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1、第二第二讲2.3 2.3 地地图图投影和高斯平面直角坐投影和高斯平面直角坐标标一、地一、地图图投影投影1 1、地、地图图投影的概念：将投影的概念：将椭椭球面上的球面上的各元素按照一定的数学法那么投影各元素按照一定的数学法那么投影到平面上。到平面上。 三种投影三种投影变变形：形：长长度度变变形、角度形、角度变变形和面形和面积变积变形。形。 对对于地形于地形图图的的测绘测绘来来说说，要求投，要求投影后的角度影后的角度坚坚持不持不变变形，同形，同时长时长度度变变化也要尽能化也要尽能够够小，只需采用正形小，只需采用正形投影，才干投影，才干满满足上述要求。足上述要求。 地地图图投影必然投影必然产产生生变
2、变形，可分形，可分为为依外部特征和内在性依外部特征和内在性质质。按。按内在的内在的变变形特征分形特征分类类有：有： 等角投影等角投影 任何点上两微分任何点上两微分线线段所段所组组成的角度在投影后仍成的角度在投影后仍坚坚持不持不变变。亦即投影前后。亦即投影前后对应对应的微分面的微分面积坚积坚持持图图形形类类似，故亦似，故亦称称为为正形投影。正形投影。 等等积积投影投影 某一微分面某一微分面积积投影前后投影前后坚坚持相等。持相等。 恣意投影恣意投影 既不能既不能坚坚持等角持等角 正形正形 又不能又不能坚坚持等面持等面积积的投的投影，影，统统称称为为恣意投影。在恣意投影中，有一种称恣意投影。在恣意投
3、影中，有一种称为为等等间间隔投影，隔投影，它使沿某一特定方向的它使沿某一特定方向的间间隔，投影前后隔，投影前后坚坚持不持不变变。通常，在正。通常，在正轴轴投影投影时时，是在沿，是在沿经线经线方向上等方向上等间间隔。隔。2、 地图投影分类地图投影分类正形投影；分带投影正形投影；分带投影 正形投影的根本条件：保角性正形投影的根本条件：保角性投影后角度大小不发生变化投影后角度大小不发生变化 伸长的固定性伸长的固定性投影之后长度会发生变化，但是投影前后的长度投影之后长度会发生变化，但是投影前后的长度之比为一常数之比为一常数3、地形图测绘对地图投影的要求、地形图测绘对地图投影的要求想象有一个椭圆柱面横套
4、在地球椭球体外面，使它与椭球上某一子午线想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，使它与椭球上某一子午线该子午线称为中央子午线相切，椭圆柱的中心轴经过椭球体中心，然后用该子午线称为中央子午线相切，椭圆柱的中心轴经过椭球体中心，然后用一定的投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地域投影到椭圆柱一定的投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地域投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。故高斯投影又称为横轴椭圆柱投影。面上，再将此柱面展开即成为投影面。故高斯投影又称为横轴椭圆柱投影。 我国现行的大于150万比例尺的各种地形图都采用高斯投影。高斯投影是德国丈量学家高斯于18251830年首
5、先提出的。实践上，直到1912年，由德国另一位丈量学家克吕格推导出适用的坐标投影公式后，这种投影才得到推行，所以该投影又称高斯一克吕格投影。 二、高斯平面直角坐标二、高斯平面直角坐标1、 高斯高斯克克吕吕格投影格投影 图形：高斯投影方法图一图形：高斯投影方法图一图形：高斯投影方法图二投影投影剪开剪开展平展平 2 2、高斯投影的规律、高斯投影的规律 (1) (1) 中央子午线的投影为一条中央子午线的投影为一条直线，且投影之后的长度无变形；直线，且投影之后的长度无变形；其他子午线的投影均为凹向中央子其他子午线的投影均为凹向中央子午线的曲线，且以中央子午线为对午线的曲线，且以中央子午线为对称轴，离对
