，另一组属于西带。在重叠范围的同一幅地形图，也要求绘制两套坐标格网用于展绘大地点。一幅十万分之一的地形图，其东、西图廓经度差为30；一幅二万五千分之一的地形图，其东、西图廓经度差为730”，所以上述重叠范围正是分别根据这两种图幅宽度确定的，因而在两相邻投影带公共边缘地区都有整幅图可以互相重叠，互相拼接。地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949472安徽理工大学安徽理工大学

64、地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949473安徽理工大学安徽理工大学 当一个三角网正好位于两相邻带的边缘地区并跨越两个投影带时，为了必须在同一带内进行平差计算或整理跨带的航测资料，要求控制点的坐标必须换算为同一投影带。例如，图中的三角点A、B、C是属于西带，而D、E、F、G、H是属于东带，为了全网能在东带进行平差计算或处理成果，就需要把A、B、C各点在西带的坐标换算为东带的坐标。反之,要全网在西带进行平差或处

65、理成果时，就需要把D、E、F、G、H各点在东带的坐标换算为西带的坐标。 地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949474安徽理工大学安徽理工大学地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949475安徽理工大学安徽理工大学 当跨带的三角网

66、用于测制大比例尺(1:l0 000，1:5 000)地形图时，应采用30带投影，即应在30带内计算坐标。如果A、B、C、D各点原属60带的坐标，就需要把它换算为以这个60带边缘子午线为轴子午线的30带坐标，这就产生从60带到30带的坐标换算。有时也会遇到相反的情况。地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949476安徽理工大学安徽理工大学不同投影带的坐标换算，常常应用于下列情况：国家60带坐标换算成相邻60带坐标；

67、国家60带坐标换算成国家30带坐标；国家30带坐标换算成相邻3。带坐标；国家60带(或30带)坐标换算成任意投影带内的坐标。 我们知道，30带的中央子午线中，有半数与60带的中央子午线重合，另外半数与60带的分带子午线重合。所以，由60带到30带的换算区分为2种情况： 地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949477安徽理工大学安徽理工大学 (1) 30带与60带的中央子午线重合如图所示，30带第41带与60带第

68、21带的中央子午线重合。既然中央子午线一致，坐标系统也就一致。所以，图中P1点在60带第21带的坐标，也就是该点在30带第41带的坐标。在这种情况下，60带与30带之间，不存在换带计算问题。地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949478安徽理工大学安徽理工大学 (2) 30带中央子午线与60带分带子午线重合如图所示，若已知P2点在60带第21带的坐标，求它在30带第42带的坐标。由于这2个投影带的中央子午线不同

69、，坐标系统不一致，必须进行换带计算。不过P2点在60带第21带的坐标与它在30带第41带的坐标相同，所以60带到30带的坐标换算，也可以看作是30带到30带的邻带坐标换算。 地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949479安徽理工大学安徽理工大学 计算程序是：首先将某投影带的已知平面坐标(x1，y1)，按高斯投影坐标反算公式求得其大地坐标(B，L)；然后根据纬度B和对于所选定的中央子午线的经差l，按高斯投影坐标正

70、算公式求其在选定的投影带内的平面坐标(x2，y2)。地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949480安徽理工大学安徽理工大学 例如，某点A在新54坐标系60带的平面坐标为 x1 y1求A点在30带的平面直角坐标(x2，y2)。 (1)确定A点所在投影带的中央子午线经度。由横坐标的规定值可以直接判定，A点位于60带第20带，其中央子午线的经度L0=117o，横坐标的自然值为 y1。该坐标等同于30带第39带的平面坐

71、标。 地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949481安徽理工大学安徽理工大学(2)将已知的60带坐标反算为大地坐标。为此，可以直接应用式进行数值计算，其结果为 B=3202457.6522” L=11805415.2206”由大地经度L可以判断，A点位于30第40带，中央子午线为L0=1200。 (3)根据高斯投影坐标正算公式，由已知的纬度B和经差l计算A点在30带第40带的平面直角坐标，得 x2 y2其中横坐

72、标y2为通用值。地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949482安徽理工大学安徽理工大学 1控制测量对投影提出什么样的基本要求？为什么要提出这种要求？ 2椭球是一个不可展曲面，将此曲面上的测量要素转换到平面上去，必然会产生变形，此种变形一般可分为哪几类？我们可采取什么原则对变形加以控制和运用? 3高斯投影坐标计算公式包括正算公式和反算公式两部分，各解决什么问题？ 4试述建立高斯投影坐标正算公式的基本思路及主要过程

