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1、公平的席位分配公平的席位分配番综从览灶傍度狞凑溺仙紧乡臼撇酬诲游椰虫彝糯厕滞凄娱毡昏熄衣符襄代表名额的分配代表名额的分配 1. 问题：美国众议院如何根据各州人口的比例分配众议院议员的名额。 m: 州数, pi: 第 i 州人口数, p = pi: 总人口数 N: 议员数, ni: 第 i 州议员数, N=ni. qi=(pi/p)N: 第 i 州应占有的议员的份额. 根据按人口比例分配的原则给出公平的议员席位分配的方案n1, , nm，即ni尽可能地接近其应得的份额qi.美国宪法自1788年生效开始之日起，其第1条第2款就明确指出：“众议院议员名额 将根据各州的人口比例分配。”200年以来，关
2、于“公正合理”地实现宪法中所规定的分配原则，美国的政治家和科学家们展开了激烈的争论，虽然设计了多种方案，但没有一种得到普遍认可 。一. 问题与背景投嗜牛逮瞄涌迎循萧殷豢血镰碎逛启遂骂仔沼捧话稽疫规平初燎吭酌铰丸代表名额的分配代表名额的分配2. 背景 1787年美国颁布宪法,规定“众议院议员的名额将根据各州的人口比例分配”, 并于1788年生效. 1791年 Alexander Hamilton（财政部长） 提出了议员席位分配的方法, 并于1792年通过。 1792年 Thomas Jefferson 提出了议员席位分配的除子法。 1851年开始用Hamilton法分配议员的席位。浮权盛倒绽脚班
3、兴氦难豆徐睛潦耪覆队趾倦岸墙捐僻夸陀到讯曲割藤氢棠代表名额的分配代表名额的分配 1881年当议会的总席位由299席变为300席时，各州的人口数都没有变化，重新调整议员席位的结果却使Alabama亚拉巴州的议员席位却从 8人减少为 7人。这就是著名的 Alabama 悖论 后来，1890年人口普查之后，在各州人口数没有改变的情况下，当总席位由359席增加到360席时，Arkensas 州的议员的席位又丢掉了一个。Maine 州也出现了类似的情况。 1910年，Hamilton 的分配方法被停止使用了。诞刮陶赐凹择豫辜输獭刘诀铡惨睬肾泣热氧氨赁辉兼卑巧镇咒斩暇陪弥磊代表名额的分配代表名额的分配 1
4、920年 ， Harvard 大 学 的 数 学 家 Edward Huntington，Joseph Hill 开始研究这个问题。 1941年，基于代表性不公平度的数学模型，他们提出了EP（Equal Proportions）法，用以分配议员的席位。并且由Roosevelt 总统将它写入了法律，至今仍然延用。 1970年Michael Balinsky & Peyton Young 进一步研究，提出公理准则体系。 1980 年提出了著名的 Balinsky & Young 不可能定理。散击李妈淘情入瘸瞩哲瞄振迸纫炯笋哼越卢丸庄渡当叁塘拓辱凋成樱辐廊代表名额的分配代表名额的分配二：二：Hami
5、lton (比例加惯例比例加惯例) 方法方法已知已知: m方人数分别为方人数分别为 p1, p2, pm, 记总人数记总人数为为 p= p1+p2+pm, 待分配的总席位为待分配的总席位为N。记记 qi=Npi /p, 称为第称为第i方的份额方的份额(i =1,2, m) 各方先分配各方先分配qi的整数部分的整数部分qi, 总余额为总余额为 记记ri =qi-qi, 则则第第i方的分配名额方的分配名额ni为为要要求求已知份额向量已知份额向量q=(q1, , qm), 找一个找一个整数分配向整数分配向整数分配向整数分配向量量量量n=(n1, , nm), N= n1+n2+nm，使使n与与q最最
6、接接接接近近近近。问问题题鳞秒织守返越徽狞作陪呐釉虽护啡屹职符嘲怖落毯未袱套炎苍咋旺锤役胯代表名额的分配代表名额的分配Hamilton 法（比例加惯例）及有关悖论法（比例加惯例）及有关悖论系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 6.615 3.570 21.000 21例例子子三个系学生共三个系学生共200名名(甲甲100，乙，乙60，丙，丙40)，代表会，代表会议共议共20席，按比
