《人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第六章平面向量复数（必修第二册）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第六章平面向量复数（必修第二册）（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 节平面向量的概念及线性运算课时作业灵活方医方致偎影知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练平面向量的概念1平面向量的线性运算2, 3,4, 5 , 8向量共线7 ,91 1 , 1 3综合问题61 0 , 1 2, 1 41 5 , 1 6A级基础巩固练1 .设a 是非零向量， 入是非零实数， 则下列结论正确的是（ B ）A . a 与入a 的方向相反B . a 与人2a的方向相同C . | - 入 a1 21 alD . | - X a | | X | a解析: 对于A ,当人0 时,a 与人a 的方向相同， 当人0 时,a 与入a 的方向相反,A 不正确,B 正确; 对于C ,
2、| - 入a| = | - 人| | a| ,由于| - 入| 的大小不确定， 故I - 入a| 与| a| 的大小关系不确定,C 不正确; 对于D , | X | a是向量， 而I - 人a | 表示长度,两者不能比较大小,D 不正确.故选B .2.矩形A B C D 的对角线相交于点0 , E 为A 0 的中点,若法= XAB+ixAD（ 入 ， 口为实数） ， 则入2 + r 等于（A ）5 1 5A .- B .i C . 1 D .8 4 16T 1 T l 1 1 T l T 1 T l T 7 1 T解析： DE上DA+- DO=- DA+- DB=- DA+-（DA+AB） =
3、-AB-AD,2 2 2 4 2 4 4 4所以人= ； , J=-所以入2+p 21 .故选人.4 4 8 3.在等腰梯形A B C D 中， 力 B = - 2C D ,M 为B C 的中点， 则4 M等于（ B ）3Tl iA .2A B +三 力 。 B .2/B +三 /D2 2 4 23 -* 1 I . T3TC.-AB+-AD D.-AB+-AD4 4 2 4解析： 因为后= - 2法 ， 所以/8 = 2D C .又M 是 B C 的中点，T 1T T 1T T T 2 T 1 T V X A M （ AB+AC） =-（ AB+AD+DC） =-AB+-AD.故选 B .2
4、2 4 2 4.设 D /A A B C 所在平面内一点,BC=3CD, A D = X AB+n AC,贝 U 人 一u 等于（ A ）A . - - B . - - C .- D .-3 3 3 3 解析： 由B C = 3C D ,可知B , C , D 三点在同一直线上,如图所示.根据题意及图形，AD=AC+CD=AC+I（ ACAB） =AB+-AC,所以入 = ,u W， 所以入- p = - ； - ： = 故选A.3 3 3 35 .（ 多选题） 已知等边三角形A B C 内接于O0 ,D 为线段0 A 的中点,E为线段B C 的中点， 则8 。 等于（ A C ）271T 4
5、 T 1一L-BA+-BC3 6 3 6f 1 t 21C . BA+-AE D.-BA+-AE3 3 3-） . 解析： 如图所示， 已知B C 中点为E ,则B D = B /+/D = B 44+1 1 1 1 T T-（ AB+BE） =BA-BA+-X-BC=-BA+-BC.故选 A C .3 3 3 2 3 6A6.(多选题)在a A B C中， 下列命题正确的是(B C )A . AB-AC=BCB . AB+BC+CA=OC .若G 4B +/C ) ( AB-AC)=O,则A A B C为等腰三角形 TD .若/C ABQ,则A A B C为锐角三角形解析： 由向量的运算法则
6、知/B TC = C B , AB+BC+CA=O,故A错,B对； 因为G 4B +/C ) (AB-AC)=AB2-AC2=O, 所以/炉= /。2,即= | 4 C | ,所以4 A B C为等腰三角形,故C对；因为命 AB0,所以角A为锐角， 但三角形不一定是锐角三角形,故D错.故选B C .7 .已知向量eb e 2是两个不共线的向量,若a= 2e = e 2与b = &+入e 2共线,则入=.解析: 法一 因为a与b共线， 所以a= x b ,所以1 ,故人= _1 .法二 由已知 4 ,所以入= -； .22答案: T8 .如图所示， 已知NB = 30 ,NA 0 B = 9 0
7、 ,点C 在 A B 上,OC _ L A B ,若用 0 4和0 B 来表示向量0 C ,贝 l J OC = T 1 T - - - 4Tl T解析： 由题意易知。 。 = 。 4+4。 = 。 4+3/8 = 。 4+乂。 8 。 4) * 0A+- 0B.4 4 4 4& t 1 T答案:3 + 三 。 84 4-9 .已知 a, b 不共线， 0 4= a, OB = b , OC=c, OD = d , OE=e,设 t R,如果3a= c , 2b = d , e = t (a+b ),是否存在实数t 使 C , D , E 三点在一条直线上？若存在,求出实数t的值; 若不存在,
8、请说明理由.解： 由题设知， C Z )= d - c = 2b - 3a, C E = e - c = (t - 3)a+t b , C , D , E 三点在一条 直线上的充要条件是存在实数k ,使得C E = k C D ,即(t - 3)a+t b = - 3k a+2k b ,整理得(t - 3+3k ) a= (2k - t )b .因为a, b 不共线,所以有忆岁子=0 ,解得t = j .故 存 在 实 数 使 C , D , E 三点在一条直线上.B 级综合运用练1 0 .(多选题)设点M 是A A B C 所在平面内一点,则下列说法正确的是( A C D )A .若力则点M
9、 是边B C 的中点B .若 薪 = 2晶- 晶,则点M 在边B C 的延长线上 C. AM=BM-CM,则点M是AABC的重心D. AM=xAB+yAC,且x+y=|,则AMBC的面积是AABC的面积的3解析: 若/M g /B + q /C ,则点M是边BC的中点， 故A正确； T T AM=2ABAC, AM -AB=AB-AC,即BM=CB,则点M在边CB的延长线上， 故B错误； T TAM=BMCM,即/M+BM+CM=O,则点M是4ABC的重心,故C正确；T T T 1如图,AM=xAB+yAC,且 x+y弓，可得 2AM=2xAB+2,yAC,- )设4V =2/M ,则M为AN
10、的中点，则4MBC的面积是4ABC的面积的玄故D正确.故选ACD.11.(多选题)设a ,b是不共线的两个平面向量， 已知 =a+sin a b, 其中a (0, 2 n ), QR=2a-b.若P, Q, R三点共线,则角a的值可以为(CD )A.E B.比 C T D.史6 6 6 6解析： 由题意 1 X (T )-2 sin a =0, sin a =-.又 a (0, 2 n ) ,故 a 的值 可 为 ? 或 故 选CD.6 612.在直角梯形 ABCD 中,A=90 ,B=30 ,AB=2VXBC=2,点 E 在线段 CD- - 上， 若/E=4D+ U /B ,则u的 取 值
