线性系统理论第四章

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1、线性系统理论线性系统理论曲延滨曲延滨第四章第四章线性系统的时间域理论线性系统的时间域理论第第第第4 4章章章章 系统运动的稳定性系统运动的稳定性系统运动的稳定性系统运动的稳定性系统运动稳定性的分析是控制理论的一个重要组成部分。系统运动稳定性的分析是控制理论的一个重要组成部分。系统运动稳定性的分析是控制理论的一个重要组成部分。系统运动稳定性的分析是控制理论的一个重要组成部分。稳定性是系统的另一个重要特征。稳定性是系统的另一个重要特征。稳定性是系统的另一个重要特征。稳定性是系统的另一个重要特征。实际系统必须是稳定的。实际系统必须是稳定的。实际系统必须是稳定的。实际系统必须是稳定的。外部稳定性外部稳

2、定性外部稳定性外部稳定性 ：通过输入：通过输入：通过输入：通过输入输出关系来表征。输出关系来表征。输出关系来表征。输出关系来表征。内部稳定性内部稳定性内部稳定性内部稳定性 ：零输入下状态运动的响应来表征。：零输入下状态运动的响应来表征。：零输入下状态运动的响应来表征。：零输入下状态运动的响应来表征。满足一定的条件，内部稳定性和外部稳定性之间存在等价满足一定的条件，内部稳定性和外部稳定性之间存在等价满足一定的条件，内部稳定性和外部稳定性之间存在等价满足一定的条件，内部稳定性和外部稳定性之间存在等价关系。关系。关系。关系。第四章第四章连续时间系统连续时间系统连续时间系统连续时间系统 离散时间系统离

3、散时间系统离散时间系统离散时间系统定常系统定常系统定常系统定常系统 时变系统时变系统时变系统时变系统 ；讨论内部稳定性。讨论内部稳定性。讨论内部稳定性。讨论内部稳定性。李亚普诺夫方法（李亚普诺夫方法（李亚普诺夫方法（李亚普诺夫方法（. . . . . . .) ) ) )线性系统线性系统线性系统线性系统 非线性系统非线性系统非线性系统非线性系统 ；第四章第四章考虑一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入考虑一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入考虑一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入考虑一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入 ，必须假定系统的初始条件为零，才是唯一的和有意义的。

4、必须假定系统的初始条件为零，才是唯一的和有意义的。必须假定系统的初始条件为零，才是唯一的和有意义的。必须假定系统的初始条件为零，才是唯一的和有意义的。的，简称为的，简称为的，简称为的，简称为 B I B O B I B O 稳定。稳定。稳定。稳定。即满足条件：即满足条件：即满足条件：即满足条件：的输入的输入的输入的输入 ，所产生的输出，所产生的输出，所产生的输出，所产生的输出 也是有界的，即成立也是有界的，即成立也是有界的，即成立也是有界的，即成立则称此因果系统是外部稳定的，即有界输入则称此因果系统是外部稳定的，即有界输入则称此因果系统是外部稳定的，即有界输入则称此因果系统是外部稳定的，即有界

5、输入有界输出稳定有界输出稳定有界输出稳定有界输出稳定4.1 4.1 外部稳定性和内部稳定性外部稳定性和内部稳定性外部稳定性和内部稳定性外部稳定性和内部稳定性uu外部稳定性外部稳定性外部稳定性外部稳定性第四章第四章这样的函数这样的函数这样的函数这样的函数 称为称为称为称为 的范数。的范数。的范数。的范数。范数是定义在线性空间上的一个非负实值函数。范数是定义在线性空间上的一个非负实值函数。范数是定义在线性空间上的一个非负实值函数。范数是定义在线性空间上的一个非负实值函数。如果如果如果如果 是数域是数域是数域是数域 上的一个线性空间，上的一个线性空间，上的一个线性空间，上的一个线性空间， 是任意一个

6、向是任意一个向是任意一个向是任意一个向条件：条件：条件：条件：量，量，量，量， 对应一个非负实数对应一个非负实数对应一个非负实数对应一个非负实数 ，这个非负实数满足下列三个，这个非负实数满足下列三个，这个非负实数满足下列三个，这个非负实数满足下列三个（1 1）当）当）当）当 时，时，时，时， ，当，当，当，当 时，时，时，时， 。（2 2）对任意常数）对任意常数）对任意常数）对任意常数 ，有，有，有，有 。（3 3）对任意向量）对任意向量）对任意向量）对任意向量 ，成立，成立，成立，成立 “ “ 三角不等式三角不等式三角不等式三角不等式 ” ” 第四章第四章一个元一个元一个元一个元判别准则判别

7、准则判别准则判别准则结论结论结论结论 1 1 时变系统时变系统时变系统时变系统 均满足关系式：均满足关系式：均满足关系式：均满足关系式：应矩阵，则系统为应矩阵，则系统为应矩阵，则系统为应矩阵，则系统为 B I B O B I B O 稳定的充分必要条件是，存在一稳定的充分必要条件是，存在一稳定的充分必要条件是，存在一稳定的充分必要条件是，存在一个有限常数个有限常数个有限常数个有限常数 ，使对于一切，使对于一切，使对于一切，使对于一切 ， 的每的每的每的每对于零初始条件的线性时变系统，表对于零初始条件的线性时变系统，表对于零初始条件的线性时变系统，表对于零初始条件的线性时变系统，表 为其脉冲响为

8、其脉冲响为其脉冲响为其脉冲响第四章第四章首先，考虑首先，考虑首先，考虑首先，考虑 ，即单输入，即单输入，即单输入，即单输入单输出的情况。单输出的情况。单输出的情况。单输出的情况。证明证明证明证明 ：分成两步来证明：分成两步来证明：分成两步来证明：分成两步来证明先证充分性先证充分性先证充分性先证充分性 ：已知：已知：已知：已知 成立，成立，成立，成立，且任意输入且任意输入且任意输入且任意输入 满足满足满足满足就可得到就可得到就可得到就可得到那么利用由脉冲响应函数那么利用由脉冲响应函数那么利用由脉冲响应函数那么利用由脉冲响应函数 表示的输出表示的输出表示的输出表示的输出 的表达式的表达式的表达式的

9、表达式从而由定义知系统为从而由定义知系统为从而由定义知系统为从而由定义知系统为 B I B O B I B O 稳定。稳定。稳定。稳定。第四章第四章证必要性证必要性证必要性证必要性 ：采用反证法，设存在某个：采用反证法，设存在某个：采用反证法，设存在某个：采用反证法，设存在某个 ，使使使使 则定义如下的一个有界输入则定义如下的一个有界输入则定义如下的一个有界输入则定义如下的一个有界输入即即即即表明输出无界，与表明输出无界，与表明输出无界，与表明输出无界，与 B I B O B I B O 稳定相矛盾。稳定相矛盾。稳定相矛盾。稳定相矛盾。考察由它作用下所产生的输出考察由它作用下所产生的输出考察由

