系统开环频率特性的绘制

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1、5-3 系统开环频率特性的绘制 系统的开环频率特性在系统的分析与综合中有很重要的意义，本节将通过一些示例介绍系统的开环频率特性（包括它的极坐标和伯德图）的绘制方法和步骤。 自动控制系统通常由若干环节组成，根据它们的基本特性，可以把系统分解成一些典型环节的串联，再按照串联的规律将这些典型环节的频率特性组合起来得到整个系统的开环频率特性。因此，将系统的开环传递函数分解成若干典型环节的串联形式是绘制系统开环频率特性的基本步骤。1一、绘制系统开环频率特性极坐标图的步骤1.将系统开环传递函数分解成若干典型环节的串联形式；2.典型环节幅频特性相乘得到系统开环幅频特性，3.典型环节相频特性相加得到系统开环相

2、频特性； 4.如幅频特性有渐近线，则根据开环频率特性表达式的实部和虚部，求出渐近线；5.最后在G(j)H(j)平面上绘制出系统开环频率特性的极坐标图。 21.将系统的开环传递函数写成典型环节乘积（即串联）的形式；2.如果存在交接频率，在轴上标出交接频率的坐标位置；3.由各串联环节的对数幅频特性叠加后得到系统开环对数幅频特性的渐近线；4.修正误差，画出比较精确的对数幅频特性；5.画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得到系统开环相频特性。 二、绘制系统开环频率特性伯德图的步骤3例5-1 已知系统的开环传递函数为 它由一个放大环节和两个惯性环节串联而成，其对应的频率特性是 幅频特性和相频特性分别

3、为4（1 1）极坐标图极坐标图当 时，当 时，当 时， 。当由零增至无穷大时，幅值由K衰减至零，相角00变至-1800，且均为负相角。频率特性与负虚轴的交点频率为 ，交点坐标是 。其极坐标图如图5-24所示。图5-24 开环系统极坐标图G5（2)2)伯德图伯德图 （a）对数幅频特性 由开环传递函数知，对数幅频特 性 的渐近线有 两 个 交 接频率 和 ， 且 ， 将 它 们在 轴 上 标 出 （ 图5 - 2 5） ； 在纵坐标上找到20lgK的点 A，过 A A点作平行于横轴 的直线AB，这条平行线对应放大环节的幅 频 特性； 在 交 接频率 处作轴的 垂线（ 虚线） 交 平 行线AB于B点

4、 ， 以 B为起 点 作 斜 率为-20dB/dec的 斜线BC，C点对应交接频率 ， 折线ABC对 应放 大环 节K和惯性环 节 的叠加； 图5-25 开环系统Bode图L6 以C为起点，作斜率为-40dB/dec的斜线CD，折线ABCD即为系统开环对数幅频特性的渐近线。 （b）对数相频特性 在图5-25上分别画出三个环节的相频特性曲（图中（1）-放大环节，（2）-惯性环节1和（3）-惯性环节2） ，然后将它们在纵轴方向上相加得到系统开环相频特性曲线（4）。例5-2 试绘制传递函数为（5-93）（5-94） 的对数幅频特性。7解： 由前面介绍的积分环节的对数幅频特性知，当有n个积分环节串联时

5、，对数幅频特性应是一条过横轴上=1且斜率为 -n20dB/dec的直线。式5-93）和（ 5-94 ）中分别含有一个和两个积分环节（串联），当不考虑KV和Ka的影响时，它们的对数幅频特性应是过=1 且斜率分别为-0dB/dec和-40dB/dec的直线，如图5-26和图5-27中虚线所示。考虑到KV和Ka的作，上述两条直线应分别在纵轴方向上平移20lgKv和20lgKa分贝（如图中实线所示 ），即=1所对应的坐标值应分别为20lgKv和20lgKa分贝。设对数幅频特性与零分贝线（横轴）的交点频率值分别为v和a，则有 (5-95) 和(5-96)8由上面两式分别得到 （5-97） （5-98）通

6、过上面的分析，在绘制传递函数为式（5-93）和（5-94） 的对数幅频特性时，可用下述两种方法之一进行。 图5-26 与 的关系 图5-27 与 的关系9 方方法法一一：对于式（5-93），先过横轴上=1点作横轴的垂直线，过纵轴上20lgKv点作横轴的平行线，这两条直线交于A点，然后过A点作斜率为 -20dB/dec的直线即为所求的对数幅频特性（图5-26）；对于式（ 5-94），过横轴上=1 点作横轴的垂线过纵轴上20lgKa 点作横轴的平行线，这两条直线交于A点，然后过A点作斜率为-40dB/dec的直线即为所求的对数幅频特性（图5-27）。 方方法法二二：对于式（5-93），先根据式（5