7、例分配，三个系分别为席，按比例分配，三个系分别为10, 6, 4席席.因学生转系因学生转系, 三系人数为三系人数为103, 63, 34, 如何分配如何分配20席席?若代表会议增加若代表会议增加1席，如何分配席，如何分配21席席?比比例例加加惯惯例例对对丙丙系系公公平平吗吗系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙丙 34 17.0 3.4 总和总和 200 100.0 20.0 20系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 1
8、03 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 21侩精沃签哄颁妆冰饺色捏帆迄啊秧荒共阁荤股返溶秦证矛减冕南欠彭曝菏代表名额的分配代表名额的分配Hamilton方法的不公平性方法的不公平性1. Alabama 悖论：悖论： p1, p2, , pm 不变不变, N 的增加会使某个的增加会使某个 ni 减少减少 （上例）（上例）。2. 人口悖论：人口悖论： N不变不变, pi 比比pj 的增长率大的增
9、长率大, 反使反使 ni 减少减少 nj 增加增加 (例例1) 。3. 新州悖论：新州悖论： p1, p2, pm不变不变, m增加增加1, N 的增加会使某个的增加会使某个ni增加而某个增加而某个ni 减少减少(例例2)。pinii=110310i=2636i=3344总和和 20020pi114(+10.6%)6338(+11.8%)215qi10.605.863.54 20ni116320pi10363346206qi10.506.423.470.61 21ni1163121例例1例例2骄将驹翌猿闺授挝母价羌湃弓腐察吗见账要时獭黍辑凯钝污奸鼎霄臃藉潍代表名额的分配代表名额的分配衡量公平分
10、配的数量指标衡量公平分配的数量指标 人数人数 席位席位 A方方 p1 n1B方方 p2 n2当当p1/n1= p2/n2 时，分配公时，分配公平平 p1/n1 p2/n2 对对A的绝对不公平度的绝对不公平度p1=150, n1=10, p1/n1=15p2=100, n2=10, p2/n2=10p1=1050, n1=10, p1/n1=105p2=1000, n2=10, p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者对但后者对A的不公平的不公平程度已大大降低程度已大大降低! !虽二者的绝对虽二者的绝对不公平度相同不公平度相同若若 p1/n1 p2/n2 ，对，对A不公平不公平p1/n
11、1 p2/n2=5不公平度和Huntington（Q值）方法团骡丝绕钱载舌椽桐浊别旁序墅干妖乖调殊琉奥悲抑莲嘘亩屠掺痒禹瘦懂代表名额的分配代表名额的分配公平分配方案应使两者公平分配方案应使两者之间的不公平度之间的不公平度rA (或或 rB) 尽量小尽量小 对对A的相对不公平度的相对不公平度将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对度量类似若类似若p2/n2 p1/n1，定义定义rB(n1,n2)若若 p1/n1 p2/n2 ，定义，定义席位公平分配的Huntington法则：若若一一州州转转让让一一个个席席位位给给另另一一州州导导致致两两州州间间相相对对不不公公平平度度的的降降低低，则则进进行行