11、范 围 是 . 解析： 由已知可得AD=1, CD=V3,所以因为点E在线段CD上 , 所以(0W 入 W1).因为 4E=/W+0E,XAE=AD+ u ABAD+2 u DC =AD+DE,A所以华=1,即A2因为OW入W l,所以答案: O,13.如图,在4ABC中,D为BC的四等分点,且靠近B点,E, F 分别为AC, AD的三等分点,且分别靠近A , D两点， 设4B=a, 4C=b.T T T试用a, b 表示BC,4D,BE;(2)证明:B, E,F三点共线. 解:在4ABC中， 因为/B=a,/C=b,所以薪= 融- 6 =b-a,TTTT 1 T 1 Q 1ADAB+BD=A
12、B+- BCa+- (b-a)=-a+-b,4 4 4 4T T T T 1 T 1BE=B4+/E= 48+上 力 C=-a+士 b.3 3(2)证明： 因为晶=-a+初BF=BA+AF=-AB+-AD3=-a+-(-a+-b) =-a+-b3 4 4 2 6=|(-a+|b),所以B*BE, B5与BE共线, 且有公共点B,所以B, E, F 三点共线. 1 4 .经过AO AB的重心G的直线与O A, 0 B分别交于点P , Q , 设。 P =T T TmOA, OQ=nOB, m , n R .(1 )证明，+工为定值；m n(2 )求 m +n 的最小值. 证明： 设。 4 = a
13、 , OB=).由题意知 O G = ： X； (O /+O B)= *b ),P Q = O Q - O P = n b - m a ,PG=OG-OP=( -m) a +1 b ,由P , G , Q 三点共线得， 存在实数入， 使得P Q = 、 P G ,即 n b - m a = 入(| - m ) a +| 人 b ,从而| i 3n = - X, 3消去入得2 + 工 = 3.m n 解 ： 由知, 工+工= 3,m n于是 m +n ( +- ) (m +n ) = - (2 + + ) 2工 (2 +2 )= - .3 m n 3 m n 3 3当且仅当m = n = | 时
14、, m +n 取得最小值, 最小值为右C级应用创新练1 5.已知Ai , A2, A3为平面上三个不共线的定点, 平面上点M 满足/； M =入G 4 1 &+/M 3)(入是实数)， 且M& + M& + M& 是单位向量, 则这样的 点 加 有 (C )A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D.无数个 T T T 解析:法一 * 由 题 意 得 , = - 入 （ Ai 2 4 2 +， i ， 3） . = M 4 1 +/1 1 2 4 2 .M 4 3 = 1 + 1 3 , 所以 M 4 +M Z 2 +M 4 3= （ l - 3入 ）（ &/2 +/遇3） ， 如图所示,
15、设D 为 A2 A3的中点， ,所以(1 - 3入 )G 4 遇2 + & & ) 是与& D 共起点且共线的一个向量, 显然直线A D 与以Ai 为圆心的单位圆有两个交点, 故 X 有两个值， 即符合题意的点M 有两个.故选C.法二 以A, 为原点建立平面直角坐标系(图略)，设 A2(a , b ), A3 (m , n ),T 则4 遇2 + & & = (a +m , b +n ),所以 M (入(a +m ), X (b +n ), 所以M 4 i = (- 入(a +m ), - A (b +n ),- M A2-(a - 入(a +m ), b - 入(b +n ),- M A3-
16、(m - 入(a +m ), n - 入(b +n ), M A1+MA2+MA3=(l-3 入 )(a +m ), (1 - 3 人 )(b +n ). 因为M 4I+ M 4 2 + M 4是单位向量，所以(1 - 3 入 )2 (a +m )2 +(b +n )2 = l ,因为A” A2 , A3是平面上三个不共线的定点，所以(a +m )2 +(b +n )2 0 ,所以关于人的方程有两解, 故满足条件的M有两个.故选C.1 6 . (2 0 2 1 浙江杭州高三模拟)正2 0 2 1边形A也AZ M内接于单位圆0 ,任取它的两个不同的顶点A“ 人, 构成一个有序点对(A” AJ,满
17、足 | 。4+。4|，1的点对(Ai , Aj )的 个 数 是 (C )A. 2 0 2 1 X 6 7 3 B. 2 0 2 1 X 6 7 4C. 2 0 2 1 X 1 34 6 D. 2 0 2 1 X 1 34 8解析： | 。4 +。 勺 I ? =2+ 2c osc os 0 2一1 ，所以。 % + 。 %.的夹角不超过手对于任意给定的。 入， 因 为 子 +系 =O O 4 U乙J L- , 6 7 3. 6 7 ,满足| 。4 +。421的向量。4的取法共有6 7 3X 2 = 1 34 6 ,再 让。4动起来， 可得点对(Ai , Aj )的个数是2 0 2 1 X 1
18、 34 6.故选C.第 2 节 平面向量基本定理及坐标表示课 时 作 业 逐 题 明细表灵活于唬密致提卷知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练平面向量的坐标运算1 , 7 , 8平面向量基本定理及应用2 , 4 , 5, 91 0共线向量的坐标表示及其应用3, 61 5综合问题11, 12 , 13, 14, 1617A级基础巩固练1 . 在如图所示的平面直角坐标系中， 向量6 的坐标是（ D ）rP -i_2 _XA . (2 , 2 ) B. (- 2 , - 2 )C . (1, 1) D. (- 1, - 1) 解析： 因为 A (2 , 2 ), B(l , 1), 所以58 =
19、(- 1, - 1). 故选 D.2 . 在下列向量组中， 可以把向量a 3, 2 )表示出来的是(B )A. e 尸(0 , 0 ), 0 2 (1, 2 )B. C i (1 , 2 ), 2= (5, 2 )C . e 尸(3, 5), e2=(6 , 10 )D. e 产(2 , 3), C 2= (2 , 3)解析: 对于A , C , D 都有 e 2 , 所以只有B 成立. 故选B.3. 设向量a=(m , 2 ), b=(l , m +1), 且 a 与b 的方向相反, 则实数m的值为(A )A . - 2 B. 1C . - 2 或 1 D. m的值不存在解析： 向量 a=(
20、m , 2 ), b=(l , m +1), 因为 a/ 7 b, 所以 m (m +l )=2 X 1, 解得m =- 2 或m =l . 当m =l 时, a=(l , 2 ), b= (1, 2 ), a 与b 的方向相同， 舍去； 当m =- 2 时, a=(- 2 , 2 ), b=(l , T), a 与b 的方向相反, 符合题意. 故选A .4. 在平面直角坐标系x O y中, 已知A (l , 0 ), B(0 , 1), C 为第一象限内一 点， N A O C 上, 且 0 C =2 , 若。 。 = X 0A+ 口 0B,则人 + P 等于(A )4A . 2 V 2 B
