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1、大学数学大学数学（二）脚本编写：曾金平 刘楚中课件制作：曾金平 刘楚中1 空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算一、向量概念一、向量概念1.向量向量: 既有大小既有大小, 又有方向的量又有方向的量, 称为称为向量向量.(或矢量或矢量)2. 向量的几何表示法向量的几何表示法: 用一条有方向的线段来表示向量用一条有方向的线段来表示向量.以线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向.AB向量AB的大小叫做向量的模. 记为模为1的向量称为单位向量.模为0的向量称为零向量， 它的方向可以看作是任意的.特别3. 自由向量自由向量自自由由向向量量: 只只有有大大小小、方方向向, 而而无无特特
2、定定起起点点的的向向量量. 具具有有在在空空间间中中可可以以任任意意平平移的性质移的性质. 大小相等且方向相同,二、向量的加减法二、向量的加减法1. 定义定义1.1. 向量加法向量加法(1) 平行四边形法则设有 (若起点不重合, 可平移至重合). 作以 为邻边的平行四边形, 对角线向量, 称为 的和, 记作(2) 三角形法则将 之一平行移动,使 的起点与 的终点重合, 则由 的起点到 的终点所引的向量为2. 向量加法的运算规律向量加法的运算规律.(1) 交换律: (2) 结合律:例如例如:3. 向量减法向量减法.(1) 负向量: 与 模相同而方向相反的向量, 称为 的负向量.记作(2) 向量减
3、法.规定:（a） 平行四边形法则平行四边形法则.将 之一平移, 使起点重合, 作以 为邻边的平行四边形, 对角线向量, 为 （b三角形法则三角形法则.将 之一平移, 使起点重合, 由 的终点向 的终点作一向量, 即为 三、数与向量的乘法三、数与向量的乘法1. 定义定义1.2:实数与向量 的 为一个向量.其中: 当 0时, 当 0时, 当 = 0时, 2. 数与向量的乘积的运算规律数与向量的乘积的运算规律:(1) 结合律:(2) 分配律:( 0)结论结论: 设设 表示与非零向量表示与非零向量 同向的同向的单位向量单位向量.那么或定理定理1.1: 两个非零向量两个非零向量 平行平行存在唯一实数，使
4、得例例1.1: 在平行四边形在平行四边形ABCD中中, 设设AB= , AD =试用 表示向量MA, MB, MC, 和MD.其中, M是平行四边形对角线的交点.解:= AC = 2MC有MC = 又 = BD = 2MD有MD = MB = MD MA = MC DABCM四四. 向量在轴上的投影向量在轴上的投影1. 点在轴上投影点在轴上投影设有空间一点 A 及轴 u, 过 A 作 u 轴的垂直平面 ,平面 与 u 轴的交点A 叫做点 A 在轴 u 上的投影.AAu2. 向量在轴上的投影向量在轴上的投影.设有向线段AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A 和B . 定义定义1.3:BBA
5、Au向量AB在轴u上的投影向量或射影向量.称有向线段A B 为如果向量e为与轴u的正方向的单位向量，则称 x 为向量 AB 在轴u上的投影，记作则向量 AB 的投影向量 AB 有：BBAAue3. 两向量的夹角两向量的夹角设有非零向量(起点同).规定：正向间位于0到之间的那个夹角为 的夹角,记为 或(1) 假设 同向，那么(2) 假设 反向，那么(3) 假设 不平行，那么4. 向量的投影性质向量的投影性质.定理定理1.2. (投影定理投影定理) 设向量设向量AB与轴与轴u的夹的夹角为角为那么 ProjuAB = | AB |cos BBAAuB1定定理理1.3 两两个个向向量量的的和和在在轴轴
