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1、第三第三节 一一阶线性性微分方程微分方程高等数学 05-03-01一、一、线性微分方程性微分方程二、伯努利方程二、伯努利方程高等数学 05-03-02线性微分方程性微分方程 未知函数及其未知函数及其导数都是一次数都是一次幂的的微分方程，称微分方程，称为线性微分方程。性微分方程。高等数学 05-03-03一一阶线性微分方程性微分方程(first order linear differential equation) 形如形如高等数学 05-03-04的方程，称的方程，称为一一阶线性微分方程，其性微分方程，其中中 P(x)，Q(x) 为已知函数。已知函数。若自由若自由项 Q(x)0，则称此方程称此
2、方程而当而当 Q(x) 0 时，称，称高等数学 05-03-05为一一阶线性性齐次微分方程。次微分方程。为一一阶线性非性非齐次微分方程。次微分方程。例例 试判断下列微分方程是否判断下列微分方程是否为一一阶线性微分方程。性微分方程。是是是是不是不是是是不是不是高等数学 05-03-06（1）（2）（3）（4）（5）一一阶线性性齐次微分方程次微分方程高等数学 05-03-07通解通解为一一阶线性非性非齐次微分方程次微分方程高等数学 05-03-08解解为常数常数变易法）易法）一一阶线性非性非齐次方程次方程齐次方程的通解次方程的通解 非非齐次方程的特解次方程的特解高等数学 05-03-09通解通解为
3、例例 求下列微分方程的通解。求下列微分方程的通解。高等数学 05-03-10例例 求下列微分方程的通解。求下列微分方程的通解。高等数学 05-03-11例例 假假设 ，求，求 f(x)。高等数学 05-03-12课堂堂讨论题 求下列微分方程的通求下列微分方程的通解。解。高等数学 05-03-13伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程 形如形如高等数学 05-03-14的方程，称的方程，称为伯努利方程。伯努利方程。令令高等数学 05-03-15那么那么代入方程得代入方程得例例 求下列微分方程的通解。求下列微分方程的通解。高等数学 05-03-16例例 求下列微分方程的通解。求下列微分方程的通解。高等数学 05-03-17课堂堂讨论题 求下列微分方程的通解。求下列微分方程的通解。高等数学 05-03-18小小结：一：一阶线性微分方程性微分方程 （齐次，非次，非齐次）次） 常数常数变易法易法 伯努利方程伯努利方程高等数学 05-03-19作作业：P122 习题五五 4(1)(3)(8)(11)
