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1、常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所含方程中所含未知函数导数的最高阶数未知函数导数的最高阶数叫做微分方程叫做微分方程(本章内容本章内容)( n 阶显式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地一般地 , n 阶常微分方程的形式是阶常微分方程的形式是的的阶阶.分类分类或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/161引例2 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程 确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件初始条件( (或初值条件或初值条件) ):的阶数相同
2、.特解特解引例引例1通解:特解:微分方程的解解 不含任意常数的解, 定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线. .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/162定定定定义义义义3 32.2.微分方程的解（几何意义）：微分方程的解（几何意义）：微分方程的解（几何意义）：微分方程的解（几何意义）：2021/6/163转化 可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节解分离变量方程解分离变量方程 可分离变量方程可分离变量方程 第七章 2021/6/164分离变量方程的解法分离变量方程的解法:设 y (x) 是方程的解, 两边积分, 得 则有恒等式 当G(y) 与F(x
3、) 可微且 G(y) g(y)0 时, 说明由确定的隐函数 y(x) 是的解. 则有称为方程的隐式通解隐式通解, 或通积分通积分.同样,当F(x)= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/165形如的方程叫做齐次方程齐次方程 .令代入原方程得两边积分, 得积分后再用代替 u, 便得原方程的通解通解.解法解法:分离变量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节 齐次方程 2021/6/166内容小结内容小结1. 微分方程的概念微分方程的概念微分方程;定解条件;2. 可分离变量方程的求解方法可分离变量方程的求解方
4、法:说明说明: 通解不一定是方程的全部解 .有解后者是通解 , 但不包含前一个解 .例如, 方程分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .解; 阶;通解; 特解 y = x 及 y = C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 .齐次方程的求解方法齐次方程的求解方法:令2021/6/167(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法:1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 )3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 )(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3) 求通解, 并
5、根据定解条件确定特解. 3. 解微分方程应用题的方法和步骤解微分方程应用题的方法和步骤机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/168一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程非齐次方程 .1. 解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程齐次方程 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/169对应齐次方程通解齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解2. 解非齐次方程用常数变易法常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得机动 目录 上页 下页 返回 结束 该定理易让我们想起该
6、定理易让我们想起该定理易让我们想起该定理易让我们想起线性代数线性代数线性代数线性代数中的中的中的中的一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程组的解的结构定理。组的解的结构定理。组的解的结构定理。组的解的结构定理。2021/6/1610二、伯努利二、伯努利 ( Bernoulli )方方程程 伯努利方程伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程线性方程)伯努利 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1611内容小结内容小结1. 一阶线性方程方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法
7、.方法2 用通解公式化为线性方程求解.2. 伯努利方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1612思考与练习思考与练习判别下列方程类型:提示提示: 可分离 变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1613可降阶高阶微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 三、三、 型的微分方程型的微分方程 第七章 解法：降阶2021/6/1614一、一、令因此即同理可得依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .型的微分方程型的微分方程 机动 目录 上
8、页 下页 返回 结束 既不含未知函数既不含未知函数既不含未知函数既不含未知函数y, y,也也也也不含未知函数的导数不含未知函数的导数不含未知函数的导数不含未知函数的导数 解法解法解法解法: : 连续积分连续积分连续积分连续积分n次次 ，便得通解。，便得通解。，便得通解。，便得通解。2021/6/1615型的微分方程型的微分方程 设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分, 得原方程的通解二、二、机动 目录 上页 下页 返回 结束 即含自变量即含自变量即含自变量即含自变量x x, ,不含未知函数不含未知函数不含未知函数不含未知函数y y2021/6/1616三、三、型的微分方程型的微分方程 令
