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1、第第5 5章章 杆件的内力杆件的内力5.1 杆件变形的基本形式杆件变形的基本形式5.2 轴力与轴力图轴力与轴力图5.3 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图5.4 梁的内力与内力图梁的内力与内力图一、内力与截面法：一、内力与截面法：1 、内力的定义：、内力的定义：在外力作用下，构件内部各部分之间因相在外力作用下，构件内部各部分之间因相对位置改变而引起的对位置改变而引起的附加的附加的相互作用力相互作用力附加内力附加内力。2 、内力的特点：、内力的特点：连续连续分布于截面上各分布于截面上各处处； 随随外力的外力的变变化而化而变变化。化。3 、截面法：、截面法：用以显示和求解内力的方法，其步骤为：用以显示和求解
2、内力的方法，其步骤为：截开：截开：代替：代替：平衡：平衡：分为两部分，分为两部分，在待求内力的截面处假想地将构件截在待求内力的截面处假想地将构件截用内力代替弃去部分对脱离体的作用；用内力代替弃去部分对脱离体的作用； 通常为通常为分布内力系分布内力系对脱离体列出平衡方程。对脱离体列出平衡方程。脱离体脱离体；取其中一部分为研究对象取其中一部分为研究对象5.1.1 5.1.1 内力、应力和应变内力、应力和应变FN轴力轴力FSy, FSz剪力剪力Mx扭矩扭矩My、Mz 弯矩弯矩内力分量内力分量 分布内力可以简化为主矢和主矩分布内力可以简化为主矢和主矩,用用FR 和和 M表示。工程计算中表示。工程计算中
3、有意义的是内力的主矢和主矩在确定坐标系上的分量有意义的是内力的主矢和主矩在确定坐标系上的分量应力的概念应力的概念: :比较比较a、b图杆两杆图杆两杆 应力定义：应力定义： 截面上一点处内力的聚集程度截面上一点处内力的聚集程度FNFN两杆的材料、长度均相同。所受的内力相同，为FN显然粗杆更为安全。显然粗杆更为安全。 构杆的强度与内力在截面构杆的强度与内力在截面上的分布和在某点处的聚集程上的分布和在某点处的聚集程度有关。度有关。二、二、 应应 力力是反映一点处内力的强弱程度的基本量是反映一点处内力的强弱程度的基本量应力：应力：一点处内力的聚集程度一点处内力的聚集程度 一点的全应力：一点的全应力：截
4、面；截面；截面。截面。 垂直于截面的应力分量垂直于截面的应力分量-正应力正应力 切于截面的应力分量切于截面的应力分量-切应力切应力三者三者之间的关系：之间的关系：A面积上的内力合力面积上的内力合力应力的单位：应力的单位：，或帕，或帕( Pa ) 。1 Mpa (兆帕）兆帕）= 106 Pa , 1 GPa （吉帕）吉帕） = 109 Pa。 三、三、 应应 变变（衡量变形程度的基本量）棱边棱边 ka 的平均正应变的平均正应变k点沿点沿棱边棱边 ka 方向方向的正应变的正应变一、正应变（线应变）定义一、正应变（线应变）定义正应变特点正应变特点1、 正应变是无量纲量2、 过同一点不同方位的正应变一
5、般不同二、切应变定义二、切应变定义微体相邻棱边所夹直角的微体相邻棱边所夹直角的改变量改变量 g g ，称为称为切应变切应变切应变为无量纲量切应变单位为 弧度（rad）切应变量纲与单位钢的弹性模量：钢的弹性模量：铜的弹性模量：铜的弹性模量：三、应力应变之间的相互关系三、应力应变之间的相互关系 实验结果表明实验结果表明：在弹性范围内加载，正应力与：在弹性范围内加载，正应力与正应变存在线性关系正应变存在线性关系 ： 虎克定律虎克定律 E 称为材料的弹性模量或杨氏模量称为材料的弹性模量或杨氏模量 实验结果表明实验结果表明：在弹性范围内加载，切应力：在弹性范围内加载，切应力与切应变存在线性关系与切应变存