21、. V 2 C . 2 D. 4V 2解析： 因为0 C =2 , N A O C W ， C 为第一象限内一点, 所以C (V , a),4T T T又0 C =人 (M +u O B,所以(企， 通)=人(1, 0 ) + n (0 , 1) = (X , p),所以入= u =V 2 , 所以X + u =2A/ 2 . 故选A .5. (多选题)设0 是平行四边形A BC D的两条对角线A C , BD的交点, 则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是(A C ) T T TA . A D A B B. D A B CT T - C . CADC D. O D 与OB解析：
22、如图， 平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底， 对于- ,A , 与不共线, 可作为基底; 对于B, 与BC 为共线向量, 不可作为基底； 对 于 c , C 4与D C 是两个不共线的向量， 可作为基底； 对于D, 亦与法在同一直线上, 是共线向量, 不可作为基底. 故选A C .6 . (多选题)已知向量。 4= (1, - 3), 0B= (2 , - 1), 0C= (m +1, m - 2 ), 若点A , B, C 能构成三角形， 则实数m可以是( A BD )1A . 2 B, - C . 1 D. - 12解析： 若 A , B , C 三点不共线即可构成三角形. 因为A
23、B = 0 B- 0 4 =(2 , - l )- (l , - 3) = (l , 2 ), / C =O C H %4=(m +l , m - 2 ) (l , 3) = (m , m +1). 假设A , B, C 三点共线， 则 1X (m +1) - 2 m =0 , 即m =l . 所以只要m W l , 则A , B, C 三点即可构成三角形. 故选A BD.7 . 已知向量 a= (1, 3), b= (- 2 , k ), 且(a+2 b) / / (3a- b), 则实数 k =解析： 法一 a+2 b= (- 3, 3+2 k ),3a- b= (5, 9 - k ),由
24、题意可得- 3 (9 - k ) =5 (3+2 k ), 解得k =- 6 .法二 若 a, b 不共线, 则a+2 b与 3a- b不共线，这与(a+2 b) / / (3a- b)矛盾, 故a, b 共线，所以k - 3义(- 2 )=0 , 解得k =- 6 .答案: - 68 . 设向量 a= (- 3, 4), 向量b 与向量a 方向相反, 且| b | =10 , 则向量b 的坐标为.解析: 法一 不妨设向量b 的坐标为(- 3m , 4m ) (m 0 ),则 I b | =J (- 3m )2 + (4m ) 2=10 ,解得m =- 2 (m =2 舍去)，故 b=(6 ,
25、 - 8 ).法二 与 a 方向相反的单位向量是工噢& = e ， - ，I a | 5 5 5故 b=10 (| , - = (6 , - 8 ).答案： (6 , - 8 ) 9 . 如图， 已知在aO C B中, A 是C B的中点, D 是将0 B分成2 : 1的一个内 分点, DC 和 0 A 交于点E, 设0 4=a, O B=b. 用 a 和 b 表示向量O C , DC- 若。 E = 入0A,求实数人的值.解： 由题意知, A 是 BC 的中点, 且晶=| 晶， 由平行四边形法则,OB+OC=2OA,所以益=2 &- O =2 a- b,T T T 7 CDC二 OC OD=
26、(2 a- b)- - b=2 a- - b.3 3- 由题意知,EC/DC,故设EC =x DC .因为EC=OC-OE= (2 a- b) 一 入 a= (2 - 入)a- b, )C =2 a- jb.所以(2 - 人 )a- b=x (2 a- | b).因为a 与 b 不共线， 由平面向量基本定理，2 - 2 = 2 %,得1 5解得3X = -, .:故 得2 = -. 55B级综合运用练10 . 已知在 Rt A A BC 中, Z BA C =9 0 , A B=1, A C =2 , D 是Z A BC 内一点， 且N DA B=6 0 , 设/ 。 = 人 力 B+P /
27、C (入， u R), 则4等于(A )A . B. C . 3 D. 2 V 33 3解析: 如图， 以A为坐标原点, A B所在直线为x 轴, A C 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系， 则 B 点的坐标为（ 1, 0 ） , C点的坐标为（ 0 , 2 ） ,因为N DA B=6 。 ， 所以设D 点的坐标为(m , V 3m ) (m O ). AD=(m, V 3m )= 入 AB+ / AC=人(1, 0 )+ u (0 , 2 )=(入， 2 u ), 则入=m , 且所以工当. 故选A . 311. 如图， 在 Rt A A BC 中， N A BC 苦, A C =2 A
28、B, Z BA C 的平分线交A A BC 的 外接圆于点D, 设=a, 4c =b, 则向量4。 等于（ C ）- 、D1A . a+b B. - a+b21 7C . a+i b D. a+- b2 3解析: 设圆的半径为r ,在 Rt A A BC 中， NA BC 音, A C =2 A B,所以 N BA C ， Z A C B=p3 6又N BA C 的平分线交A A B C 的外接圆于点D,所以 Z A C B=Z BA D=Z C A D= ,6则根据圆的性质得BD=C D=A B,又因为在 Rt A A BC 中, A B=1A C =r =O D,所以四边形A BDO 为菱
29、形， T T 1所以/ D=/ B+/ O =a+b. 故选 C .- T12 . 已知0为坐标原点， 向量0 4=(1, 2 ), 。 8 =(- 2 , - 1), 若2AP=AB,则10P | =.解析: 因为2 筋 =薪 ，T 所以 2 (0 P - 0 4)=。 8 - 。 4 T T所以 20P=0A+0B,所以0 P 三(0 4+0 8 )二弓| )所 以OP - + : 二 零7 4 4 2答案片 13. 已知点P 为4A BC 所在平面内一点， 满足mPC=-3PA+PB (m 0 ),SAPBC=-SAABC 贝 ll n i=.解析: 如图, 建立平面直角坐标系，设 B
30、(a, 0 ), A (X o, y0 ), P (x , y),由 SAPBC=-SAABC , 得 y 二 土 葭 ,T所以P C = (- x , - y), PA= (x0- x , y0- y),P B=(a- x , - y), 由 mPC=-3 PA+PB,4S传-mx = -3 x0 + 3% + a-x,-my = - 3y0 + 3 y-y,所以_ 3%o-aA 2+my = 吟) 2+m又 y=拳所以MM土拳解得m =7 或m =7 ,因为m 0 , 所以m =7 .答案： 714. A Q A B是边长为6的正三角形， 点C 满足元=m 瀛 +n淳 , 且 m 0 ,n
