中考动态问题（解析版）-中考数学二轮复习课程标准方法突破

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1、考 点 （ 特色难度大）3 2 ：中考动态问题重要考点知识解读1 . 动态问题：点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力， 空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为每年中题的热点。从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通 过 “ 对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立

2、意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力. 图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“ 动点”探究题的基本思路， 这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。2 . 动态问题共同特性：（ 1）代数、几何的高度综合（ 数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查; 四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数.（ 2）以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值.3 . 命题角度：动态几何特点一一问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系

3、；分析过程中，特别要关注图形的特性（ 特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置）. 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。中考典例解析【 例 题 1】 （ 2021浙江杭州）如图，设点尸是直线/ 外一点，PQ，/ , 点 T 是直线/ 上的一个动点，连结PT,则 （ ）A . P T 2P Q B . P T W 2P Q C . P T 2P Q D . P T W P Q【 答案】C【 解析】根据垂线的性质“ 垂线段最短”即可得到结论.点T是直线/ 上的一个动点，:.P T N P Q

4、 .【 例 题2】( 2 0 2 1辽宁本溪) 如图，在矩形A 8 C Z )中，8 c = 1 , Z A D f i = 6 0c ,动点P沿折线运动到点8,同时动点Q沿折线0 2 f B e运动到点C,点P ,。在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度,点P ,。在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度. 设运动时间为/ 秒，PB。的面积为S ,则下列图象能大致反映S与1之间函数关系的是( )【 答案】D【 解析】分别求出点尸在A。，B D上 ,利用三角形面积公式构建关系式，可得结论. 四边形A 8 C。是矩形，： .AD= BC= , N A = N C = 9 0 , AD/ / B

5、C,： .Z A D B = Z DBC= 60 ,A Z A B D = Z CDB= 30a ,： .BD= 2AD= 2,当点 P 在 A Q 上时，S= A ( 2 - 2 z ) ( 1 - / ) s in60 =返(1 - r ) 2 ( 0 / l ) ,2 2当点P在线段B D上时，S = 1 ( 4 - 2 / ) 强 . ( / - I )=- 亚j2+ 型- 加 ( 1忘2 ) ,2 2 2 2观察图象可知，选项。满足条件.【 例 题3】( 2 0 2 1湖南衡阳) 如 图1 ,菱形A B C D的对角线A C与8。相交于点O , P、。两点同时从。点出发，以1厘米/

6、秒的速度在菱形的对角线及边上运动. 点P的运动路线为O-A- 0 - 0 ,点 。的运动路线为 。设运动的时间为x秒，P 、。间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点尸在A段上运动且P、。两点间的距离最短时，P 、。两点的运动路程之和为一厘米.图1图2【 答案】( 2心3 ) .【 解析】结合图象当点尸运动到4点，点 。运动到C点时，即A C = 2内小，同理求出8 O = 2 a” ，利用菱形性质即可求出A Z ) = A 8 = 8 c= O C = 2 a” ,再由题意易知当点P在A -。段上运动，P 、。两点的最短时P、。分别位于A。、8 c的中点时，求出此时尸、。

7、两点的运动路程之和即可.解：由图分析易知：当点尸从0-A运动时，点Q从 。 一C运动时，y不断增大，当点P运动到A点，点 。运动到C点时，由图象知此时y = PQ = 2虫cm, A C 1: 四 边 形A B C。为菱形，.ACBD, 段上运动，点P运动到点处，点Q在C - 3段上运动，点 。运动到点尸处时，P 、图1此时，0 E = 0 F =吐Q D. =立X 1 _卓,A D 2 2A E = A F = Q 0 A 2 _0 E 2 = | = | 二当点P在A- / ） 段上运动且P、。两点间的距离最短时，P、。两点的运动路程之和为：（ V 3 + 1 ）x 2 = 2 73 +

8、3 （ 5 ）故答案为：（ 2后3 ） .【 例 题4】（ 2 0 2 1湖南永州）如 图1 , A 8是。0的直径，点E是。上一动点，且不与A , 8两点重合,N E A 8的平分线交OO于点C ,过点C作C J _4 E ,交A E的延长线于点 ） .图1图2（ 1 ）求证：C。是。的切线：（ 2 ）求证：AC2= 2AD-AO；（ 3 ）如图2 ,原有条件不变，连接B E , B C ,延长A B至点M , N E B M的平分线交A C的延长线于点P, ZC A B的平分线交N C B M的平分线于点Q.求证：无论点E如何运动，总有N P = N Q .【 答案】见解析。【 解析】证明

