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1、mathsoft第六章第六章 定积分的概念及应用定积分的概念及应用第一节第一节 定积分的概念定积分的概念第二节第二节 平面图形的面积平面图形的面积第三节第三节 体积体积数学分析电子教案 西电科大mathsoft第四节第四节 平面曲线弧长平面曲线弧长第五节第五节 功、水压力和引力功、水压力和引力第六节第六节 平均值平均值习题课习题课数学分析电子教案 西电科大mathsoft例例1 1 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积一、问题的提出（引例）一、问题的提出（引例） 中学学习过：三角形，圆形，矩形，平行四边形，梯形等规则图形面积的计算。那么不规则图形的面积怎么来求呢?下面将介绍任一图形面积的计算方法，
2、例如：例如：第一节 定积分的概念mathsoftXAababA2ab曲边梯形（三条直边，一条曲边）曲边梯形（三条直边，一条曲边）0y面积面积 A=A1-A2故问题为求出两个曲边梯形的面积故问题为求出两个曲边梯形的面积如何去求曲边梯形的面积呢？下面将展开讨论：如何去求曲边梯形的面积呢？下面将展开讨论：1第一节 定积分的概念mathsoft 设一曲边梯形由直线x=a,x=b,y=0及曲线解：解：step1：分割 在a,b中任意插入n-1个分点把a,b分成n个小区间xi-1,xi (i=1n)区间长度为(i=1n)所围成，求面积A, 其中f(x)在a,b上连续。step2: 近似step3: 求和第
3、一节 定积分的概念mathsoftstep4 : 取极限第一节 定积分的概念mathsoft用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积第一节 定积分的概念mathsoft例例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确
4、值分过程求得路程的精确值第一节 定积分的概念mathsoft（1）分割）分割部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2）求和）求和（3）取极限）取极限路程的精确值路程的精确值第一节 定积分的概念mathsoft上面两例可以看出上面两例可以看出：两个不同问题所求的量，采用了同样的计算方法，最终都归结为具有相同结构的和式极限。抛开这些问题的具体意义，在数学上就抽象出定积分的概念。第一节 定积分的概念mathsoft二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义第一节 定积分的概念mathsoft被被积积函函数数被被积积表表达达式式 积积分分变变量量记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分
5、和积分符号积分符号第一节 定积分的概念mathsoft注意：注意：由定积分定义，例1，例2分别为：1。极限存在指：任意分割，任一取点，和式极限存在且相等。2。定积分是个数，与积分变量的符号无关，即3。规定：4。错误！为什么？错误！为什么？第一节 定积分的概念mathsoft定理定理1 1定理定理2 2三、存在定理三、存在定理且只有有限个间断点且只有有限个间断点 （第一类间断点），第一类间断点），第一节 定积分的概念mathsoft曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义曲边梯形面积的代数和曲边梯形面积的代数和如图：如图：第一节
6、 定积分的概念mathsoft五、小结练习五、小结练习定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求乘积求乘积近似代替近似代替第一节 定积分的概念mathsoft练习练习例例1解： 由几何意义例例2计算：计算：解：如图第一节 定积分的概念mathsoft例例3 利用定义计算解：解：1。将0，1n等分，2。3。求和4。即第一节 定积分的概念mathsoft例例4解：解：第一节 定积分的概念mathsoft一一. 直角坐标系情况直角坐标系情况所围图形面积，如图:解
7、解: 1。画图，求出交点；2。选积分变量，3。4。特别的特别的:曲边梯形面积曲边梯形面积第二节第二节 平面图形的面积平面图形的面积第二节 平面图形的面积mathsoft例例1.解解: 画图，求得交点(-1,1)及(3,9)例例2.解解: 画图，求得交点(2,-2)及(8,4)选为积分变量，则问问:若选若选x为积分变量如何？为积分变量如何？第二节 平面图形的面积mathsoft二二.参数方程情况参数方程情况例例3.解解: 由对称性一般的，一般的，第二节 平面图形的面积mathsoft例例4.解解:第二节 平面图形的面积mathsoft三三.极坐标情况极坐标情况解解: 1。2。3。第二节 平面图形
8、的面积mathsoft例例5.解解:另解另解:第二节 平面图形的面积mathsoft一一.旋转体的体积旋转体的体积 定义定义:由一个平面图形绕平面内一条直线旋转一周由一个平面图形绕平面内一条直线旋转一周而成的立体，叫旋转体。而成的立体，叫旋转体。第三节第三节 体积体积第三节 体积mathsoft 以上旋转体的体积在中学已经会计算，下面讨论一般的旋转体的体积。例例1.解解: 1。2。3。下面将结论推广下面将结论推广:第三节 体积mathsoft如图:类似的，类似的，若旋转体是曲边梯形绕y轴旋转而成的y=f(x)y=g(x)第三节 体积mathsoft例例2.解解: (1) 绕x轴(2)绕y轴第三
