小学数学疑难问题研究

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1、 小学数学疑难问题研究第 一 章 有 关 “ 数与代数”的疑难问题第一节数的认识与大小比较A 1 - 1 自然数在现代数学中的定义与在小学数学课本中的说明有什么不同？【 自然数】“ 数”（ shiO 起源于数（ shti） , 个、 个地数东西。由此而产生的用来表示物体个数就叫自然数。零表示没有东西可数，零也是一个自然数。“ ”是自然数的单位。任何一个自然数都是由若干个1 ” 组成的。【 自然数的产生】 自然数概念的产生，经过了漫长的岁月。首先，产生的是“ 有” 、“ 无”的概念。原始人在打猎、捕鱼或采集果实时，对于猎物或果实的有、无是最为关心的。然后，“ 有 ”的概念进一步分化为“ 多”和

2、“ 少” 。为了比较多少而使用一一对应的方法时; 必然会遇到 同样多”的物体集合（ 即等价集合） 。等价集合被归入一类，并且从中选出一个大家熟悉的集合来表示这类集合的共同性质。其实质就是用具体的集合形象地表示数目的多少。例如，用一个人的耳朵的集合作为一类等价集合的代表。逐渐地，这类等价集合被称为“ 耳” 。最后，脱离具体的事物集合，用专门术语表示一类等价集合的共同性质。于是，“ 耳”就演化为“ 二、 自然数“ 二”的概念就这样产生了。（ 图 11）用具体集合来表示一类等价集合的 共 同 性 质 （ 如“ 耳” ）脱离具体集合， 出现 专 门 名 词 （ 如“ 二” ）图 I表示自然数的名词，许

3、多都是从常见的实物演变而来的。如藏文“ 二”有 “ 翼”的意思，梵文的“ 五”与波斯语的“ 手”相近。南美洲有些地方干脆把“ 五”叫 做 “ 手 ” ，“ 六 ”叫 做 “ 手一” ，“ 七”叫 做 “ 手二”等等。这些事实都说明自然数的概念来源于实践。【 弗莱格一罗素的自然数定义】1884年， 德国数学家、 逻辑学家弗莱格（ FLGFrege 18481925）在他的著作 算术基础中，最先给出了自然数的定义。但这个成果当时少为人知。直 至 1902年，英国数学家、逻辑学家和哲学家罗素（ B.A.W.Russell 1872-1970）重新给出这个定义。在他们作出的被后人称之为“ 弗莱格罗素的

4、自然数定义”中，将每个自然数定义为“ 可以建立- 一对应的所有的有限集 组 成 的 集 能 和 有 限 集 A 建立一一对 应 的 （ 即和A 等价的）所有集组成的集称为“ 集 A 的基数” 。记为A 。即A=B | BA其中， 表示集的等价关系。为了使自然数的这个定义通俗易懂，有些用于教师教育的 小学数学基础理论教科书将每一个自然数定义为“ 可以建立一一对应的一类有限集的共同性质” 。以往的人教版小学数学教科书在教学“5的认识”时，首先引导小学生观察画面上的五位解放军、五匹马、五支枪，以及五根小棒、 五粒算珠、 五颗五角星等不同的物体集合。 然后，引导小学生寻求这些物体集合的共同点： “ 它

5、们都是五个“ 。“ 五”就是这些物体集合的共同性质。从而初步形成自然数“ 五”的概念。可见，小学生时自然数的基数意义的认识，和弗莱格-罗素的自然数定义实质上是一致的。【 皮亚诺公理】 为了建立自然数的公理化体系， 意大利数学家和逻辑学家G皮亚 诺（ G .Peano 1858-1 9 3 2 ）在1891年给出了关于自然数的五条公理：0是一个自然数。0不是任何其它自然数的继数。每一个自然数a都有一个继数。如果自然数。与 。的继数相等，则 。 、。也相等。 （ 数学归纳法公理）如果一个由自然数组成的集合S包 含0 ,并且当S包含某一个自然数。时，它一定也含有。的继数，那 么5就包含全体自然数。皮