9、故方程化为设其通解为即得分离变量后积分, 得原方程的通解机动 目录 上页 下页 返回 结束 即即即即含有含有含有含有未知函数未知函数未知函数未知函数y y, ,不含不含不含不含自自自自变量变量变量变量x x2021/6/1617内容小结内容小结可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法逐次积分令令机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1618思考与练习思考与练习1. 方程如何代换求解 ?答答: 令或一般说, 用前者方便些. 均可. 有时用后者方便 . 例如,2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?答答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.(2) 遇
10、到开平方时, 要根据题意确定正负号.例例6例例7机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1619n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为方程的共性共性 为二阶线性微分方程. 例例1例例2 可归结为同一形式同一形式:时, 称为非齐次方程 ; 时, 称为齐次方程.复习复习: 一阶线性方程通解:非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解Y机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1620证毕二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证证:代入方程左边, 得(叠加原理叠加原理) 定理定理1.机动 目录 上页 下页 返回
11、结束 是不是所给二阶方程的通解？是不是所给二阶方程的通解？问题：问题：2021/6/1621说明说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解！并不是通解！但是但是则为解决通解的判别问题为解决通解的判别问题, 下面引入函数的下面引入函数的线性相关线性相关与与 线性无关线性无关概念概念. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1622定义定义:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关, 否则称为线性无关线性无关.例如例如， 在( , )上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关线性相关;又如，若在
12、某区间 I 上则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见在任何区间 I 上都 线性无关线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1623两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:线性相关存在不全为 0 的使( 无妨设线性无关常数思考思考:中有一个恒为 0, 则必线性相关相关(证明略)线性无关机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1624定理定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 则数) 是该方程的通解.例如例如, 方程有特解且常数,故方程的通解为(自证) 推论推论. 是 n 阶齐次方程 的 n
13、 个线性无关解, 则方程的通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1625三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解特解, Y (x) 是相应齐次齐次方程的通解通解,定理定理 3.则是非齐次方程的通解非齐次方程的通解 .证证: 将代入方程左端, 得复习 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1626是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如, 方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1627定理定理 4.分别是方程的特解,是方程的特解. (非
14、齐次方程之解的叠加原理非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1628定理定理 5.是对应齐次方程的 n 个线性无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解, 则非齐次方程的通解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1629*四、常数变易法四、常数变易法复习: 常数变易法: 对应齐次方程的通解: 设非齐次方程的解为 代入原方程确定 对二阶非齐次方程 情形情形1. 已知对应齐次方程通解: 设的解为 由于有两个待定函数, 所以要建
15、立两个方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1630令于是将以上结果代入方程 : 得故, 的系数行列式是对应齐次方程的解P10 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1631积分得: 代入 即得非齐次方程的通解: 于是得 说明说明: 将的解设为 只有一个必须满足的条件即方程, 因此必需再附加一 个条件, 方程的引入是为了简化计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1632情形情形2. 仅知的齐次方程的一个非零特解 代入 化简得设其通解为 积分得(一阶线性方程)由此得原方程的通解: 代入 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1633常系数常系数 机
16、动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第七节第七节齐次线性微分方程齐次线性微分方程 基本思路基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程求特征方程(代数方程代数方程)之根之根转化转化 第七章第七章 2021/6/1634二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子和它的导数只差常数因子,代入代入得得称称为微分方程为微分方程的的特征方程特征方程,1. 当当时时, 有有两个相异实根两个相异实根方程有两个线性无关的特解方程有两个线性无关的特解:因此方程的因此方程的通解通解为为( r 为待定常数为待定常数 ),所以令所