6、u上上的的投投影影等等于于两两上上向量在该轴上的投影的和。向量在该轴上的投影的和。推论推论:BBAAuCC即即定定理理1.4: 实实数数与与向向量量 的的乘乘积积在在轴轴u上上的的投投影影，等等于于乘乘以以向向量量 在在该该轴轴上上的投影。的投影。一、空间直角坐标系的建立一、空间直角坐标系的建立1. 空间直角坐标系空间直角坐标系ozxyzxy x轴(横轴)、 y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系, 又称笛卡尔(Descartes)坐标系，点O叫做坐标原点.o2 空空间间直直角角坐坐标标系系与与空空间间向向量量的的坐坐标表示标表示2. 坐标面坐标面. 由三条坐标轴的任意两条确定的平
7、面, 称为坐标面, 分别叫x y面. y z面、z x面, 它们将空间分成八个卦限.zIVVIVVII0xyVIIIIIIIII1. 点在空间直角坐标系中的坐标表示点在空间直角坐标系中的坐标表示.RQP (x, y, z)记: 点M为M (x, y, z)OxyzMxyz二、空间向量的表示二、空间向量的表示(1) 若点M在yz面上, 那么 x = 0; 在zx面上, 那么 y = 0; 在xy面上, 那么 z = 0.(2) 若点M在 x 轴上, 那么 y = z = 0在 y 轴上, 那么 x = z = 0在 z 轴上, 那么 x = y = 0特别特别:2. 空间向量的坐标表示空间向量的
8、坐标表示(1). 起点在原点的向量OM设点 M (x, y, z)以 i, j, k 分别表示沿 x, y, z轴正向的单位向量, 称为基本单位向量. OM = OA + AN +NM= OA + OB + OC = xi + yj + zkx, y, z,分别是OM 在三坐标轴上的投影, 称为OM 的坐标.zijkMoxyCABzyxN简记为 OM =(x, y, z)称为向量OM的坐标表示式.zijkMoxyCABzyxN由于：从而：(2.1)(2). 起点不在原点O的任一向量 a = M1M2设点 M1 (x1, y1 , z1), M2 (x2, y2 , z2)a = M1M2 =
9、OM2 OM1= (x2 i+ y2 j + z2 k) (x1 i + y1 j + z1 k) = (x2 x1) i + (y2 y1) j + (z2 z1) k即 a = (x2 x1 , y2 y1 , z2 z1) 为向量a的坐标表示式记 ax = x2 x1 , ay = y2 y1 , az = z2 z1分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影, 称为a的坐标.zxyM1M2aoa = M1M2 = (x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)(2.2)两点间距离公式：(2.3)由此得(3). 运算性质设 a =(ax , ay , az), b =(bx , by , bz
10、), 且为常数 a b = (ax bx , ay by , az bz ) a = (ax , ay , az)证明: a + b = (ax i + ay j+ az k) +(bxi + by j+ bz k)= (ax i + bxi ) +(ay j+ by j) + (az k + bz k)= (ax + bx) i + (ay+ by) j + (az+ bz ) k a + b = (ax + bx , ay + by , az + bz )(4) 两向量平行的充要条件.设非零向量 a =(ax , ay , az), b =(bx , by , bz), 即ax =bx,
11、ay =by, az =bz,于是注: 在(*) 式中, 规定若某个分母为零相应的分子也为零. a / b(*) a / b a = b那么(为常数)例如：(4, 0, 6) / (2, 0, 3)三、向量的模与方向余弦的坐标表示式三、向量的模与方向余弦的坐标表示式.1. 方方向向角角: 非非零零向向量量a 与与x, y, z 轴轴正正向向夹夹角角, , , 称称为为a 的的方方向角向角.2. 方向余弦方向余弦: 方向角的余弦方向角的余弦 cos, cos, cos, 称为方向余称为方向余弦弦.3. 向量的模与方向余弦的坐标表达式向量的模与方向余弦的坐标表达式故有 ax =| a | cos
