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1、3.高斯定理高斯定理习题p73 1-14、15、16、17、20电力线电力线、通量通量n为什么要研究通量、环流？为什么要研究通量、环流？n对象变导致一系列深刻的变化对象变导致一系列深刻的变化不仅规律不仅规律的形式，而且规律的性质发生变化的形式，而且规律的性质发生变化研究范畴研究范畴 对象对象 规律规律 规律的性质规律的性质牛顿力学牛顿力学 质点、刚体、连续体质点、刚体、连续体 可逆可逆 决定论决定论 热学热学 大量分子构成的群体大量分子构成的群体 不不可逆性可逆性 非决定论非决定论 引入熵引入熵 概率论概率论n 表明研究对象变化，规律性质发生变化，表明研究对象变化，规律性质发生变化，n 会有相
2、应的数学手段的引入会有相应的数学手段的引入n 如牛顿研究引力的同时提出了微积分如牛顿研究引力的同时提出了微积分 2005.2.北京大学物理学院王稼军编写场是一定空间范围内连续分布的客体场是一定空间范围内连续分布的客体n温度温度T 温度分布温度分布温度场（标量场）温度场（标量场）n流速流速v 流速分布流速分布流速场（矢量场）流速场（矢量场）n电荷产生的场具有什么性质？电荷产生的场具有什么性质？ n已知电荷可以根据场强定义和叠加原理求场分布已知电荷可以根据场强定义和叠加原理求场分布 n已知场分布也可求得其他带电体在其中的运动已知场分布也可求得其他带电体在其中的运动n物理学家不满足于这些，物理学家不
3、满足于这些，各种各样的电荷的场分布五各种各样的电荷的场分布五花八门，只是表面现象，其本质是什么？花八门，只是表面现象，其本质是什么？ n期望从不同的角度揭示电场的规律性期望从不同的角度揭示电场的规律性n经过探索通过与流体类比找到用矢量场论来描述电场经过探索通过与流体类比找到用矢量场论来描述电场2005.2.北京大学物理学院王稼军编写流速场流速场n有源（或汇）、有旋有源（或汇）、有旋 、两者兼而有之、两者兼而有之 2005.2.北京大学物理学院王稼军编写类比类比n流线流线电力线电力线 n流量流量电通量电通量 n物理意义：穿过物理意义：穿过dS的电力线的根数的电力线的根数n电通量与电场强度的关系？
4、电通量与电场强度的关系？ n定定义义电电力力线线数数密密度度：单单位位面面积积内内电电力力线线的的根根数数令其等于该处电场强度的大小令其等于该处电场强度的大小n人为定义人为定义2005.2.北京大学物理学院王稼军编写任意曲面任意曲面 n规定：规定：n取闭合面外法线方向为正，则取闭合面外法线方向为正，则任意闭合曲面任意闭合曲面 2005.2.北京大学物理学院王稼军编写高斯定理高斯定理 p22n立体角定义立体角定义 通通过过任任意意闭闭合合曲曲面面的电通量的电通量Gauss面Gauss面上的场强，是所有电荷产生的场面内电量的代数和，与面外电荷无关2005.2.北京大学物理学院王稼军编写证明：证明：
5、 从特殊到一般从特殊到一般n 点电荷点电荷q被任意被任意球面球面包围包围 设设q 0，场具有球对称性场具有球对称性 n一个点电荷所产生的电场，在以点电荷为一个点电荷所产生的电场，在以点电荷为中心的任意球面的电通量等于中心的任意球面的电通量等于 2005.2.北京大学物理学院王稼军编写点电荷点电荷q被被任意任意曲面曲面包围包围 n对整个闭合面对整个闭合面S有有 n包围一个点电荷的任意曲面上的电通量等于包围一个点电荷的任意曲面上的电通量等于n结果与电力平方反比律分不开结果与电力平方反比律分不开 2005.2.北京大学物理学院王稼军编写闭合曲面不包围点电荷闭合曲面不包围点电荷 n闭合曲面不包围点电荷