31、0 , m +n=2 , 则| 命 | 的取值范围是.所以 A (- 3, 0 ), B(3, 0 ), Q (0 , 38 ),- , 所以Q / =(- 3, - 3 8 ) ， Q B= (3, - 3V 3), 所以Q C =m Q / +nQ 8 = (- 3m , - 3V 3m ) + (3n, - 3V 3n) = (3n- 3m , - 3V 3m -3 6 n ),所以 Q C12=9 (n- m ) 2+2 7 (m +n) 2=36 m2+36 n2+36 m n,因为 m 0 , n0 , m +n=2 ,所以 n=2 - m , m G (0 , 2 ),所以 |
32、n 12 =36 m2+ (2 - m ) 2+m (2 - m ) =36 (m - 1) 2+10 8 ,所以由二次函数的性质知| 正广 1 08 , 1 44),所以 | Q C | 6 b , 1 2).答案： 6B , 1 2)1 5 . 已知 a =( l , 0), b=( 2, 1 ).( 1 )当k 为何值时, ka - b与 a +2b共线； ( 2)若/B =2a +3b, B C =a +m b, 且 A, B , C 三点共线， 求 m 的值.解： ( l )ka - b=k( l , 0)- ( 2, l ) = ( k- 2, - l ),a +2b=( 1 ,
33、0)+2( 2, 1 ) = ( 5 , 2).因为ka - b与a +2b共线，所以 2( k- 2)- ( T )X5 =0,即 2k- 4+5 =0, 得 k=_ .( 2)法一 因为A, B , C 三点共线， 所以即2a +3b=A ( a +m b),所以6 解得m =f.13 = mA, 2-法二 4B =2a +3b=2 ( 1 , 0) +3 ( 2, 1 ) = ( 8 , 3),B C =a +m b=( l , 0)+m ( 2, l ) = ( 2m +l , m ), 因为A, B , C 三点共线, 所以48 B C ,所以 8 m - 3 ( 2m +l )=0
34、, 即 2m - 3=0, 所以 m =| .1 6. 如图， 已知平面内有三个向量。 4 OB, OC,其中。 /与。 8 的夹角为- 1 20 , 04与。 C 的夹角为 30。， 且| 。 4| = | 。 8 | =1 , 0 c | =2百. 若O C = AOA+ iOBU, u R ), 求入+ R 的值.解: 法一 如图， 作平行四边形O B C A”T T T则。 。 =。 / + 。 4 ， 因为。4与。 8 的夹角为1 20 , 04与。 C 的夹角为30 ,所以 N B Q C =9 0 .在 R S O B iC 中, N O C B 尸 30。, | O C | =
35、2V3, 所 以 。 名| =2, 出， =4, 所以| 。 | =旧也| =4,所以儿 =4& +20k所以入=4, u =2, 所以入+ u =6.法二 以。为坐标原点， 建立如图所示的平面直角坐标系,贝 i j A( 1 , O ), B , ), C ( 3, V3).由。 。 =入 0A+ u 0B,得3 =V3 =解 瞰 ：2所以入+ u =6.C级应用创新练17. 若a , B 是平面内一组基底， 向量Y=x a +y B (x, yR),则称(x, y)为向量Y 在基底a , B 下的坐标, 现已知向量a在基底p=(l, -1),q= (2, 1)下的坐标为(-2, 2),则a
36、 在基底m= (-1, 1), n= (1, 2)下的坐标为.解析： 因为a 在基底p, q 下的坐标为(-2, 2),所以 a=-2p+2q=(2, 4),令 a=xm+yn= (-x+y, x+2y),所 以 2浮侧浮：所以a 在基底m, n 下的坐标为(0, 2).答案： (0, 2)第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用灵活小唬密致援卷南 选题明细表课时作业知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练平面向量数量积的基本运算1,7平面向量数量积的应用2, 3, 5平面向量的综合运用4, 8 , 9 , 1 1综合问题6, 1 01 2, 1 3, 1 4, 1 5 , 1 61 7 ,
37、 1 8A级基础巩固练1 . （ 2021 湖北武汉高三调研） 在等腰直角三角形A BC中，Z A C B = p AC =B C =2,点 P 是斜边 AB 上一点， 且 B P =2P A,那么C P CA+CP - C B等于（D ）A. - 4 B . - 2 C . 2 D. 4 y ) ,解析： 法一 由已知得 | C /| = | C B | =2, C 4 CB=0,AP=l( CB-CA),r TTTTT TTT - 以C P - CA+CP CB=( CA+AP) CA+CA+AP) CB=CA 2+AP CA+CA CB+AP CB=CA2+ C B - C A ) (
38、CB+CA) = CA2+CB2-| c i |2=22+1X2 -1X22=4.故选 D.法二 由已知, 建立如图所示的平面直角坐标系， 则C ( 0, 0), A 0),B ( 0, 2),设 P ( x , y ),因为 B P =2P A,所以薪=2易 ， 所以( x , y - 2) =( 4X , 4 * 72( 2- x , y ),所以 : 所 以C P - C / + C P CB= (T9 ( 2, 0) +y =3 3V 3( !， 1 ) ( 0, 2) =4. 故选 D.2. 已知平面向量a =( l , - 3), b=( 4, - 2), 若入a - b与b 垂直
39、, 则实数人等于 (D )A. - 1 B . 1 C . - 2 D. 2解析： 由已知得入a - b=( 入- 4, - 3入 +2), 因为入a b 与 b 垂直， 所以( 入 a_b) b=0, 即( 入- 4, - 3 入 +2) ( 4, -2) =0, 所以 4 人 - 1 6+6 入 -4=0,解得人=2. 故选D.3. 已知向量a 与b 的夹角为? 且| a | =l , | 2a - b| =VX贝 U| b| 等于( C )A. V3 B . V2C . 1 D. 2解析: 1 2a - b 12= ( 2a - b) 2=41 a 12- 41 a | | b | ,
40、c o s+| b 12=4 -2 | b | +| b法3, 解得| b| =l . 故选C .4. ( 多选题)在日常生活中， 我们经常会看到两个人共提一个行李包的情况. 假设行李包所受重力为G , 作用在行李包上的两个拉力分别为F F z , 且| F = | F z |B与 F 2的夹角为。 . 给出以下结论, 其中正确的是( AD )A. 0越大越费力， 。 越小越省力B . 0的取值范围为 0,汨C .当时，| F = | G|D .当 。 = 学寸,| F j 二 | G|解析： 对 于A ,因为i G g F i + F z l为定值， 所以| G| 2 = | F J 2 +
