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1、目录 上页 下页 返回 结束 三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式一、一、 型未定式型未定式第二节洛必达法则 第三三章 目录 上页 下页 返回 结束 若两个函数时都趋于零或趋于那么，可能存在，也可能不存在。此种极限称为未定式。 分别简记为“商的极限等于极限的商”的法则来计算。此外，还有等共七种类型。未定式等仅是一个习惯记号，没有运算意义。通常这种极限不能用目录 上页 下页 返回 结束 一、一、存在 (或为 )定理定理 1.型未定式型未定式(洛必达法则) 目录 上页 下页 返回 结束 ( 在 x , a 之间)证证:无妨假设在指出的邻域内任取则在以 x, a 为端点的区间上满
2、足柯故定理条件定理条件: 西定理条件,存在 (或为 )目录 上页 下页 返回 结束 推论推论1. 定理 1 中换为下列过程之一:推论推论 2. 若理1条件, 则条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.洛必达法则目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求解解: 原式注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !洛洛洛洛目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求解解: 原式本题第二步也可用等价无穷小替换来做，在求极限时将洛必达法则与等价无穷小替换结合起来，会大大提高解题效率. 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求解解: 注意到原式洛洛目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求解解: 原
3、式 思考思考: 如何求 ( n 为正整数) ?洛洛目录 上页 下页 返回 结束 解：解：练习练习目录 上页 下页 返回 结束 二、二、型未定式型未定式存在 (或为)定理定理 2.(洛必达法则)目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 定理中换为之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.例例5. 求解解:原式目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求求解解: (1) n 为正整数的情形.原式洛洛洛洛洛洛(2) n 不为正整数的情形.从而由(1)用夹逼准则存在正整数 k , 使当 x 1 时,目录 上页 下页 返回 结束 例6.例5. 说明说明:1) 例5 , 例6 表明时,后者比前者趋于
4、更快 .例如,事实上用洛必达法则2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 目录 上页 下页 返回 结束 3) 若例如例如,极限不存在不能用洛必达法则 ! 即 目录 上页 下页 返回 结束 你还打算做下去吗?这样做 , 分母中 x 的次数将越来越高 , 而分子不变 , 极限始终无法求出 .练习练习解：解：目录 上页 下页 返回 结束 将原极限稍加变形 :练习练习解：解：目录 上页 下页 返回 结束 三、其他未定式三、其他未定式:解决方法解决方法:通分转化转化取倒数转化转化取对数转化转化例例7. 求解解: 原式洛洛目录 上页 下页 返回 结束 解解: 原式例例8. 求通分转
5、化转化取倒数转化转化取对数转化转化洛洛目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求解解: 利用利用 例例7通分转化转化取倒数转化转化取对数转化转化目录 上页 下页 返回 结束 例例10.解：解：例例11.解：解：目录 上页 下页 返回 结束 例例5例例12. 求法法1. 直接用洛必达法则.下一步计算很繁 ! 法法2. 利用例5结果.原式例例5目录 上页 下页 返回 结束 注注 对数列极限不能直接用洛必达法则对数列极限不能直接用洛必达法则.如：如：正确解：正确解：目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结洛必达法则洛必达法则目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设是未定式极限 , 如果是否的极限也不存在 ? 举例说明 .极限不存在 , 原式分析分析:目录 上页 下页 返回 结束 分析分析:3.原式洛洛目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P138 1 (12)， (16);4