9、：（ 1 ）连接O C , OA= OC, .Z OAC= Z OCA, ： . Z BOC= 2Z OAC,： A C 平分N 8 4 E , A Z BAE2Z OAC, : B A E = N B O C , J .CO/ / AD,V Z D= 9 0 , ： .Z DCO= 90 , ： .OC CD,二 C Z ）是00 的切线.（ 2 ） 平分N & 4 E , ： .Z f3AC= Z CAD,A B 是。的直径，； . N 8 C 4 = 9 0 ,V Z D= 9 0 , ： .Z D= Z BCA, A / BAC/ CAD,AA B = A Ct ：.AC2=AHAD,

10、A C A D AB= 2AO, ： .AC2= 2ADAO.（ 3 ） V Z C / 1 B . 的角平分线交于点Q ,A ZQAM=1.ZCAB, N Q B M = I / C B M ,2 2V ZQ是 Q 4 8的一个外角，N C B M是4 8 c的一个外角，A Z 2 = Z Q B M - Z Q A M l (NCBM - ZCAM) , Z A C B = Z C B M - ZCAM,2： .ZQ=1.ZACB,2, ：Z A C B = 9 0 , AZ0 = 4 5 ,同理可证：N P= 4 5 , 尸= / Q .【 例 题 5】 (2021湖南怀化) 如图所示，

11、抛物线与x轴交于A、B两 点 ,与y轴交于点C , 且O A = 2 , OB= 4 , O C = 8 , 抛物线的对称轴与直线B C 交于点M , 与x轴交于点N.( 1 )求抛物线的解析式；( 2 )若点尸是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为 顶 点 的 三 角 形 与 相 似 ？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；( 3 )。为CO的中点，一个动点G从 。点出发，先到达x轴上的点E ,再走到抛物线对称轴上的点凡 最后返回到点C要使动点G走过的路程最短，请找出点E、尸的位置，写出坐标，并求出最短路程.( 4 )点 。是抛物线上位于x轴上方的一点， 点R在x轴上， 是否存

12、在以点。为直角顶点的等腰R tZX C Q R ?若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.备用图备用图【 答案】见解析。【 解析】( 1 )由题意得，点A、B、C的坐标分别为(- 2 , 0 )、( 4 , 0 )、( 0 , 8 ) ,4 a- 2 b+ c=0 a= -l设抛物线的表达式为y =ar 2 + bx + c,则, 1 6 a+ 4 b+ c=0 ，解得 b=2 ，c=8 c=8故抛物线的表达式为y = - f+ 2 x + 8 ；( 2 )存在，理由：则以P、C、M为 顶 点 的 三 角 形 与 相 似 时 ，则P C x轴,则点尸 的坐标为( 1 , 8 ) ；当/

13、P C M为直角时,在 R tZ 0 8 C 中，设NC 8 0 =a,则 tan/ C 8 0 =P 普=2 =tana,则 s ina=- , cos a=OB 4 V 5 V 5在 R t A N M B 中，N B = 4 - 1=3,则8M =-.因 匚 =3旄,cos a同理可得，M N = 6,由点 8、C 的坐标得，B C =g2 + 42 =4 V 5 -则 C M = B C = M B = J ,在 R tZ P C M 中，N C P M = N O B C = a ,则昱s inC I 2 2遮则 P N = M N + P M = 6 + - = ,2 2故点p的坐

14、标为（1 , 1 1 ）,2故点P的坐标为( 1 , 8 )或( 1 , 11)；2( 3 ) 为C。的中点，则点。( 0 , 4 ) ,作点C关于函数对称轴的对称点C ( 2 , 8 ) ,作点。关于x轴的对称点。( 0 , - 4 ) ,连 接C D 交x轴于点E ,交函数的对称轴于点尸，则点E、尸为所求点,图2理由：G走过的路程= OE + E F + F C =。 E+EF+FC = C D 为最短,由点C、D 的坐标得，直线C 。 的表达式为y =6 x - 4 ,对于 y =6 x - 4 ,当 y =6 x - 4 =0 B 寸 ，解得 x= 2,当 x =l 时 ， ，y=2,