10、它作用下所产生的输出考察由它作用下所产生的输出 ，易知，易知，易知，易知第四章第四章多输入多输入多输入多输入多输出情况多输出情况多输出情况多输出情况系统输出系统输出系统输出系统输出 的分量的分量的分量的分量 满足关系式满足关系式满足关系式满足关系式有限个有界函数之和仍为有界，可证得此结论。有限个有界函数之和仍为有界，可证得此结论。有限个有界函数之和仍为有界，可证得此结论。有限个有界函数之和仍为有界，可证得此结论。第四章第四章结论结论结论结论 2 2 定常系统定常系统定常系统定常系统 均满足关系式：均满足关系式：均满足关系式：均满足关系式：为为为为 B I B O B I B O 稳定的充分必要

11、条件是，存在一个有限常数稳定的充分必要条件是，存在一个有限常数稳定的充分必要条件是，存在一个有限常数稳定的充分必要条件是，存在一个有限常数 ， 的每一个元的每一个元的每一个元的每一个元对于零初始条件的线性定常系统，表初始时刻对于零初始条件的线性定常系统，表初始时刻对于零初始条件的线性定常系统，表初始时刻对于零初始条件的线性定常系统，表初始时刻 ，或等价地，当或等价地，当或等价地，当或等价地，当 为真的有理分式函数矩阵时，为真的有理分式函数矩阵时，为真的有理分式函数矩阵时，为真的有理分式函数矩阵时， 的的的的每一个元传递函数每一个元传递函数每一个元传递函数每一个元传递函数 的所有极点均具有负实部

12、。的所有极点均具有负实部。的所有极点均具有负实部。的所有极点均具有负实部。 为其脉冲响应矩阵，为其脉冲响应矩阵，为其脉冲响应矩阵，为其脉冲响应矩阵， 为其传递函数矩阵，则系统为其传递函数矩阵，则系统为其传递函数矩阵，则系统为其传递函数矩阵，则系统第四章第四章对于线性定常系统对于线性定常系统对于线性定常系统对于线性定常系统如果外输入如果外输入如果外输入如果外输入 ，初始状态，初始状态，初始状态，初始状态 为任意，且由为任意，且由为任意，且由为任意，且由 引起引起引起引起的零输入响应的零输入响应的零输入响应的零输入响应 ，满足关系式：，满足关系式：，满足关系式：，满足关系式：则称系统是内部稳定的，

13、或称为是渐近稳定的。则称系统是内部稳定的，或称为是渐近稳定的。则称系统是内部稳定的，或称为是渐近稳定的。则称系统是内部稳定的，或称为是渐近稳定的。uu内部稳定内部稳定内部稳定内部稳定第四章第四章另：渐近稳定的充分必要条件是矩阵另：渐近稳定的充分必要条件是矩阵另：渐近稳定的充分必要条件是矩阵另：渐近稳定的充分必要条件是矩阵 A A 的所有特征值均具有的所有特征值均具有的所有特征值均具有的所有特征值均具有负实部，即负实部，即负实部，即负实部，即其中其中其中其中 为系统的维数。为系统的维数。为系统的维数。为系统的维数。当矩阵当矩阵当矩阵当矩阵 A A 给定后，则可导出其特征多项式给定后，则可导出其特

14、征多项式给定后，则可导出其特征多项式给定后，则可导出其特征多项式利用劳斯利用劳斯利用劳斯利用劳斯霍尔维茨判据，直接由系数霍尔维茨判据，直接由系数霍尔维茨判据，直接由系数霍尔维茨判据，直接由系数来判断系统的渐近稳定性。来判断系统的渐近稳定性。来判断系统的渐近稳定性。来判断系统的渐近稳定性。第四章第四章下的稳定性。下的稳定性。下的稳定性。下的稳定性。内部稳定：系统状态自由运动的稳定性，也即李亚普诺夫意义内部稳定：系统状态自由运动的稳定性，也即李亚普诺夫意义内部稳定：系统状态自由运动的稳定性，也即李亚普诺夫意义内部稳定：系统状态自由运动的稳定性，也即李亚普诺夫意义uu内部稳定性和外部稳定性间的关系内

15、部稳定性和外部稳定性间的关系内部稳定性和外部稳定性间的关系内部稳定性和外部稳定性间的关系必是渐近稳定的。必是渐近稳定的。必是渐近稳定的。必是渐近稳定的。稳定。稳定。稳定。稳定。结论结论结论结论 2 2：设线性定常系统是：设线性定常系统是：设线性定常系统是：设线性定常系统是 B I B O B I B O 稳定的，则不能保证系统稳定的，则不能保证系统稳定的，则不能保证系统稳定的，则不能保证系统结论结论结论结论 1 1 ：设线性定常系统是内部稳定的，则其必是：设线性定常系统是内部稳定的，则其必是：设线性定常系统是内部稳定的，则其必是：设线性定常系统是内部稳定的，则其必是 B I B OB I B

16、O性与外部稳定性必是等价的。性与外部稳定性必是等价的。性与外部稳定性必是等价的。性与外部稳定性必是等价的。结论结论结论结论 3 3：如果线性定常系统为能控和能观测，则其内部稳定：如果线性定常系统为能控和能观测，则其内部稳定：如果线性定常系统为能控和能观测，则其内部稳定：如果线性定常系统为能控和能观测，则其内部稳定第四章第四章4.2 4.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念如果为线性，则表示为：如果为线性，则表示为：如果为线性，则表示为：如果为线性，则表示为：uu自治系

17、统自治系统自治系统自治系统量状态方程来描述：量状态方程来描述：量状态方程来描述：量状态方程来描述：没有外输入作用时的系统。没有外输入作用时的系统。没有外输入作用时的系统。没有外输入作用时的系统。uu受扰运动受扰运动受扰运动受扰运动非线性和时变情况下，自治系统用显含时间非线性和时变情况下，自治系统用显含时间非线性和时变情况下，自治系统用显含时间非线性和时变情况下，自治系统用显含时间 的非线性向的非线性向的非线性向的非线性向第四章第四章解存在且唯一，由初始状态解存在且唯一，由初始状态解存在且唯一，由初始状态解存在且唯一，由初始状态 所引起的运动为：所引起的运动为：所引起的运动为：所引起的运动为：等

18、同于系统状态的零输入响应。等同于系统状态的零输入响应。等同于系统状态的零输入响应。等同于系统状态的零输入响应。运动的原因为以运动的原因为以运动的原因为以运动的原因为以 为初始时刻的初始状态为初始时刻的初始状态为初始时刻的初始状态为初始时刻的初始状态 ，且有，且有，且有，且有动所引起，称为受扰运动。动所引起，称为受扰运动。动所引起，称为受扰运动。动所引起，称为受扰运动。由于这一运动是由初始状态的扰。由于这一运动是由初始状态的扰。由于这一运动是由初始状态的扰。由于这一运动是由初始状态的扰第四章第四章，即状态空间的原点为系统的一个平衡状态。，即状态空间的原点为系统的一个平衡状态。，即状态空间的原点为