6、称轴越远，其长度变形称轴，离对称轴越远，其长度变形也就越大；也就越大； (2) (2) 赤道的投影为直线，其他纬线赤道的投影为直线，其他纬线的投影为凸向赤道的曲线，并以赤的投影为凸向赤道的曲线，并以赤道为对称轴；道为对称轴； (3) (3) 经纬线投影后仍坚持相互正交经纬线投影后仍坚持相互正交的关系，即投影后无角度变形；的关系，即投影后无角度变形； 中中央子午线和赤道的投影相互垂直。央子午线和赤道的投影相互垂直。中央子午线EWL1S赤 道L2K1NK2 以中央子午线以中央子午线和赤道的交点和赤道的交点0 0作为坐标原点，作为坐标原点，以中央子午线的以中央子午线的投影作为纵坐标投影作为纵坐标轴轴
7、X X，规定，规定X X轴轴向北为正；以赤向北为正；以赤道的投影为横坐道的投影为横坐标标Y Y，Y Y轴向东轴向东为正。为正。3、高斯平面直角坐标系、高斯平面直角坐标系 4 4投影投影带带 1 1 66带带的划分的划分uu为限制高斯投影离中央子午限制高斯投影离中央子午线愈愈远，长度度变形愈大的缺陷，从形愈大的缺陷，从经度度00开开场，将整个地球，将整个地球分成分成6060个个带，66为一一带。u计算公式：算公式： =6N-3 =6N-3u中央子午中央子午线经度度, N, N投影投影带号号2 233带的划分的划分u假假设仍不能仍不能满足精度要求足精度要求, ,可可进展展3 3 带、1.5 1.5
8、 带的划分。的划分。u3 3 带计算公式：算公式： u u =3N =3N u 中央子午中央子午线经度度, N, N投影投影带号。号。 方法：方法： 1 1 先将自然先将自然值值的横坐的横坐标标Y Y加加上上500000500000米；米； 2 2 再在新的横坐再在新的横坐标标Y Y之前之前标标以以2 2位数的位数的带带号。号。 5 5、国家一致坐标、国家一致坐标 例：国家高斯平面点例：国家高斯平面点P P 2433586.6932433586.693，38514366.15738514366.157 所表示的意所表示的意义义: :(1)(1)表示点表示点P P在高斯平面上至赤道的在高斯平面上
9、至赤道的间间隔隔; ; X=2433586.693m X=2433586.693m(2)(2)其投影其投影带带的的带带号号为为38 38 、P P点离点离3838带带的的纵轴纵轴X X轴轴的的实实践坐践坐标标Y=514366.157-Y=514366.157-500000= 14366.157m500000= 14366.157m 6 6、间隔改化、间隔改化 根据球面上的长度，将其拉长改化为投根据球面上的长度，将其拉长改化为投影面上的间隔。影面上的间隔。设球面上两点间的长度为设球面上两点间的长度为S S，其在高斯投，其在高斯投影面上的长度为影面上的长度为 ，地球半径为，地球半径为R R，那么，
10、那么其改化值为：其改化值为：上式也可以写成：上式也可以写成：球面角超为：球面角超为：P P为球面上四边形的面积；为球面上四边形的面积；R R为地球半径为地球半径方向改化公式：方向改化公式： 假设知高级控制点的坐标曾经归化到投影面上，那么对其假设知高级控制点的坐标曾经归化到投影面上，那么对其间所敷设的导线或者三角丈量的观测元素进展改化以后，就可间所敷设的导线或者三角丈量的观测元素进展改化以后，就可以按照平面几何的原理，计算一切控制点的平面直角坐标。以按照平面几何的原理，计算一切控制点的平面直角坐标。7、方向改化、方向改化的数的数值值决决议议于于ABAB线线分开分开轴轴子午子午线线的的远远近近,