6、亚诺的这一公理系统被称之为“ 皮亚诺公理” ，它标志着数学分析算术化运动的终结。参考书DQ 中国大百科全书 数学 中国大百科全书出版社1988年11月 第1版 ，P220; 321 322;461; 51a 中学数学教师手册上海教育出版社1986年5月 第1版 ，P1- 33L的 逻辑与小学数学教学金成梁著，北京师范大学出版社2001年9月 第1版 ，P19-2aA 1 - 2 自然数的“ 基数意义”和 “ 序数意义”有什么不同？【 基数】 当自然数0, 1, 2 ,用来表示有限集合中元素的个数时，这样的数叫做“ 基数” 。如“ 这幢住宅楼是5层楼”这 里 的“5”就是基数。【 序数】 当自然

7、数被用来表示事物的排列次序时，这样的数就叫做“ 序数” 。如 “ 我住在这幢住宅楼 的5楼 ” ，这 里 的“5”就是序数，表 示 “ 第5”的意思。上体育课时排成一列横队“ 报数” ，排 头 从“ 1”开始，报到排尾是“35”，那 么 这 个“35”既表示这-队学生共有35人，也表示排尾的学生是第35个。在一个句子里出现的自然数究竟是基数、还是序数，要根据语言环境（ 即上下文）来判定。A 1 - 3 自然数、正整数和整数之间的区别和联系是什么？【 正整数】 一个、一个地数东西而产生的、用来表示物体个数的数1, 2, 3 , 也叫正整数。当我们数每一棵苹果树上有多少个苹果时，可能遇到一个苹果也

8、没有的情形。要数的东西一个也没有，就用“0 ”表示。0与正整数统称自然数。【 负整数】 为了表示现实世界中具有相反意义的量，人们引用了正数与负数。如 “ 盈 利5元 ”用“+5元 ”表示，“ 亏 损5元 ”就 用 “ 一5元 ”表示。这种在一个数前添加的表示它的“ 正” 、 “ 负 ”的符号叫做“ 性质符号” 。添加了性质符号“ + ”或 “ 一”的数分别称为“ 正数”与 “ 负数” 。“0” 既不是正数，也不是负数。正数中的正号可以省略不写。添加了负 号 “ 一”的正整数叫做负整数。【 整数】 正整数、零与负整数统称“ 整数” 。( 如图1-2)负整数 正整数 正整数n Z?. 独粉J震 然

9、 数9 3, 乙, 1,0, +1, +2, +3, -I自然数 J I 负整数整数图1 2【 皮亚诺的整数系】皮亚诺在构造了自然数系的公理后，又构造了整数系。首先，用自然数偶( m, ) 表示整数：用( m + n ,机) 表示正整数；用(m，? ) 表示数0；用( 机，m + n )表示负整数一” 。第二步，定义数偶的加法、乘法与大小关系：(/n,n) +( k,l)=( m+k,n+l);( m,n) ( ,k,l)=( mk+nl,ml+nk);( , ) ( / , / ) 当且仅当 m+Kn+k.可以证明：经过这样定义的整数集满足加法与乘法的结合律、交换律和乘法对加法的分配律。它包

10、含有数 0 , 对任何整数，有0+=还包含了单位元素1 , 对任何整数，有1 , n- n对于任何整数 ? 、n ,方程用+x=总有唯一解。并且整数集关于“ 其中，0 即近9, OWtZ ,，*W 9。【 记数】【 写数】 “ 记数”就 是 “ 写数” 。指的是如何用数字符号将一个数N （ 或者计数的结果）记录下来。【 十进制记数法】当我们用十进制计数法弄清了一个数的组成后，就可以按照十进位记数制用数字符号0 , 1 , 2 , 9把这个数记录下来。山于自然数有无限多个，要对每一个自然数都给一个独立的名称和记号是不可能的。现在国际上通用的记数方法是用0 , 1 , 2,，9分别表示自然数列里的

11、前十个数。其它自然数则用这些数字按“ 位值原则”表示出来。即每个数字占有一个位置，叫 做 “ 数位” 。每个数位表示种计数单位。同一个（ 0以外的）数字在所记的数里位置不同，所表示的数值也不同。在所记的数里，从右向左，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，。个位的计数单位是一，十位的计数单位是十，百位的计数单位是百，。如果一个数是由八个百、三个十和五个一组成的。就把它写作8 3 5 。 般地，如果一个自然数, 10 + 2 , , 10 + ci-, ,10” - + + ci , 10 + c z 其中，OV4W % 0 W / , ，%W 9。则此自然数就写作 % 的 即t%。因为每两