6、在线性关系 ： 剪切虎克定律剪切虎克定律 G 称为材料的切变模量称为材料的切变模量,也称剪切弹性模量也称剪切弹性模量钢的切变模量：钢的切变模量：一点的一点的应力应力与一点的应变之间存在对应的关系与一点的应变之间存在对应的关系单向正应力作用下的变形切应力作用下的变形5.1.2 杆件变形的基本形式杆件变形的基本形式杆在各种形式的外力作用下，其变形形式是多种杆在各种形式的外力作用下，其变形形式是多种多样的。但不外乎是某一种基本变形或几种基多样的。但不外乎是某一种基本变形或几种基本变形的组合。杆的基本变形可分为：本变形的组合。杆的基本变形可分为：（1）轴向拉伸或压缩）轴向拉伸或压缩（2）剪切）剪切（3
7、）扭转）扭转（4）弯曲）弯曲12杆件的基本变形可分为以下四种：（1）. 轴向拉伸或轴向拉伸或轴向压缩轴向压缩：在两个作用线与直杆轴线重合的外力作用下，变形形式表现为杆件长度的伸长或缩短。13（2）. 剪切：剪切：在相距很近的大小相等、方向相反、相互平行的一对力作用下，直杆的主要变形是横截面沿外力作用方向发生相对错动。14（3）. 扭转：扭转：在一对大小相等、转向相反、作用面都垂直于直杆轴线的一对外力偶作用下，直杆的两个相邻横截面将发生绕轴线的相对转动，杆件表面纵向线将变为螺旋线，而轴线仍保持为直线。（4）弯曲）弯曲直杆受到垂直于轴线的外力或在包含轴线的平面直杆受到垂直于轴线的外力或在包含轴线的
8、平面内的力偶作用时，杆的轴线发生弯曲。内的力偶作用时，杆的轴线发生弯曲。杆在外力作用下，若同时发生两种或两种以上的杆在外力作用下，若同时发生两种或两种以上的基本变形，则称为组合变形。基本变形，则称为组合变形。MM16在工程结构中，杆件在荷载作用下的变形大多为上述几种基本变形形式的组合组合变形组合变形。5.2 5.2 轴力与轴力图轴力与轴力图ABFAyFAxFPFPFQ/2FPFQFP/2FQ/2FP/2FB外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。ABFCBCFNCBFNBCCAFNACFNCAFFllFFll变形特点：杆的主要变形是轴线方向的伸长或缩
9、变形特点：杆的主要变形是轴线方向的伸长或缩短，同时杆的横向（垂直于轴线方向）尺寸缩短，同时杆的横向（垂直于轴线方向）尺寸缩小或增大。小或增大。19由于外力的作用而引起的“附加内力附加内力”，有别于物体中微观粒子间的作用力，这就是材料力学中的内力内力。 5.2.2 轴力、截面法、轴力图轴力、截面法、轴力图 当直杆轴向拉伸或压缩时，所产生的内力是沿杆件轴线的，故称为轴力轴力。轴力的正负号规定规定：拉力为正，压力为负。由于内力是受力物体内相邻部分的相互作用力，可用截面法截面法来分析内力 。5.2.1 拉压杆的内力与计算拉压杆的内力与计算 5.2.1 内力的概念内力的概念20截面法的基本步骤如下：1）
10、截开：2）代替：3）平衡：简捷法简捷法21 为了表示轴力随横截面位置而变化的情况，可选取一定的比例，用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，从而绘出表示轴力与截面位置关系的图线，称为轴力图轴力图。 习惯上将正值的轴力画在坐标轴的上侧，负值的轴力画在下侧。轴力图上可以确定最大轴力的数值及其所在横截面的位置。 画轴力图时应注意两个问题：画轴力图时应注意两个问题：1.求轴力时，外力不能沿作用线随意移动。求轴力时，外力不能沿作用线随意移动。2.截面不能刚好截在外力作用点处。截面不能刚好截在外力作用点处。例例51 求图示杆的轴力，并画轴力图。求图示杆的轴力，并画