19、系统的一个平衡状态。，即状态空间的原点为系统的一个平衡状态。则称则称则称则称 为系统的一个平衡状态。为系统的一个平衡状态。为系统的一个平衡状态。为系统的一个平衡状态。uu平衡状态平衡状态平衡状态平衡状态如果存在某个状态如果存在某个状态如果存在某个状态如果存在某个状态 ，使成立，使成立，使成立，使成立运动的稳定性，就是研究其平衡状态的稳定性，偏离平运动的稳定性，就是研究其平衡状态的稳定性，偏离平运动的稳定性，就是研究其平衡状态的稳定性，偏离平运动的稳定性，就是研究其平衡状态的稳定性，偏离平通过移动坐标系将其转换为空间的原点。通过移动坐标系将其转换为空间的原点。通过移动坐标系将其转换为空间的原点。

20、通过移动坐标系将其转换为空间的原点。衡状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结构因素而返回到衡状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结构因素而返回到衡状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结构因素而返回到衡状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结构因素而返回到平衡状态，或者限制在它的一个有限邻域内。平衡状态，或者限制在它的一个有限邻域内。平衡状态，或者限制在它的一个有限邻域内。平衡状态，或者限制在它的一个有限邻域内。第四章第四章应地存在一个实数应地存在一个实数应地存在一个实数应地存在一个实数 ，使得由满足不等式，使得由满足不等式，使得由满足不等式，使得由满足不等式夫意义下是稳定的，如果对给定的任一实数夫意义下

21、是稳定的，如果对给定的任一实数夫意义下是稳定的，如果对给定的任一实数夫意义下是稳定的，如果对给定的任一实数 ，都对，都对，都对，都对uu李亚普诺夫意义下的稳定李亚普诺夫意义下的稳定李亚普诺夫意义下的稳定李亚普诺夫意义下的稳定表表表表 为系统的一个孤立平衡状态，则称为系统的一个孤立平衡状态，则称为系统的一个孤立平衡状态，则称为系统的一个孤立平衡状态，则称 为李亚普诺为李亚普诺为李亚普诺为李亚普诺的任一初态的任一初态的任一初态的任一初态 出发的受扰运动都满足不等式：出发的受扰运动都满足不等式：出发的受扰运动都满足不等式：出发的受扰运动都满足不等式：第四章第四章记为记为记为记为 。以原点以原点以原点

22、以原点 为球心构造半径为为球心构造半径为为球心构造半径为为球心构造半径为 的一个超球体，其球域的一个超球体，其球域的一个超球体，其球域的一个超球体，其球域则存在一个对应的正实数则存在一个对应的正实数则存在一个对应的正实数则存在一个对应的正实数 ，其大小同时依赖于，其大小同时依赖于，其大小同时依赖于，其大小同时依赖于和初始时刻和初始时刻和初始时刻和初始时刻 ，则构造原点为球心，半径为，则构造原点为球心，半径为，则构造原点为球心，半径为，则构造原点为球心，半径为 的另一的另一的另一的另一超球体，球域记为超球体，球域记为超球体，球域记为超球体，球域记为 。则由域则由域则由域则由域 上的任一点出发的运

23、动轨迹上的任一点出发的运动轨迹上的任一点出发的运动轨迹上的任一点出发的运动轨迹 ，对所有对所有对所有对所有 ，都不脱离域，都不脱离域，都不脱离域，都不脱离域 。则原点平衡状态则原点平衡状态则原点平衡状态则原点平衡状态 是李亚普诺夫意义下稳定的。是李亚普诺夫意义下稳定的。是李亚普诺夫意义下稳定的。是李亚普诺夫意义下稳定的。几何含义为：几何含义为：几何含义为：几何含义为：第四章第四章第四章第四章如果如果如果如果 只依赖于只依赖于只依赖于只依赖于 而和初始时刻而和初始时刻而和初始时刻而和初始时刻 无关，则称无关，则称无关，则称无关，则称 是一是一是一是一致稳定的。致稳定的。致稳定的。致稳定的。定常系

24、统定常系统定常系统定常系统 ：稳定等价于一致稳定。：稳定等价于一致稳定。：稳定等价于一致稳定。：稳定等价于一致稳定。时变系统时变系统时变系统时变系统 ：稳定：稳定：稳定：稳定 一致稳定。一致稳定。一致稳定。一致稳定。（1 1） 是李氏意义稳定的；是李氏意义稳定的；是李氏意义稳定的；是李氏意义稳定的；uu渐近稳定渐近稳定渐近稳定渐近稳定一个孤立平衡状态一个孤立平衡状态一个孤立平衡状态一个孤立平衡状态 称为是渐近稳定的，如果：称为是渐近稳定的，如果：称为是渐近稳定的，如果：称为是渐近稳定的，如果：第四章第四章存在实数存在实数存在实数存在实数 ，使得满足：，使得满足：，使得满足：，使得满足：（2 2

25、）对）对）对）对 和任意给定的实数和任意给定的实数和任意给定的实数和任意给定的实数 ，对应地，对应地，对应地，对应地的任一初态的任一初态的任一初态的任一初态 出发的受扰出发的受扰出发的受扰出发的受扰运动都同时满足不等式：运动都同时满足不等式：运动都同时满足不等式：运动都同时满足不等式：运动的有界性。运动的有界性。运动的有界性。运动的有界性。第四章第四章运动的渐近性运动的渐近性运动的渐近性运动的渐近性第四章第四章实数实数实数实数 和和和和 都不依赖于都不依赖于都不依赖于都不依赖于 ，则称平衡状态，则称平衡状态，则称平衡状态，则称平衡状态 是一致渐近是一致渐近是一致渐近是一致渐近稳定的。稳定的。稳

26、定的。稳定的。当当当当 为渐近稳定时，必成立为渐近稳定时，必成立为渐近稳定时，必成立为渐近稳定时，必成立随着随着随着随着 ，则有，则有，则有，则有渐近稳定是工程意义下的稳定。渐近稳定是工程意义下的稳定。渐近稳定是工程意义下的稳定。渐近稳定是工程意义下的稳定。李氏意义下的稳定是工程意义下的临界不稳定，渐近稳定李氏意义下的稳定是工程意义下的临界不稳定，渐近稳定李氏意义下的稳定是工程意义下的临界不稳定，渐近稳定李氏意义下的稳定是工程意义下的临界不稳定，渐近稳定的最大区域的最大区域的最大区域的最大区域 称为平衡状态称为平衡状态称为平衡状态称为平衡状态 的吸引区。的吸引区。的吸引区。的吸引区。第四章第四