41、 | F 2 1 2 +2 | F j| F 2 1 c os O= 2 | F J 2 . （ i+ c os。 ） ， 解得 | 艮 = f 由题意知9 e ： 0 ,弘 ） 时,y = c o s。 单调递减， 所以I F F单调递增， 即 。 越大越费力， 。 越小越省力,A正确; 对于B ,由题意知， 。 的取值范围是0 , n） ,故B错误; 对于C ,当6苫时，| F i | J， ？ ,所以| F i | = | G | ,故C错误; 对于D ,当 。 手 时 ，|F/2=|G|2,所以| F | | = | G| ,故D正确. 故选A D .5 .若eb e2是夹角为g的两个
42、单位向量, 而a = 2 ei+ e2, b = - 3ei+ 2 ez ,则向量a和b的夹角为（C ）A . - B . -6 3C . D . 3 3解析： 因为 | ei | = 1 , | e2| = l, = p 所以 ei e2= 1 ,因为 a=2et+e2,b = - 3e1 + 2 e2 ,所以| a | = + 4 x1=V7, | b | = J13 + 2 x （ -3 ） x 2 x 1=V7,a b = - 6 1 e1 +2 | e2 |2+ ei , e2 ,所以 I a | | b | c os = - 6 1 +2 | e212+ e2 ,所以被 X g c
43、 os = - 6 + 2 + | = - | ,所以 c os = - | ,因为 e0 , n ,所以向量a与b的夹角为号. 故选C .6 .已知AD是直角三角形ABC斜边BC上的高， 点P在DA的延长线上，且满足(PB+PC) AD=42,若 AD=V2,则PB PC的值为(A )A. 2 B. 3 C.4 D. 6解析: 设 NDPC=a , NDPB=B, 由(PB+PC) AD=442, AD=V2, 得 |PB| V2cos B +|PC| V2cos a =472,所以| 丽 |黑 + | 而 | . 黑=4,) r D r C所以 |PD|=2,因为AD是直角三角形ABC斜边
44、BC上的高，所以 |CD| |BD| = |AD|2,- - PC= PB | PC I cos ( a + ) = I Pfi I . pc (cos a cos B-sin a sin ?) = PB PC =4一 |AD =pel |PB PC| PB4-2=2.故选A.7 .(多选题)(2021 湖南长沙高三模拟)设a, b, c是任意的非零平面向量, 且相互不共线， 则下列选项中正确的是(BCD )A. (a , b) c-(c , a) b=0B. |a |- |b | 9 . 已知48 与/ C 的夹角为 9 0 ,AB=2,AC=l,AM=XAB+xACU,u R ), 且 B
45、C=0,则的值为解析: 根据题意， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则A (0 , 0 ), B (0 , 2 ), C (1 , 0 ), 所以4B = (0 , 2) ,/0=( l ,0) ,B-M( x, y ), 则4 M 二(x , y ), 所以 8 C = (x , y ) (1 , - 2 ) = x - 2 y = 0 , 所以 x = 2 y . 又入 AB+ u AC,即(x , y )= 入(0 , 2 )+ u (1 , 0 ) = ( u , 2 人)， 所以 x = u , y = 2 人 ,所匚 匚以i 、 1_a= 21_ = 十二1g x 2 y 4答案J
46、41 0 . 已知单位向量a 与b , 满足(a + b )2 = l, 则a 与b 的夹角为;若 向 量 c满足a a + (2 - a ) b = c ( 3 0 , 2 ), 贝 | c | 的取值范围是解析: 依题意知|a| = |b|=l,由(a+bT n得a2+2a b+b2=l,解得 a b=-1,贝 ! J cos -a b 2又 0, n ,所以=y;将3 a+(2-(o)b=c两边平方，得 c J 3 2a2+2 3 (2- 3) a b+ (2- 3) 2b2=3 3 2-6 3 +4,因为 3 G 0, 2,所以 I c | 二7332-63 + 4 1, 2.答 案
47、号 1,211.在平面直角坐标系 xOy 中， 点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).求以线段AB, AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；- (2)设实数t 满足048-tO C )OC=0,求 t 的值.解： 由题设知58=(3, 5),心 ( - 1, 1),贝麻+ 4(2, 6), AB-AC= (4, 4), AB + AC =2410, AB-AC =4y/2,故所求的两条对角线的长分别为4V2, 2V10. 法一 由题设知。 。 = (-2, -1), AB-WC= (3+2t, 5+t).T T 由 G48 tOC) OC=Q,得(3+2t, 5+ t)(-2,
48、-1)=0,从而 5t=-ll,所以t = * . 法二 48 OC = t OC2, 48 = （ 3, 5） ,B 级综合运用练1 2 . 已知0是4 A B C 内部一点， 且满足。 力+ 。 8 + 。 。 = 0 , 又- AC=24 3 ,NB A C = 6 0 , 则OB C 的面积为（ C ）A . B . 32C . 1 D . 2 解析： 由- AC = 2V3 , Z B A C = 6 0 , 可得 A B AC=AB AC c os NB A C = ： 4B / C | = 2 百 ， 所以 | / 8 4C | =4 8， 所以S /BC：| | X F | A
49、Cs in Z B A C = 3, 又。 / + 。 8 + 。 。 = 0 , 所以 0 为 4A B C 的重心， 所以SZOBCIS ABC I故选 C .1 3. 在四边形A B C D 中， 已知M是 A B 边上的点， 且 M A = M B = M C = M D = 1 ,Z C M D = 1 2 0 , 若点N 在线段C D （ 端点C , D除外） 上运动， 则成1 后的取值范围是（ B ）A . - 1 , 0 ） B . - 1 , 0 ）C . - 1 , 1 ） D . - | , 1 ）- 解析: 连接M N（ 图略） . 由题意得N 4 NB=（ M A -
50、 M N ） （ M B - M N ） =M N2-MA2= I A f V I - 1 , iSA M C N M C = 1 , Z M C N= 30 ， 所以 M M E ? +NC - 2 NC I X = NC - V3NC + 1 , 所以 M N2- 1 = NC2- V3NC = （ NC - - ）由2 2 4M C = M D = 1 , Z C M D = 1 2 0 , 可得C D = W ， 又点N 在线段C D （ 端点C , D除外）上运动， 所以0 14.在四边形AB C D中， 点E, F分别是AD , B C的中点, 设A DBC=x,AC BD=y,若