11、,及及纵纵坐坐标标增增量的大小，即决量的大小，即决议议于直于直线线的方位。的方位。例如当例如当ym=280kmym=280km，x2-x1=5kmx2-x1=5km，R R取取为为6371km6371km时时, =4, =4。 三、通用横轴墨卡托投影三、通用横轴墨卡托投影(UTM(UTM投影投影) ) UTMUTM投影属于横轴等角割椭圆柱投影。它的特点是中央经线投投影属于横轴等角割椭圆柱投影。它的特点是中央经线投影长度比不等于影长度比不等于1 1而是等于而是等于0.99960.9996，投影后两条割线上没有变形，投影后两条割线上没有变形，它的平面直角系与高斯投影一样，且和高斯投影坐标有一个简它
12、的平面直角系与高斯投影一样，且和高斯投影坐标有一个简单的比例关系，因此有的文献上也称它为长度比单的比例关系，因此有的文献上也称它为长度比m0m00.99960.9996的的高斯投影。高斯投影。UTM投影的分投影的分带带是将全球划分是将全球划分为为60个个投影投影带带，每，每带经带经差差为为6，以，以经经度度180W和和174W之之间为间为第第1带带，带带号号1,2,3,60延延续续从西向从西向东编东编号。号。该该投影在南投影在南纬纬80至北至北纬纬80范范围围内运用。运用内运用。运用时时,直角坐直角坐标标的适用公式的适用公式为为： y y实实y+500000(y+500000(轴之东用轴之东用
13、) )， x x实实10000000-x (10000000-x (南半球用南半球用) )y y实实500000-y(500000-y(轴之西用轴之西用) )， x x实实x (x (北半球用北半球用) ) 2.4 2.4 高程高程 1. 1.绝对绝对高程高程HH到大地水准面的到大地水准面的铅铅垂垂间间隔。隔。 2. 2.相相对对高程高程HH到假定水准到假定水准面的面的铅铅垂垂间间隔。隔。 3. 3.高高 差差hAB=HB-hAB=HB-HA=HB-HAHA=HB-HA验潮站是为了解当地海水验潮站是为了解当地海水潮汐变化的规律而设置的。潮汐变化的规律而设置的。为确定平均海面和建立一为确定平均海
14、面和建立一致的高程基准，需求在验致的高程基准，需求在验潮站上长期观测潮位的升潮站上长期观测潮位的升降，根据验潮记录求出该降，根据验潮记录求出该验潮站海面的平均位置。验潮站海面的平均位置。 以青以青岛验岛验潮站多年的潮站多年的观观测资测资料求得黄海平均海水料求得黄海平均海水面，作面，作为为我国的高程基准我国的高程基准面，建立了面，建立了“1956“1956年黄海年黄海高程系，并在青高程系，并在青岛岛市市观观象山上建立了国家水准基象山上建立了国家水准基点点 72.289m72.289m 在在19871987年启用年启用“1985“1985国家高程基准，此国家高程基准，此时测时测定的国家水准基点高程
15、定的国家水准基点高程 72.260m72.260m2 2、相对高程、相对高程 在部分地域在部分地域或某项工程建或某项工程建立中，当引测立中，当引测绝对高程有困绝对高程有困难时，可以恣难时，可以恣意假定一个水意假定一个水准面为高程起准面为高程起算面。从某点算面。从某点到假定水准面到假定水准面的垂直间隔，的垂直间隔，称为该点的假称为该点的假定高程或相对定高程或相对高程。高程。高差的计算与高程起算面无关。高差的计算与高程起算面无关。泰山的海拔是多少？泰山的海拔是多少？1532.70m2.5 程度面替代水准面的限制程度面替代水准面的限制 在普通丈量中：大地水准面在普通丈量中：大地水准面 投影投影 圆圆
16、球面球面 投影投影 平面平面图纸图纸 就就实际实际上而言，将极小部分的水准面上而言，将极小部分的水准面( (曲面曲面) )当作程度面是要当作程度面是要产产生生变变形的，必然形的，必然对对丈量丈量观测值观测值( (如如间间隔、高差等隔、高差等) )带带来影响。来影响。 本本节节主要主要讨论讨论用程度面替代水准面用程度面替代水准面对间对间隔和隔和高差的影响高差的影响( (或称地球曲率的影响或称地球曲率的影响) )，以便，以便给给出限制程度面替代水准面的限制。出限制程度面替代水准面的限制。一、对间隔的影响一、对间隔的影响 设球面球面( (水准面水准面) )与程度面与程度面在点相切，、两点在点相切，、
