2023年信号与系统-期中考试超详细解析答案

学习必备 欢迎下载 2-1 已知系统的微分方程为  )(4)(23322tuetrdttdrdttrdt 且初始条件为, 4)0( , 3)0(rr 求系统的完全响应、自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应 【解】 ： （一）自由响应( )hr t ，即齐次解，可以按照如下方法求得： 令  2232 ( )0d r tdr tr tdtdt， 特征方程为：2320  ，特征根：11  ，22 ，特征模式为te，2te，于是212( )tthr tAeA e （二）强迫响应( )pr t，即特解，可以按照如下方法求得（参见表 2-3 ） ： 因为原方程中的强迫项为34( )teu t，所以3( )tprBet，将此特解代入原方程，得到2B  （三）完全解( )r t ，可以按照如下方法求得： 3212( )( )( )2tthptr tr tr tAeAee 由于完全解通常是在0t  的条件下求得，因此需要知道初始条件(0 )r ，(0 )r 观察原方程可以看出，方程的右边不含冲激函数( ) t ，且在0t  附近有界，于是在0t  附近( )r t 有界，( )r t 连续，( )r t 连续，因此 (0 )(0 )3rr， (0 )(0 )4rr 根据以上初始条件，可以解出完全解( )r t中的常数1212, 11AA  ，故 23( )12112tttr teee （四）零输入响应( )zirt 令  2232 ( )0d r tdr tr tdtdt，按照步骤（一）同样的方法可以得到： 212( )ttzirtC eC e， 由于输入信号为零，系统没有外部输入信号的激励作用，只在系统内部储能的作用下，按照系统固有的特征模式（te和2te）运动，此时系统保持连续平稳的运动状态，初始条件不学习必备 欢迎下载 会产生跃变，因此(0 )(0 )3zizirr， (0 )(0 )4zizirr ，将它们代入( )zirt 的表达式，得到1210, C7C  ，故 2( )107ttzirtee （五）零状态相应( )zsrt 此时的微分方程可以写成   23232( )4( )zszstzsd rtdrtrteu tdtdt 初始条件为(0 )0, (0 )0zszsrr。

根据完全解的表达式可以得到 1322( )2ttzstrtD eD ee 用步骤（三）同样的分析方法可以知道(0 )(0 )0zszsrr，(0 )(0 )0zszsrr，将它们代入( )zsrt 的表达式，得到122, D4D  ，故 23( )242tsttzrteee 2-2 求系统)(3)(2)( tetrtr的冲激响应 【解】 ：方法一：时域经典法 令( )( )e tt ，系统方程变为 ( )2 ( )3 ( )r tr tt ， 由于冲激响应是一种零状态响应，初始条件为(0 )0r ，因此，需要考虑从0到0状态的跳变问题，以求得(0 )r根据冲激函数平衡法，观察方程两边可以知道，( )r t 中含有( ) t ，( )r t 中不含( ) t，故( )r t在0t  附近有界，即|( ) |r tM（M 是某个正实数） ，000000()|()|0rtd trt d tM d t ， 对系统方程两边从0到0积分 000000( ) 2 ( )3 ( )r t dtr t dtt dt (0 )(0 )03rr  下方法求得参见表因为原方程中的强迫项为所以将此特解代入原方程得附近有界连续连续因此根据以上初始条件可以解出完全解中的常数故四系统保持连续平稳的运动状态初始条件不学习必备欢迎下载会产生跃变学习必备 欢迎下载 (0 )3r 于是，我们可以写出0t  时的系统微分方程和初始条件： ( )2 ( )0r tr t ，(0 )3r 这是一个齐次方程。

至此，求解冲激响应的问题就转化为当0t 时求解齐次方程的问题解此方程，得到：2( )tr tAe（0t ） ，代入初始条件得到3A ，因此，该系统的冲激响应为 2( )3( )th teu t ( )h t 中乘上( )u t是为了含摄0t 的条件 方法二：冲激函数系数匹配法（参见教材 2.6 节例 2-9 ） 观察系统方程 ( )2 ( )3 ( )r tr tt 可以知道，( )r t 中不含冲激函数( ) t，于是( )r t 中只含有系统固有的特征运动模式2te （特征方程为20  ，特征根为2  ） ，因此 2( )( )tr tAeu t（特征模式2te乘上( )u t是为了含摄0t 的条件） ， 222( )2( )( )2( )( )tttr tAeu tAetAeu tAt    将( )r t 和( )r t代入系统方程， 222( )( )2( )3 ( )ttAeu tAtAeu tt 注意上面的式子中，特征模式2te的系数自动平衡，这是由特征方程20 所保证的。