12、ay =| a | cos az =| a | cosayzx0设a =(ax, ay, az)又：(2.4)(2.5)由(2.5)式可得cos2 +cos2 +cos2 = 1(2.6)设ao是与a同向的单位向量ao= (cos , cos , cos )(2.7)例例2.1. 已知两点已知两点M1(2, 2, )和和M2(1, 3, 0). 计算向量计算向量M1 M2的模的模, 方向余弦和方向角方向余弦和方向角. 解: M1 M2 = (1, 1, )|M1 M2 | =例例2.2: 在在z轴轴上上求求与与两两点点 A( 4, 1, 7) 和和B(3, 5, 2)等距离的点等距离的点.解:
13、 设该点为M(0, 0, z)由题设 |MA| = |MB|.即:解得:所求点为 M (0, 0, )例2.3: 证明以M1(4, 3, 1), M2(7, 1, 2), M3(5, 2, 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解:由 |M2 M3 | = |M3 M1 |, 所以 M1 M2 M3 是等腰三角形.3 向量空间向量空间一、一、n 维向量维向量定义定义3.1由n个数组成的有序数组(a1, a2, an)称为一个n维向量。 = ( a1, a2, an )其中第 i 个数 ai ( i = 1, 2, , n ) 称为 n 维向量 的第 i 个分量或坐标。零向量零向量 0 = (
14、 0, 0, , 0 )负向量负向量 对 = ( a1, a2, an ) 称 ( a1, a2, , an ) 为 的负向量。记为 。 = (a1, a2, , an )行向量行向量 = ( a1, a2, , an )列向量列向量规定：两个向量规定：两个向量 = ( a1, a2, an ), = (b 1, b 2, b n )相等，记相等，记 = ai = bi ( i = 1, 2, , n)二、二、n 维向量的线性运算维向量的线性运算定义定义3.2设 = ( a1, a2, , an )， = (b 1, b 2, , b n )是数规定：规定：(1) 加法： + = ( a1 +
15、 b1, a2 + b2, , an + bn)(2) 数与向量的乘法： = ( a1, a2, , an )向量的加法及数与向量的乘法两种运算统称为向量的线性运算。2. 向量的线性运算满足八条运算律向量的线性运算满足八条运算律(1) + + (2) ( + ) + + ( + )(3) + 0 (4) + ( ) 0设 、 、 是 n 维向量，0 是 n 维零向量，k、 l 是任意实数。(5) k ( + ) k + k (6) ( k + l ) = k + l(7) ( k l ) = k ( l )(8) 1 = 三、向量空间与子空间三、向量空间与子空间定义定义3.3设 V 是 n 维
16、向量的集合，假如 V 对向量的两种运算封闭，即 V 满足:(1) , V， 有有 + V(2) V ，k R， 有有 k V则称 V 是一个向量空间。例如例如(3) V1 = ( 0, a2, , an ) | ai R, i = 2, 3, n 是一个向量空间，且V1 Rn，称为 Rn 的一个子空间。(2) V = 0，由于 0 + 0 = 0，k0 = 0， V = 0 构成一个向量空间，称为零空间。(1) 全体 n 维向量构成一个向量空间，称为 n 维向量空间：记作 Rn ;定义定义3.4设V是一个向量空间，V1 V，若V1也是一个向量空间 (即对向量的两种运算封闭)，则称 V1 是 V
17、 的一个子空间。注注：一一个个向向量量空空间间 V 至至少少有有两两个个子子空间：空间： V 及及零零子子空空间间 0，称称为为平平凡凡子子空间。空间。例例5.1：设证明：L 构成一个向量空间。证： , L， R L 是一个向量空间是一个向量空间注意：注意：称为由 1, 2, , m 生成的向量空间，记为 L (1, 2, , m )对于向量那么1.2. 对对于于mn矩矩阵阵A的的列列向向量量组组1, 2, , n Rm。称称 L (1, 2, , n )为为A的的列列空空间间，记记为为 N (A)。A的行向量组1, 2, , m Rn，称 L (1, 2, , m )为 A 的行空间，记为