15、3故点 尸的坐标分别为( 2 , 0 )、( I , 2 ) ；3G走过的最短路程为C D = ( 2 - 0产 + 出 + ,2 =2幅 ;( 4 )存在，理由：设点。的坐标为( x , - / + 2 x + 8 ) ,故点。作y轴的平行线交x轴于点N ,交过点C与x轴的平行线于点M,图3 ； N M Q C+N R Q N = 90 , N R Q N + / Q R N = 9 C ,:N M Q C = N Q R E ,V Z A N Q = Z Q M C = 9 0Q , Q R = Q C, 4 N0 4 Z Q MC ( A4 S )，:,Q N = CM ,即x =- W

16、 + 2 x + 8 ,解得x = 上运( 不合题意的值已舍去)，_ 2故点Q的坐标为 .2 2考点问题综合训练一、选择题1 . （ 2 0 2 1内蒙古鄂尔多斯）如图，在矩形AB C。中，”为C D边上的一点，点 ” 从点A出发沿折线A”- HC - C B运动到点B停止， 点N从点A出发沿A B运动到点B停止， 它们的运动速度都是 cmls,若点M、N同时开始运动，设运动时间为M s） , A A M N的面积为S （ cm ? ）,己知$与f之间函数图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）当0 r W 6时， AMN是等边三角形.在运动过程中，使得 AOM为等腰三角形的点M 一共有3个.当

17、0 fW 6时，5= 1+ 2 .4 当 9 +加 时 ，MADRSMABM.当 9 r 的中点. VCH2+B C2=7 32+(3V 3)2 = 6-A B = A H = B H = 6,.ABM为等边三角形.A Z H AB= 60 . 点例、N 同时开始运动，速度均为Icvw/s,.AM = AN ,. .当0=AM时，ADM为等腰三角形，如图:当D4=OM时，AOM为等腰三角形，如图:综上所述，在运动过程中，使得AOM为等腰三角形的点例一共有4个.二不正确；过点M作M E L4 8于点E ,如图，由知：ZHAB=60 .在 Rt/AME 中 ,VsinZAJA=M,A M _，ME

18、=AMsin60 = 返 / ,2_：.S 1ANXME=1- x + X t = t2-2 2 2 4 . .正确； 当t=9+代 时 ，CM=氏,如图,由知：3 c = 3五 ,:.MB=BC- C M = 2gAB=6,：.tanN M AB= A = 2炳=V1,AB 6 3，/M 48=30 .V ZHAB=60 ,/. ZDAH=90 - 60 =30 ./. NDAH= ZBAM.V ZD=ZB=90 ,AADHsAABM. 正确; 当9/ 8,此 时 点P在线段8 c匕2P = 13-8= 5 ,则P点为B C的中点，又因为/A = 9 0 ,所以 8c = 5 .2所 以 图

19、（ 2）中P的坐标为（ 13, 5 ）.3. （ 2021甘肃威武定西平凉）如 图1,在 A B C中，AB=BC, B Q _ L A C于点。（ A D B D ）. 动点、 M 从 A点出发，沿折线A B - B C方向运动，运动到点C停 止 .设 点M的运动路程为x , 的面积为y , y与x的函数图象如图2 ,则A C的 长 为 （ ）【 答案】B【 解析】先根据A 8 = 8 C结合图2得出4 8= 5/运 ，进而利用勾股定理得，4 4 + 8 0 = 1 3 ,再由运动结合ADM的面积的变化，得出点M和点2重合时， A O M的面积最大，其值为3 ,即进而建立2二元二次方程组求解

20、，即可得出结论.解：由图 2 知，AB+BC= 2yfl3, ： AB= BC,:.AB=Q 3,： AB= BC, BDL BC,.AC= 2AD, Z ADB= 90 ,在 R t Z A 8 中，A 2+8h = A B 2 = 13，设点M到A C的距离为儿； 5A/W= L 1 /?，2 . 动点例从A点出发，沿折线A 8 - 8 C方向运动，当点M运动到点8时， A Q M的面积最大，即/? = B ,由图2知， A /W的面积最大为3,：.1ADBC=3,2： .AD-BD= 6, +2X得，A Z y +B O +Z A /A 8/)= 13+2X 6 = 25 , ： .(

21、AD+BD)2 = 25,： .AD+BD= 5 (负值舍去)，.BD= 5 - A D ,将代入得，A O (5 -A O )= 6 ,.*.A Z = 3 或 A D = 2,： A D BD,. )= 34 . （ 2021广西贵港）如图，在 A B C 中, N A B C = 9 0 , A B = 8, B C = 2 ,。为 A C 边上的一个动点，连接 B D , E为 8。上的一个动点，连接A E ,C E ,当时，线段AE的最小值是（ ）【 答案】BB . 4C . 5D . 6【 解析】如图，取 BC的中点T, 连接A T , ET .：N A 8 c = 9 0 ,.N