17、以令的解为的解为 则微分则微分其根称为其根称为特征根特征根.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2021/6/16352. 当当时时, 特征方程有特征方程有两个相等实根两个相等实根则微分方程有一个特解则微分方程有一个特解设另一特解设另一特解( u (x) 待定待定)代入方程得代入方程得:是特征方程的重根是特征方程的重根取取 u = x , 则得则得因此原方程的因此原方程的通解通解为为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/16363. 当当时时, 特征方程有特征方程有一对共轭复根一对共轭复根 利用解的利用解的叠加原理叠加原理 , 得原方程的得原方程的线性无关特
18、解线性无关特解:因此原方程的因此原方程的通解通解为为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 这时原方程有两个复数解这时原方程有两个复数解（欧拉公式欧拉公式 )2021/6/1637小结小结:特征方程特征方程:实根实根 特特 征征 根根通通 解解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2021/6/1638若特征方程含若特征方程含 k 重复根重复根若特征方程含若特征方程含 k 重实根重实根 r , 则其通解中必则其通解中必含对应项含对应项则其通解中必则其通解中必含含对应项对应项
19、特征方程特征方程: 推广推广: : n n阶常系数齐次线性方程阶常系数齐次线性方程机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2021/6/1639内容小结内容小结特征根特征根:(1) 当当时时, 通解为通解为(2) 当当时时, 通解为通解为(3) 当当时时, 通解为通解为可推广可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解到高阶常系数线性齐次方程求通解 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1641思考与练习思考与练习 求方程求方程的通解的通解 .答案答案:通解为通解为通解为通解为通解为通解为作业作业 P310 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (
20、3) , (6) ; 3第九节 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1642常系数非齐次线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八节一、一、二、二、 第七章 2021/6/1643二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理根据解的结构定理 , 其通解为其通解为非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解求特解的方法求特解的方法的待定形式的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定代入原方程比较两端表达式以确定待定系数待定系数 . 待定系数法待定系数法:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 根据根据 f (x) 的
21、的两种两种两种两种特殊形式特殊形式 ,2021/6/1644一、一、 为实数为实数 ,设特解为设特解为其中其中 为待定多项式为待定多项式 , 代入原方程代入原方程 , 得得 (1) 若若 不是特征方程的根不是特征方程的根, 则取则取从而得到特解从而得到特解形式为形式为为为 m 次多项式次多项式 .Q (x) 为为 m 次待定系数多项次待定系数多项式式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2021/6/1645(2) 若若 是特征方程的是特征方程的单根单根 , 为为m 次多项式次多项式, 故特解形式为故特解形式为(3) 若若 是特征方程的是特征方程的重根重根 , 是是 m
22、次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为小结小结 对方程对方程,此结论此结论可推广可推广到高阶常系数线性微分方程到高阶常系数线性微分方程 .即即即即当当 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 时时,可设可设特解特解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2021/6/1646简例简例简例简例2021/6/1647二、二、第二步第二步 求出如下两个方程的特解求出如下两个方程的特解分析思路分析思路:第一步第一步 将将 f (x) 转化为转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点分析原方程特解的特点机动机动
23、目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2021/6/1648第一步第一步利用欧拉公式将利用欧拉公式将 f (x) 变形变形机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2021/6/1649 第二步第二步 求如下两方程的特解求如下两方程的特解 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), 故故等式两边取共轭等式两边取共轭 :为方程为方程 的特解的特解 .设设则则 有有特解特解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2021/6/1650第三步第三步 求原方程的特解求原方程的特解 利用第二步的结果利用第二步的结果, 根据根据叠加
24、原理叠加原理, 原方程有原方程有特解特解 :原方程原方程 均为均为 m 次多项式次多项式 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2021/6/1651第四步第四步 分析分析因因均为均为 m 次实次实多项式多项式 .本质上为本质上为实函数实函数 ,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2021/6/1652小小 结结:对非齐次方程对非齐次方程则可设特解则可设特解:其中其中 为特征方程的为特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), 上述结论也上述结论也可推广可推广到高阶方程的情形到高阶方程的情形.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回