27、章运动运动运动运动 都是有界的，且成立：都是有界的，且成立：都是有界的，且成立：都是有界的，且成立：uu大范围渐近稳定大范围渐近稳定大范围渐近稳定大范围渐近稳定如果以状态空间的任一有限非零点为初始状态如果以状态空间的任一有限非零点为初始状态如果以状态空间的任一有限非零点为初始状态如果以状态空间的任一有限非零点为初始状态 的受扰的受扰的受扰的受扰大范围渐近稳定，除了原点平衡状态外，不存在其它孤立平大范围渐近稳定，除了原点平衡状态外，不存在其它孤立平大范围渐近稳定，除了原点平衡状态外，不存在其它孤立平大范围渐近稳定，除了原点平衡状态外，不存在其它孤立平大范围渐近稳定为全局渐近稳定。大范围渐近稳定为

28、全局渐近稳定。大范围渐近稳定为全局渐近稳定。大范围渐近稳定为全局渐近稳定。则称系统的原点平衡状态则称系统的原点平衡状态则称系统的原点平衡状态则称系统的原点平衡状态 是大范围渐近稳定的。是大范围渐近稳定的。是大范围渐近稳定的。是大范围渐近稳定的。衡点。衡点。衡点。衡点。小范围渐近稳定为局部渐近稳定。小范围渐近稳定为局部渐近稳定。小范围渐近稳定为局部渐近稳定。小范围渐近稳定为局部渐近稳定。线性系统渐近稳定线性系统渐近稳定线性系统渐近稳定线性系统渐近稳定=大范围渐近稳定。大范围渐近稳定。大范围渐近稳定。大范围渐近稳定。第四章第四章相应的实数相应的实数相应的实数相应的实数 ，使得由满足不等式：，使得由

29、满足不等式：，使得由满足不等式：，使得由满足不等式：uu不稳定不稳定不稳定不稳定如果对于不管取多么大的有限实数如果对于不管取多么大的有限实数如果对于不管取多么大的有限实数如果对于不管取多么大的有限实数 ，都不可能找到，都不可能找到，都不可能找到，都不可能找到的任一初态的任一初态的任一初态的任一初态 出发的运动满足不等式出发的运动满足不等式出发的运动满足不等式出发的运动满足不等式平衡状态平衡状态平衡状态平衡状态 是不稳定的。是不稳定的。是不稳定的。是不稳定的。 取得多么大，取得多么大，取得多么大，取得多么大， 取得如何小，必存在一个非零取得如何小，必存在一个非零取得如何小，必存在一个非零取得如何

30、小，必存在一个非零点点点点 使得由使得由使得由使得由 出发的运动轨线越出出发的运动轨线越出出发的运动轨线越出出发的运动轨线越出 。第四章第四章第四章第四章4.3 4.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理李亚普诺夫第二方法的主要定理李亚普诺夫第二方法的主要定理李亚普诺夫第二方法的主要定理 由常微分方程组所描述的动力学系统的稳定性的方法归纳由常微分方程组所描述的动力学系统的稳定性的方法归纳由常微分方程组所描述的动力学系统的稳定性的方法归纳由常微分方程组所描述的动力学系统的稳定性的方法归纳 分析稳定性分析稳定性分析稳定性分析稳定性 原非线性系统的稳定性。原非线性系统的稳定性。原非线性系统的稳定性。原非线

31、性系统的稳定性。为本质不同的两种方法。为本质不同的两种方法。为本质不同的两种方法。为本质不同的两种方法。第一法，间接法第一法，间接法第一法，间接法第一法，间接法 ：运动方程：运动方程：运动方程：运动方程 一次近似的线性化方程一次近似的线性化方程一次近似的线性化方程一次近似的线性化方程 其一次导数的定号性其一次导数的定号性其一次导数的定号性其一次导数的定号性 分析稳定性。分析稳定性。分析稳定性。分析稳定性。第二法，直接法第二法，直接法第二法，直接法第二法，直接法 ：运动方程：运动方程：运动方程：运动方程 构造函数构造函数构造函数构造函数 分析它和分析它和分析它和分析它和第四章第四章其中，对一切其

32、中，对一切其中，对一切其中，对一切 成立成立成立成立 ，即状态空间的原点，即状态空间的原点，即状态空间的原点，即状态空间的原点 uu大范围渐近稳定的判别定理大范围渐近稳定的判别定理大范围渐近稳定的判别定理大范围渐近稳定的判别定理连续非线性时变自由系统连续非线性时变自由系统连续非线性时变自由系统连续非线性时变自由系统为系统的平衡状态。为系统的平衡状态。为系统的平衡状态。为系统的平衡状态。结论结论结论结论 1 1 大范围一致渐近稳定判别定理大范围一致渐近稳定判别定理大范围一致渐近稳定判别定理大范围一致渐近稳定判别定理 李亚普诺夫主稳定性定理李亚普诺夫主稳定性定理李亚普诺夫主稳定性定理李亚普诺夫主稳

33、定性定理如果存在一个对如果存在一个对如果存在一个对如果存在一个对 和和和和 具有连续一阶偏导数的标量函数具有连续一阶偏导数的标量函数具有连续一阶偏导数的标量函数具有连续一阶偏导数的标量函数第四章第四章（1 1） 正定且有界，即两个连续的非减标量函数正定且有界，即两个连续的非减标量函数正定且有界，即两个连续的非减标量函数正定且有界，即两个连续的非减标量函数且满足如下的条件：且满足如下的条件：且满足如下的条件：且满足如下的条件： 和和和和 ，其中，其中，其中，其中 和和和和 ，使对一切使对一切使对一切使对一切 和一切和一切和一切和一切 成立，成立，成立，成立，（2 2） 对时间对时间对时间对时间

34、的导数的导数的导数的导数 负定且有界，负定且有界，负定且有界，负定且有界，即存在一个连续的非减标量函数即存在一个连续的非减标量函数即存在一个连续的非减标量函数即存在一个连续的非减标量函数 ，其中，其中，其中，其中使对一切使对一切使对一切使对一切 和一切和一切和一切和一切 成立，成立，成立，成立，第四章第四章（3 3）当）当）当）当 时，有时，有时，有时，有 即，即，即，即，则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。充分条件，找到标量函数充分条件，找到标量函数充分条件，找到标量函

35、数充分条件，找到标量函数直观含义：直观含义：直观含义：直观含义： 为正定有界，将其看成是一种为正定有界，将其看成是一种为正定有界，将其看成是一种为正定有界，将其看成是一种“ “ 能量能量能量能量 ” ”，而而而而 为能量随时间的变化率，能量是有限的，而变为能量随时间的变化率，能量是有限的，而变为能量随时间的变化率，能量是有限的，而变为能量随时间的变化率，能量是有限的，而变化率是负的，则运动必是有界的，并最终返回到原点平衡状化率是负的，则运动必是有界的，并最终返回到原点平衡状化率是负的，则运动必是有界的，并最终返回到原点平衡状化率是负的，则运动必是有界的，并最终返回到原点平衡状态。态。态。态。第

