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1、19.4逆命题与逆定理4.线段垂直平分线线段垂直平分线w线段垂直平分线上的点到这条线段两线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等个端点距离相等. .w你能证明这一结论吗你能证明这一结论吗? ?回顾思考已知已知: :如图如图,AC=BC,MNAB,AC=BC,MNAB于点于点C,PC,P是是MNMN上任意一点上任意一点. .求证求证:PA=PB.:PA=PB.ACBPMN老师期望老师期望: :你能说出规范的证你能说出规范的证明过程吗明过程吗? ?线段垂直平分线证明证明:MNAB (:MNAB (已知已知) ) 所以所以 PCA=PCB=90( PCA=PCB=90(垂直的定义垂直的定义)
2、) 在在PCAPCA和和PCBPCB中中, ,因为因为 AC=BC , ( AC=BC , (已知已知) ) PCA=PCB, ( PCA=PCB, (已证已证) ) PC=PC, ( PC=PC, (公共边公共边) ) 所以所以 PCAPCB(SAS) PCAPCB(SAS) 因此因此 PA=PB ( PA=PB (全等三角形全等三角形 的对应边相等的对应边相等).).ACBPMN于是就有定理：于是就有定理： 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等距离相等 过程再现过程再现过程再现线段垂直平分线 基础闯关基础闯关如图如图,已知已知AB
3、是线段是线段CD的垂直平的垂直平分线分线,E是是AB上的一点上的一点,如果如果EC=7cm,那么那么ED= cm;如果如果ECD=600,那么那么EDC= 0.EDABC760线段垂直平分线w反过来反过来: : 到一条线段两个到一条线段两个端点距离相等的点端点距离相等的点, ,在这条在这条线段的垂直平分线上吗线段的垂直平分线上吗? ?ABP已知已知: :如图如图,PA=PB.,PA=PB.求证求证: :点点P P在在ABAB的垂直平的垂直平分线上分线上. .思考分析?线段垂直平分线w定理定理 : :到一条线段两个端点距离相到一条线段两个端点距离相等的点等的点, ,在这条线段的垂直平分线上在这条
4、线段的垂直平分线上. .ACBPMNw如图如图,PA=PB(,PA=PB(已知已知),),w点点P P在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上w( (到一条线段两个端点距离到一条线段两个端点距离相等的点相等的点, ,在这条线段的垂在这条线段的垂w直平分线上直平分线上).).老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.线段垂直平分线NABPMPA=PBPA=PB点点P P在线段在线段ABAB的垂直的垂直平分线平分线MNMN上上定理：定理：到一条线段两个端点距离相等到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上的点，在这条线段的垂直平分线上. .定理：定理：
5、线段垂直平分线上的点和这条线线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等段两个端点的距离相等. .线段垂直平分线 已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中, AB, AB、BCBC的中垂的中垂线交于点线交于点O O，那么点，那么点O O在在ACAC的中垂线吗？为的中垂线吗？为什么？什么？BACMNEFO开启智慧这点这点o是三角是三角形的形的 心心外外从这里我们可以看到从这里我们可以看到, ,要想证明三角形三条垂直平分线交于要想证明三角形三条垂直平分线交于一点一点, ,只需证明其中的两条垂直平分线的交点一定在第三条只需证明其中的两条垂直平分线的交点一定在第三条垂直平分线垂直平分线上就
6、可以了上就可以了. .线段垂直平分线练习1 如图，已知点A、点B以及直线l，在直线l上求作一点P，使PAPB提示：连结AB,作AB的垂直平垂直平分线，交直线分线，交直线L于于P,点点P就是所就是所求的点。求的点。线段垂直平分线2 如图，已知AECE， BDAC求证： ABCDADBC 证明： AECE， BDACBA=BC DA=DC(线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的点到这条线段的两个端点的距离相等的距离相等)BA+DA=BC+DC 线段垂直平分线3 如图，在ABC上，已知点D在BC上，且BDADBC求证： 点D在AC的垂直平分线上证明： BDADBCAD=BC-
7、BD=CD点D在AC的垂直平分线上(到一条线段两个端到一条线段两个端点距离相等的点点距离相等的点,在这条在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上)线段垂直平分线 鹤壁市淇滨区政府为了方便鹤壁市淇滨区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅居民的生活，计划在三个住宅小区小区A A、B B、C C之间修建一个购物之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。区的距离相等。ABC生活中的数学生活中的数学线段垂直平分线角的平分线角的平分线ODEABPC定理定理1 1 在角的平分线上的点在角的平分线上的点到这个角的两
8、边的到这个角的两边的距离相等距离相等。定理定理2 2 到一个角的两边的到一个角的两边的距距离相等离相等的点，在这个角的平分的点，在这个角的平分线上。线上。 角的平分线是到角的角的平分线是到角的两边两边距离距离相等相等的所有点的集合的所有点的集合 线段的垂直平分线线段的垂直平分线定定 理理 线段垂直平分线上的点和线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的这条线段两个端点的距离相等距离相等。逆定理逆定理 和一条线段两个端点和一条线段两个端点距距离相等离相等的点，在这条线段的垂直的点，在这条线段的垂直平分线上。平分线上。 线段的垂直平分线可以看作是和线段的垂直平分线可以看作是和线段线段两上端点两上端点距离相等距离相等的所有点的所有点的集合的集合ABMNP点的集合是一条射线点的集合是一条射线点的集合是一条直线点的集合是一条直线线段垂直平分线下课了下课了! ! 线段垂直平分线
