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1、第六章第六章 二次型二次型在平面解析几何中，在平面解析几何中，为看清二次曲看清二次曲线 的形状，可以采用坐的形状，可以采用坐标变换 化二次曲化二次曲线为标准形准形 由此二次曲由此二次曲线的几何性的几何性质便一目了然便一目了然.定定义6.1 二次二次齐次多次多项式式称称为的一个的一个元二次型，元二次型，实二次型实二次型.简称二次型称二次型. 如果系数如果系数和和变量量都都为实数，数，则称称为为则二次型二次型可以表示可以表示为矩矩阵形式：形式： 记记以下我们只讨论实二次型以下我们只讨论实二次型.其中其中为对称称阵. 二次型二次型与与对称称阵确立了确立了 1-1 对应关系。称二次型关系。称二次型唯一
2、确定的唯一确定的对称称阵为二次型二次型的矩的矩阵.的秩的秩为二次型二次型的秩的秩.的矩的矩阵的秩的秩为3；称对称阵称对称阵例如，例如，而而对称称阵确定的二次型确定的二次型为称上述称上述那那样只含平方只含平方项的二次型的二次型为标准形准形.为标准形当且准形当且仅当当的矩的矩阵为对角角阵.易见易见和和之之间的关系式的关系式两组变量两组变量 称称为从从到到换换. 其矩阵形式其矩阵形式的一个线性变的一个线性变其中其中称称为线性性变换的矩的矩阵. 若若问题：如何用可逆如何用可逆线性性变换 将二次型将二次型 化化为标准形准形. 线性变换为可逆线性变换或非退化线性变换线性变换为可逆线性变换或非退化线性变换.
3、可逆，则称可逆，则称代入代入 后，得后，得将将易易证仍仍为对称称阵. 二次型二次型为标准形当且准形当且仅当当 为对角角阵.一、正交一、正交变换法法.正交正交变换有比一般可逆有比一般可逆线性性变换更好的性更好的性质：中的中的正交正交变换的内的内积（因而也（因而也不改不改变向量的向量的长度和度和夹角）角）. 定理定理 6.1 不改变向量不改变向量证明明 若若为正交正交阵，则线性性变换称为称为正交变换正交变换.阶矩阵阶矩阵正交正交变换把把中的中的标准正交基准正交基变为中的中的标准正交基准正交基定理定理 6.2 对于于元元实二次型二次型存在正交存在正交变换可将可将该二次型化二次型化为标准形：准形：其中
4、其中是是对称称阵的特征的特征值.的列向量的列向量组是是单位正交特征位正交特征向量组，且向量组，且例例 6.1 用正交用正交变换 化二次型化二次型为标准形，并准形，并给出正交出正交变换矩矩阵解解 的矩的矩阵为由由对于于 解解可得可得 它的一个基它的一个基础解系解系为： 得特征得特征值 正交化得：正交化得： 对于于解解 它的基它的基础解系解系为： 令令 即即为所求正交所求正交变换矩矩阵. 于是正交于是正交变换化二次型化二次型为标准形：准形：满足满足再将再将单位化得：位化得：例例 6.2 用正交用正交变换 化下列二次型化下列二次型为标准形准形, 并写出并写出该正交正交变换所所对应的正交的正交变换矩矩
5、阵.解解 的矩的矩阵为由由对于于 解解它的一个基它的一个基础解系解系为： 得特征得特征值对于于 解解它的一个基它的一个基础解系解系为： 对于于解解 它的基它的基础解系解系为： 令令 即即为所求正交所求正交变换矩矩阵. 于是正交于是正交变换化二次型化二次型为标准形：准形：满足满足再将再将单位化得：位化得： 第三第三节 惯性定理性定理 一、一、惯性定理性定理实二次型的二次型的标准形一般不唯一准形一般不唯一.但若一个但若一个实二次型二次型经任意一个可逆任意一个可逆线性性变换 化化为标准形准形 后，就有后，就有于是一个于是一个实二次型二次型 而而对角角阵的秩等于它的主的秩等于它的主对角角线上非零元的个
