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1、第第第第 1 1 页页页页2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质 卷积卷积代数代数运算运算 与冲激函数或阶跃函数的卷与冲激函数或阶跃函数的卷积积 微分积分性质微分积分性质 卷积的时移特性卷积的时移特性 相关函数相关函数 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。第第第第 2 2 页页页页一、卷积一、卷积代数运算1交换律2分配律3结合律系统并联运算系统并联运算系统级联运算系统级联运算证明证明第第第第 3 3 页页页页证明交换律卷积结果与交换两函数的次序无关。卷积结果
2、与交换两函数的次序无关。一般选比较简单函数进行反转和平移。一般选比较简单函数进行反转和平移。第第第第 4 4 页页页页二、与冲激函数或阶跃函数的卷积1. f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t) 证：证：f(t)*(t t0) = f(t t0)2. f(t)*(t) = f(t) 证：证：f(t)*(n)(t) = f (n)(t)3. f(t)*(t)(t) *(t) = t(t)第第第第 5 5 页页页页三、卷积的微积分性质三、卷积的微积分性质1.证：上式证：上式= (n)(t) *f1(t)* f2(t) = (n)(t) *f1(t) * f2(t) = f1(n)(t) *
3、 f2(t) 2.证：上式证：上式=(t) *f1(t)* f2(t) = (t) *f1(t) * f2(t) = f1(1)(t) * f2(t) 3. 在在f1( ) = 0或或f2(1)() = 0的前提下的前提下， f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) 例例1 1例例2 2第第第第 6 6 页页页页卷积性质例1例例1：f1(t) 如图如图, f2(t) = et(t)，求，求f1(t)* f2(t) 解：解： f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t)f1(t) = (t) (t 2) f1(t)* f2(t)=(1- et)(t) 1- e
4、(t-2)(t-2) 注意注意：当：当 f1(t)=1 ， f2(t) = et(t)，套用套用 f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) = 0* f2(1)(t) = 0 显然是错误的显然是错误的。第第第第 7 7 页页页页四、卷积的时移特性四、卷积的时移特性若若 f(t) = f1(t)* f2(t)，则则 f1(t t1)* f2(t t2) = f1(t t1 t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t t1 t2) = f(t t1 t2) 例例求卷积是本章的重点与难点。求卷积是本章的重点与难点。求解求解卷积的方法卷积的方法可归纳为：可归纳为：（1）利用定
5、义式，直接进行积分利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质利用性质。比较灵活。比较灵活。三者常常结合起来使用。三者常常结合起来使用。第第第第 8 8 页页页页卷积性质例3例：例：f1(t), f2(t)如图，求如图，求f1(t)* f2(t) 解：解： f1(t) = 2 (t) 2 (t 1) f2(t) = (t+1) (t 1) f1(t)* f2(t) = 2 (t)* (t+1) 2 (t
6、)* (t 1) 2 (t 1)* (t+1) +2 (t 1)* (t 1) 由于由于 (t)* (t) = t (t) 据时移特性，有据时移特性，有f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) (t+1) - 2 (t 1) (t 1) 2 t (t) +2 (t 2) (t 2)第第第第 9 9 页页页页五、相关函数五、相关函数 相关函数是鉴别信号的有力工具，被广泛应相关函数是鉴别信号的有力工具，被广泛应用于雷达回波的识别，通信同步信号的识别等领用于雷达回波的识别，通信同步信号的识别等领域。域。 相关是一种与卷积类似的运算。与卷积不同相关是一种与卷积类似的运算。与卷积不同的是没有一个函数
7、的反转。的是没有一个函数的反转。 相关函数的定义相关函数的定义 相关与卷积的关系相关与卷积的关系 相关函数的图解相关函数的图解第第第第 1010 页页页页1.定义定义实能量有限函数实能量有限函数f1(t)和和f2(t)的互相关函数的互相关函数 互相关是表示两个不同函数的相似性参数。互相关是表示两个不同函数的相似性参数。可证明可证明，R12()=R21()。若若f1(t)= f2(t) = f(t)，则得自相关函数，则得自相关函数显然，显然，R(- -)= R()偶函数。偶函数。注注第第第第 1111 页页页页2. 相关与卷积的关系相关与卷积的关系R12(t)= f1(t)* f2(t)R21(
8、t) = f1(t)* f2(t) 。可见，可见，若若f1(t)和和 f2(t)均为实偶函数，则卷积与均为实偶函数，则卷积与相关完全相同。相关完全相同。第第第第 1212 页页页页3. 相关函数的图解相关函数的图解 (0t12)第第第第 1313 页页页页实功率有限信号相关函数的定义实功率有限信号相关函数的定义f1(t)与f2(t)是功率有限信号相关函数：相关函数： 自相关函数：自相关函数： 例例第第第第 1414 页页页页解：解：对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有第第第第 1515 页页页页此例结论1. 周期信号自相关函数仍为周期信号周期信号自相
9、关函数仍为周期信号,且周期相同。且周期相同。2.自相关函数是一偶函数，自相关函数是一偶函数，R(0)为最大值。为最大值。3.余弦函数自相关函数仍为余弦余弦函数自相关函数仍为余弦;同理可证，任意相位的同理可证，任意相位的正弦，余弦之自相关函数仍为余弦。正弦，余弦之自相关函数仍为余弦。第第第第 1616 页页页页系统级联系统级联，框图表示：系统级联，框图表示： 结论结论：子系统级联时，总的冲激响应等于子系统：子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。冲激响应的卷积。 第第第第 1717 页页页页系统并联系统并联，框图表示：系统并联，框图表示： 结论结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于：子系统并联时，总系统的冲激响应等于各各子系统冲激响应之和。子系统冲激响应之和。