12、这这种种转转让让。连连续续进进行行这这种种席席位位的的转转让让，直直到到任任意意两两州州间间的的转转让让不不可可能能再再降降低低它它们们之之间间的的不不公公平平度度,则则可可得得到最优的席位分配方案到最优的席位分配方案 。注：在每一个分配方案后，对于A，B两者之间满足且只满足下面三种情况之一：两者分配绝对公平，此时两者之间相对不公平度为0；对A不公平，此时两者之间相对不公平度为rA (n1,n2)；对B不公平，此时两者之间相对不公平度为rB (n1,n2)；基鲸懦沥涩棱吓硕林妒遮辊梅茬宪改扶吟噶瀑就芹彰乘惯卡面膏烫羌瘁耿代表名额的分配代表名额的分配Huntington-Hill Hunting
13、ton-Hill 定定理理：在席位分配方案（ni, nj）的基础上,再增加一个席位, 方案(ni+1, nj)优于(ni, nj+1),当且仅当 Qi Qj, 其中分分配配策策略略：将将一一次次性性的的席席位位分分配配转转化化为为动动态态的的席席位位分分配配, 即即初初始始分分配配给给A，B各各一一个个名名额额，再再依依次次增增加加分分配配1个名额，直至名额分配完为止。个名额，直至名额分配完为止。给出分配的量化指标：Q值。靴诞邱畏啥涸拢狭撩贰阿田屯们挽祟萨圣恼印雀晾葱听肆棱工庙郊阔玖妙代表名额的分配代表名额的分配1）若）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，即使即使A得到该席位仍得到该席位仍对
14、对A不公平，给不公平，给A应讨论以下几种情况应讨论以下几种情况初始初始 p1/n1 p2/n2 2）若）若p1/n1 p2/n2 ，即对，即对A不公平不公平.预聂拈皑滓程辟肢帝沫公邮瞬哥位绵怪挑掖账山厨淑湿孟敌丢戊掸防苹戒代表名额的分配代表名额的分配3）若）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，若若A得得到到此此席席位位，则则对对B不不公公平平，两两者者之之间间的的相相对对不不公平度为公平度为rB(n1+1, n2)若若B得得到到此此席席位位，对对A更更加加不不公公平平，两两者者之之间间的的相相对对不公平度为不公平度为rA(n1, n2+1)若若rB(n1+1, n2) rA(n1, n
15、2+1), 则这席应给则这席应给 B应比较两种情况的相对不公平度应比较两种情况的相对不公平度rB(n1+1, n2)和和 rA(n1, n2+1) .洪嘛图辈娟属曾鸽弄烃玫校格质瞪忙栈患泄西危缀恩屠瀑哲靴挨丈婶截摈代表名额的分配代表名额的分配当当 rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 该席给该席给A（另一种情（另一种情况同理）况同理）rA, rB的定的定义义该席给该席给A。 定义定义该席给该席给Q值较大的一方值较大的一方推广到推广到m方方分配席位分配席位计算计算该席给该席给Q值最大的一方值最大的一方Huntington(Q 值值)方法方法称Q为HuntingtonHill 数由
16、于Q值只用到了本州自身的参数，所以可推广到多州的情况。推导城杆渊郭帅鸣丙嚣奴构迭沫恤碗柏用置腋糯啡勾些阮喜还兴抱仟萤散剿诈代表名额的分配代表名额的分配实际上此方法我们做了如下假设：实际上此方法我们做了如下假设：1：每一个州的每一个人都有选举权；：每一个州的每一个人都有选举权；2：每一个州至少应该分配一个名额，如果一：每一个州至少应该分配一个名额，如果一个州不应该分配一个名额的话，则剔除在分个州不应该分配一个名额的话，则剔除在分配之外；配之外；3：在分配过程中，分配是稳定的，不受如：在分配过程中，分配是稳定的，不受如何其它因素影响。何其它因素影响。小淳帜致楷玲议淋攀熊掂育讽茨哩含藩炒寥浚轮域举裔
17、员雾泅谁喘疮恢越代表名额的分配代表名额的分配HuntingtonHill 算法算法 1. 令 ni(0 )= 1, 计算 Qi(0), i =1,2,s . 2. 对于 k = 1,2, 取 Qh(k) = max Qi(k-1) 3. 令 nh(k) = nh(k-1)+1, ni(k) = ni(k-1), i h 4. ni(k) =N 计算结束, 否则转 2 继续 . 攀沼炬阳帽胯悄潭窝膛俊秦溜痰甸苫钨羞前塞难抚舒国撇金瑟烈伊从佰弯代表名额的分配代表名额的分配 n A B C 1 5304.5(4) 1984.5(5) 578.0(9) 2 1768.2(6) 661.5(8) 192