6、闭合曲面不包围点电荷 ，dS与与dS所对的立体角所对的立体角 n则电通量也有则电通量也有 n对于闭合面对于闭合面S+S，总通量为总通量为 n结结论论：通通过过不不包包围围点点电电荷荷的的闭闭合合曲曲面面的的电通量为零电通量为零2005.2.北京大学物理学院王稼军编写多个点电荷多个点电荷被任意闭合曲面包围被任意闭合曲面包围n设带电体系由设带电体系由n个点电荷组个点电荷组成成 ，其中，其中 k个在个在闭合面内闭合面内，n-k个在个在闭合面外闭合面外n由场强叠加原理，通过闭由场强叠加原理，通过闭合面的总通量为合面的总通量为 =02005.2.北京大学物理学院王稼军编写讨论：讨论： Gauss 定理说
7、明定理说明 n闭合面内的电荷决定通过闭合面的电通量闭合面内的电荷决定通过闭合面的电通量, ,只只要要 S S内内电荷不为零电荷不为零 ，则通量不为零则通量不为零有源有源 n正电荷正电荷 喷泉形成的流速场喷泉形成的流速场 源源 n负电荷负电荷 有洞水池中的流速场有洞水池中的流速场汇汇n闭闭合合面面外外的的电电荷荷虽虽然然对对通通量量没没有有贡贡献献，但但并并不不意意味味着着不不影影响响闭闭合合面面上上的的电电场场，高高斯斯面面上上的的场场强是空间所有带电体所产生的强是空间所有带电体所产生的 n高高斯斯定定理理是是静静电电场场的的一一条条重重要要的的定定理理，有有其其重重要要的的理理论论地地位位，
8、是是静静电电场场基基本本方方程程之之一一 ，它它是是由由库库仑仑定定律律导导出出的的， 反反映映了了电电力力平平方方反反比比律律 ，如如果果电电力力平平方方反反比比律律不不满满足足，则则高高斯斯定定理也不成立。理也不成立。 2005.2.北京大学物理学院王稼军编写n静电力是有心力，但高斯定理只给出了静电力是有心力，但高斯定理只给出了源和通量的关系，并没有反映静电场是源和通量的关系，并没有反映静电场是有心力场这一特性，它只反映静电场性有心力场这一特性，它只反映静电场性质的一个侧面（下一节还要讲另一个定质的一个侧面（下一节还要讲另一个定理理环路定理）环路定理） n所以不能说高斯定理与库仑定律完全等
9、价所以不能说高斯定理与库仑定律完全等价n若不添加附加条件（如场的对称性等），若不添加附加条件（如场的对称性等），无法从高斯定理导出库仑定理无法从高斯定理导出库仑定理n电力平方反比律电力平方反比律 高斯定理高斯定理 n电荷间的作用力是有心力电荷间的作用力是有心力 环路定理环路定理 2005.2.北京大学物理学院王稼军编写从从Gauss定理看定理看电场线电场线的性质的性质 n电场线疏的地方场强小，密电场线疏的地方场强小，密的地方场强大的地方场强大n电场线起始于正电荷或无穷电场线起始于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷远远，止于负电荷或无穷远2005.2.北京大学物理学院王稼军编写GaussGauss
10、定理应用列举定理应用列举n定理反映了静电场的性质定理反映了静电场的性质有源场有源场 n提供求带电体周围的电场强度的方法提供求带电体周围的电场强度的方法 nP24p29n球对称的电场球对称的电场n轴对称的电场轴对称的电场n无限大带电平面的电场无限大带电平面的电场2005.2.北京大学物理学院王稼军编写球对称的电场球对称的电场p24n例例题题6 6：求求均均匀匀带带正正电电球球壳壳内内外外的的场场强强，设设球球壳壳所所带电量为带电量为QQ，半径为半径为R Rn在球坐标下分析在球坐标下分析：n球球壳壳电电荷荷均均匀匀分分布布，围围绕绕任任一一直直径径都都是是旋旋转转不不变变场场强强分分布布也也不不变
