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1、简单的线形规划简单的线形规划课题：课题：授课教师：季平授课时间：2004.6.第八章. 平面解析几何 8.19 简单的线形规划知识目标： 掌握线性规划问题的图解 法， 能运用线性规划的方法解决一些简单的实际问题。能力目标： 培养学生画图能力和解决实际问题的能力。情感目标：认识目标函数在约束条件下的最优化问题求解过程体现了数学本身的简约美、价值美。 我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，今天我们先来复习一下怎样画出它们表示的区域。区域，今天我们先来复习一下怎样画出它们表示的区域。问题：问题： 1.什么叫半平面、开半平面、闭半
2、平面？什么叫半平面、开半平面、闭半平面？ 2.二元一次不等式表示的区域作法、步骤。二元一次不等式表示的区域作法、步骤。 3.点到直线的距离公式点到直线的距离公式？答案：答案：1.一条直线把坐标平面分为两部分，每个部分叫做开半平面，开半平面与这一条直线把坐标平面分为两部分，每个部分叫做开半平面，开半平面与这条直线的并集叫做闭半平面。条直线的并集叫做闭半平面。2.步骤：步骤：作出不等式对应的直线作出不等式对应的直线L:ax+by+c=0。用点用点(0,0)代入代入ax+by+c ，判断值大于还是小于，判断值大于还是小于0。若大于若大于0，则原点所在开半平面是不，则原点所在开半平面是不等式等式ax+
3、by+c0表示的区域。表示的区域。 若小于若小于0，则原点所在开半平面是不等式，则原点所在开半平面是不等式ax+by+c0表示的区域表示的区域。3. AxAx0 0+by+by0 0+c+c d d = = A A2 2+B+B2 2 步骤步骤：1.先作出直线先作出直线 x+yx+y1=01=0 2. 2.用（用（0 0，0 0）来判断）来判断 3.3.结论结论yxO11x+y1=0用（用（0，0）点）点来判断：代入来判断：代入x+y1，值小于，值小于0练习练习1.画出不等式画出不等式x+y10表示的区域。表示的区域。画出不等式组 3x+2y1200 x+2y800 表示的区域 x0 y0练习
4、2.步骤： 1 .要一个不等式不等式作图 2.找出公共部分 3.用阴影部分表示800400400600L1: 3x+2y-1200=0L2: x+2y-800=0不等式组所表示的区域就是图中阴影所示。例：某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要A、B两种原料，生产两种原料，生产 一件甲产品需要一件甲产品需要A种原料种原料3千克，千克，B种原料种原料1千克，生产一件乙产品需要千克，生产一件乙产品需要A种原料种原料2千克，千克，B种原料种原料2千克，现有千克，现有A种原料种原料1200千克，现有千克，现有B种原料种原料800千克。如果生产一件甲产
5、千克。如果生产一件甲产品的利润是品的利润是30元，生产一件乙产品的利润是元，生产一件乙产品的利润是40元，问甲、乙两种产品各生产多少能元，问甲、乙两种产品各生产多少能使利润的总额最大？最大利润是多少？使利润的总额最大？最大利润是多少？ 产品原料A数量（千克） 原料B数量（千克）利润（元）生产甲种产品一件 3 1 30生产乙种产品一件 2 2 40限额数量 1200 800分析： 由题意可列表如下：设计划生产x件甲种产品，生产y件乙种产品，则获得利润为：f=30x+40y （1） 其中满足下列条件： 3x+2y1200 x+2y800 x0，x为整数 y0，y为整数 问题转化为在x、y满足约束条
6、件（2）下式子30x+40y的最大值。又可转化为在不等式（2）表示的区域内找一整数点使式子30x+40y取最大值。 而不等式（2）表示的区域我们已经在前面画出来了，我们回到前面去解决这个问题。 800400400600L2: x+2y-800=0L1: 3x+2y-1200=0OBAC800400400600L2: x+2y-800=0x+2y-800=0L1: 3x+2y-1200=03x+2y-1200=0L0COBA令30x+40y=0，则此表示方程通过原点的一条直线，记为其L0。法向量（30，40）所指的开半平面使30x+40y0。让我们考查在这个开半平面内任意点（x，y）到L0的距离
7、:显然点到直线的距离越大式子30x+40y的值越大。于是问题就转化为在不等式（2）表示的区域OABC内找与直线L0距离最大的整数点。 800400400600L2: x+2y-800=0x+2y-800=0L1: 3x+2y-1200=03x+2y-1200=0COBAL0L我们沿向量（30，40）的方向平移直线L0，当平移到如图所示位置L时，阴影部分OABC内的其它各点都在L的同一侧，所以点B的坐标使f=30x+40y最大,即利润取得最大值！那么怎样求B点的坐标呢？显然点B是直线3x+2y=1200与x+2y=800的交点。 解方程组 3x+2y=1200 得点B的坐 x+2y=800 标为
8、B（200，300），代入f得 fmax=30200+40300=18000 答：生产200件甲种产品，300件甲种产品的总额使利润最大本例中，我们把f=30x+40y称为目标函数目标函数，而不等式组 3x+2y1200 x+2y800 x0，x为整数 y0，y为整数 称为目标函数的约束条件约束条件或可行域可行域。把上面的问题称为目标函数在约束条件或可行域中的最优化问题！这类问题称为线形规划问题。课堂练习课堂练习1：已知f=2x+y，且x、y满足约束条件 ： yx x+y1 求f的最大值。 y1答案答案： 如图所示.L0：2x+y=0ABCxy=xoyx+y=1y=1L当（当（x x，y y）
9、取直线）取直线y=y=1 1与直线与直线x+y=1x+y=1的交的交点点B B时取最大值，交点时取最大值，交点坐标为坐标为B B（2 2，1 1）。）。fmax=2fmax=22+2+（1 1）=3=3课堂练习课堂练习2. P60P60页练习页练习3 3，仅列出表格、目标函，仅列出表格、目标函数及约束条件。数及约束条件。答案： 产品A种矿石 （吨）B种矿石 （吨） 煤 （吨） 利润（元）生产甲产品一件 10 5 4 600生产乙产品一件 4 4 91000数量限额 300 200 360目标函数f=600x+1000y 10x+4y300 5x+4y200约束条件 4x+9y360 x0，x为整数 y0，y为整数小结小结：目标函数在约束条件（可行域）下的最优化问题，要掌握： 1.几个概念：目标函数、约束条件、线性规划。 2.线性规划问题的解法步骤： （1）审题，设未知数； （2）列出目标函数及约束条件； （3）作辅助直线l0，平移该直线，判断最优点； （4）求最大值，并作答。作业：作业：P60 练习第2、3题。 同学们再见！600800400400CABL1:3x+2y-1200=0L2:x+2y-800=0L0:30x+40y=0L解：如图所示解：如图所示不等式组所表示的区域就是图中阴影所示。