36、四章第四章结论结论结论结论 2 2 定常系统的大范围渐近稳定判别定理定常系统的大范围渐近稳定判别定理定常系统的大范围渐近稳定判别定理定常系统的大范围渐近稳定判别定理 对于定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函对于定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函对于定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函对于定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数数数数 ，并且对状态空间，并且对状态空间，并且对状态空间，并且对状态空间 中的一切非中的一切非中的一切非中的一切非零点零点零点零点 满足如下的条件：满足如下的条件：满足如下的条件：满足如下的条件：（1 1） 为正定。为正定。为正定。

37、为正定。（2 2） 为负定。为负定。为负定。为负定。（3 3）当）当）当）当 时，有时，有时，有时，有 则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。第四章第四章例例例例 ：给定连续时间的定常系统：给定连续时间的定常系统：给定连续时间的定常系统：给定连续时间的定常系统：易知，易知，易知，易知， 和和和和 为其唯一的平衡状态。为其唯一的平衡状态。为其唯一的平衡状态。为其唯一的平衡状态。现取现取现取现取 为状态的一个二次型为状态的一个二次型为状态的一个二次型为状态的一个二次型即即即即 为正定。

38、为正定。为正定。为正定。第四章第四章当当当当 时，时，时，时，此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。 为负定。为负定。为负定。为负定。注注注注 ：三维空间：三维空间：三维空间：三维空间 上，向量上，向量上，向量上，向量 ，它的长度，它的长度，它的长度，它的长度， ，就是一种范数。，就是一种范数。，就是一种范数。，就是一种范数。第四章第四章结论结论结论结论 3 3 定常系统的大范围渐近稳定判别定理定常系统的大范围渐近稳定判别定理定常系统的大范围渐近稳定判别定理定常系统的大范围

39、渐近稳定判别定理 定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数 ，并且对状态空间，并且对状态空间，并且对状态空间，并且对状态空间 中的一切非中的一切非中的一切非中的一切非零点零点零点零点 满足如下的条件：满足如下的条件：满足如下的条件：满足如下的条件：（1 1） 为正定。为正定。为正定。为正定。（2 2） 为负半定。为负半定。为负半定。为负半定。（4 4）当）当）当）当 时，有时，有时，有时，有 则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。则系统的原点平

40、衡状态是大范围渐近稳定。则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。放宽条件后的结论放宽条件后的结论放宽条件后的结论放宽条件后的结论（3 3）对任意）对任意）对任意）对任意 第四章第四章uu李亚普诺夫意义下的稳定的判别定理李亚普诺夫意义下的稳定的判别定理李亚普诺夫意义下的稳定的判别定理李亚普诺夫意义下的稳定的判别定理结论结论结论结论 1 1 时变系统稳定的判别定理时变系统稳定的判别定理时变系统稳定的判别定理时变系统稳定的判别定理 一个吸引区一个吸引区一个吸引区一个吸引区 ，使对一切，使对一切，使对一切，使对一切 和一切和一切和一切和一切 ，满足，满足，满足，满足

41、对于时变系统，如果存在一个对对于时变系统，如果存在一个对对于时变系统，如果存在一个对对于时变系统，如果存在一个对 和和和和 具有连续一阶偏具有连续一阶偏具有连续一阶偏具有连续一阶偏导数的标量函数导数的标量函数导数的标量函数导数的标量函数 和围绕原点的和围绕原点的和围绕原点的和围绕原点的（1 1） 正定且有界；正定且有界；正定且有界；正定且有界；如下的条件：如下的条件：如下的条件：如下的条件：（2 2） 为负半定且有界。为负半定且有界。为负半定且有界。为负半定且有界。则系统原点平衡状态为则系统原点平衡状态为则系统原点平衡状态为则系统原点平衡状态为 内一致稳定。内一致稳定。内一致稳定。内一致稳定。

42、第四章第四章结论结论结论结论 2 2 定常系统稳定的判别定理定常系统稳定的判别定理定常系统稳定的判别定理定常系统稳定的判别定理 对一切对一切对一切对一切 和一切和一切和一切和一切 ，满足如下的条件：，满足如下的条件：，满足如下的条件：，满足如下的条件：对于定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数对于定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数对于定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数对于定常系统，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数 ，和围绕原点的一个吸引区，和围绕原点的一个吸引区，和围绕原点的一个吸引区，和围绕原点的一个吸引区 ，使，使，使，使 （1 1） 为正定；为

43、正定；为正定；为正定；（2 2） 为负半定。为负半定。为负半定。为负半定。则系统原点平衡状态为则系统原点平衡状态为则系统原点平衡状态为则系统原点平衡状态为 内稳定。内稳定。内稳定。内稳定。第四章第四章uu不稳定的判别定理不稳定的判别定理不稳定的判别定理不稳定的判别定理和一切和一切和一切和一切 ，满足如下的条件：，满足如下的条件：，满足如下的条件：，满足如下的条件：结论结论结论结论 ：对于时变系统或定常系统，如果存在一个具有连续：对于时变系统或定常系统，如果存在一个具有连续：对于时变系统或定常系统，如果存在一个具有连续：对于时变系统或定常系统，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数一阶偏导数的

44、标量函数一阶偏导数的标量函数一阶偏导数的标量函数 或或或或 ， 和和和和判别定理只给出了充分条件，多次试取都得不到答案，可能判别定理只给出了充分条件，多次试取都得不到答案，可能判别定理只给出了充分条件，多次试取都得不到答案，可能判别定理只给出了充分条件，多次试取都得不到答案，可能为不稳定。为不稳定。为不稳定。为不稳定。 和围绕原点的一个吸引区和围绕原点的一个吸引区和围绕原点的一个吸引区和围绕原点的一个吸引区 ，使对一切，使对一切，使对一切，使对一切第四章第四章（1 1） 正定且有界或正定且有界或正定且有界或正定且有界或 为正定；为正定；为正定；为正定；（2 2） 也为正定且有界或也为正定且有界

45、或也为正定且有界或也为正定且有界或 也为正定。也为正定。也为正定。也为正定。则系统平衡状态为不稳定。则系统平衡状态为不稳定。则系统平衡状态为不稳定。则系统平衡状态为不稳定。 和和和和 为同号时，系统的受扰运动轨线理为同号时，系统的受扰运动轨线理为同号时，系统的受扰运动轨线理为同号时，系统的受扰运动轨线理论上将发散到无穷大。论上将发散到无穷大。论上将发散到无穷大。论上将发散到无穷大。第四章第四章4.4 4.4 线性系统的状态运动稳定性的判据线性系统的状态运动稳定性的判据线性系统的状态运动稳定性的判据线性系统的状态运动稳定性的判据 线性系统，受扰运动即状态的零输入响应。线性系统，受扰运动即状态的零