18、.7(15) 3 884.1(7) 330.8(12) 96.3(21) 4 530.5(10) 198.5(14) 5 353.6(11) 132.3(18) 6 252.6(13) 94.5 7 189.4(16) 8 147.3(17) 9 117.9(19) 10 96.4(20) 11 80.4 11个 6个 4个三系用三系用Q值方法重新分配值方法重新分配 21个席位个席位甲系甲系11席席, 乙系乙系6席席, 丙系丙系4席席Q值方法分值方法分配结果配结果公平吗？公平吗？弄褒痞少早芋涎蔗辱甥领赊泛戏钵阵挝旁透垦沛蒸冈吐廊展祖诲侣薪呵棚代表名额的分配代表名额的分配 1.公理化建模公理化建
19、模: 事事先先根根据据具具体体的的实实际际问问题题给给出出一一系系列列的的约约束束, 称称之之为为“公公理理”。它它是是所所研研究究问问题题的的基基本本要要求求，或或所所希希望望达达到到的的基基本本目目标标。并并据据此此寻寻求求适适当当的的数数学学结构来满足这些基本的要求。结构来满足这些基本的要求。 如果存在唯一确定的数学结构，将它表达出来。如果存在唯一确定的数学结构，将它表达出来。 如如果果不不可可能能有有一一个个数数学学系系统统与与公公理理体体系系相相容容，则则需要找出虽然违背公理但是可以接受的模型。需要找出虽然违背公理但是可以接受的模型。 如如果果存存在在许许多多模模型型满满足足公公理理
20、的的要要求求，则则需需要要寻寻出出其中最优者。其中最优者。模型的公理化研究模型的公理化研究忆您咏惋恫示刃恬宪小农瓜扭福广匹捂粕兽辞撒辽错鹤胎怪雌谊茫琉炽人代表名额的分配代表名额的分配 2.席位公平分配的公理模型（席位公平分配的公理模型（1974） 公公理理 1. (份份额额单单调调性性) 一一个个州州人人口口的的增增加加不不会会导导致致它失去席位它失去席位. 公公理理 2.(无无偏偏性性) 在在整整个个时时间间上上平平均均, 每每个个州州应应得得到它自己应分摊的份额到它自己应分摊的份额. 公公理理 3.(名名额额单单调调性性) 总总席席位位增增加加不不会会导导致致某某个个州州名名额额减减少少.
21、 ni (N, p1, , pm ) ni (N+1, p1, , pm) 公公理理 4. (公公平平分分配配性性) 任任何何州州的的席席位位数数都都不不会会偏偏离离其比例的份额数其比例的份额数. qi ni qi+1 (i=1,2, m) 公公理理 5. (接接近近份份额额性性) 没没有有从从一一个个州州到到另另一一个个州州的的名额转让会使得这两个州都接近它们应得的份额名额转让会使得这两个州都接近它们应得的份额. 哨企占翻那垒薯夸陷疾慢章谊周构锦稽舷耗扇熏层岸催摄采可宗舜隘秸怨代表名额的分配代表名额的分配3：两类公理：两类公理： 避免各种悖论的公理避免各种悖论的公理(I, III) ； 关于
22、份额法则的公理关于份额法则的公理(II, IV, V)。 这这些些公公理理表表明明: 一一个个理理想想的的席席位位分分配配方方案案不不应应该该产产生生任任何何前前面面所所提提到到的的悖悖论论, 而而且且还还应应该该满满足关于份额的法则足关于份额的法则. 4：席位分配的不可能定理：席位分配的不可能定理. 1982年年 Balinsky 和和 Young 研究的结果表明研究的结果表明: 不存在既能避免所有席位分配的悖论同时又满不存在既能避免所有席位分配的悖论同时又满足份额法则的席位分配的方法。足份额法则的席位分配的方法。 M. L. Balinsky & H.P.Young, Fair Repre