11、轴力图。CBAlba2FnnmmFF解：解：（1）分段求轴力）分段求轴力nFN2nFCBAlba2FnnmmFFFFFNx-+FN1mmF（2）画轴力图）画轴力图例例52 图示杆在图示杆在A、B、C、D四个截面各有一集四个截面各有一集中力作用，作杆的轴力图。中力作用，作杆的轴力图。10kN15kN20kN15kN112233ABCD解解：（1）分段求轴力）分段求轴力10kN11FN110kN15kN22FN220kN33FN310kN15kN20kN15kN112233ABCD-+10520FN x(kN)（2）画轴力图）画轴力图5.3 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图外力特点外力特点：外力偶作用在垂
12、直于杆轴线的平面内，：外力偶作用在垂直于杆轴线的平面内，它一般是由外力简化得到的。它一般是由外力简化得到的。FFTTT变形特点变形特点：杆的横截面绕杆轴线作相对转动，任：杆的横截面绕杆轴线作相对转动，任意两横截面之间产生相对角位移，称为扭转角；意两横截面之间产生相对角位移，称为扭转角；纵线也随之转过一角度纵线也随之转过一角度g g。工程上，以扭转为主要变形的圆杆通常称为轴。工程上，以扭转为主要变形的圆杆通常称为轴。jgTT5.3.1 圆轴扭转时的内力1 1 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 工程中常见的传动轴，通常给出的是轴所传递的功率和其转速。因此需要求出使轴发生扭转的外力偶矩。 2、求扭转
13、内力的方法截面法IIMn3、受扭圆轴横截面上的内力扭矩右手定则：右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。扭矩符号规定：4、扭矩的符号规定右手螺旋法则mIImIIIIII5.3.2 5.3.2 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 图a所示一圆截面的受扭杆，用截面法求1-1截面上的内力。 若取左段为研究对象 ，由平衡方程得 如果取右段为研究对象（图c），所得到的1-1截面上的扭矩T，其值仍为 ，但转向与图b中所示相反。 作用在轴上的外力偶矩往往有多个，因此不同轴段上横作用在轴上的外力偶矩往往有多个，因此不同轴段上横截面的扭矩
14、也各不相同。为了表示沿轴线各截面上的扭矩截面的扭矩也各不相同。为了表示沿轴线各截面上的扭矩的变化情况，可仿照作轴力图的方法绘制的变化情况，可仿照作轴力图的方法绘制扭矩图。 图中沿轴线方向的横坐标表示横截面的位置，与轴线图中沿轴线方向的横坐标表示横截面的位置，与轴线方向垂直的纵坐标表示相应横截面上的扭矩值。习惯上将方向垂直的纵坐标表示相应横截面上的扭矩值。习惯上将正值的扭矩画在坐标轴的上侧，负值的扭矩画在下侧。正值的扭矩画在坐标轴的上侧，负值的扭矩画在下侧。例5-3 图示传动轴，主动轮图示传动轴，主动轮A输入功率输入功率PA =500kW ，从动轮，从动轮B、C、D输出功率分别为，输出功率分别为
15、，PB =PC =150kW，PD =200kW，轴的转速为，轴的转速为n=300转转/分。作轴的扭矩图。分。作轴的扭矩图。332211TATCTDTB（1）求外力偶矩）求外力偶矩332211TATCTDTB解：解：（2）求各段扭矩）求各段扭矩332211TATCTDTB11TBMx122TCTBMx233TDMx3（3）画扭矩图）画扭矩图|Mx|max=9.56kNm，发生在，发生在AC段。段。332211TATCTDTBxMx (kNm)-+4.789.566.375.4 梁的内力与内力图梁的内力与内力图以弯曲为主要变形的杆，通常称为梁。以弯曲为主要变形的杆，通常称为梁。GAJGAJGAJ