46、输入响应。线性系统，受扰运动即状态的零输入响应。线性系统，受扰运动即状态的零输入响应。定常、时变，给出常用判据。定常、时变，给出常用判据。定常、时变，给出常用判据。定常、时变，给出常用判据。uu线性定常系统的自由运动的稳定性判据线性定常系统的自由运动的稳定性判据线性定常系统的自由运动的稳定性判据线性定常系统的自由运动的稳定性判据定性，由常量矩阵定性，由常量矩阵定性，由常量矩阵定性，由常量矩阵 A A 所决定。所决定。所决定。所决定。没有外输入作用存在时的线性定常自治系统：没有外输入作用存在时的线性定常自治系统：没有外输入作用存在时的线性定常自治系统：没有外输入作用存在时的线性定常自治系统：知知

47、知知 为它的一个平衡状态。原点的平衡状态的稳为它的一个平衡状态。原点的平衡状态的稳为它的一个平衡状态。原点的平衡状态的稳为它的一个平衡状态。原点的平衡状态的稳第四第四 章章对于线性定常系统有：对于线性定常系统有：对于线性定常系统有：对于线性定常系统有：结论结论结论结论 1 1： 特征值判据特征值判据特征值判据特征值判据 必要条件为必要条件为必要条件为必要条件为 ：A A 的所有特征值均具有非正（负或零）实部，的所有特征值均具有非正（负或零）实部，的所有特征值均具有非正（负或零）实部，的所有特征值均具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为且具有零实部的特征值为且具有零实部的特征值为且具有零

48、实部的特征值为 A A 的最小多项式的单根。的最小多项式的单根。的最小多项式的单根。的最小多项式的单根。（1 1）系统的每一个平衡状态是在李亚普诺夫意义稳定的充分）系统的每一个平衡状态是在李亚普诺夫意义稳定的充分）系统的每一个平衡状态是在李亚普诺夫意义稳定的充分）系统的每一个平衡状态是在李亚普诺夫意义稳定的充分根据矩阵根据矩阵根据矩阵根据矩阵 A A 的特征值的分布来判断系统的稳定性。的特征值的分布来判断系统的稳定性。的特征值的分布来判断系统的稳定性。的特征值的分布来判断系统的稳定性。（2 2）系统的唯一平衡状态）系统的唯一平衡状态）系统的唯一平衡状态）系统的唯一平衡状态 是渐近稳定的充分必要

49、是渐近稳定的充分必要是渐近稳定的充分必要是渐近稳定的充分必要条件为，条件为，条件为，条件为，A A 的所有特征值均具有负实部。的所有特征值均具有负实部。的所有特征值均具有负实部。的所有特征值均具有负实部。渐近稳定性渐近稳定性渐近稳定性渐近稳定性 大范围一致渐近稳定。大范围一致渐近稳定。大范围一致渐近稳定。大范围一致渐近稳定。线性定常系统线性定常系统线性定常系统线性定常系统 稳定稳定稳定稳定 一致稳定。一致稳定。一致稳定。一致稳定。第四章第四章其平衡状态为其平衡状态为其平衡状态为其平衡状态为例例例例 ：给定线性定常自治系统：给定线性定常自治系统：给定线性定常自治系统：给定线性定常自治系统即，状态

50、空间中即，状态空间中即，状态空间中即，状态空间中 平面上的每一个点均为平衡状态。平面上的每一个点均为平衡状态。平面上的每一个点均为平衡状态。平面上的每一个点均为平衡状态。其中其中其中其中 和和和和 为任意数。为任意数。为任意数。为任意数。第四章第四章由由由由 A A 的特征值为的特征值为的特征值为的特征值为第四章第四章若若若若 是是是是 矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 的特征多项式，则的特征多项式，则的特征多项式，则的特征多项式，则即即即即 也是也是也是也是 A A 的化零多项式。的化零多项式。的化零多项式。的化零多项式。在在在在 矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 的所有化零多项式中，首项系数为的所有化零多

51、项式中，首项系数为的所有化零多项式中，首项系数为的所有化零多项式中，首项系数为 1 1 ，且次，且次，且次，且次数最低的称为数最低的称为数最低的称为数最低的称为 A A 的最小多项式。的最小多项式。的最小多项式。的最小多项式。可知其最小多项式为可知其最小多项式为可知其最小多项式为可知其最小多项式为 ，所以特征值，所以特征值，所以特征值，所以特征值 0 0 仅是最小多项仅是最小多项仅是最小多项仅是最小多项式的一个单根。式的一个单根。式的一个单根。式的一个单根。此系统的每个平衡状态是李亚普诺夫意义下稳定的，但不是此系统的每个平衡状态是李亚普诺夫意义下稳定的，但不是此系统的每个平衡状态是李亚普诺夫意

52、义下稳定的，但不是此系统的每个平衡状态是李亚普诺夫意义下稳定的，但不是渐近稳定的。渐近稳定的。渐近稳定的。渐近稳定的。第四章第四章线性定常系统的零平衡状态线性定常系统的零平衡状态线性定常系统的零平衡状态线性定常系统的零平衡状态 为渐近稳定的充分必为渐近稳定的充分必为渐近稳定的充分必为渐近稳定的充分必结论结论结论结论 2 2： 李亚普诺夫判据李亚普诺夫判据李亚普诺夫判据李亚普诺夫判据 要条件，是对任意给定的一个正定对称矩阵要条件，是对任意给定的一个正定对称矩阵要条件，是对任意给定的一个正定对称矩阵要条件，是对任意给定的一个正定对称矩阵 ，如下形式的，如下形式的，如下形式的，如下形式的对称矩阵。对

53、称矩阵。对称矩阵。对称矩阵。李亚普诺夫矩阵方程：李亚普诺夫矩阵方程：李亚普诺夫矩阵方程：李亚普诺夫矩阵方程：有唯一正定对称矩阵解有唯一正定对称矩阵解有唯一正定对称矩阵解有唯一正定对称矩阵解 。矩阵：矩阵：矩阵：矩阵：如如如如 第四章第四章二次型是实变量的一个二次齐次多项式：二次型是实变量的一个二次齐次多项式：二次型是实变量的一个二次齐次多项式：二次型是实变量的一个二次齐次多项式：定义定义定义定义 ：对于不全为零的任何实数：对于不全为零的任何实数：对于不全为零的任何实数：对于不全为零的任何实数 ，则称此二次型是正定的，对应的矩阵是正定的。则称此二次型是正定的，对应的矩阵是正定的。则称此二次型是正

54、定的，对应的矩阵是正定的。则称此二次型是正定的，对应的矩阵是正定的。二次型：二次型：二次型：二次型：第四章第四章二次型的系数确定一个二次型的系数确定一个二次型的系数确定一个二次型的系数确定一个 矩阵：矩阵：矩阵：矩阵： 定义定义定义定义 ：设：设：设：设 A A 是实数域上的是实数域上的是实数域上的是实数域上的 矩阵，在矩阵，在矩阵，在矩阵，在 上给定内积：上给定内积：上给定内积：上给定内积：这里这里这里这里第四章第四章则称则称则称则称为为为为 中任意向量中任意向量中任意向量中任意向量 的的的的 RayleighRayleigh 商。商。商。商。设设设设 A A 是是是是 实对称矩阵，对任意实

