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1、7、2、2单位圆与正弦、余弦线单位圆与正弦、余弦线1. 由三角函数的定义我们知道，对于角由三角函数的定义我们知道，对于角的的各种三角函数我们都是用各种三角函数我们都是用比值比值来表示的，或来表示的，或者说是用者说是用数数来表示的，今天我们再来学习来表示的，今天我们再来学习正正弦、余弦、正切函数弦、余弦、正切函数的另一种的另一种表示方法表示方法几何表示法几何表示法 2.1.单位圆的概念单位圆的概念 一般地，我们把一般地，我们把半径为半径为1的圆的圆叫做叫做单位圆单位圆，设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为轴的交点分别为A(1，0)，A(
2、1，0).而与而与y轴的交点分别为轴的交点分别为B(0，1)，B(0，1).3. 设任意角设任意角的顶点的顶点在原点，始边与在原点，始边与x轴的轴的正半轴重合，终边与正半轴重合，终边与单位圆相交于点单位圆相交于点P(x，y），过），过P作作x轴的垂线，轴的垂线，垂足为垂足为M； 做做PN垂直垂直y轴于点轴于点N， 则点则点M、N分别是点分别是点P在在x轴、轴、y轴上的正射影轴上的正射影.2. 三角函数线三角函数线4.根据三角函数的定义有点根据三角函数的定义有点P的坐标为的坐标为(cos,sin)其中其中cos=OM，sin=ON.这就是说，这就是说，角角的余弦和正弦的余弦和正弦分别等于角分别等
3、于角的的终边与单位圆终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标交点的横坐标与纵坐标. 过点过点A作作 轴的垂线与轴的垂线与角的终边角的终边(或其反向延长线或其反向延长线)相交于点相交于点T(或或T )，则，则tan=AT(或或AT )5. 我们把向量我们把向量 分别叫分别叫做做的的余弦线、正弦线和正切线余弦线、正弦线和正切线.6.xyoxyoxyoxyo的终边的终边的终边的终边TPMPMPMPMTAATATA()()()()7.问题问题2 2：若角若角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为第三象限角，其终边与单位圆的交点为为P P（x x，y y），则），则 ， 都是负数，都是负数，此时角此时角的正弦值和
4、余弦值分别用哪条线段表示？的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？P P（x x，y y）O Ox xy yM M正弦线和余弦线正弦线和余弦线正弦线和余弦线正弦线和余弦线 8.为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号带有正负值符号. .根据实际需要，我们规定根据实际需要，我们规定线段从始线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向. 规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做有向线段规定了始
5、点和终点，带有方向的线段，叫做有向线段. .由上分析可知，当角由上分析可知，当角为第一、三象限角时，为第一、三象限角时，sinsin、coscos可分别用有向线段可分别用有向线段MPMP、OMOM表示，即表示，即MP= sinMP= sin，OM=cosOM=cos，那么当角，那么当角为第二、四象限角时，你能检验为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？这个表示正确吗？ P P（x x，y y）O Ox xy yM MP P（x x，y y）O Ox xy yM M9.例例1 1.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线（1） ；（；（2） 10.例例2.比较
6、大小：比较大小：(1) sin1和和sin1.5; (2) cos1和和cos1.5; (3) tan2和和tan3.解：由三角函数线得解：由三角函数线得sin1cos1.511.探究：探究：当当0/2时，总有时，总有 sintan.S POAS扇形扇形AOPS AOTMPOA/2OA OA /2OA AT /2MPATsintan12.例例3.在单位圆中作出符合下列条件的角的终边在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:xOy-1-111PN13.xOy-1-111TAPP14.例例4. 利用三角函数线证明利用三角函数线证明|sin|+|cos|1.证明：在证明：在OMP中，中，OP=1，OM=
7、|cos|, MP=ON=|sin|，因为三角形两边之和因为三角形两边之和大于第三边，所以大于第三边，所以|sin|+|cos|1。15.例例5. 利用单位圆中的三角函数线利用单位圆中的三角函数线若 ，试确定sin的取值范围.cos呢呢?16.变式：变式： 写出满足条件写出满足条件 cos 的角的角的集合的集合.xOy-1-111PQRS17.探探究究二、探究三角函数的定义域二、探究三角函数的定义域三角函数三角函数定义域定义域sincostanRR| k(k Z)探探究究三、探究三角函数在各象限的符号三、探究三角函数在各象限的符号+-18.2.三角函数在各象限的函数值符号分三角函数在各象限的函
8、数值符号分别如何？别如何？ 一全正，二正弦，三正一全正，二正弦，三正切，四余弦切，四余弦.全全 +19.例例3 求证求证:当且仅当下列不等式当且仅当下列不等式组成立时组成立时,角角为第三象限角为第三象限角:例题讲解例题讲解四、诱导公式一：四、诱导公式一：其中其中k Z终边相同的角的同一终边相同的角的同一三角函数的值相等。三角函数的值相等。例例4 确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证。确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证。全全 +20.课堂小结1、三角函数线的作法；、三角函数线的作法；2、三角函数线的作用：、三角函数线的作用：利用三角函数线确定角的终边；利用三角函数线确定角的终边；利用三角函数线比较三角函数值的大小；利用三角函数线比较三角函数值的大小；利用三角函数线确定角的集合或范围利用三角函数线确定角的集合或范围.21.