比较( ) t 的系数，可以得到3A ，故 2( )3( )tr teu t 或者写作2( )3( )th teu t 2-3 如图2-3所示电路， 激励信号为)(te， 求当)()(tte和)()(tute时的响应信号)(tvL 下方法求得参见表因为原方程中的强迫项为所以将此特解代入原方程得附近有界连续连续因此根据以上初始条件可以解出完全解中的常数故四系统保持连续平稳的运动状态初始条件不学习必备欢迎下载会产生跃变学习必备 欢迎下载 图 2-3 【解】( )( )Ldi tv tLdt ，1( )( )tLi tv t dtL ， 根据基尔霍夫电压定律，列出方程 ( )( )( )LRvtvte t ( )( )( )tLLRv tv t dte tL 两边对 t 求导，得到 ( )( )( )LLdvtRde tv tdtLdt 当( )( )e tt 时，系统方程变为 ( )( )( )LLdvtRdtv tdtLdt 根据冲激函数平衡法（参见教材 2.6 节例 2-9 ） ，可以知道( )Lvt 中含有( ) t，再加上系统固有的特征运动模式RtLe ，于是系统的冲激响应具有如下形式 ( )( )( )RtLLvtAtBeu t ( )( )( )( )( )( )( )RRRtttLLLLdvtdtBRdtBRAeu tBetAeu tBtdtdtLdtL， 将( )Lvt和( )Ldvtdt代入系统方程，比较( )dtdt和( ) t的系数，得到1A ，RBL  ，故 ( )( )( )RtLLRv tteu tL 或者写作( )( )( )RtLRh tteu tL 类似地，当( )( )e tu t时，可以求得系统的阶跃响应( )( )RtLg teu t 可以验证冲激响应是阶跃响应的导数( )( )dg th tdt 2-4 一个系统的冲激响应为)()()(tuettht，激励信号为)()(ttute，试求系统的零状态响应)()()(thtetrzs。

【解】 ：这是一个求卷积的问题，首先注意到( )( )( )f ttf t对于任意函数( )f t 均成立（参见教材第 77 页（2-71 ）式） ，于是 下方法求得参见表因为原方程中的强迫项为所以将此特解代入原方程得附近有界连续连续因此根据以上初始条件可以解出完全解中的常数故四系统保持连续平稳的运动状态初始条件不学习必备欢迎下载会产生跃变学习必备 欢迎下载    ()()000( )( )( )( ) *( )( )( ) * ( )( ) *( )( )( )()( )( )( )( )( )(1)( )(21) ( )zsttttttttttrte th ttu tte u ttu tttu te u ttu tueu tdtu tedu ttu tee du ttu teeu tteu t      其中第 4 个等式中的积分的上下限由( ) ()uu t 给出，只有当0t  时，被积函数才不为零，因此积分下限为 0，积分上限为 t，而且 t>0，故整个积分的外面要乘上 u(t)。

2-5试求图 2-5所示两信号的卷积，并画出波形 图 2-5 下方法求得参见表因为原方程中的强迫项为所以将此特解代入原方程得附近有界连续连续因此根据以上初始条件可以解出完全解中的常数故四系统保持连续平稳的运动状态初始条件不学习必备欢迎下载会产生跃变学习必备 欢迎下载 下方法求得参见表因为原方程中的强迫项为所以将此特解代入原方程得附近有界连续连续因此根据以上初始条件可以解出完全解中的常数故四系统保持连续平稳的运动状态初始条件不学习必备欢迎下载会产生跃变学习必备 欢迎下载 3-1设  Ftf，试用 F表示下列各信号的频谱 （1） ttfm0cos1； （2）   tft2； （3） dttdfetj0； （4）   3 tftf； 【解】 ： （1）运用公式000cos()[ ()()]w twwww，00( )* ()()f tttf tt（参见（2-72 ）式） ，以及频域卷积定理得到 000[1( )]cos()cos()( )cos()mf tw tw tmf tw t 0000[ ()()][()()]2mwwwwF wwF ww （2）根据频域微分定理：( )( )dF wjtf tdw ，得到 )(2)()(2)()() 2(wFwFjtfttftft （3）根据时域微分定理)()(wjwFdttdf，以及频移性质，得到 )()()(000wwFwwjdttdfetjw （4）根据时移性质wjewFtf3)() 3(，以及时域卷积定理，得到： wjwjewFewFwFtftf323)()().() 3(*)( 3-2 先求如下图(a)所示信号 tf的频谱 F的具体表达式，再利用傅里叶变换的性质由 F求出其余信号（b） （c） （d）的频谱的具体表达式。

【解】 ： （a）( )(1)[ ( )(1)]f tt u tu t ，对 f(t)求一阶和二阶导数得到 [ ( )(1)][ ( )(1)][ ( )(1)][]( )(1( )( )(1)( )(1)( ))u tu tt u tu tu tu ttuddf tdtdttu tttttt  下方法求得参见表因为原方程中的强迫项为所以将此特解代入原方程得附近有界连续连续因此根据以上初始条件可以解出完全解中的常数故四系统保持连续平稳的运动状态初始条件不学习必备欢迎下载会产生跃变学习必备 欢迎下载 其中( )0tt ，(1)(1)ttt  ) 1()()()(ttttf ( )1jwftjwe   根据时域微分定理)()(wjwFdttdf，可知 1( )jwjwef tjw  21( )()jwjwef tjw 21( )(1)jwF wjwew （b）由于) 1()(1tftf 故 jwjwjweejwwewFwF)1 (1)()(21 （c）) 1()()(12tftftf jwjweejwwwFwF)1 (1)()(212 (d)根据尺度变换和时移性质231( )[(2)]2 ( 2 )2j wf tftFw e  2232()( 12)2j wj weF wj wew 3-3 如图 3-3所示余弦脉冲信号为1 , 0 1 ),cos1 ( 5 . 0)(tt ttf， 试利用线性和频域卷积性质求)(tf频谱。