18、N (AT)。4 向量组的线性相关性向量组的线性相关性一、线性相关与线性无关的概念一、线性相关与线性无关的概念比较两组向量：比较两组向量：(1) 1= ( 1, 0, 1) , 2= (0, 3, 4) 考察k11 + k22 = ( k1, 3k2, k1 + 4k2)当k1 k2 = 0 时k11 + k22 = 0(2) 1= ( 1, 0, 1), 2= (2, 0, 2) 当k1 k2 = 0 时k11 + k2 2 = 0当 k1 = 2, k2 = 1时k11 + k2 2 = 0定义定义4.1设1 ， 2 ， m 是m个n维向量，若存在 m 个不全为0的数1，2， ，m，使得1
19、1 + 22 + + mm = 0 (4.1)则称向量组1 ， 2 ， m 线性相关，否则，称它们线性无关。注：注： 1 ， 2 ， m 线性无关线性无关11 + 22 + + mm = 01 = 2 = = m= 0例例4.1：考察 n 维向量组 解：设有一组数1，2， ，n。使得1e1 + 2e2 + + nen = 0即：( 1, 0, , 0 ) + ( 0, 2, , 0 ) + + ( 0, 0, , n )= (1，2， ，n ) = 0 1= 2 = = n = 0所以 e1，e2， ，en 线性无关称 e1，e2， ，en 为 n 维单位向量组e1 = ( 1, 0, , 0
20、), e2 = ( 0, 1, , 0), , en = ( 0, 0, , 1)的线性相关性。例例4.2 设设1 = (1, 1, 1)，2 = (1, 2, 3)，3 = (1, 3, 6) 讨讨论论其其线线性性相相关关性。性。解：11 + 22 + 33 = 0设有一组数 1， 2， 3 使即：( 1+ 2 + 3 , 1+ 22 + 33 , 1+ 32 + 63 )= (0, 0, 0)有: 1+ 2 + 3 = 01+ 22 + 33 = 01+ 32 + 63 = 0因为系数行列式所以方程组只有唯一的一组零解， 1= 2 = 3 = 0，故 1, 2 , 3 线性无关。例例4.3
21、 讨讨论论向向量量组组 1= ( 1, 1, 1), 2= ( 2, 0, 2), 3= ( 2, 1, 0)的线性相关性。的线性相关性。 解：设有一组数1， 2， 3 , 使11 + 22 + 33 = 0即 ( 1+ 22 + 23 , 13 , 122 ) = (0, 0, 0)有1+ 22 + 23 = 01 3 = 0 1 22 = 0解得：3 = 1取 1= 2 , 得非零解 1= 2， 2 = 1, 3 = 2所以，向量组1, 2 , 3 线性相关。定义定义4.2对于 m+1 个 n 维向量1 ， 2 ， m 和 ，若存在m个数1，2， ，m ，使得： = 11 + 22 + +
22、 mm或称是1 ， 2 ， m 的线性组合， 1，2， ，m 称为组合系数。则称向量 能用向量组1 ， 2 ， m线性表示 ，例例如如：Rn 中中的的任任一一个个向向量量 = ( x1, x2 , , xn ) 都都是是单单位位向向量量组组的的一一个个线性组合。线性组合。 = x1e1 + x2e2 + + xnen定理定理4.1向量组1 ， 2 ， m ( m 2 ) 线性相关该向量组中至少有一个向量是其余 m1个向量的线性组合。证：必要性设1 ， 2 ， m 线性相关，则存在一组不全为零的数1，2， ，m ，使得11 + 22 + + mm = 0不妨设 m 0，那么即： m是是 1 ，
23、2 ， m1的线性组合。的线性组合。充分性：设 m 是其余向量的线性组合，即存在数1，2， ，m1 ，使得 m = 1 1 + 2 2 + + m1 m1有11 + 22 + + m1m1 + (1) m 0 1 ， 2 ， m线性相关线性相关故推论：推论：两个非零向量1 ， 2 线性相关 定理定理4.2：若m个向量1 ， 2 ， m 中有一部分向量线性相关，则这m个向量也线性相关。即1 ， 2 对应坐标成比例 1 = k 2，(其中其中 k 0)(部分相关 整体相关)证：不妨设前 r 个向量 1 ， 2 ， r 线性相关，即存在不全为0的数 1，2， ，r ，使得11 + 22 + + rr