22、 A 8O +/C 8O = 9 0 ,: N A B D = N B C E ,： .Z CBD+Z BCE= 90 ,AZ C E B = 9 0 , CT = T B= 6,.E T = _ 8C = 6 -4 7 ，=A/AB2+B T2=V 82 + 62= 10, ： A E A T - ET ,； .A E 24 ,的最小值为4 .二、填空题1. （ 2021浙江嘉兴）如图，在 A B C 中，Z B A C = 30 , Z ACB= 45 , AB= 2 , 点尸从点A出发沿A B方向运动，到达点B时停止运动，连 结 C P , 点 A关于直线CP的对称点为A , 连结A C

23、, A P.在运动过程中，点A 到直线A8 距离的最大值是 ：点尸到达点8 时，线段A 尸扫过的面积为 .B22【 答案】15X 1, (1+返 川 -【 解析】如 图 1 中，过点8 作于H . 解直角三角形求出。 ， 当 C4 L 4 B 时，点 A 到直线4 B 的距离最大，求 出 CA ,C K .可得结论. 如图2 中，点尸到达点B 时，线段A P 扫过的面积= 5 蒯以， 6 -2sMBC，由此求解即可.如 图 1 中，过点B 作 8” _L4C于 H.图1在 RtAABH 中，B= 4 8 ” in30 = 1工”=“ 8，= 我.在 RtZsBCH 中，NBCH=45；:.CH

24、=BH=l, ACCA 1 +3.当 CA LA B时，点 A 到直线A 8 的距离最大，设 C 4 交 4 8 的延长线于K.在 RtZACK 中，CK=4Csin30 -_ 2 _/V K= CA - CK= 1+V3 -2 2如图2 中，点尸到达点8 时，线段4 P 扫过的面积= S 域 形A C A-2S B C= 9。 兀 （1+ 鱼 ） ：_ 2 X _ lx a+ “） X = （ +通） n - 1 - V3.360 2 22 . （ 2021武汉）如 图（ 1 ）,在 AB C中，A B = A C ,边A 8上的点。从顶点4出发，向顶点B运动，边8 c上的点E从顶点B出发，

25、向顶点C运动，D ,设工=4。，y= A E + C D （ 2 ）,图象过点（ 0 , 2 ）,则图象最 低 点 的 横 坐 标 是 - .【 答案】V 3 - 1 -【 解析】观察函数图象，根据图象经过点（ 0 , 2 ）即可推出A 8和A C的长，构造N8E g / C A/ ） ,当A、E、N三点共线时，y取得最小值，利用三角形相似求出此时的x值即可.解：图象过点（ 0 , 2 ）,即当xA D = l时， 点 。与A重合，此时 y = A E + C D = A B + A C = 2yAB C为等腰直角三角形， A8= AC = 1 ,过点A作A F L 8 c于点尸，过点8作N

26、8 L 8 C ,如图所示:B： AD=BE,NNBE= NCAD,：.丛NBEWACADSA5),:NE=CD,：y=AE+CD,：.y=AE+CD=AE+NE.当A、E、N 三点共线时，如图所示AD= BE=x,AC= BN=6,.A/=AC sin45 = 返 ，2又: NBEN= ZFEA, NNBE= ZAFENBEGAFEANB JB E ,即 ,AF FE V2 V3-X2-2解得：x = & -8 ,二图象最低点的横坐标为：V2- 1.故答案为：V3-1.3 .如图，在矩形ABCO中，A8 = 4,AO = 5 , 点E ,尸 分 别 是 边 上 的 动 点 ，点E不与A, 8

27、 重合,且 防 = A 5, G是五边形A EfCD 内满足G E=G 尸且NEGF =90的点. 现给出以下结论：NGEB与NGFB 一定互补；点G到边AB, BC的距离一定相等：点G到边AD, D C的距离可能相等; 点G到边A B的距离的最大值为2近 .其中正确的是. （ 写出所有正确结论的序号）【 答案】【 解析】尸=90GE = GF:.ZGEF 45 四边形ABC。是矩形.-.ZB = 90.NEG尸= 90。 , 四边形内角和为360:.NGEB+NGFB = 180二正确.如图：过G作GM ，A8,GN_L8CZGM E=ZGNF = 9CP.NGB+NGFB = 180, Z