提示：)cos2121)(()(2 ttgtf ，)(2tg是门函数或矩形脉冲 图 3-3 图 3-4 【解】 ： 下方法求得参见表因为原方程中的强迫项为所以将此特解代入原方程得附近有界连续连续因此根据以上初始条件可以解出完全解中的常数故四系统保持连续平稳的运动状态初始条件不学习必备欢迎下载会产生跃变学习必备 欢迎下载 由于( )2gtSa，其中1， 12()  ，000cos()[ ()()]t  ， 根据频域卷积定理可以得到 211( )( )( )()()221SaFSaSaSa      3-4 如图 3-4 所示两矩形函数)(1tf和)(2tf：(1) 画出)()()(21tftftf*的图形；(2) 求)()()(21tftftf*的频谱函数 F 【解】 ： 不妨设12  ，111( )( )f tE gt，222( )( )f tE gt ， 1221111212121221121212/2/2/2/212( )*( )( )()()0 , () / 2 , () / 2() / 2 , (())tf tf tfE gE gf tdtdtdE EE Etd         122112/2/2211212/ 2() / 2 , () / 2() / 20 , () / 20 , tEtttE dt     121212122112 1212112122112() / 2 , () / 2() / 2, () / 2() / 2 , () / 2() / 20 , 2 2E EtE EE Etttt             12 () / 2t  如下图所示 下方法求得参见表因为原方程中的强迫项为所以将此特解代入原方程得附近有界连续连续因此根据以上初始条件可以解出完全解中的常数故四系统保持连续平稳的运动状态初始条件不学习必备欢迎下载会产生跃变学习必备 欢迎下载 3-5 已知    11tutuetft，求信号 tf的频谱函数 F的具体表达式。

【解】 ：     1(1)1( )(1)tttf teu tu te e u teu t   根据单边指数函数的频谱公式：1( )1te u tj ，以及时移性质，可以得到 (1)(1)1jteeu tj   因此1( )1jef tj 3-6设)3502cos()( ),502cos()(21ttfttf，均按周期 TS = (1/400)s 抽样试问哪个信号可以不失真地从抽样信号恢复出原信号？ 【解】 ：1100 ，2700，2800ssT ，根据奈奎斯特准则，12s，信号1( )f t 采样后，可以不失真地从抽样信号恢复出原信号 (2)因下方法求得参见表因为原方程中的强迫项为所以将此特解代入原方程得附近有界连续连续因此根据以上初始条件可以解出完全解中的常数故四系统保持连续平稳的运动状态初始条件不学习必备欢迎下载会产生跃变学习必备 欢迎下载 3-7 已知如图 3-7所示三角波信号 tf， （1）求出其频谱 F； （2） tfs是对 tf以等间隔8 /TTs进行抽样所得信号，)()()(tptftfs，nsnTttp)()(， 试求 sF。

【解】 ： （1）根据三角脉冲的频谱公式 2( )4TFT Sa  （2）冲激序列nsnTttp)()(的频谱（参加例 3-10之（3-95 ）式） ( )()ssnPn ，216ssTT 2221( )( )*( )21*()24()241684sssnssnnFFPTT SanTnTSaTnSa  3-8已知如图 3-8所示半波余弦信号 tf的傅里叶变换为 2222( )cos21TETFT， 求 tf的周期延拓信号 ty的傅里叶变换 Y )(costgTtEtfT 图 3-7 图 3-8 【解】 ：( )y t 是周期信号，周期为 T，可以先展开为指数形式的傅立叶级数 1( )jntnny tYe ，12T 是基波角频率，其中系数nY 可以根据单脉冲函数 tf的傅立叶变换求得（参见教材 3.9 节的讲解，以及公式（3-91） ， （3-92） ， （3-93） ） ，于是 下方法求得参见表因为原方程中的强迫项为所以将此特解代入原方程得附近有界连续连续因此根据以上初始条件可以解出完全解中的常数故四系统保持连续平稳的运动状态初始条件不学习必备欢迎下载会产生跃变学习必备 欢迎下载 112212222cos2()12cos()(14)( 1) 2(141( )1)nnnnTETnTYFEEnTTnn  因此， 1122( )(( 1) 22(14)( 1)4())(14)nnnnEnnYnEn 下方法求得参见表因为原方程中的强迫项为所以将此特解代入原方程得附近有界连续连续因此根据以上初始条件可以解出完全解中的常数故四系统保持连续平稳的运动状态初始条件不学习必备欢迎下载会产生跃变。