12、个相邻数位的计数单位的进率都是十，所以这种记数的方法叫做十进制记数法。A 1 -7 “ 数”和 “ 数字”的区别和联系是什么？【 数 字 （ n u m e r a l s ） 】用来记数的符号叫做“ 数字” 。数和数字是两个不同的概念。数或为单数、或为双数，或为质数、或为合数。数字或为罗马数字、或为阿拉伯数字，或为手写的数字、或为印刷的数字。事实上，数字并不是数，而是表示数的记号。数是数字所表达的内容而不是数字本身。中国是世界上的文明古国之一。用文字记数在我国已有悠久的历史。早在三千多年前的商代的甲骨文里，就已经记有数字。其中记载的最大的数是“ 三万” ，最小的数是“ 一” 。一、十、百、千

13、、万各有专名。特别是当时已经采用了十进制的记数方法，这和现在世界通用的“ 十进制记数法”是 致 的 。A 1 - 8 说 “43” 是数而不是数字对吗？表示数的符号叫做数字。因 为 “ 4 3 ”是一个数学符号，在十进制记数法中，用来表示由四个十与三个一组成的自然数，所以它是个数字。是由数字“ 4 ”与 “ 3 ”排成一列组成的“ 复合数字” 。此外，在许多上下文中，4 3 也确实可以表示一 个数，由四个十与三个一组成的数。另一方面，在一定的语言环境中出现的数字“ 4 3 ” ，也可以用来表示一个k进制的自然数，即四个女与三个一组成的数。在这里，因为出现了数字“ 4 ，所以总之，“ 4 3 ”

14、既是一个数，也是一个数字。当它在一个语句中出现时，究竟何所指，要看特定的语言环境。A 1 -9 “ 数的组成” 、“ 数的名称”和 “ 数的读写”有什么联系?【 数的组成】 我们在引导学生认识某个范围内的自然数时，首先要认识这些数的组成。如 认 识 个千以内的数，要弄清它是由几个百、几个十与几个一组成的。可以先用计数单位“ 百” 一百、一百地数。剩下的不足一百个时，再用计数单位“ 十”十个、十个地数。最后，如果剩下的不足十个，再一个、一个地数。即用十进制计数法弄清数的组成。【 数的名称】 每一个自然数的名称都是根据它的组成规定的。为此，制定了根据自然数的组成来为它命名的规则。同时，也制定了按十

15、进制位值原则用数字符号0, 1, 2, 9 来表示一个自然数的规则 （ “ 写数规则” ） ，也就是“ 十进制记数法” 。所 谓 “ 读” ，就是根据个数的符号，说出它的名称；所 谓 写” ，就是根据一个数的名称写出表示这个数的数字符号。“自然数的读写”就是一个数用自然语言和用符号语言的两种表述之间的相互改写。如 图 （ 14）所示：数的名称读 写数的符号（ 十进制记数法）图14总之，数的组成是用十进制计数法计数的结果，数的组成是给这个数命名的依据，也是用数字符号表示这个数的依据。因而也是数的读写的基础。可见，数的组成是认数教学的核心问题。A 1 - 1 0 “ 十进制”和 “ 二进制”的相同

16、点和不同点有哪些？【 进位制】 如果在所用的一系列计数单位中，每十个某单位都组成一个和它相邻的较高的单位，即所谓“ 满 十 进 ” ，那么这种计数制就是“ 十进制” 。如 果 是 “ 满 二 进 ” ，就 是 “ 二进制” ，十进制和二进制都是“ 进位制” 。十和二分别是这两种进位制的基数。进位制的基数可以是大于1 的任何自然数。运用十进制计数法，我们可以将任何一个自然数N表为a 。 T0 +% TO 10 + + , 10 +其中，0 09； 0Wi，% 0W。 ,，4nWl。可见，十进制和二进制都可以将一个自然数分解为不同底数的幕的和。在十进制记数法中，我们用十种不同的数字0, 1, 2,