24、 = 0也有11 + 22 + + rr + 0r+1 + + 0m = 01，2， ，r , 0, , 0 不全为0故 1 ， 2 ， m 线性相关线性相关推论推论1：包含零向量的向量组一定线性相关推论推论2：若m个向量1 ， 2 ， m 线性无关，则其中任一部分也线性无关。(整体无关 部分无关)二、向量组线性相关性的矩阵判定法二、向量组线性相关性的矩阵判定法则称：为由向量组1 ， 2 ， m 构成的矩阵定义定义4.3 2 = ( a21 a22 a2n ) , , m = ( am1 am2 amn )设有 m 个 n 维向量 1 = ( a11 a12 a1n ), A定理定理4.3设有
25、m个n维向量 1 = ( a11 a12 a1n ), 2 = ( a21 a22 a2n ) , , m = ( am1 am2 amn )那么1 ， 2 ， m 线性相关 r(A) n ，则，则m个个n维向量必维向量必线性相关。线性相关。( 因为 r (A) min (m , n) = n m )推论推论3：n个个n维向量维向量1 ， 2 ， n 线性相关线性相关n个n维向量1 ， 2 ， n 线性无关m个n维向量1 ， 2 ， m线性无关r(A) = m| A | = 0，即A降秩| A | 0，即A满秩例例4.4 判定下列向量组是否线性相关判定下列向量组是否线性相关(1) 1 = (
26、1, 2, 1 ), 2 = (2, 1, 1) , 3 = (7, 4, 0)解： 由于而 | A | = 5 0所以 1 , 2 , 3 线性无关(2) 1 = ( 1, 3, 7 ), 2 = (2, 0, 6) , 3 = (3, 1, 1)， 4 = (2, 4, 5)解：由于向量组的个数大于向量的维数，所以1 , 2 , 3 , 4 线性相关。解：r1 r2(3) 1 = ( 2, 1, 7, 3 ), 2 = (1, 4, 11, 2) , 3 = (3, 6, 3, 8)r2 2r1r3 3r1r3 2r2r ( A ) = 2 3所以 1, 2, 3 线性相关线性相关三、向量
27、组的最大无关组三、向量组的最大无关组定义定义4.4设1 ， 2 ， r是某向量组 T 中的r个向量，假设 (1) 1 ， 2 ， r 线性无关；线性无关；(2) 任取任取 T，总有，总有 1, 2 , , r , 线性相关线性相关则称1, 2 , , r 为向量组 T 的一个最大线性无关组。简称最大无关组。例如：对于向量组例如：对于向量组 T ： 1 = ( 1, 2, 1), 2 = (2, 3, 1) , 3 = (4, 1, 1) 1, 2 为为 T 的一个最大无关组的一个最大无关组; 2 , 3 ; 1, 2 , 3线性相关，因为线性相关，因为 2 1+ 2 3 = 0 1, 3 也是
28、也是 T 的最大无关组。的最大无关组。定定理理4.4 一一个个向向量量组组的的所所有有最最大大无无关关组组含有的向量个数都相等。含有的向量个数都相等。定义定义4.5向量组 T 的最大无关组所含向量的个数r称为向量组 T 的秩。设1, 2, , r 为向量组T一个最大无关组，则任取 T， 能用1, 2, r 线性表示。证：任取 T，由1, 2, , r 是T的最大无关组，那么1 ， 2 ， r 、 线性相关。存在不全为0的一组数1，2， ，r 、 使得：11 + 22 + + rr + = 0那么 0定理定理4.5事实上：假设 = 0 有不全为0的1，2， ，r 使11 + 22 + + rr