51、 AB = V 2, EF= 1, C D = V 3 ,贝U x y 的最小值为.解析: 如图所示, 设AB n D C = O ,因为几二6 +成+而= 余+”卢 ，T T T T T -AD + B CDODE+EF+FOEF+ ,2T T两式相加得百三丝产. 因为AB = V 2, EF= 1, C D = W， 把两边平方可得AB2+DC2+2AB - DC 2+3+24B DC1 二44T T 1所以4 BD C = - j .又G - BC=(OD-OA) (OC-OB)=OD - OC-OD - OB-OA - 一OC+OA OB=x, T所以O D - OC+OA OB=x+
52、OD OB+OA OC.5LAC - BD(OC-OA) (OD-OB) = TT TT OD - OC-OB - OC-OA OD+OA 0B=(OD OC+OA - OB)-OB - OC-OA - OD=y,所 以 亦 OC+OA OB=OB OC+OA OD+y.根据可得 TT x+OD , OB+OA OC=OB OC+OA OD+y,即 x-y=OD OB-OA OC+OB OC+OA OD,即 x-y=OB - DC+OA - CD=DC (OB-OA) =DC 即 y=|+x,所以 xy=x (1+x) =x2+1x=(x+)W，所以 x=-时，(xy)min=.4 4 16答
53、案: w15.已知 |a|=4, |b |=3, (2a- 3b) (2a+b)=61.(1)求a与b的夹角9 ;求|a+bI;若族=a, BC=b,求AABC的面积.解： 因为(2a-3b)(2a+b)=61,所以 4 1 a 12-4a , b-31 b 12=61.又|a|=4, |b|=3,所以 64-4a , b-27=61,所以 a b=-6.1-2-6-匕9aba3X40以所Jrw又0wo(2) | a+b 12= (a+b)2=| a 12+2a b+1 b |2=42+2X (-6)+32=13,所以 Ia+b I(3)因为晶与晶的夹角6号 ，所以 NABC= n3 3又 I
54、 / B I = I a I =4, I = I b I =3,所 以 的 三 X 4义3 X y = 3 V 3 .16 . 在平面直角坐标系x O y 中， 已知向量m = ( y , - y ) , n = ( s i n x ,c o s x ) , x ( 0, ) .( 1) 若 m n , 求 t a n x的值； 若 m 与 n的夹角为今求x的值.解： ( 1) 因为 m=(- 乎) ， n = ( s i n x , c o s x ) ,m n ,所以 m n = 0, 即 j s i n x - 乎c o s x = 0,所以 s i n x = c o s x , 所以
55、 t a n x = l .( 2) 因为 | m | = | n | = l , 所以 m n = c o sr q n V 2 . y / 2 . 1即一s i n x - -c o s x - ,222所以 s i n ( x - ) = 1,因为0x 17 . 在4AB C 中， AB = 5, AC = 10, AB - 4c = 25, 点 P 是AAB C 内( 包括边界)的一动点， 且人= | / - | 人晶( 入 R ) , 则| 心| 的最大值是( B )A. B . V 3 72C . V 3 9 D . V 41 解析: 法一 在4AB C 中， AB = 5, AC
56、 = 10, 4B 4c = 25, 所以 5X 10 c o s A= 25, c o s A= y , 又 A ( 0, n ) ,所以 A= p B C = j 52 + 102- 2 x 5 x 10 x | = 5V 3 , 因为 AB2+B C2= AC2, 所以B g . 以A 为坐标原点, AB 所在的直线为x 轴, 建立如图所示的平面直角坐标系，则 A ( 0, 0) , B ( 5, 0) , C ( 5, 5V 3 ) , 设点 P 的坐标为( x , y ) , 0W x W 5, 0Wy W 5g ,因为森三足| 入丘所以( x , y ) = 3 5, 0) - |
57、 入 5V 3 ) = ( 3 - 2 入 ， -入 ) ，所以C 1入所以丫= 旧&- 3 ) , 直线B C 的方程为x = 5,联立 : 二f( %3 ) ，解得此时/最大， 为 旧 + ( 28 了=V 3 7 . 故选B .法二 同解法一求得A= p B = p 在边AB 上取点M , 使 AM = | AB = 3 , 过 M 作M N AC 交 B C 于点N ( 图略) ， 由平行四边形法则， 得点P 在线段M N 上 ,- 故 当 点 P 与 N 重合时， / P | 最大， 止 匕 时 B N = 2V 3 , 故 | / P | 二J52+ ( 2V 3 ) 2= V 3
58、 7 . 故选 B .18 . 已知平面单位向量 e “ e 2满足 | 2e e 21 W a . a = e i +e2, b = 3 e i +e2, 向量 a , b 的夹角为0 , 则 c o s2 0 的最小值是解析: 法一 因为平面单位向量eb e z 满足| 2e e z | W& ,所以12e i - e21 = 5- 4e i , e22, 即 e 1 e2-4.因为 a = e i +e2, b = 3 e i +e2, a , b 的夹角为 9 ,2 2所以 c o s ? 9 . 2 L=He1 +e2)2-(3e1 +e2)J2 =a b i e i +e ? I
59、13 et+e22( 4+4% * e2) _ 44- 4e1 e2( 2+2e 1 e 2) ( 1。 +6? 1 * ? 2) 5+3 e 1 3不妨设 t = et e2, 则 t 泞 , c o s ? 94 5+3 t又丫= 号在巳+8 ) 上单调递增，5+3 t 4所以C O S ?。答 噌 ，5H 一 V4所以c o s ? 。 的最小值为工.法二 由题意， 不妨设 e i = ( l , 0) , e 2= ( c o s x , s i n x ) .因为| 2当飞2区企,所以 J ( 2 -COS%)2 + sirj2%W&,得 5- 4c o s x W 2,即c o s
60、4易知 a = ( l +c o s x , s i n x ) , b = ( 3 +c o s x , s i n x ) ,所以 a b = ( l +c o s x ) ( 3 +c o s x ) +s i n* I 2x * 4= 4+4c o s x ,I a |2= ( l +c o s x )2+s i n2x = 2+2c o s x ,| b 12= ( 3 +c o s x ) +s i n2x = 10+6c o s x ,r r H l 2 n ( a D )2 ( 4+4C O S X )2 4+4C O S X所以 C O S 0 = -22=- - - -=-