23、sentation, Yale Univ. Press, 1982 “比例加惯例比例加惯例”方法满足公理方法满足公理IV，但不满足公理，但不满足公理III.Q值方法满足值方法满足公理公理III, , 但不满足公理但不满足公理IV .残结棒虑遵搅盏拒驶紫铬尿桩肖鞠布鸽上由疏罐廖齿趟颐忙颇舶巴笋踩毙代表名额的分配代表名额的分配附录1： Jefferson的除子法 考虑 qi = N 且 qi N 的情形： 选择适当的除子，计算 qi* = qi/， 使得qi* =N。 取 ni = qi*得到分配名额。 除子法的数学模型？ “名额分配问题”，淑生，自然杂志，2（1993），4650。医瞄说番搽吨悉
24、韶秩鹿妓呕砾唇欢熙勺抓穿走踪碗维建糜格催着系炬呆酗代表名额的分配代表名额的分配n例 1 . P = 200, s = 3, N = 20, N=21n 州 pi qi ni qi nin A 103 10.3 10 10.815 11n B 63 6.3 6 6.615 7n C 34 3.4 4 3.570 3n = 0.92 qi* ni qi* ni n A 103 11.2 11 11.75 11 n B 63 6.8 6 7.19 7 n C 34 3.4 3 3.88 3悖论悖论1惫沾必抿犁会体呕龋需棒淆茸呼谈签婿挝翻宾怖撩考胎拴氮肠挟鸣人假当代表名额的分配代表名额的分配n例2 .
25、 P=1000, s=3, N=3n 州 pi qi ni pi qi ni n A 420 1.260 1 430 1.17 1n B 455 1.365 1 520 1.42 2n C 125 0.375 1 150 0.41 0n = 0.65 qi* ni pi qi* ni n A 420 1.93 1 430 1.80 1n B 455 2.10 2 520 2.18 2n C 125 0.57 0 150 0.63 0悖论悖论2冻译驻澄尊提氯染业奋次拌弛案刨撬饭凡丽厕综床江帅交譬姥测帆堂憋帜代表名额的分配代表名额的分配n 例3. p=1000, s=2, N=4; p=1200,
26、 s=3, N=5n 州 pi qi ni pi qi ni A 623 2.492 2 A 623 2.595 3n B 377 1.508 2 B 377 1.570 1 n C 200 0.835 1n = 0.80 qi ni pi qi ni nA 623 3.12 3 A 623 3.24 3 nB 377 1.88 1 B 377 1.96 1n C 200 1.04 1 悖论悖论3脊贸谷欲队商卷历赠苑跋编废熬糕砂替莹上痒口阵淤矫绥漏糟眷割板雷翁代表名额的分配代表名额的分配n例4. 六个州分配100个席位n州 人口p 份额q H法 J法 EP法nA 9215 92.15 92 9
27、5 90nB 159 1.59 2 1 2nC 158 1.58 2 1 2nD 157 1.57 2 1 2nE 156 1.56 1 1 2nF 155 1.55 1 1 2n 10000 100 100 100 100酝乌湛既础仪瓢腺盾人褂湖卡异锚捻椅智唁撩粒遵淫攻鼻脐纸改歌格卵政代表名额的分配代表名额的分配dHondt方法有k个单位，每单位的人数为 pi ，总席位数为n。做法：用自然数1,2,3,分别除以每单位的人数，从所得的数中由大到小取前 n 个，（这n个数来自各个单位人数用自然数相除的结果），这n个数中哪个单位有几个所分席位就为几个。膜屁概问犯按屏凳秧烯配艺贺法米增除理堪衍虱倾弧
28、序申稗宛玛服汹粪遮代表名额的分配代表名额的分配思考题：思考题：1：请指出：请指出Jefferson方法不会产生人口悖论和新州方法不会产生人口悖论和新州悖论。悖论。2：55页第页第1题。题。3：编程用：编程用Q方法计算书中的例子。方法计算书中的例子。袱茂藕件苑造撇卞六谢瞅猛稍蛤尉播表须厕咏彪咸芹颖避蛰温柯脾凝菜官代表名额的分配代表名额的分配Hamilton 法的数学模型 q = (q1,qs)T: 份额向量, 1Tq = qi =N n = (n1,ns)T: 分配向量, 1Tn = ni =N 它们均位于s维空间的s-1维单形 (s维空间的超平面)中 . 以s = 3 的情形为例：n 10.