55、对称矩阵，对任意实对称矩阵，对任意实对称矩阵，对任意 ，如果如果如果如果 ，则称，则称，则称，则称 A A 为正定矩阵，为正定矩阵，为正定矩阵，为正定矩阵，如果如果如果如果 ，则称，则称，则称，则称 A A 为非负定矩阵。为非负定矩阵。为非负定矩阵。为非负定矩阵。第四章第四章矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 的所有特征值均小于负实值的所有特征值均小于负实值的所有特征值均小于负实值的所有特征值均小于负实值 ，结论结论结论结论 3 3： 李亚普诺夫判据的推广形式李亚普诺夫判据的推广形式李亚普诺夫判据的推广形式李亚普诺夫判据的推广形式 即即即即的充分必要条件是对任意给定的一个正定对称矩阵的充分必要条件是对任

56、意给定的一个正定对称矩阵的充分必要条件是对任意给定的一个正定对称矩阵的充分必要条件是对任意给定的一个正定对称矩阵 ，有，有，有，有如下的推广形式的李亚普诺夫方程：如下的推广形式的李亚普诺夫方程：如下的推广形式的李亚普诺夫方程：如下的推广形式的李亚普诺夫方程：有唯一正定对称矩阵解有唯一正定对称矩阵解有唯一正定对称矩阵解有唯一正定对称矩阵解 。第四章第四章线性时变系统线性时变系统线性时变系统线性时变系统结论结论结论结论 1 1 ： 状态转移矩阵判据状态转移矩阵判据状态转移矩阵判据状态转移矩阵判据 （1 1）系统的每个平衡状态在）系统的每个平衡状态在）系统的每个平衡状态在）系统的每个平衡状态在 时刻

57、是李亚普诺夫意义下稳时刻是李亚普诺夫意义下稳时刻是李亚普诺夫意义下稳时刻是李亚普诺夫意义下稳平衡状态平衡状态平衡状态平衡状态 满足满足满足满足 。没有外输入作用存在时的线性时变自治系统没有外输入作用存在时的线性时变自治系统没有外输入作用存在时的线性时变自治系统没有外输入作用存在时的线性时变自治系统uu线性时变系统的自由运动的稳定性判据线性时变系统的自由运动的稳定性判据线性时变系统的自由运动的稳定性判据线性时变系统的自由运动的稳定性判据定的充分必要条件是存在一个依赖于定的充分必要条件是存在一个依赖于定的充分必要条件是存在一个依赖于定的充分必要条件是存在一个依赖于 的常数的常数的常数的常数 ，第四

58、章第四章若存在不依赖于若存在不依赖于若存在不依赖于若存在不依赖于 的常数的常数的常数的常数 上式成立，每个平衡状态是李上式成立，每个平衡状态是李上式成立，每个平衡状态是李上式成立，每个平衡状态是李使成立使成立使成立使成立其中其中其中其中 为系统的状态转移矩阵。为系统的状态转移矩阵。为系统的状态转移矩阵。为系统的状态转移矩阵。氏意义下的一致稳定的。氏意义下的一致稳定的。氏意义下的一致稳定的。氏意义下的一致稳定的。（2 2）系统的唯一平衡状态）系统的唯一平衡状态）系统的唯一平衡状态）系统的唯一平衡状态 在在在在 时刻是渐近稳定的充分时刻是渐近稳定的充分时刻是渐近稳定的充分时刻是渐近稳定的充分必要条

59、件是成立必要条件是成立必要条件是成立必要条件是成立 在区间在区间在区间在区间 上为一致渐近稳定的充分必要条上为一致渐近稳定的充分必要条上为一致渐近稳定的充分必要条上为一致渐近稳定的充分必要条件，是存在不依赖于件，是存在不依赖于件，是存在不依赖于件，是存在不依赖于 的正数的正数的正数的正数 和和和和 对任意对任意对任意对任意 和和和和所有所有所有所有 成立：成立：成立：成立：第四章第四章第四章第四章线性时变系统，线性时变系统，线性时变系统，线性时变系统， 为其唯一的平衡状态，为其唯一的平衡状态，为其唯一的平衡状态，为其唯一的平衡状态， 的元均的元均的元均的元均结论结论结论结论 2 2： 李亚普诺

60、夫判据李亚普诺夫判据李亚普诺夫判据李亚普诺夫判据 为分段连续的一致有界的实函数。则原点平衡状态为一致渐为分段连续的一致有界的实函数。则原点平衡状态为一致渐为分段连续的一致有界的实函数。则原点平衡状态为一致渐为分段连续的一致有界的实函数。则原点平衡状态为一致渐近稳定的充分必要条件，是对任意给定的一个实对称、一致近稳定的充分必要条件，是对任意给定的一个实对称、一致近稳定的充分必要条件，是对任意给定的一个实对称、一致近稳定的充分必要条件，是对任意给定的一个实对称、一致有界和一致正定的时变矩阵有界和一致正定的时变矩阵有界和一致正定的时变矩阵有界和一致正定的时变矩阵 ，存在正实数，存在正实数，存在正实数

61、，存在正实数 ，使成立使成立使成立使成立第四章第四章如下形式的李氏方程如下形式的李氏方程如下形式的李氏方程如下形式的李氏方程有唯一的实对称、一致有界和一致正定的矩阵解有唯一的实对称、一致有界和一致正定的矩阵解有唯一的实对称、一致有界和一致正定的矩阵解有唯一的实对称、一致有界和一致正定的矩阵解 ，即，即，即，即存在正实数存在正实数存在正实数存在正实数 ，使成立：，使成立：，使成立：，使成立：第四章第四章4.5 4.5 线性定常系统的稳定自由运动的衰减性能的估计线性定常系统的稳定自由运动的衰减性能的估计线性定常系统的稳定自由运动的衰减性能的估计线性定常系统的稳定自由运动的衰减性能的估计趋向原点平衡

62、状态的收敛快慢作出估计。趋向原点平衡状态的收敛快慢作出估计。趋向原点平衡状态的收敛快慢作出估计。趋向原点平衡状态的收敛快慢作出估计。线性定常系统，利用李氏判据可判断其原点平衡状态是否线性定常系统，利用李氏判据可判断其原点平衡状态是否线性定常系统，利用李氏判据可判断其原点平衡状态是否线性定常系统，利用李氏判据可判断其原点平衡状态是否这种估计不必求出自由运动的解这种估计不必求出自由运动的解这种估计不必求出自由运动的解这种估计不必求出自由运动的解 。为渐近稳定，还可对稳定的自由运动，即为渐近稳定，还可对稳定的自由运动，即为渐近稳定，还可对稳定的自由运动，即为渐近稳定，还可对稳定的自由运动，即一种间接

