《新高考数学二轮复习讲义专题22 抛物线（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新高考数学二轮复习讲义专题22 抛物线（解析版）（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题22 抛物线 【考点专题】1抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径x0x0y0y0通径长2p【方法技巧】求圆锥曲线中的有关三角形的面积时，常联立直线与曲线的方程，根据韦达定理求出弦长.然后根据点到直线的距
2、离公式，求出三角形的高，即可得出.【核心题型】题型一：定义法求焦半径1（2023山西晋中统考二模）设F为抛物线C：的焦点，点M在C上，点N在准线l上且MN平行于x轴，若，则（）AB1CD4【答案】D【分析】由抛物线方程可知焦点坐标及准线方程，设准线与轴交点为，画出图象，由抛物线定义及可知是正三角形，结合平行关系可判断，利用直角三角形性质即可求解.【详解】由题可知，抛物线焦点F为，准线l为，设准线l与x轴的交点为E，如图所示，由题知，由抛物线的定义可知，因为，所以是正三角形，则在中，因为，所以，所以故选：D2（2023宁夏银川六盘山高级中学校考一模）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴
3、的距离为3，O为坐标原点，则（）AB6CD9【答案】C【分析】根据抛物线定义及题意求出，得出点A的坐标即可求解.【详解】由已知及抛物线的定义可得，解得，抛物线方程为，即，代入抛物线方程可得，.故选：C3（2023江苏南通统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，若的面积为，则（）A2B4CD【答案】B【分析】根据抛物线定义求得点横坐标，代入抛物线方程得纵坐标，再利用三角形面积公式即可得的值.【详解】抛物线的焦点为，点在抛物线上，由抛物线的定义可得，则，解得或（舍）.故选：B.题型二：定义法求焦点弦4（2021秋陕西西安高二统考期末）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于A
4、（点A在第二象限），两点，则（）ABC4D5【答案】A【分析】求出焦点坐标，设出直线方程，与抛物线方程联立，设，则，从而利用焦半径公式和焦点弦公式求出，得到答案.【详解】抛物线方程为，故焦点坐标为，则直线方程为，与联立得：，即，设，则，则，所以.故选：A5（2023全国模拟预测）已知抛物线的焦点为F，直线l过焦点F且与抛物线交于点，与抛物线C的准线交于点Q，若（O为坐标原点），则（）A1B2C3D4【答案】B【分析】将三角形面积间的数量关系转化为线段长之间的数量关系，求得有关线段的数量关系，并根据三角形相似建立方程，解方程得到结果.【详解】对于OQN和OFN，底边QN和FN上的高均为点O到直线
5、l的距离，故由可得，如图，分别过点M，N作准线的垂线，垂足分别为点，设，则，故因为，所以在直角三角形中，所以，所以，解得设抛物线的准线与x轴交于点，则，所以， 即，解得，故选：B6（2023秋福建龙岩高三校联考期末）抛物线的焦点为，对称轴为，过且与的夹角为的直线交于，两点，的中点为，线段的中垂线交于点若的面积等于，则等于（）AB4C5D8【答案】D【分析】依题意不妨设抛物线为，不妨设直线的倾斜角为，直线，设，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可求出的坐标，从而求出直线的方程，则的坐标可求，再根据三角形面积求出，最后根据焦半径公式计算可得.【详解】解：依题意不妨设抛物线为，则，根据对称
6、性不妨设直线的倾斜角为，则直线，设，则，消去整理得，所以，则，所以，则直线的方程为，令，解得，即，所以，解得或（舍去），所以，则，所以.故选：D题型三：求距离的最值问题7（2023湖南模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，若点P是满足的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线上的动点，Q在直线上的射影为R，则的最小值为（）ABCD【答案】D【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得，从而可得出答案
7、.【详解】设，则，化简整理得，所以点的轨迹为以为圆心为半径的圆，抛物线的焦点，准线方程为，则，当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，所以的最小值为.故选：D.8（2023秋山东德州高三统考期末）曲线上有两个不同动点，动点到的最小距离为，点与和的距离之和的最小值为，则的值为（）ABCD【答案】C【分析】对于可直接利用两点间的距离公式结合二次函数进行求解，对于可利用抛物线的性质，结合图象观察发现取得最值时的的位置进行求解.【详解】设，则，结合关系式可变形为：，当，即动点坐标为时，取到最小距离，即；由题知，曲线为抛物线在第一象限的部分以及原点，其焦点为，准线为，设，过作准线，垂足为，根据抛物线