16、GAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJGAJFFABFFABFRAFRB5.4 梁的内力与内力图梁的内力与内力图工程中大部分工程中大部分梁梁的横截面都有一根对称轴，因而的横截面都有一根对称轴，因而整个杆件有一个包含轴线的整个杆件有一个包含轴线的纵向对称面纵向对称面。当作用在杆件上的所有外力都在纵向对称面内时，当作用在杆件上的所有外力都在纵向对称面内时，弯曲变形后的轴线也将是位于这个对称面内的弯曲变形后的轴线也将是位于这个对称面内的一条曲线。一条曲线。这种对称弯曲是弯曲问题中最常见的情况。这种对称弯曲是弯曲问题中最常见的情况。外力特点：外力特点：作用在杆件
17、上的所有外力都在纵向对作用在杆件上的所有外力都在纵向对称面内，这里外力包括集中力、分布力或集中称面内，这里外力包括集中力、分布力或集中力偶。力偶。变形特点：变形特点：杆的轴线弯成曲线。杆的轴线弯成曲线。FPq5.4.1 梁的内力剪力和弯矩1截面法求某横截面的剪力和弯矩截面法求某横截面的剪力和弯矩根据平衡方程，可求得支座反力；根据平衡方程，可求得支座反力；再用截面法分析和计算任一横截面上的内力。再用截面法分析和计算任一横截面上的内力。F2xlFRBFRAmF1ABm沿沿mm截面将梁截开，截面将梁截开，取左段梁为研究对取左段梁为研究对象。象。F2xlFRBFRAmF1ABmxFRAAFQMx在该段
18、梁上作用有支座反力在该段梁上作用有支座反力FRA，则截面，则截面mm上必定存在与上必定存在与该截面平行的内力该截面平行的内力剪力，用用FQ表示。表示。同时，该截面上必有一内力偶同时，该截面上必有一内力偶弯矩，用，用Mz表示。表示。截面截面mm上的剪力和弯矩也可由右段梁的平衡方上的剪力和弯矩也可由右段梁的平衡方程求出，大小与由左段梁相同，但方向相反。程求出，大小与由左段梁相同，但方向相反。F2xlFRBFRAmF1ABmF2FRBF1BFQMxFRAAFQMx正、负号规定：正、负号规定：剪力：作用于横截面上的剪力使研究对象有剪力：作用于横截面上的剪力使研究对象有顺时顺时针针转动趋势的为正，反之为
19、负。转动趋势的为正，反之为负。弯矩：作用在横截面上的弯矩使研究对象产生弯矩：作用在横截面上的弯矩使研究对象产生下下凸趋势的为正（下侧受拉为正）凸趋势的为正（下侧受拉为正），反之为负。，反之为负。简捷法：简捷法：（1）任一横截面上的）任一横截面上的剪力剪力在数值上等于该截面一侧（左在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有竖向外力的代数和。侧或右侧）所有竖向外力的代数和。截面左边向上的外力（右边向下的外力）使截面产生正号截面左边向上的外力（右边向下的外力）使截面产生正号的剪力。（的剪力。（使得考虑的隔离体有顺时针方向转动趋势的外力引起正剪力，反之则引起负值剪力。）（2）任一横截面上的）任一横截面上
20、的弯矩弯矩在数值上等于该截面一侧（左在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力（包括外力偶）对该截面形心的力侧或右侧）所有外力（包括外力偶）对该截面形心的力矩的代数和。矩的代数和。截面左边的顺时针的力矩（右边逆时针的力矩）使截面产截面左边的顺时针的力矩（右边逆时针的力矩）使截面产生正号的弯矩。生正号的弯矩。2、剪力方程和弯矩方程、剪力方程和弯矩方程为了表明梁的各横截面上剪力和弯矩的变化规律，为了表明梁的各横截面上剪力和弯矩的变化规律，可将横截面的位置用可将横截面的位置用x表示，把横截面上的剪力表示，把横截面上的剪力和弯矩写成和弯矩写成x的函数，即的函数，即剪力方程剪力方程弯矩方程弯矩方程5.