28、GEM + ZGEB = 180:G F N = GEM又GE = GF/GM EQ/GNF(AAS):.GM = GN即点G到边AB, BC的距离一定相等. 正确.如图：过G作GN，AD,GM_LCDNG ABEF = 2,GM AB-EFxsin450 = 4-272,GM AD-EFx sin 45 = 5 - 272.4-2夜 NG 2,5- 2 0 GM ,0C的距离不可能相等，不正确.如图：D当GE _L A B 时，点 G 到边A B的距离的最大G = Fxsin45 = 4x = 2A/22，正确.综上所述：正确.故答案为.【 点睛】本题考查了动点问题，四边形内角和为3 6 0

29、 ,全等三角形的证明，点到直线的距离，锐角三角函数，矩形的性质，熟悉矩形的性质是解题的关键.三、解答题1. （ 2021 贵州铜仁）如图，在ABC 中，ZACB=9Q , AC= 12c机. 点 P 是 C4 边上的一动点，点尸从点C 出发以每秒2cm的速度沿CA方向匀速运动，以 CP为边作等边ACP。 （ 点 8、点 Q 在AC 同侧），设点P运动的时间为x 秒，ABC与ACP。重叠部分的面积为S.（ 1）当点Q落在ABC内部时，求此时aA BC 与CPQ重叠部分的面积S （ 用含x 的代数式表示，不要求写x 的取值范围）；（2）当点。落在A 8上时，求此时回（ 7与 重 叠 部 分 的 面

30、 积 S的值；（ 3）当点。落在A8C外部时，求此时ABC与CP。重叠部分的面积S （ 用含x 的代数式表示）.c P .4【 答案】见解析【 解析】（1）如 图 1 中，当点。落在ABC内部时，5= 返 乂 （ 2x） 2=VSv2.B图1( 2 )如图2中，当点。落在A 8上时，过点。作于H .图2V Ze W A= ZAC B = 9 0 ,： .QH/ / BC, QH=AHBC AC百 X = 12-X 673 12Ax=4,，C P= 8, C H = P H = 4 ,，5 =返 乂82 = 1 6我.4( 3 )如图3中，点 。落在AB C外部时，设C 0交A B于M P Q交

31、A B于M ,过点N作/W _ L A C于 ，,过点M作M J L A C于J ,作NT/ / P Q 交 A C 于 T.图3由( 2 )可知，C H = H T = 4 , CT=NT=8, N= 4相 ，AT=4, SM C N=工 X 6 x 4 = 1 2仃2: N T P M ,： .AM P s/ AN T , AP = MJAT MH4 啦： .M J = 1 2 V 3 - 2 t ，S=SAX8C - SABC/V - SA7W P =4X6 X 1 2 - 1 2 73 - 工X （ 1 2 - 2 r） X （ 12- 2 0 ） = -2 2- 4 873 （ 4

32、BP OQ2 2= / (6 - 3t ) 2 t蒋 ,(6 - 3t )- 2 t= -6r+i2z= - 6(r- l)2+6, ,点P到达点5时，P、。同时停止， 0WW2,.1 = 1时，四边形MN8P的最大面积为6.(3) ,:MN=63t, 8P= 6 - 3b:.MN=BP,*：MNBP,四边形MNBP是平行四边形，平分四边形MNBP面积的直线经过四边形的中心，即MB的中点,设中点为， （ X, y）,2 t) B(6，0 ) ,., x r =- 1 ,3 八 = 3 cy * (yt+ 6 ) 1+3- - 2t+Qy - M= t -o ” =力 +3,化简得：y = Ax

33、_4，3二直线） 的解析式为: y = Ax-4.3(4) ：OA=AB,：. /A O B =/P B N ,又, ： ZOAP=NBPN,AOPsAPBN, 0A OP BP BN. 5 3t6-3t 5万 t解得：f= 2 l.18：MN=6 - 3t, AE=AF - OQ,ME=3 - 3 + ,2.M/V=6-3 x1 1 2 518 6A E = 4-2 X 18 9设点N 到 OA得距离为儿：SAMN= ,M N A E = A M -II,22 1 25 25 1 1252 6 9 2 36解得：仁 改 .3h 点N到 0A得距离为此.33 .如图，在 A B C中，Z C=