73、。地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949483安徽理工大学安徽理工大学 1为什么要研究投影？我国目前采用的是何种投影？ 2控制测量对投影提出什么样的基本要求？为什么要提出这种 要 求？ 3椭球是一个不可展曲面，将此曲面上的测量要素转换到平面 上 去，必然会产生变形，此种变形一般可分为哪几类？我们 可采取什么原则对变形加以控制和运用? 4高斯投影应满足哪些条件？6带和 3带的分带方法是什 么？如何计算中央子午线

74、的经度？习习 题题地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949484安徽理工大学安徽理工大学5为什么在高斯投影带上，某点的y坐标值有规定值与自然 值之分，而x坐标值却没有这种区分?在哪些情况下应采用 规定值？在哪些情况下应采用自然值？6正形投影有哪些特征？何谓长度比？7投影长度比公式的导出有何意义？导出该公式的基本思 路是什么地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78

75、8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949485安徽理工大学安徽理工大学10设ABC为椭球面上三等三角网的一个三角形，试问：(1)依正形投影A、B、C三点处投影至平面后的长度比是否相 等? (2)如若不等，还能保持投影的等角性质和图形相似吗？如若 相等，岂不是长度比和点的位置无关吗?11写出按高斯平面坐标计算长度比的公式，并依公式阐述高 斯投影的特点和规律。地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65

76、 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949486安徽理工大学安徽理工大学14高斯投影坐标计算公式包括正算公式和反算公式两部分，各解 决什么问题？15试述建立高斯投影坐标正算公式的基本思路及主要过程。地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949487安徽理工大学安徽理工大学16高斯投影正算是已知 求 ，由于 值不 大，故此公式可以认为是在 点上展开 的幂级 数；反算公式中底点纬度

77、Bf 是指 ，由于 值 不大，故此公式可认为是在 点上展开 的 幂级数。18某点的平面直角坐标x、y是否等于椭球面上该点至赤道 和中央子午线的距离?为什么?地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949488安徽理工大学安徽理工大学19什么是平面子午线收敛角？试用图表示平面子午线收 敛角之下列特性： (1)点在中央子午线以东时， 为正，反之为负； (2)点与中央子午线的经差愈大， 值愈大； (3)点所处的纬度愈高，

78、值愈大。20高斯投影既然是正形投影，为什么还要引进方向改正？21高斯投影既然是一种等角投影，而引入方向改正 后，岂不破坏了投影的等角性质吗？地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949489安徽理工大学安徽理工大学23怎样检验方向改正数计算的正确性？其实质是什 么？24椭球面上的三角网投影至高斯平面，应进行哪几项 计算？并图示说明为什么？地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7

79、 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949490安徽理工大学安徽理工大学26已知距离改化计算公式为： 若要求改正数的精度为，问坐标的精度为多少（已 知R=6370km， 300km）？27回答下列问题： (1)试述高斯正形投影的定义； (2)绘图说明平面子午线收敛角，方向改化和距离改化的几 何意义； (3)写出大地方位角和坐标方位角的关系式； (4)估算（用最简公式和两位有效数字）高斯投影六度带边 缘一条边长50KM的最大长度变形，己知 。地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯

80、投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949491安徽理工大学安徽理工大学28在高斯投影中，为什么要分带？我国规定小于一万分之一 的测图采用6投影带，一万分之一或大于一万分之一的 测图采用3投影带，其根据何在？29如果不论测区的具体位置如何，仅为了限制投影变形，统 称采用3带投影优于6带投影，你认为这个结论正确 吗？为什么？30高斯投影的分带会带来什么问题？32利用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算的实质 是什么？已知某点在6带内的坐标为 、 ，求该点 在3带内

81、第40带的坐标。地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影地图投影与高斯投影7 7 7 78 8 8 89 9 9 9101010106 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1/ /949492安徽理工大学安徽理工大学34若已知高斯投影第13带的平面坐标，试述利用高斯投影公 式求第14带平面坐标的方法（可采用假设的符号 说明）？35已知某点的大地坐标为B=322346.6531， L=1124412.2122，求其在六度带内的高斯平面直角 坐标以及该点的子午线收敛角(要求反算检核)。36.已知A点纬度B=301039.2439，经度 L=1150015.5147，试用计算机编程计算该点的x、y、r，并用反算检核。