61、 .a b | ( 2+2c o s x ) ( 10+6c o s x ) 5+3 c o s x不妨设 m = c o s x , 则 c o s2 9 =4 + 4 m,4 5+3 m又y=r翳在巳+8 ) 上单调递增，5 + 3 m 4所以cos?。三= | | ,5+ /V4所以cos2 9 的最小值为工29答案嚼第4节 余弦定理和正弦定理及其应用灵活小唬密致援卷南 选题明细表课时作业知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练利用正弦、余弦定理解三角形1, 2 , 3 , 4与面积有关的解三角形问题7, 8解三角形的实际应用5, 101118综合6, 912 , 13 , 14, 1
62、5, 1617A级基础巩固练1. （ 2 02 1 安徽安庆模拟） 若4 AB C的内角A , B, C所对的边分别为a, b, c ,已知 bsi n 2 A = asi n B,且 c = 2 b,则2等于（D ）bA . | B. | C. V 2 D. V 3解析： 由 bsi n 2 A = asi n B,得 2 si n Bsi n A c os A = si n A si n B,得 c os A = 1.又c = 2 b,由余弦定理得a1 2= b- + c2- 2 bc c os A = b- + 4b2- 4b2 , - = 3 b2,2得故选D.2 . （ 2 02 1
63、 河北唐山模拟） 在AAB C中， 内角A , B, C的对边分别为a, b, c , a= 2 , b= 3 , c = 4,设A B边上的高为h ,则h等于（ D ）A 6 D V H c 3 行 n 3 危A .- D .- C .- D .-2248解析： 由余弦定理， 得c os A =b2+c2-a2 _ 9+16-4 _ 2214 _- 87 ,人府 .2bc 2x3x4si n A =A/ 1-CO S2 / = J _务J祟乎, 则 h = A Csi n A = bsi n 故选D.3 . （多选题） 在A A B C中， 内角A , B, C所对的边分别为a, b, c
64、,若a= l ,b= V 2 , A = 3 0， 则 B 等于（BC ）A . 3 0 B. 45 C. 13 5 D. 150解析:根据正弦定理号= 上得,si n 8=蛆 吆 = 箪 等 由 于b= V 2 l = a,smA sinB a 1 2所以B= 45或13 5 . 故选BC.4 . A A B C的内角A , B, C的对边分别为a, b, c ,已知asi n A - bsi n B=4c si n C, c os A =， 则, 等于（A ）4 cA . 6 B. 5 C. 4 D. 3解析:因为asi n A - bsi n B= 4c si n C,所以由正弦定理得a
65、b二l c ；即a2= 4c2+b2.由余弦定理得c os 年 , 所 以2bc 2bc 2bc 4- = 6.故选A .c5. （多选题） 某人向正东走了 x k m后向右转了 150。， 然后沿新方向走3 k m ,结果离出发点恰好遮k m ,那么x的值是（ A B ）A . V 3 B. 2 V 3 C. 3 D. 6解析:如图，A B= x , BC= 3 , A C= V 3 , ZA BC= 3 0 .由余弦定理得 3 = x2+ 9 - 2 X 3 x , c os 3 0 .解得x = 2 g 或 x = V 3 . 故选A B.6. （ 多选题） 对于A A BC, 有如下判
66、断， 其中正确的是（ A BD ）A . 若 c os A = c os B, 则4A BC为等腰三角形B. 若A A BC为锐角三角形, 有A + B p则 si n A c os BC. 若 a= 8, c = 10, B= 60 , 则符合条件的A A BC有两个D. 若 si n2A + si n2B p则切吗- B o, 所以si n A c os B, 故B 正确；对于C, 由余弦定理可得b= J 82 + 102- 2 X 8 X 10 X1= V 84, 只有一解,故 C 错误；对 于 D, 若 si nA + si rf BV si nC则根据正弦定理得a2+ b2 c2,
67、c os C=贮学W AC , 故NC D AsmZ.CDA 2为锐角， 所以NC D A= 60 , D 正确, C 错误. 故选AB D .1 2. ( 多选题)在4 A B C 中, a , b , c 分别是内角A, B , C的对边, C 为钝角，且 c - b = 2b c o s A, 则下列结论中正确的是( AB D )A. a2= b ( b + c ) B . A= 2B1 1C . 0 c o s A - D . 0 s i n B -2 2解析： 因为c - b = 2b c o s A, 所以由余弦定理得c - b = 2b 笔 至 , 因 此2bcc ( c - b
68、 ) = b2+ c2- a2, 整理得 a2= b ( b + c ), 故 A 选项正确; 因为 c - b = 2b c o s A,所以由正弦定理得 s i n C - s i n B = 2s i n B c o s A, 即 s i n ( A+ B )- s i n B =2s i n B c o s A, 所以 s i n Ac o s B - s i n B c o s A= s i n B , 所以 s i n ( A- B ) =s i n B , 由于C 是钝角， 所以A- B = B , 即A= 2B , 故B 选项正确； 由于A= 2B ,且 090 ， 所以 0
69、A 60 , 0 B c o s A ， 0 0,不等式V 3 x c o s A+ U 里 遍可化为X( V 3 c o s A) x2- V 3 x + c o s B 0,即( V 5c o s A) x2- V 3 x + s i n A 0,令 f ( x ) = ( g c o s A) x2- V 3 x + s i n A,则其对称轴为x = -J 0,2cos/又 V 3 x c o s A+ E 竺 对 任 意 正 数 x 恒成立，X等价于f ( x ) = ( 遮 c o s A) x2- V 3 x + s i n A 0对任意正数x 恒成立，所以只需 f ( x )m
70、 i n = f ( 丁三)= 手噤- 产/ s i n A= s i n A- - - 0,2cos4 4coszA 2cos4 4cosA即 s i n 2A , 解得又2A E 或又2A 空，2 3 2 2 3即又AG或国AG ,6 4 4 3即A 的取值范围是H ).6 4 4 3答案92 6 4 4 31 5. 在( a - c ) ( s i n A+ s i n C ) = b ( s i n A- s i n B ); 2c c o s C = a c o s B +b c o s A; AA B C 的面积为： c ( a s i n A+ b s i n B - c s i