21、4.2 梁的内力图剪力图和弯矩图根据剪力方程和弯矩方程，可以画出剪力图和弯根据剪力方程和弯矩方程，可以画出剪力图和弯矩图。矩图。由剪力图和弯矩图可以看出梁的各横截面上剪力由剪力图和弯矩图可以看出梁的各横截面上剪力和弯矩的变化情况，同时可找出梁的最大剪力和弯矩的变化情况，同时可找出梁的最大剪力和最大弯矩以及它们所在的截面。和最大弯矩以及它们所在的截面。注意：正的剪力画在横坐标轴的上方，注意：正的剪力画在横坐标轴的上方，正的弯矩画在横坐标轴的下方（即（即弯矩画在梁的受拉一弯矩画在梁的受拉一侧侧）。）。例55 一简支梁受均布荷载作用。试列出剪力方一简支梁受均布荷载作用。试列出剪力方程和弯矩方程，画剪
22、力图和弯矩图。程和弯矩方程，画剪力图和弯矩图。lBA解：（1）求支座反力）求支座反力由平衡方程及对称性条由平衡方程及对称性条件得到件得到FRBFRAxlBA（2）列剪力方程和弯矩方程）列剪力方程和弯矩方程FRBFRAql /82Mz图ql/2ql/2FQ图xlBA（3）画剪力图和弯矩图）画剪力图和弯矩图剪力随剪力随x成线性变化，即成线性变化，即剪力图是直线。剪力图是直线。弯矩是弯矩是x的二次函数，即的二次函数，即弯矩图是二次抛物线。弯矩图是二次抛物线。由剪力图和弯矩图看出由剪力图和弯矩图看出由得弯矩有极值的截面位置为例56 一简支梁受一集中荷载作用。试列出剪力一简支梁受一集中荷载作用。试列出剪
23、力方程和弯矩方程，并画剪力图和弯矩图。方程和弯矩方程，并画剪力图和弯矩图。lFBAbaC解：（1）求支座反力）求支座反力FRBFRAlxFBAbaC（2）列剪力方程和弯矩方程）列剪力方程和弯矩方程AC段：段：CB段：段：FRBFRAlxFBAbaCMz图FablFQ图FblFal（3）画剪力图和弯矩图）画剪力图和弯矩图剪力图如图所示剪力图如图所示弯矩图如图所示弯矩图如图所示集中力作用点集中力作用点C处，剪力图发生处，剪力图发生突变突变，突变，突变大小：大小：F，方向：从左往右与，方向：从左往右与F一致，弯矩图有一致，弯矩图有尖角尖角。由剪力图和弯矩图看出：例57 一简支梁在一简支梁在C处受一矩
24、为处受一矩为Me的集中力偶作的集中力偶作用。试列出剪力方程和弯矩方程，并画剪力图用。试列出剪力方程和弯矩方程，并画剪力图和弯矩图。和弯矩图。lMeBAbaC解：（1）求支座反力）求支座反力xMeBAbaClFRBFRA（2）列剪力方程和弯矩方程）列剪力方程和弯矩方程AC段：段：CB段：段：xMz图M aleM bleFQ图MelMeBAbaClFRBFRA（3）画剪力图和弯矩图）画剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图如图所示剪力图和弯矩图如图所示在集中力偶作用点在集中力偶作用点C处，处，剪力无影响剪力无影响，弯矩发生突变弯矩发生突变，突变突变值：值：等于该集中力偶的数值，等于该集中力偶的数值，方向：方
25、向：从左往右从左往右逆上顺下逆上顺下。5.4.3 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系由上节的例题可以看出，剪力图和弯矩图的变化由上节的例题可以看出，剪力图和弯矩图的变化有一定的规律性。有一定的规律性。事实上，剪力、弯矩和荷载集度之间存在一定的事实上，剪力、弯矩和荷载集度之间存在一定的关系，了解并掌握这些关系，将给作图带来极关系，了解并掌握这些关系，将给作图带来极大的方便，甚至不用列内力方程就可以画出内大的方便，甚至不用列内力方程就可以画出内力图来。力图来。几何意义：几何意义：剪力图剪力图上某点的切线上某点的切线斜率斜率等于梁上与该点对应处等于梁上与该点对应处的的荷载集度荷载集度。弯矩图弯矩图上某点