17、 9 按照位值计数法来表示不同的自然数。在二进制记数法中，只用两个不同的数字0, 1就能表示任何自然数。表示自然数列中前几个数的二进制数字与十进制数字的对应关系如下表：十进制数0123456789. 二进制数01101110010111011110001001 因此，作为记数法，他们运用的不同数字的个数不同；表示同一个自然数时，所需数位的个数也不同。A 1 -1 1 “ 精确数”和 “ 近似数” 、“ 相对误差”和 “ 绝对误差 以及 有效数字”和“ 可靠数字”有什么区别？什么是科学记数法？ （ 李同贤）【 准确数与近似数】 在计数和计算过程中，有时能得到与实际完全相符的数，这些数叫准确数，如

18、某校的数学教师有15人、6X12=7.2等等，但在生产、生活和计算中得到的某些数，往往只是接近于准确数，这种数叫近似数。如 “ 某市人口有75万， ” 75万就是一个近似数。因为在统计一个城市的人口时，由于居民的迁入和迁出，出生和死亡，人口的数目随时都在变化，很难得出准确的人口数。在计算圆周长的公式里，圆周率小可以用3.14代入计算，3.14也是0的近似数。可见，准确数与近似数主要区别在于是否与实际情况完全相符。【 不足近似值与过剩近似值】 小于准确数的近似值，叫不足近似值；大于准确数的近似值，叫过剩近似值。例如，3.14、3.142分别是圆周率小的不足近似值和过剩近似值。【 误差、绝对误差和

19、相对误差】 准确数A与它的近似值。之差A。叫做这个近似数的误差，误差的绝对值|A - 4叫绝对误差。近似数的绝对误差除以准确数的绝对值所得的商叫做这个近似数的相对误差。实际计算时，由于准确数往往不得而知，所以只能用近似数的绝对值代替准确数的绝对值来计算相对误差。例如，甲、乙两人量边长为1米的正方形的对角线的长度。甲量得的结果是1.41米，乙量得的结果是1.42米。则两人的测量结果的绝对误差分别是：|V2-1.41|=|0.0042| = 0.0042 （ 米） ；|V2 - 1.42| = |- 0.0058| = 0.0058 （ 米）田4、 口八WE 0.0042 _ _ 4 0.0058

20、 _ .相对误差分别是： - - - - - - -= 0.30%和- - - - - - -= 0.41%1.4142 1.4142绝对误差一般用来比较同一个数量的两个不同近似数的精确度，而相对误差则往往用来比较两个不同数量的近似数的精确度。【 有效数字与可靠数字】 一个近似数，如果绝对误差不超过它末位的半个单位，则从左端开头的第一个非零数字起到末位数字止，所有的数字都叫这个近似数的有效数字。例如， 取木七3.14,因 为 , 一3.14 0.01+2,所以圆周率的近似值3.14有三个有效数字； 如果取0弋3.1416,则 卜 -3.1416| V0.0001+2,所以近似值3.1416有5

21、个有效数字。个近似数，如果绝对误差不超过它末位的一个单位，则从左端开头的第一个非零数字起到末位数字止，所有数字都叫这个近似数的可靠数字。1、用四舍五入法截得的近似数，从它的左面第一个不是零的数字起到末位数字止，所有的数字都是有效数字。也都是可靠数字。2 、用进一法或去尾法截得的近似数，从它的左面第一个不是零的数字起到末位止，所有的数字都是可靠数字。在这些可靠数字中，除末位外，都是有效数字。【 科学计数法】 当近似数是整十、整百、整千、的数时，如果不加说明，我们就无法确定它们的有效数字和可靠数字。例如，近似数57 0 0 , 如无说明，我们就不能确定它是用什么方法截取到那个数位得到的，它可能是精