25、 结束结束 2021/6/1653内容小结内容小结 为特征方程的为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根重根, 则设特解为则设特解为为特征方程的为特征方程的 k (0, 1 )重根重根, 则设特解为则设特解为3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2021/6/1654思考与练习思考与练习时可设特解为时可设特解为 时可设特解为时可设特解为 提示提示:1 . (填空填空) 设设机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2021/6/16552. 求微分方程求微分方程的通解的通解 (其中
26、其中为实数为实数 ) .解解: 特征方程特征方程特征根特征根:对应对应齐齐次方程次方程通通解解:时时,代入原方程得代入原方程得故原方程通解为故原方程通解为时时,代入原方程得代入原方程得故原方程通解为故原方程通解为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2021/6/16563. 已知二阶常微分方程已知二阶常微分方程有有特解特解求微分方程的求微分方程的通解通解 .解解: 将将特解特解代入方程得恒等式代入方程得恒等式比较系数得比较系数得故原方程为故原方程为对应对应齐齐次方程次方程通通解解:原方程通解为原方程通解为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 202
27、1/6/1657机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十节欧拉方程 欧拉方程欧拉方程 常系数线性微分方程 第十二章 2021/6/1658欧拉方程的算子解法欧拉方程的算子解法: 则计算繁计算繁! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1659则由上述计算可知: 用归纳法可证 于是欧拉方程欧拉方程 转化为常系数线性方程转化为常系数线性方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1660思考思考: 如何解下述微分方程提示提示: 原方程直接令 作业作业 P319 2 ; 6; 8 第11节 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1661机动 目录 上页 下页 返回 结束
28、 第十一节微分方程的幂级数解法 一、一、一阶微分方程问题一阶微分方程问题 二、二、二阶齐次线性微分方程问题二阶齐次线性微分方程问题微分方程解法: 积分法 只能解一些特殊类型方程 幂级数法 本节介绍 数值解法 计算数学内容本节内容本节内容: 第十二章 2021/6/1662一、一阶微分方程问题一、一阶微分方程问题 幂级数解法: 将其代入原方程, 比较同次幂系数可定常数 由此确定的级数即为定解问题在收敛区间内的解. 设所求解为本质上是待定系数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1663常系数线性微分方程组 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *第十二节解法举例解方程组解方程组 高阶
29、方程求解高阶方程求解 消元消元代入法 算子法 第十一章 2021/6/1664常系数线性微分方程组解法步骤解法步骤:第一步 用消元法消去其他未知函数 , 得到只含一个 函数的高阶方程 ;第二步 求出此高阶方程的未知函数 ;第三步 把求出的函数代入原方程组 ,注意注意: 一阶线性方程组的通解中,任意常数的个数 = 未知函数个数一般通过求导求导得其它未知函数 .如果通过积分求其它未知函数 , 则需要讨论任意常数的关系.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1665例例1. 解微分方程组 解解: 由得代入, 化简得特征方程: 通解: 将代入, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 202
30、1/6/1666原方程通解:注意: 1) 不能由式求 y, 因为那将引入新的任意常数, (它们受式制约). 3) 若求方程组满足初始条件的特解, 只需代入通解确定即可.2) 由通解表达式可见, 其中任意常数间有确定的关系, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/6/1667全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节一、全微分方程一、全微分方程二、积分因子法二、积分因子法 第十二章第十二章 2021/6/1668判别判别: P, Q 在某单连通域在某单连通域D内有连续一阶偏导数内有连续一阶偏导数, 为全微分方程为全微分方程 则则求解步骤求解步骤:方法方法1 凑微分法凑微分法;
31、方法方法2 利用积分与路径无关的条件利用积分与路径无关的条件.1. 求原函数求原函数 u (x, y)2. 由由 d u = 0 知通解为知通解为 u (x, y) = C .一、全微分方程一、全微分方程则称则称为为全微分方程全微分方程 ( 又叫做又叫做恰当方程恰当方程 ) .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2021/6/1669二、积分因子法二、积分因子法思考思考: 如何解方程如何解方程这不是一个全微分方程这不是一个全微分方程 ,就化成例就化成例2 的方程的方程 .使使为全微分方程为全微分方程,在简单情况下在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得可凭观察和经验根据微分倒推式得到到为原方程的为原方程的积分因子积分因子.但若在方程两边同乘但若在方程两边同乘若存在连续可微函数若存在连续可微函数 积分因子积分因子.例例2 2 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2021/6/1670常用微分倒推公式常用微分倒推公式:积分因子积分因子不一定唯一不一定唯一 .例如例如, 对对可取可取机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2021/6/1671 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