9、节 体积mathsoft例例3.解解: (1) 绕x轴旋转第三节 体积mathsoft(2) 绕y轴旋转第三节 体积mathsoft(2) 绕y=2a旋转所求体积即是中间喇叭状的体积第三节 体积mathsoft二二.平行截面面积为已知的立体体积平行截面面积为已知的立体体积如图，解解: 1。2。3。第三节 体积mathsoft例例4.解解: 建立坐标如图，第三节 体积mathsoft 定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和推动的。因此定级分得应用页非常广泛。本章主要介绍几何上，物理上实际问题的应用，例如：计算平面图形面积，曲线弧长，旋转体体积，引力，做功等。基本思想：基本思想：实际问题所求量
10、实际问题所求量Q转化为求求Q= (积分模型积分模型)转化方法：转化方法：元素法（或微元法），即从局部到整体元素法（或微元法），即从局部到整体微元法mathsoft 为了说明小元素法，我们先来回顾一下曲边梯形面积转化为定积分的计算过程。step1. 分割：任意划分a,b为n个小区间step2. 近似：第一节第一节 定积分的元素法定积分的元素法(或微元法或微元法)微元法mathsoftstep3. 求和：step4. 取极限：分析：分析：在上述问题注意到在上述问题注意到: 所求量所求量(即面积即面积)A满足：满足：1。与区间与区间a,b及及a,b上连续函数上连续函数f(x)有关有关;2。对对a,b
11、具有可加性，具有可加性，3。 实际上，引出实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第的积分表达式的关键步骤是第二步，因此求解可简化如下：二步，因此求解可简化如下：微元法mathsoftstep1:选取积分变量及积分区间（如x属于a,b）step2:取微区间x,x+dx 求出 step3:这种方法称为定积分的元素法元素法或微元法微元法。微元法mathsoft 一般的，如果某一实际问题中所求量Q符合条件:1。Q是与某一变量是与某一变量x的变化区间的变化区间a,b有关的量；有关的量；2。Q对于对于a,b区间具有可加性；区间具有可加性；3。局部量局部量那么，将Q用积分来表达的步骤如下:step1. 选取
12、积分变量及积分区间选取积分变量及积分区间step2. 取微区间取微区间x,x+dx，求出求出step3. 微元法mathsoft例例1.写出长为l的非均匀细直棒质量的积分表达式任一点的线密度是长度的函数。解解:建立坐标如图,oxlx x+dx则任意一点的密度为step1. step2.step3. 下面用微元法讨论定积分在几何，物理中的一些应用。微元法mathsoft一、曲线弧长概念一、曲线弧长概念（1）分割）分割:（2）近似）近似:（3）求和）求和: 总弧长 （4）取极限）取极限: 若极限图图1第四节第四节 弧长弧长第四节 弧长mathsoft二、直角坐标情况二、直角坐标情况解解:（图一）弧
13、长微元第四节 弧长mathsoft解解:第四节 弧长mathsoft解解：第四节 弧长mathsoft三、参数方程情况三、参数方程情况第四节 弧长mathsoft解解:第四节 弧长mathsoft四、极坐标情况四、极坐标情况第四节 弧长mathsoft解解:第四节 弧长mathsoft一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功功的微元例例1:第五节第五节 功、水压力和引力功、水压力和引力第五节 功 水压力和引力mathsoft解解:功的微元a处的电位（场强）称为电场在第五节 功 水压力和引力mathsoft例例2:解解: 建立坐标如图动微元第五节 功 水压力和引力mathsoft注:若建立坐
14、标如右图，则计算较烦第五节 功 水压力和引力mathsoft二、水压力（液体的侧压力）二、水压力（液体的侧压力）解解:压力微元第五节 功 水压力和引力mathsoft例例3:解解: 建立坐标如图第五节 功 水压力和引力mathsoft例例4: 若在例3中水位为6m时，侧压力为多少？解解: 建立坐标如图第五节 功 水压力和引力mathsoft第五节 功 水压力和引力mathsoft三、三、 引力引力例例5:第五节 功 水压力和引力mathsoft解解: 建立坐标如图第五节 功 水压力和引力mathsoft一、函数的平均值一、函数的平均值例例:解解:第六节第六节 平均值平均值第六节 平均值math
15、soft二、均方根二、均方根定义: 函数平方的平均值的开方成为均方根。如如:例如例如: 非恒定电流的电器上标明的电流值就是指电 流的均方根。第六节 平均值mathsoft例例:解解:第六节 平均值mathsoft小结小结:1、几何应用: 面积 旋转体,已知平面截 面立体体积平面曲线弧长2、物理应用: 做功侧压力引力3、平均值,均方根定积分习题课定积分习题课定积分习题课mathsoft例例1:解解: 画图，求出交点 定积分习题课mathsoft例例2: 解解:定积分习题课mathsoft例例3:解解:定积分习题课mathsoft定积分习题课mathsoft例例4:解解:方法一方法一:定积分习题课
16、mathsoft方法二方法二:定积分习题课mathsoft例例5:解解:定积分习题课mathsoft例例6:解解:定积分习题课mathsoft例例7:解解: 建立坐标如图积分变量定积分习题课mathsoft方向: 指向圆弧中点定积分习题课mathsoft例例8: 洒水车上水箱是一横放的椭圆柱体（如图）， 当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受的 压力。解解: 取截面,建立坐标如图定积分习题课mathsoft定积分习题课mathsoft例例9: 半径为r的球沉入水中,球的上部与水相切,球 的比重与水相同。现将球从水中取出,需做功? 解: 建立坐标如图定积分习题课mathsoft例例10:解解:定积分习题课mathsoft定积分习题课mathsoft例例11:解解:定积分习题课