63、估计稳定自由运动的衰减性能。一种间接估计稳定自由运动的衰减性能。一种间接估计稳定自由运动的衰减性能。一种间接估计稳定自由运动的衰减性能。第四章第四章原点原点原点原点 为唯一的平衡状态，且为渐近稳定。为唯一的平衡状态，且为渐近稳定。为唯一的平衡状态，且为渐近稳定。为唯一的平衡状态，且为渐近稳定。uu衰减系数衰减系数衰减系数衰减系数零输入响应，即由任一初始状态零输入响应，即由任一初始状态零输入响应，即由任一初始状态零输入响应，即由任一初始状态 出发的自由运动轨线出发的自由运动轨线出发的自由运动轨线出发的自由运动轨线线性定常自治系统线性定常自治系统线性定常自治系统线性定常自治系统 ，随时间，随时间，

64、随时间，随时间 的增加而趋于原点的增加而趋于原点的增加而趋于原点的增加而趋于原点 。第四章第四章减到零。减到零。减到零。减到零。物理上，运动的收敛趋向于物理上，运动的收敛趋向于物理上，运动的收敛趋向于物理上，运动的收敛趋向于 ，相应的能量也随之衰，相应的能量也随之衰，相应的能量也随之衰，相应的能量也随之衰 初始能量小，衰减速率大，收敛就快。初始能量小，衰减速率大，收敛就快。初始能量小，衰减速率大，收敛就快。初始能量小，衰减速率大，收敛就快。反之收敛得就愈慢。反之收敛得就愈慢。反之收敛得就愈慢。反之收敛得就愈慢。李氏函数李氏函数李氏函数李氏函数 是一种能量，是一种能量，是一种能量，是一种能量，

65、是是是是 “ “能量能量能量能量” ” 随时间变化的速率。随时间变化的速率。随时间变化的速率。随时间变化的速率。第四章第四章可引入一个正实数可引入一个正实数可引入一个正实数可引入一个正实数当系统为渐近稳定时，当系统为渐近稳定时，当系统为渐近稳定时，当系统为渐近稳定时， 为正定，为正定，为正定，为正定， 为负定，为负定，为负定，为负定，表征系统自由运动衰减性能，称为衰减系数。表征系统自由运动衰减性能，称为衰减系数。表征系统自由运动衰减性能，称为衰减系数。表征系统自由运动衰减性能，称为衰减系数。 小，且小，且小，且小，且 的绝对值大，则的绝对值大，则的绝对值大，则的绝对值大，则 大，变化快。大，变

66、化快。大，变化快。大，变化快。 反之，则反之，则反之，则反之，则 小，变化慢。小，变化慢。小，变化慢。小，变化慢。第四章第四章则则则则对上式，由对上式，由对上式，由对上式，由 到到到到 进行积分，得进行积分，得进行积分，得进行积分，得第四章第四章取取取取由上式，难以直接进行估计，为此由上式，难以直接进行估计，为此由上式，难以直接进行估计，为此由上式，难以直接进行估计，为此代入上式，代入上式，代入上式，代入上式，一旦确定出一旦确定出一旦确定出一旦确定出 ，就可定出，就可定出，就可定出，就可定出 随时间随时间随时间随时间 衰减上界。衰减上界。衰减上界。衰减上界。第四章第四章出自由运动出自由运动出自

67、由运动出自由运动 随时间随时间随时间随时间 的衰减上界。的衰减上界。的衰减上界。的衰减上界。线性定常系统，线性定常系统，线性定常系统，线性定常系统， 是是是是 的二次型函数，因此也可定的二次型函数，因此也可定的二次型函数，因此也可定的二次型函数，因此也可定uu计算计算计算计算 的关系式的关系式的关系式的关系式线性定常系统，渐近稳定时，对任意给定的正定对称矩阵线性定常系统，渐近稳定时，对任意给定的正定对称矩阵线性定常系统，渐近稳定时，对任意给定的正定对称矩阵线性定常系统，渐近稳定时，对任意给定的正定对称矩阵 ，李氏方程：，李氏方程：，李氏方程：，李氏方程：的解阵的解阵的解阵的解阵 存在唯一且为正

68、定。存在唯一且为正定。存在唯一且为正定。存在唯一且为正定。第四章第四章并且，并且，并且，并且，把把把把 规范化地规定为：规范化地规定为：规范化地规定为：规范化地规定为： 为正定，为正定，为正定，为正定， 为负定，为负定，为负定，为负定，几何含义是，把几何含义是，把几何含义是，把几何含义是，把 规定为状态空间中，规定为状态空间中，规定为状态空间中，规定为状态空间中，的超球面上的极小点处的标量的超球面上的极小点处的标量的超球面上的极小点处的标量的超球面上的极小点处的标量 值。值。值。值。第四章第四章结论结论结论结论 ：线性定常系统，设正定对称矩阵：线性定常系统，设正定对称矩阵：线性定常系统，设正定

69、对称矩阵：线性定常系统，设正定对称矩阵 和和和和 为已知，为已知，为已知，为已知，则成立：则成立：则成立：则成立：其中，其中，其中，其中， 表示表示表示表示 的最小特征值。的最小特征值。的最小特征值。的最小特征值。第四章（作业）第四章（作业）1 1、给定单变量线性定常系统：、给定单变量线性定常系统：、给定单变量线性定常系统：、给定单变量线性定常系统：（1 1）判断系统是否为渐近稳定；）判断系统是否为渐近稳定；）判断系统是否为渐近稳定；）判断系统是否为渐近稳定；（2 2）判断系统是否为）判断系统是否为）判断系统是否为）判断系统是否为 B I B OB I B O稳定。稳定。稳定。稳定。第四章（作

70、业）第四章（作业）2 2、判断下列系统的原点平衡状态、判断下列系统的原点平衡状态、判断下列系统的原点平衡状态、判断下列系统的原点平衡状态 是否为大范围渐是否为大范围渐是否为大范围渐是否为大范围渐近稳定：近稳定：近稳定：近稳定：3 3、给定线性时变系统为：、给定线性时变系统为：、给定线性时变系统为：、给定线性时变系统为：判断其原点平衡状态是否为大范围渐近稳定（提示：取判断其原点平衡状态是否为大范围渐近稳定（提示：取判断其原点平衡状态是否为大范围渐近稳定（提示：取判断其原点平衡状态是否为大范围渐近稳定（提示：取）第四章（作业）第四章（作业）4 4、利用李亚普诺夫方法判断下列系统是否为大范围渐近稳定：、利用李亚普诺夫方法判断下列系统是否为大范围渐近稳定：、利用李亚普诺夫方法判断下列系统是否为大范围渐近稳定：、利用李亚普诺夫方法判断下列系统是否为大范围渐近稳定：谢谢！请指正。谢谢！请指正。