6、数，上非零元的个数，中平方中平方项的个数就等于的个数就等于故标准形故标准形经不同可逆不同可逆线性性变换化化为不同不同标准形后，准形后，标准形中所含的平方准形中所含的平方项个数都等于个数都等于实二次型二次型的的标准形中的正平方准形中的正平方项的的 更更进一步有：一步有：定理定理 6.3 (惯性定理性定理) 对于一个于一个元元实二次型二次型 经任意一个可逆任意一个可逆线性性变换化化为标准形准形后，后，标准形中正平方准形中正平方项的个数的个数和和负平方平方项的的都是唯一确定的，且都是唯一确定的，且(本定理的本定理的证明略去明略去). 个数个数称称为实二次型二次型（或（或）的）的称称为实二次型二次型）
7、的）的负惯性指数。性指数。可以写成以下形式的可以写成以下形式的标准形：准形： 个数个数负平方项的个数负平方项的个数正惯性指数正惯性指数,（或（或其中其中进一步令一步令 则 可以化可以化为：形如上式形如上式标准形称准形称为实二次型的二次型的规范形范形.定理定理 6.4 对于任一个于任一个 元元实二次型二次型都可都可经适当的可逆适当的可逆线性性变换化化为规范形：范形： 且且规范形是范形是唯一唯一的的.第四第四节 正定二次型正定二次型定定义 6.2（正定性正定性） 若若对任意任意 都有都有元元实二次型二次型 0(或或0(0)改为改为（半负定）矩阵的定义（半负定）矩阵的定义.例如例如 是正定二次型是正
8、定二次型. 是是负定二次型定二次型.是半正定二次型是半正定二次型.既不是正定既不是正定（或负定）（或负定）二次型，也不是半正定（或半二次型，也不是半正定（或半负定）定）二次型二次型,称为不定二次型称为不定二次型.由定由定义易得如下性易得如下性质：1 实对称阵实对称阵正定当且正定当且仅当当负定负定.2 若若实二次型二次型正定，正定，则经任意可逆任意可逆线性性变换后所得的二次型后所得的二次型证明明 1 显然然 2 ，则对任意可逆任意可逆阵有有经可逆可逆线性性变换后，后，即即 也正定也正定.也正定也正定定理定理 6.5 设为 阶实对称称阵，则以下几个命以下几个命题等价：等价：正定，或正定，或是正定二
9、次型；是正定二次型；的特征的特征值全大于零；全大于零；的正的正惯性性指数性性指数为4存在可逆存在可逆阵使得使得123证明明 1 2 2 设经正交正交线性性变换化化为标准形：准形：其中其中是是的特征的特征值. 令令则由由 是正定二次型得是正定二次型得23 3 若若 的特征的特征值全大于零，全大于零，则经正交正交线性性变换 化化为标准形：准形：34 4 若若 的正的正惯性指数性指数为 则可可经适当可逆适当可逆线性性变换化化为规范形范形 即存在可逆即存在可逆阵因因为故故的正的正惯性性指数性性指数为使得使得 由此由此 记则即即41 1 若若存在可逆存在可逆阵 使得使得则对 有有 故故即是正定二次型（或是正定二次型（或正定）正定）.定理定理 6.6 实对称称阵 是它的各是它的各阶顺序主子式全大于零，即序主子式全大于零，即 正定的充要条件正定的充要条件(称为称为 的的 阶顺序主子阶顺序主子式式.)推推论 实对称称阵负定的充要条件定的充要条件是它的顺序主子式满足：是它的顺序主子式满足：, ,例例 6.3 判判别是否正定是否正定.因因为解解故故 不正定不正定.取何取何值时，为正定二次型？正定二次型？例例 6.4 当当解解 当当且且 且且例例 6.5 若若为正定正定阵，证明：明：证明明 因因为的特征的特征值为 而而 A 正定正定, 故故 于是于是. 时, 即即时，为正定的为正定的.