17、两点在球面上弧在球面上弧长为，程度，程度间隔隔为即即, , tg,tg,以程度以程度间隔隔替代弧替代弧长所所产生的生的误差差为 ，那么那么 tgtg 取取637lkm637lkm，以不同的代入式中，得出，以不同的代入式中，得出间隔隔误差差 和相和相应相相对误差差 代入上式代入上式表表表表1 1 1 1程度面替代水准面的间隔误差和相对误差程度面替代水准面的间隔误差和相对误差程度面替代水准面的间隔误差和相对误差程度面替代水准面的间隔误差和相对误差 间间间间隔隔隔隔D/kmD/km间间间间隔隔隔隔误误误误差差差差D/mmD/mm相相相相对误对误对误对误差差差差D/DD/D10108 81/1 220
18、 0001/1 220 00025251281281/200 0001/200 0005050102610261/49 0001/49 000100100821282121/12 0001/12 000 由表可知，在半径为10km的范围内相当于面积320km2，用程度面替代水准面可不思索地球曲率对间隔的影响。 当精度要求较低时，还可以将丈量范围的半径扩展到25km(相当于面积2000km2)。二、二、 水准面曲率对程度角的影响水准面曲率对程度角的影响 球面面积球面面积球面面积球面面积/km2/km2/km2/km2/球面面积球面面积球面面积球面面积/km2/km2/km2/km2/101010
19、10505050501001001001000.050.050.050.050.250.250.250.250.510.510.510.5140040040040050050050050025002500250025002.032.032.032.032.542.542.542.5412.7012.7012.7012.70结论：对于面积在结论：对于面积在100km2 100km2 内的多边形，地球曲率对程度角的影响内的多边形，地球曲率对程度角的影响只需在最精细的丈量中才思索，普通丈量任务是不用思索的。只需在最精细的丈量中才思索，普通丈量任务是不用思索的。由球面三角学，同一空间多边形在球面上投影
20、的各内角之和，较其在平面上投影的各内角之和大一个球面角超，它的大小与图形面积成正比。式中，式中， P P为球面多边形面积，为球面多边形面积，R R为地球半径。为地球半径。三、三、对高差的影响高差的影响在在图中，、两点在同一球面中，、两点在同一球面( (水准面水准面) )上，上，其高程其高程应相等相等( (即高差即高差为零零) )。点投影到程度面。点投影到程度面上得上得点。那么点。那么即即为程度面替代水准面程度面替代水准面产生的高差生的高差误差。差。设 hh，那么，那么 即即 取取取取R R R R637lkm637lkm637lkm637lkm，那么得相应的高差误差值，如表所列。，那么得相应的
21、高差误差值，如表所列。，那么得相应的高差误差值，如表所列。，那么得相应的高差误差值，如表所列。 表表表表2 2 2 2 程度面替代水准面的高差误差程度面替代水准面的高差误差程度面替代水准面的高差误差程度面替代水准面的高差误差由表可知，在进展水准由表可知，在进展水准由表可知，在进展水准由表可知，在进展水准( ( ( (高程高程高程高程) ) ) )丈量时，地球曲率对高丈量时，地球曲率对高丈量时，地球曲率对高丈量时，地球曲率对高差的影响，即使在很短的间隔内也必需加以思索。差的影响，即使在很短的间隔内也必需加以思索。差的影响，即使在很短的间隔内也必需加以思索。差的影响，即使在很短的间隔内也必需加以思
