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1、第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量 3-1 3-1 算符及其运算规则算符及其运算规则 3-2 3-2 厄米算符的本征问题厄米算符的本征问题 3-3 3-3 坐标算符和动量算符坐标算符和动量算符 3-4 3-4 角动量算符角动量算符 3-5 3-5 共同完备本征函数系共同完备本征函数系 力学量完全集力学量完全集 3-6 3-6 力学量的平均值力学量的平均值 3-7 3-7 展开假定展开假定 3-8 3-8 不确定关系不确定关系 3-9 3-9 电子在库仑场中的运动电子在库仑场中的运动 3-10 3-10 氢原子问题氢原子问题 3-11 3-11 力学量平均值随时间的变化力学量平均
2、值随时间的变化 守恒定律守恒定律 3-1 算符及其运算规则算符及其运算规则 一、算符一、算符二、算符的运算规则二、算符的运算规则三、算符的对易关系三、算符的对易关系3-1 算符及其运算规则算符及其运算规则 一、算符一、算符 若某一运算将函数若某一运算将函数 变为函数变为函数 ，记为，记为 则表示这一运算的符号则表示这一运算的符号 称为称为算符算符。 动量算符和哈密顿算符是量子中常见的算符动量算符和哈密顿算符是量子中常见的算符 量量子子力力学学中中，算算符符表表示示它它对对波波函函数数的的一一种种运运算算或或者者操操作作。如如动动量算符表示对波函数的微商运算。量算符表示对波函数的微商运算。 如果
3、算符满足如果算符满足 称为称为线性算符线性算符。 量量子子力力学学中中的的可可观观测测量量（也也称称为为力力学学量量或或物物理理量量，如如坐坐标标、动动量量、角角动动量量和和能能量量等等）与与相相应应的的算算符符相相对对应应，而而且且对对应应的的算算符符都都是是线性算符。线性算符。这是量子力学的一个基本假设这是量子力学的一个基本假设。 力学量的取值情况由相应算符满足的本征方程的解来决定。力学量的取值情况由相应算符满足的本征方程的解来决定。二、算符的运算规则二、算符的运算规则 1 1单位算符单位算符 称称为为单单位位算算符符。显显然然，任任意意波波函函数数皆皆为为单单位位算算符符的的本本征征态态
4、，且且本本征值为征值为1 1。 2 2算符之和算符之和 对任何波函数，有对任何波函数，有 称算符称算符 为算符为算符 和算符和算符 之和。之和。 算符的加法运算满足算符的加法运算满足 交换律：交换律： 结合律：结合律： 对任何波函数，有对任何波函数，有 3 3算符之积算符之积 对任何波函数，有对任何波函数，有 称算符称算符 为算符为算符 和算符和算符 之积。之积。 一般情况下一般情况下 这是算符运算与普通代数运算的重要区别。这是算符运算与普通代数运算的重要区别。 4 4算符之幂算符之幂 定义：算符定义：算符 的的 次幂次幂 满足满足 5 5逆算符逆算符 设设称算符称算符 为算符为算符 的逆算符
5、。的逆算符。 注注意意：并并非非所所有有的的算算符符都都具具有有相相应应的的逆逆算算符符，只只有有当当算算符符的的本本征值都不为零时才存在逆算符征值都不为零时才存在逆算符。 满足满足 6 6算符的共轭算符的共轭 对任意的波函数对任意的波函数 和和 以及算符以及算符 ，令，令 定义算符定义算符 的共轭的共轭 满足满足即即 7 7厄米算符厄米算符 若算符若算符 等于其共轭等于其共轭 ，即，即 则称算符则称算符 为为厄米算符厄米算符或或自共轭算符自共轭算符。 引引入入厄厄米米算算符符的的意意义义在在于于，量量子子力力学学中中可可观观测测量量对对应应的的算算符符都都是厄米的。是厄米的。 例例1 1求常
6、数算符求常数算符 的共轭。的共轭。 即即 所以，所以，常数算符的共轭等于其复共轭常数算符的共轭等于其复共轭。 例例2 2求微分算符求微分算符 的共轭。的共轭。 解：解： 解：解： 所以所以 由此例可以看出，算符由此例可以看出，算符 的共轭为的共轭为 例例3 3证明：证明： 。 解：解： 因为因为 所以所以 推广推广 例例4 4求算符求算符 的共轭。的共轭。 解：解： 由例由例2 2和例和例4 4可以看出，可以看出，动量算符和角动量算符都是厄米算符动量算符和角动量算符都是厄米算符。 三、算符的对易关系三、算符的对易关系 1 1对易关系对易关系 引入符号引入符号 称为算符称为算符 和和 的的对易关
7、系对易关系或或对易子对易子。 如如果果 ，则则称称算算符符 和和 是是对对易易的的（或或可可交交换换的的）；否否则，称则，称 和和 是不对易的。是不对易的。 例如，对于坐标与动量算符，显然有例如，对于坐标与动量算符，显然有 根根据据所所研研究究的的对对象象不不同同，有有时时要要用用到到两两个个算算符符的的反反对对易易关关系系，其定义为其定义为 2 2量子力学基本对易关系量子力学基本对易关系 对于任意的状态对于任意的状态 ，有，有 所以所以 此即著名的此即著名的海森堡对易关系海森堡对易关系，它是量子力学，它是量子力学最基本的对易关系最基本的对易关系。 因为因为 所以所以 ，因此，因此 用类似的方
8、法可知，时间与能量的对易关系为用类似的方法可知，时间与能量的对易关系为 。 例例5 5计算对易关系计算对易关系 。 解：解： 所以所以 3 3对易关系代数的运算规则对易关系代数的运算规则 例例6 6计算计算 。 解：解： 利用例利用例5 5结果，也可以求得结果，也可以求得 例例7 7计算计算 。 解：解： 定义定义轨道角动量算符轨道角动量算符 ，则其分量形式为，则其分量形式为 例例8 8计算计算 、 。 解：解： 引入记号引入记号 （反对称三阶张量）（反对称三阶张量），定义，定义 总结起来，有总结起来，有 例例9 9计算计算 、 。 解：解： 总结，有总结，有 解：解： 例例1010计算计算 。 总结，有总结，有 因为因为 所以，上式也可写成所以，上式也可写成 解：解： 例例1111角动量算符平方算符角动量算符平方算符 ，计算，计算 。 总结，有总结，有