26、的切线上某点的切线斜率斜率等于梁上与该点对应处等于梁上与该点对应处的横截面上的的横截面上的剪力剪力。横截面上的弯矩对横截面上的弯矩对x的二阶导数，等于同一横截的二阶导数，等于同一横截面上分布荷载的集度。该式可用来判断弯矩图面上分布荷载的集度。该式可用来判断弯矩图的的凹凸方向凹凸方向。59 荷载集度、剪力与弯矩之间的关系以及剪力图、弯矩图的特征汇总整理见表5.1。 利用上述规律，可以方便地画出剪力图和弯矩图，利用上述规律，可以方便地画出剪力图和弯矩图，而不需列出剪力方程和弯矩方程：而不需列出剪力方程和弯矩方程：先求出支座反力（如果需要的话），再由左至右求出几个控制截面的剪力和弯矩，在控制截面之间
27、，利用以上关系式，可以确定剪力图和弯矩图的线型，最后得到剪力图和弯矩图。如果梁上某段内有分布荷载作用，则需求出该段内剪力FQ=0截面上弯矩的极值，最后标出具有代表性的剪力值和弯矩值。例58 画图示简支梁的剪力图和弯矩图。画图示简支梁的剪力图和弯矩图。aqBAaC2qa解：（1）求支座反力）求支座反力（2）画剪力图）画剪力图（3）画弯矩图）画弯矩图FQ图5qa/43qa/47qa/4Mz图25qa /4aqBAaC2qaFRBFRA63 解：（1）由平衡方程 和求得A、B处的支座 反力分别为： 方向如图所示。 例题5.9：图示外伸梁，试作其剪力图和弯矩图。 （2）分段将剪力图分为CA和AB两段；
28、弯矩图分为CA、AD和DB三段。（3）分段求解控制点内力（4）定形，逐段绘制内力图5.4.4 用叠加法画弯矩图在工程实际中，作用在梁上的荷载常常是几种荷在工程实际中，作用在梁上的荷载常常是几种荷载同时出现。载同时出现。此时，采用叠加法绘制弯矩图较为方便。此时，采用叠加法绘制弯矩图较为方便。所谓所谓叠加法叠加法，是指在计算梁的内力时，因为梁的，是指在计算梁的内力时，因为梁的变形很小，不必考虑其跨长的变化。在这种情变形很小，不必考虑其跨长的变化。在这种情况下，内力和荷载成线性关系。于是可先分别况下，内力和荷载成线性关系。于是可先分别画出每一种荷载单独作用下的弯矩图，然后将画出每一种荷载单独作用下的
29、弯矩图，然后将各个弯矩图叠加起来就得到总弯矩图。各个弯矩图叠加起来就得到总弯矩图。例511 试用叠加法作图示简支梁在均布荷载试用叠加法作图示简支梁在均布荷载q和和集中力偶集中力偶Me作用下的弯矩图。设作用下的弯矩图。设 。lqBAMe = ql /62BAMeqBAql /82ql /82ql /62ql /62lqBAMe = ql /624kNm2kNm4kNm6kNm4kNm2kNm4kNm4kNm6kNm4kNm2kNm（1）集中荷载作用下）集中荷载作用下（2）集中力偶作用下）集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图）叠加得弯矩图（1）悬臂段分布荷载作用下）悬臂段分布荷载作用下（2）跨中集中力
30、偶作用下）跨中集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图）叠加得弯矩图3m3m4kN4kNm3m3m8kNm2kN/m2m4kNm用叠加法画弯矩图，一般要求各荷载单独作用时用叠加法画弯矩图，一般要求各荷载单独作用时梁的弯矩图可以比较方便地画出，且梁上所受梁的弯矩图可以比较方便地画出，且梁上所受荷载也不能太复杂。荷载也不能太复杂。如果梁上荷载复杂，还是按荷载共同作用的情况如果梁上荷载复杂，还是按荷载共同作用的情况画弯矩图比较方便。画弯矩图比较方便。此外，在分布荷载作用的范围内，用叠加法不能此外，在分布荷载作用的范围内，用叠加法不能直接求出最大弯矩，如果要求最大弯矩，还需直接求出最大弯矩，如果要求最大弯矩，还需用以前的方法。用以前的方法。