71、 n C )这三个条件中任选一个, 补充在下面的问题中， 并加以解答.已知AABC的内角A, B, C 所对的边分别为a, b , c ,且. 求 C;(2 ) 若 D 为 AB的中点,且c = 2 , CD= V 3 ,求 a, b的值.解： (1 ) 选择,根据正弦定理得(a- c ) (a+c ) = b (a- b ) ,整理得 a2- c2= ab - b2,即 a2+b2- c2= ab ,所以c os因为Ce (0 , n) ,所以Cg .选择,根据正弦定理有si n Ac os B+si n Bc os A= 2 si n Ce os C,所以 si n(A+B) = 2 si
72、 n Ce os C,即 si n C= 2 si n Ce os C.因为 C (0 , n ) ,所以 si n CW O,从而有c os C= 1 ,故 C= g .选择，1 1因为y asi n B= - c (asi n A+b si n B- c si n C) ,所以 asi n B= asi n A+b si n B- c si n C,即 ab = a2+b2- c2,由余弦定理， 得 c os c 二咯丁 转2ab 2ab 2又因为C (0 ,五) ,所以Cq .(2 ) 在AACD 中 ,AC2= AD2+CD- 2 AD CDc os ZADC,即 b 2 = l +3
73、 - 2 g c os ZADC.在A B C D 中，BC2= BD2+CD2- 2 BD CDc os ZBDC,即 a2 = l +3 - 2 g c os ZBDC.因为 N ADC+N BDC= n,所以 c os ZADC= - c os ZBDC,所以 a2+b2= 8 .由 C= g 及 c=2,得 a2+b - - 4 = ab ,所以 ab = 4 ,从而 a2+b2- 2 ab = 0 ,所以 a= b = 2 .1 6 . AABC的内角A, B, C 的对边分别为a, b , c ,已知asi n 竽b si n A. 求 B;若AABC为锐角三角形,且c = l ,
74、求AABC面积的取值范围.解： （ 1 ） 由题设及正弦定理得si n Asi n - = si n Bsi n A.2因为 si n AW O,所以 si n = si n B.由 A+B+C= 1 8 0 ,可得 si n g = c os *4 . / . B 门. B B故 c os - zsi n - c os 一 .2 2 2因为 c os 所以 si n = 1 ,所以 B= 6 0 .（ 2 ） 由题设及（ 1 ） 知AAB C 的面积为SA, = va-4由（ 1 ） 知 A+C= 1 2 0 ,由正弦定理得csinA sin （ 1200 -C） 3 1a= - - -=
75、- - -：- - - - - = - - - - +- .sinC sinC 2tanC 2由于AABC为锐角三角形，故 0 A 9 0 ,0 C 9 0 .结合 A+C=120。，得 30。C90 ,所以9 a 2,从问WSA B C.2 8 2因此,AABC面积的取值范围是停争.C级应用创新练17.已知AABC中,AC=V2, BC=V6, AABC的面积为f ,若线段BA的延长线上存在点D,使NBDC 则CD二 - - - - - - - -解析： 因为AC=V2, BC=V6, AABC的面积为广三ACBC sin ZACB=|xV 2 X V 6 sin ZACB,所以 sin Z
76、ACB=|,所以NACB=；或 ?，6 6若 ZACB=,则 ZBDC=；+乎n ,与三角形内角和定理矛盾,所以NACB,4 6 6所以在AABC中， 由余弦定理得AB=V/C2 + BC2-2/C - BC - cos1力CB= J2 + 6-2 x V2 x V6 x y=V2所以AB=AC,所以B=p6所以在ABDC中， 由正弦定理可得c p5C sinB V6x|sinzBDC 立2答案:g1 8 . 如图所示,经过村庄A 有两条夹角为6 0 的公路AB, AC,根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P ,分别在两条公路边上建两个仓库M , N （ 异于村庄A） ,要求P M = P
77、N = M N = 2 （ 单位:k m ） . 如何设计， 使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（ 即工厂与村庄的距离最远） ？A M B解： 设N AM N = 。 ， 在 4 AM N 中，MN _ AMsin60 sin(120 -0)因为 M N = 2 ,所以 AM 彗si n(1 2 0 - 0 ) .在aAP M 中， c os ZAM P = c os(6 0 +0 ) .AP2= AM2+M P2- 2 AM M P c os ZAM P = si n2(1 2 0 - 9 ) +4 - 2 X 2 X3si n (1 2 0 - 9 ) , c os (6 0 + 0 )
78、= 蓝si n ( 0 +6 0 ) _si n ( 9 +6 0 ) c os ( 0 +6 0 ) +4 = | l - c os(2 9 +1 2 0 ) - si n(2 0 +1 2 0 ) +4 = - | V 3 si n (2 0 +1 2 0 ) +c os (2 9 +1 2 0 ) +g = 弓- si n(2 0 +1 5 0 ) ,0 9 7 . 记复数z , 5在复平面内对应的点分别为Zb Z2,其中| 0Z2 | =1 ,若。Z i绕点。顺时针旋转6 0。后能与。 云重合， 则彳等于(B )A V 3 , 1 .A . + i2 2c 1 , V 3 .2 2DV
79、 3 1 .B . i2 2n1 别为A , B , C , 若。 C 6 O 4 + P 0 B (入， P R ), 入 + P 的值为.解析： 由条件得民=(3 , - 4 ), (M=(- l , 2),晶 =(1 , T ), 根据。 。 二 入 。 /+ 口 0B,得(3 , - 4 )二 人 (一 1 , 2)+ 口(1 , 一 1 )=(一 入 + 口 ，2 人- u ),所以KO得 仁 ; :所以入+ 口= i .答案：i1 6 . 已知复数z 满足:z ? =3 + 4 i , 且 z 在复平面内对应的点位于第三象限.求复数z ;(2)设 a R , 且 1 (震 ) 叫
80、a | =2, 求实数a的值.解： (1 )设 z =c + d i (c , d WR 且 c 0, d 0,-4m 0,解得m - 2 ,即实数m的取值范围为( - 8 ,- 2 ).1 8 .若虚数z同时满足下列两个条件:z +8是实数；Zz +3的实部与虚部互为相反数.求z .解: 设 z = a +bi ( a , b R ,且 bWO ),贝z +匹a +bi + a +bi + = ( a +耳) + ”一 号 )i .z a+bi az+ bz az+ bz因为z +三是实数,所以b-年后=0 .z 标 +匕 /又因为bWO ,所 以a ? +b2 = 5 . 又z+3=(a+3)+bi的实部与虚部互为相反数,所 以a+3+b=0.联立 得胪2：二解 得 仁 二 ; ： i ：故 z= T -2 i 或 z=-2i.