22、索。间隔间隔间隔间隔D/kmD/kmD/kmD/km0.l0.l0.l0.l0.20.20.20.20.30.30.30.30.40.40.40.40.50.50.50.51 1 1 12 2 2 25 5 5 510101010h /mm h /mm h /mm h /mm 0.80.80.80.83 3 3 37 7 7 7131313132020202078787878314314314314196219621962196278487848784878482.6 方位角 直直线线定向：确定地面直定向：确定地面直线线与与规规范方向范方向间间的的程度程度夹夹角。角。 一一规规范方向范方向 根
23、本方向根本方向 分分类类1、真子午、真子午线线方向方向 真北方向真北方向 地面上任一地面上任一点在其真子午点在其真子午线处线处的切的切线线方向。方向。2、磁子午、磁子午线线方向方向 磁北方向磁北方向 地面上任地面上任一点在其磁子午一点在其磁子午线处线处的切的切线线方向。方向。3、坐、坐标纵轴标纵轴方向方向(坐坐标标北北 )地面上任一地面上任一点与其高斯平面直角坐点与其高斯平面直角坐标标系或假定坐系或假定坐标标系系的坐的坐标纵轴标纵轴平行的方向。平行的方向。二、子午二、子午线收收敛角和磁偏角角和磁偏角 子午子午子午子午线线线线收收收收敛敛敛敛角角角角当当当当轴轴轴轴子午子午子午子午线线线线方向在
24、真子午方向在真子午方向在真子午方向在真子午线线线线方向以方向以方向以方向以东东东东，称，称，称，称为东为东为东为东偏，偏，偏，偏， 为为为为正。反之称正。反之称正。反之称正。反之称为为为为西偏，西偏，西偏，西偏， 为负为负为负为负。可。可。可。可见见见见在中在中在中在中央子午央子午央子午央子午线线线线上，真子午上，真子午上，真子午上，真子午线线线线与与与与轴轴轴轴子午子午子午子午线线线线重合，其他地域不重重合，其他地域不重重合，其他地域不重重合，其他地域不重合，两者的合，两者的合，两者的合，两者的夹夹夹夹角即角即角即角即为为为为 。磁偏角磁偏角磁偏角磁偏角地面上同一点的真、磁子午地面上同一点的
25、真、磁子午地面上同一点的真、磁子午地面上同一点的真、磁子午线线方向不重合，其方向不重合，其方向不重合，其方向不重合，其夹夹角称角称角称角称为为磁偏角。磁子午磁偏角。磁子午磁偏角。磁子午磁偏角。磁子午线线方向在真子午方向在真子午方向在真子午方向在真子午线线方向方向方向方向东侧东侧，称，称，称，称为东为东偏，偏，偏，偏， 为为正。反之称正。反之称正。反之称正。反之称为为西偏，西偏，西偏，西偏， 为负为负。三方位角三方位角定定定定义义：由子午：由子午：由子午：由子午线线北端北端北端北端顺时针顺时针方向量到方向量到方向量到方向量到测线测线上的上的上的上的夹夹角，角，角，角，称称称称为该为该直直直直线线
26、的方位角。其范的方位角。其范的方位角。其范的方位角。其范围为围为00360360。 有：真方位角有：真方位角有：真方位角有：真方位角 用用用用A A表示。表示。表示。表示。 磁方位角磁方位角磁方位角磁方位角 用用用用AmAm表示表示表示表示 坐坐坐坐标标方位角方位角方位角方位角 用用用用 表示表示表示表示简称：方位角简称：方位角 规规范方向范方向 方位角称号方位角称号 测测定方法定方法真北方向真北方向( (真子午真子午线方向方向) ) 真方位角真方位角A A 天文或陀螺天文或陀螺仪测定定磁北方向磁北方向( (磁子午磁子午线方向方向) ) 磁方位角磁方位角Am Am 罗盘仪测定定坐坐标纵轴( (轴子午子午线方向方向) ) 坐坐标方位角方位角 坐坐标反算而得反算而得规规范范方方向向O OP PP PO O真真北北A A磁磁北北AmAm坐坐标标纵纵轴轴 四、方位角之四、方位角之间间的相互的相互换换算算 1 1 真方位角磁方位角真方位角磁方位角m m磁偏角磁偏角 坐坐标标方位角方位角 子午子午线线收收敛敛角角 2 2 同不断同不断线线正反坐正反坐标标方位角相差方位角相差180180，即：，即：图形：正反方位角关系图图形：正反方位角关系图XYAB ABABBA ABAB