8、定义，过作准线，垂足为，交抛物线于，当在运动时，结合下图可知，当运动到时取得等号，即的最小值为.故.故选：C9（2023秋河南信阳高三信阳高中校考期末）已知点是抛物线上任意一点，则点到抛物线的准线和直线的距离之和的最小值为（）AB4CD5【答案】C【分析】点到直线的距离为，到准线的距离为，利用抛物线的定义得，当，和共线时，点到直线和准线的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案【详解】解：由抛物线知，焦点，准线方程为，根据题意作图如下；点到直线的距离为，点到的距离为；由抛物线的定义知：，所以点到直线和准线的距离之和为，且点到直线的距离为，所以点到直线和准线的距离之和最小值为故选：C题型四：
9、抛物线的对称问题10（2021宁夏中卫统考一模）已知抛物线C：（）的焦点为F，准线与x轴交于点K，过点K作圆的切线，切点分别为点A，B.若，则p的值为（）A1BC2D3【答案】C【解析】连接，通过是圆的圆心，结合图形，通过求解是等边三角形，推出结果【详解】连接，如下图因为F就是圆的圆心，所以，且.又，所以，那么，所以是等边三角形所以.又，所以.故选：C.【点睛】考查抛物线的标准方程、焦点、准线以及圆有关的概念，考查数形结合的思维方法和学生对数量关系的分析能力.11（2023全国高三专题练习）已知椭圆：与抛物线：交于两点，为坐标原点，若的外接圆经过点，则等于（）ABC2D4【答案】A【分析】根据
10、椭圆和抛物线的对称性知的外接圆的圆心必在x轴，设圆心为，结合圆的性质可得、进而得，代入椭圆方程计算即可求解.【详解】设，则，.由题意知，四点共圆，由椭圆和抛物线的对称性，知的外接圆的圆心必在x轴，设与x轴相交于点D，则，在圆D中，有，即，又，所以，解得，代入，得，将代入椭圆方程，得，整理，得，解得.经检验，时，符合题意.故实数p的值为.故选：A.12（2020全国模拟预测）已知抛物线的焦点为 ，准线为，点在抛物线上，且点到准线的距离为6，的垂直平分线与准线交于点，点为坐标原点，则的面积为（）ABCD【答案】B【分析】解法一：先根据焦半径公式求出的坐标，再求出的垂直平分线的方程，从而可求的坐标，
11、故可求的面积.解法二：先根据焦半径公式求出的坐标，过点作的垂线，垂足为，利用抛物线的定义可得重合，从而可求的面积.【详解】解法一：抛物线：的焦点为，准线为：，设，由点到准线的距离为6，得，得，代入抛物线的方程得，所以由抛物线的对称性，不妨设，则直线的斜率为，又的中点坐标为，故的垂直平分线的方程为，令，得，即所以的面积为故选：B.解法二：抛物线：的焦点为，准线为：，设，由到准线的距离为6，得，得，代入抛物线的方程得，所以由抛物线的对称性，不妨设，则直线的斜率为，所以过点作的垂线，垂足为，则，连接，则，而，所以是等边三角形，于是边的垂直平分线过点，即点与点重合，所以的面积为故选：B.【点睛】方法点
12、睛：与抛物线焦点有关的距离计算问题，可利用抛物线的定义将此距离转化为到准线的距离来处理.题型五：抛物线的综合问题13（2023河南洛阳洛阳市第三中学校联考一模）已知抛物线上的一个动点P到抛物线的焦点F的最小距离为1(1)求抛物线C的标准方程；(2)过焦点F的直线l交抛物线C于两点，M为抛物线上的点，且，求的面积【答案】(1)(2)32【分析】（1）利用动点P到抛物线的焦点F的最小距离，结合抛物线定义求得p的值，可得答案；（2）说明轴不合题意，设直线的方程为，直线的方程为，联立抛物线方程可得根与系数的关系，结合题意进行化简，求得M点坐标，求得弦长,利用三角形面积公式，即可求得答案.【详解】（1）
13、设点P的坐标为，由抛物线定义可知，即当时取得等号，故，解得，所以抛物线C的标准方程为（2）由（1）知，设，若轴，由，得，或，此时不满足，所以不满足题意；设直线的方程为，直线的方程为，如图所示，将代入抛物线方程得，所以，将代入抛物线方程得，所以直线AM的斜率为，同理BM的斜率为因为AMBM，所以，所以，即由解得，将其代入可得，所以或，当时，直线的方程为，因为，满足，所以，所以，所以同理可得，当时，直线的方程为，因为，满足，所以，所以，所以，所以的面积为3214（2023河南洛阳市第三中学校联考一模）已知点在抛物线上，且到抛物线的焦点的距离为2.(1)求抛物线的标准方程；(2)过点向抛物线作两条切线，切点分别为，若直线与直线交于点，且点到直线直线的距离分别为.求证：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意可得，求出，即可得解；（2）方法一：设，求导，再根据导数的几何意义分别求出抛物线在点处和在点处的切线方程，再根据两条切线均过点，从而可求得切点坐标，在证明平分，即可得出结论.方法二：设切点为，求导，再根据导数的几何意义求出切线方程，联立方程，根据求出切点坐标，从而可得直线直线的方程，再结合点到直线的距离公式即可得证.【详解】（1）因为，由题意可得，解得，所以抛物线的标准方