11、变，但但旋旋转转时时E和和E变变只有只有E0和和E0n只只有有径径向向分分量量Er不不为为零零，r相相同同Er相相同同场呈球对称分布场呈球对称分布2005.2.北京大学物理学院王稼军编写n根据场的对称性做高斯面根据场的对称性做高斯面n求出通过求出通过Gauss面的通量面的通量 n结论：球壳内结论：球壳内E=0；球壳外球壳外 与点电荷场相同与点电荷场相同 2005.2.北京大学物理学院王稼军编写P26例题例题7n利用例题利用例题6的结果，球外一样的结果，球外一样n在球内任意取半径为在球内任意取半径为r的的Gauss面面 n注意计算注意计算rR时，高斯面内所包时，高斯面内所包围的电量为围的电量为
12、体电荷体电荷2005.2.北京大学物理学院王稼军编写轴对称的电场轴对称的电场np27例题例题8求求无限长均无限长均匀带电棒匀带电棒外的场强分外的场强分布布 n在柱坐标下分析在柱坐标下分析n作平面作平面1和和2n柱体对柱体对1镜像反射变换是不变的镜像反射变换是不变的场分布也不变场分布也不变n但此变换下但此变换下E分量反向，只有分量反向，只有E0n柱体对柱体对2镜像反射变换是不变的镜像反射变换是不变的场分布也不变场分布也不变n但此变换下但此变换下Ez分量反向，只有分量反向，只有Ez0n剩下唯一不可能等于剩下唯一不可能等于0 0的分量只有的分量只有Ern无限长圆柱体具有沿无限长圆柱体具有沿z z方向
13、的平移不变性方向的平移不变性n 等等r处处Er相等相等轴对称性轴对称性2005.2.北京大学物理学院王稼军编写设棒上线电荷密度为设棒上线电荷密度为+ en作高斯面作高斯面以细棒为对称轴的圆柱（以细棒为对称轴的圆柱（l长）长）n求出通过求出通过Gauss面的通量面的通量 EdSE 是常数是常数2005.2.北京大学物理学院王稼军编写无限大带电平面的电场无限大带电平面的电场n设带电板的面电荷密度设带电板的面电荷密度为为 +en对称性分析对称性分析n在直角坐标下分析在直角坐标下分析n对对yz平面平面，镜像反射变镜像反射变换不变换不变,场也不变场也不变nEx=0n对对zx平面平面镜像反射变换镜像反射变
14、换不变，场也不变不变，场也不变nEy=0n只有只有Ez不为零，不为零，无限大平面自身具有平无限大平面自身具有平移不变性，移不变性， Ez与与场点的场点的坐标无关坐标无关2005.2.北京大学物理学院王稼军编写n结结论论：均均匀匀带带电电的的无无限限大大平平面面板板产产生生的的场场强强大大小与场点到平面的距离无关小与场点到平面的距离无关n图示图示c板间场强为何？板间场强为何？ES0？2005.2.北京大学物理学院王稼军编写讨论讨论： n 以上三例电荷分布分别具有球对称性、轴对称性、以上三例电荷分布分别具有球对称性、轴对称性、面对称性，电荷分布的对称性决定了场的对称性。面对称性，电荷分布的对称性决
15、定了场的对称性。n用用 GaussGauss定理可以计算具有强对称性场的场强定理可以计算具有强对称性场的场强 n通量要好算通量要好算 n注意选取合适的注意选取合适的GaussGauss面面 nGaussGauss定理可以和场强叠加原理结合起来运用，定理可以和场强叠加原理结合起来运用，计算各种球对称性、轴对称性、面对称性的场。计算各种球对称性、轴对称性、面对称性的场。n上述三个例子的结论可以作为已知结论运用，例如上述三个例子的结论可以作为已知结论运用，例如 n 求两块无限大带电平面板的场分布求两块无限大带电平面板的场分布n 求均匀带电球体内外的场分布求均匀带电球体内外的场分布n 求均匀带电的无限长圆柱内外场分布求均匀带电的无限长圆柱内外场分布n整整体体不不具具有有对对称称性性，但但局局部部具具有有对对称称性性的的电电荷荷分分布布的的电电场，可以分别求出场强再叠加场，可以分别求出场强再叠加 2005.2.北京大学物理学院王稼军编写