7、-97）在横轴上找到频率为V点，过该点作斜率为-20dB/dec的直线即为所求的对数幅频特性（图5-26）；对于式（5-94）， 根据式（5-98）在横轴上找到频率为a的点，过该点作斜率为-40dB/dec的直线即为所求的对数幅频特性（图5-27）。10 反之，通过对数幅频特性，也可以用上述两种方法的逆过程，求出式（5-93）和式（5-94）中的开环放大系数Kv和Ka。 对于含有一个或两个积分环节的系统（含有两个以上积分环节的实际系统很少见），由于频率特性的低频段形状主要由积分环节决定，因此，在绘制其对数幅频特性或通过对数幅频特性求系统的开环放大系数时，可用上述两种方法中的一个进行。这在下面的

8、示例中将得到进一步应用。 11试绘制该系统开环频率特性的极坐标图和伯德图。解: 系统的开环传递函数可写成 它由一个放大环节、一个积分环节和一个振荡环节串联组成，对应的频率特性表达式为例5-3 已知系统的开环传递函数为12（1 1）极坐标图）极坐标图当 时，当 时，当 时，由于系统含有一积分环节，当0时，系统的开环幅频特性|G(j)H(j)|。为使频率特性曲线比较精确，还须求出它的渐近线。由系统的开环频率特性可得当0时有 l im G（j）H（j） 2KvTj 0即渐近线是一条与实轴交点为2KvT 且垂直于实轴的直线，图5-28绘制出该系统在不同阻尼比的渐近线（虚线) 及对应开环频率特性的极坐标

9、图。13-0.3KvT0ReIm-KvT-1.7KvT-3.3KvT-0.6KvT0 0 0 图528 例53极坐标图14（2 2）伯德图伯德图 （a） 对数幅频特性 由开环频率特性表达式知，对数幅频特性的渐近线有一个交接频率 （ 对应振荡环节），将它在图5-29的横轴上标出。该系统还含有一个积分节和放大环节，参照例 5-2，对数幅频特性的低频段主要由积分环节和放大环节决定。当交接频率 时，对数幅频特性如图 5-29 所示，斜率为-20dB/dec的折线段在频率为 处穿过零分贝线直到振荡环节的交接频率 处转折为斜率为-60dB/dec的线段。当交接频率为 时，对数幅频特性如图5-30所示， 图

10、5-29 例5-3 Bode图12315斜率为-20dB/dec的折线段的延长线（图中虚线）与横轴交点频率应为v，从交接频率 开始，对数频特性转折成斜率为-60dB/dec的直线。 (b) 对数相频特性 在图5-29上分别画出积分环节的相频特性（1）和振荡环节相频特性（2），然后将它们在纵轴方向上相加便得到系统开环相频特性曲线（3）。例5-4 已知系统的开环传递函数为试绘制该系统开环频率特性的极坐标图和伯德图。 图5-30 例5-3对数幅频特性16解 该系统开环传递函数可写成 （5-99）它由一个放大环节、一个比例微分环节和一个惯性环节串联组成，其对应的频率特性表达式为 （5-100）幅频特性

11、和相频特性分别是 （5-101） （5-102） 17（1 1） 极坐标图极坐标图根据幅频特性和相频特性可得到当 和 时的极限值分别为 （5-103） （5-104）当 时， ；当 时， ；当 时， 。 即当惯性环节时间常数 T T大于比例微分环节的微分时间常数 时，随着频率增加，幅值衰减，相角滞后，系统具有低通性质；反之，当 时，随着频率增加，幅值加大，相角趋前，系统具有高通性质；图5-31例5-4极坐标图18 而当 时，比例微分环节与惯性环节作用相互抵消，系统只起放大作用。三种情况的极坐标图如图531所示。 （）伯德图（）伯德图 由式（5100）知，系统开环对数幅频特性渐近线有两个交接频率

12、和，图 532 (a)、(b)、(c)分别绘制了当 和 三种情况下的伯德图。19 图5-32 例5-4 Bode图20解：该系统的开环频率特性表达式为 它是由比例、积分、惯性和滞后环节串联组成。如果滞后时间常数很小而可 以忽略不计时，系统的开环幅频和相频特性为 对应的极坐标图和伯德图分别如图533和534所示。 当滞后环节时间常数较大而不能忽略时，系统的开环幅频特性由于 不受影响，但相频特性须加一滞后相角-57.3 度，即 对应的极坐标图和伯德图分别如图536和537所示。例例55 已知系统的开环传递函数如下，试绘制系统开环频率特性的极坐标图和伯德图。21图5-34 例5-5 Bode图（无滞后环节）图5-33 例5-5极坐标图 （无滞后环节）0-KvTReImGH0 22 图5-35 例5-5极坐标图（有滞后环节）图5-36 例5-5 Bode图（有滞后环节）23 比较图5-35与5-33和图5-36与5-34，我们会发现由于滞后环节的影响，频率特性的极坐标图对数相频特性曲线形状发生了很显著的变化，它对系统的性能，特别是系统的稳定性将产生很大的影响，有关判别系统稳定性的奈奎斯特判据将在下节介绍，这里不再赘述。返回24