29、= 0 成立 1 ， 2 ， r 线性相关，矛盾线性相关，矛盾所以即 能用1 ， 2 ， r 线性表示。定义定义4.6将每一行看成一个向量i = ( ai1 ai2 ain ) ( i = 1, 2, , m) 称为 A 的行向量，行向量组的秩称为A的行秩。对于矩阵将A的每一列也可看成一个向量( j = 1, 2, , n)称为 A 的列向量，列向量组的秩称为A的列秩定理定理4.6 设设 A 是是 mn 矩阵矩阵r (A) = r A的行秩(或列秩)为r5 向量空间的基与向量的坐标向量空间的基与向量的坐标一、向量空间的基与维数一、向量空间的基与维数定义定义5.1且满足：(1) 1, 2, ,
30、r 线性无关；线性无关；(2) V 中任一向量都可以由中任一向量都可以由1, 2, , r 线性表示；线性表示；则称1, 2, , r 为V的一组基底，简称基，r 为V的维数，并称 V 为 r 维向量空间。设V为向量空间，若存在1, 2, , r V.注注1：若若将将向向量量空空间间V看看成成向向量量组组，其其基基底底就就是是其其最最大大无无关关组组，其其维维数数就就是是其其秩。秩。注注2：零空间：零空间 0 没有基，规定其维数为没有基，规定其维数为0。例如：对于例如：对于Rn(1) 基本单位向量组e1, e2, , en 是一组基，称为标准基。(2) 1 = (1, 0, 0, 0), 2
31、= (1, 1, 0, 0), ，n = (1, 1, 1) 也是基。二、向量在给定基下的坐标二、向量在给定基下的坐标定义定义5.2设1, 2, , n 是向量空间 V 的一组基，任取 V, 都有 = x1 1 + x2 2 + + xn n且组合系数 x1, x2, , xn 唯一，称为向量 在基 1, 2, , n 下的坐标，记为 (x1, x2, , xn)例如：在例如：在 R3 中，中， = (2, 3, 1)= 2e13e2 + 1e3 = 2 i 3 j + 1k 三、基变换与坐标变换三、基变换与坐标变换1. 设设n维向量空间维向量空间 V 有两组不同的基，分别为：有两组不同的基，
32、分别为： 1, 2 , , n , 1 , 2 , , n ,那么那么 1 = c11 1 + c21 2 + + cn1 n 2 = c12 1 + c22 2 + + cn2 n n = c1n 1 + c2n 2 + + cnn n(5.1)(5.1)利用矩阵形式可表为：(1, 2, , n)记称为由基1, 2, , n到基1, 2, , n的过渡矩阵，称(5.1)式或(5.2)式为基变换公式。= (1, 2, , n)(5.2)(5.2)2. 设设 V，在基，在基1, 2, , n下的坐标为下的坐标为(x1, x2, , xn)在基在基 1, 2, , n下的坐标为下的坐标为(y1,
33、y2, , yn) = x1 1 + x2 2 + + xn n(5.3)(5.3) = y1 1 + y2 2 + + yn n(5.4)(5.4)C由于在基1, 2, , n下的坐标唯一：公式(5.5)或(5.6)称为坐标变换公式所以(5.5)(5.5)或(5.6)(5.6)例例5.1 求求Rn中向量中向量 = ( x1, x2, , xn)在基在基 1 = (1, 0, 0, , 0), 2 = (1, 1, 0, , 0), ， n = (1, 1, 1, , 1)下的坐标。下的坐标。设 在 1, 2, , n 下的坐标为 y1, y2, , yn解：(1, 2, , n)0过渡矩阵0
34、有而00那么在基1, 2, , n下的坐标为例例5.2 在在平平面面直直角角坐坐标标系系xoy里里，i和和j为为互互相相垂垂直直的的单单位位向向量量，它它们们构构成成R2的的一一个个基基；现现将将x轴轴和和y轴轴绕绕原原点点 O 逆逆时时针针旋旋转转角角 ，令令相相应应的的单单位位向向量量为为1、2，那那么么1、2也也是是R2的的一组基，换基公式：一组基，换基公式：1= cos i + sin j2= sin i + cos j R2，假设在基 i, j 下的坐标为 ( x , y )，求 在基 1、 2下的坐标( x , y )yxyj12oix解：过渡矩阵1= cos i + sin j2= sin i + cos j求出即x = x cos + y sin y = x sin + y cos 旋转坐标轴的坐标变换公式谢谢观看！谢谢观看！