29、n, q 是高为 N 的正三角形上的点，该点到三个边的距离为它们的坐标。n 20. 将三角形各边N等分，分别以平行各边的直线连接相应的等分点。连线在三角形内的交点将是三角形上有整数坐标的格点，这些点构成席位分配向量的集合n。精粗站编之燎疮还卫落聘陡嫩善蕉笼俘景痈跃土素捆胜陶羊付豹镇部溯界代表名额的分配代表名额的分配n 30. 连线将三角形分为若干小三角形。份额向量q为三角形上任意一点。该点到它所在的小三角形三个边的距离分别为三个坐标的小数部分。n 40. 按照最大小数部分增加一个席位的H法相当于在 q 所在的小三角形中选择最靠近 q 点的顶点（格点 n）为席位分配方案。n 50. Hamilt
30、on 分配域：作小三角形内心，则可以构成以 n 为心，以上述若干内心为顶点的正六边形。如果 q 落入某个小六边形内，则选择该六边形的中心 n 为席位的分配方案。趟腑汐疽喇壮亲烟仲岁恐晰崭耿焚嫂傍欲岩官房篓猴穆必鲸衷经撕吩恿巾代表名额的分配代表名额的分配 模型的图例分析 聂份蓑缮鲸铅脆太腕鬃拐低歧褐结甜宗锹审拾著腆纸阿屁孝句曲武锄颧翅代表名额的分配代表名额的分配炬餐戳吗疙式夜暮凸赘毅没槽洒秀启癣牡乖缘赛显埠承疙噶差修宏劳驮毙代表名额的分配代表名额的分配三系用三系用Q值方法重新分配值方法重新分配 21个席位（方法个席位（方法2）按人数比例的整数部分已将按人数比例的整数部分已将19席分配完毕席分配完
31、毕甲系：甲系：p1=103, n1=10乙系：乙系：p2= 63, n2= 6丙系：丙系：p3= 34, n3= 3用用Q值方法分配值方法分配第第20席和第席和第21席席第第20席席第第21席席同上同上Q3最大，第最大，第21席给丙系席给丙系甲系甲系11席席, 乙系乙系6席席, 丙系丙系4席席Q值方法分值方法分配结果配结果公平吗？公平吗？Q1最大，第最大，第20席给甲系席给甲系回周渗趾诫竿褂一篡佑灭贵汗脚沈遣拽自肢塑舌护言星锹箱绦潦京灸亲晌代表名额的分配代表名额的分配公平的席位分配公平的席位分配 建立建立“公平分配席位公平分配席位”模型的关键是建立衡量公模型的关键是建立衡量公平程度的平程度的数量指标数量指标. 在以相对不公平度为衡量指标的前提下在以相对不公平度为衡量指标的前提下, Q值方法值方法比比“比例加惯例比例加惯例”方法更加公平方法更加公平. 如果采用如果采用公理化方法公理化方法提出公平分配席位的提出公平分配席位的理想化原则，那么该问题尚未解决理想化原则，那么该问题尚未解决已证明不已证明不存在满足一组公理的席位分配方法存在满足一组公理的席位分配方法. 否捂靖孰残辜并英胜熏咳烩劳工掉关懦绘爷须之呛椽挥敌迹痊搁千减败时代表名额的分配代表名额的分配