34、 9 0 , A B = 5 , BC = 3 , 点 。为边AC 的中点. 动点P从点A出发，沿折线AB-BC 以每秒1 个单位长度的速度向点C 运动，当点P不与点A、C 重合时，连结PD 作点A关于直线尸 。的对称点A, 连结A。、A A.设点尸的运动时间为f 秒.( 1 )线段4 。的长为 ；( 2 )用含， 的代数式表示线段BP的长；( 3 ) 当点A在aABC 内部时，求 f 的取值范围;( 4 ) 当N44。与 相 等 时 ，直接写出f 的值.【 答案】见解析。【 解析】 ( 1 ) 在 R t Z S A B C中，由勾股定理得:4CVAB2-BC2=4,.AD= AC= 2.2

35、故答案为：2 .( 2 ) 当 0C W5时，点 P在线段AB上运动，P B = A B - A P 5 - t ,当 5 f 8 时，点 P在 BC 上运动，P Bt-5.综上所述,t - 5 (5 t 8 )( 3 ) 如图，当点4 落在4 8 上时，DP1AB,5. . . 在 RtaAPO 中，COSA=J.=1.=A,A D 2 5. ,_85如图，当点4 落在8 c 边上时，DPLAC,5二在 RtZUPO 中，COSA = = 2 = _ 1 ,A P t 52如图，点 A运动轨迹为以。为圆心，A。长为半径的圆上,a 时，点 4 在ABC内部.5 2( 4 ) 如图，0V / 中

36、，C 3 =LA =2 ，CP = 8 - t , t a n Z D P C= A ,2 3t a n N P C=匹_=， _ =生P C 8 - t 3. . Il2综上所述，r= 5或里.4 24 . (2 0 2 1山东荷泽)在矩形A 8 C中，B C = C D , 悬 E 、尸分别是边A。、B C上的动点，且A E = C E连接E F ,将矩形A B CZ )沿E F折叠，点C落在点G处，点 。落在点H处.(1 )如 图1 ,当与线段B C交于点P时，求证：P E = P F ；(2 )如图2 ,当点P在线段C 8的延长线上时，G H 交 A B 于点M ,求证：点M在线段E尸

37、的垂直平分线上;(3)当A B = 5时，在点E由点A移动到A。中点的过程中，计算出点G运动的路线长.图1 图2 备用图【 答案】见解析。【 解析】(1 )证明：如 图1中，图 1丁四边形ABC。是矩形，:ADBC,：. /DEF=/EFB,由翻折变换可知，NDEF=NPEF,J /PEF= /PFE,:PE=PF.( 2 ) 证明：如图2 中，连接AC交 所 于 。 ，连接PM, PO.:/EAO=/FCO,:AE=CF, NAOE=NCOF,：./AEO/CFO (A 4S),:.OE=OF,；PE=PF,：.P0 平分 NEPF,；PE=PF, AD=BC, AE=FC,:ED=BF,由

38、 折 叠 的 性 质 可 知所以BF=EH,：.PE- EH=PF- BF,:PB=PH,: NPHM =/PBM =90 , PM=PM,(H L ),；.PM 平分NEPF,：.P. M, O 共线，: POLEF, OE=OF,. . . 点M 在线段EF的垂直平分线h.( 3 ) 如图3 中，由题意，点 E 由点A 移 动 到 中 点 的 过 程 中 ，点 G 运动的路径是图中弧BC.在 中，tanNCBQ=2=返，B C 3；.NCBD=30 ,.,.N48O=/OAB=60 ,.AOB是等边三角形，：.OA=OD=OB=OC=AB=5, NBOC= 120 ,. . . 点G 运动

39、的路径的长=120兀5 =乌 .1 8 0 3故答案为：4T.35. (2021大 连 )如图，四边形ABC。为矩形，AB=3, BC=4, P、Q 均从点B 出发，点 P 以 2 个单位每秒的速度沿BA - AC的方向运动，点 。以 1个单位每秒的速度沿BC - CO运动，设运动时间为t 秒.( 1 ) 求 AC的长；B Q C【 解析】(1): 四 边 形 A8CO为矩形，N8=90在 RtZABC中，由勾股定理得:A C = 7AB2 + BC =、 / 32+ 42 = 5, ： .AC 的长为 5；( 2 ) 当OVfW l.5时，如图，S ； x BP x BQ = x 2t x t = t2；当 1.5VW 4时 ,如 图 ，作 用LLBC于 ,；.CP=8 - I t,. . . /皿 _ A8 _ P H, smNBCA一旅 一正.,.PH = y - y , ；.S=a X BQ X PH 曰X t x (普一 a = 一等 + 苧;当 4fW 7时，如图，点 P 与点C 重合,S= 1 x 4 x (t - 4) = 2t - 8.t2(Ot2t - 8(4 t 7)