22、确数569 8 用四舍五入法截取到百位得到的，也可能是569 8 截取到十位得到的，如果是前一种情况，那么它有两个有效数字（ 5、7 ） ,如果是后一种情况，那么它有三个有效数字（ 5、7 、0 ） ,如果它是某个精确数用四舍五入法保留到个位得来的。那么它就有四个有效数字（ 5、7 、0 、0 ） 为了解决上述矛盾，我们规定：当一个近似数a 是整十、整百、整千、的数时，就把他写成a =4 X 1（ /的形式，其中。是由近似数。的有效数字组成的数，且满足1 Wa 1 0 , k是正整数。例如用四舍五入法把79 9 . 7分别截取到个位、十位、百位的近似数分别是：精确到个位：79 9 . 7、8

23、. 0 0 x l （ ） 2 , 有 3 个有效数字；精确到十位：79 9 . 7七8 . 0 x 1 0 2 , 有 2个有效数字；精确到百位：79 9 . 7弋8 x 1 0 2 , 有 1 个有效数字。又如，近似数3. 6X 1 （ ） 6有两个有效数字，9 . 8 1 x 1 0 5有三个有效数字。事实上， 任何一个近似数都可以写成a = a X 1 0 的形式， 其中。是由近似数a的有效数字组成的数,且满足i W a 1 0 , A 是整数，这种记数法叫做科学记数法。参考书DO 小学数学教材教法第一册. 人民教育出版社1 9 9 4年 1 2 月第一版，P2 0 L 2 2 7.

24、中国中学教学百科全书（ 数学卷） ，沈阳出版社，曹才翰主编. P1 4A 1 - 1 2 截取近似数时， “ 去尾法” 、“ 进一法”与 “ 四舍五入法”的主要区别是什么？为什么常用“ 四舍五入法”？【 四舍五入法】在截取近似数时，通常规定：如果去掉的尾数中，最高位数是5 或比5 大，那么就在留下的数的最低位加一；如果去掉的尾数中，最高位数小于5 （ 即是4 或比4 小） ，那么留下的数不变。像这样的截取近似数的方法，叫做四舍五入法。如圆周率 = 3. 1 41 59 2 65 ，用四舍五入法截取两位小数的近似值时，得乃= 3. 1 4；截取四位小数的近似值时, 得万= 3. 1 41 6。【

25、 去尾法】 如果为截取近似数而去掉尾数时，不论去掉的尾数的最高位数是否小于5 , 留下的数都不变，那么这样的截取近似数的方法叫做去尾法。【 进一法】 截取近似数时， 如果不论去掉的尾数的最高位数是否小于5, 留下的数的最低位都加一,那么这样的截取近似数的方法叫做进一法。在截取近似数的具体问题中， 般用四舍五入法。但有时要根据具体问题的不同情况运用去尾法或进一法。例如, 做一套服装要用4机布，50 机布能做多少套服装。50 4- 4= 1 2 . 5弋1 2 （ 套） 。在这里，因为服装的套数只能是自然数，所以商12.5必须用去尾法截取成自然数12。在这个问题中，用整数范围内的有余数除法50+4

26、=122 更为合适。答案则是“ 能 做 12套, 还余布料2机” 。又如，3840依的粮食用每袋可装100依 的口袋来装，需要用多少口袋？ 3840+100=38.4弋39 （ 个） ，尽管最后只剩下了 40kg粮食，还得用一个U 袋来装。截取近似数的以上三种方法的主要区别在于所得近似数的误差不同，列表说明如下:截取的方法所得近似数原精确数的范围近似数和原数的绝对误差不超过四舍五入法3.1431350 31449 0.005去 尾 法3.143.140033.14990.01进 一 法3.143.1301 3.1399-0.01可见，用四舍五入法截取近似数时，误差不超过保留部分的末位的半个单位

27、；而用去尾法或进一法截取近似数时，误差不超过保留部分的末位的一个单位。A 1 - 1 3 在截取一个数的近似数时，为什么不宜连续两次运用“ 四舍五入法” ？例如，要把724600四舍五入到万位，下面的两种做法得数为什么不同？方法一 724600720000方法二 724600Q 725000*730000方法一符合“ 四舍五入法”的操作规范的要求，所得近似数的误差不会超过保留部分的末位的半个单位。方法二连续两次运用了 “ 四舍五入” ，不符合操作规范，所得近似数的误差已超过保留的末位的半个单位。事实上，730000并不是724600的四舍五入到万位的近似数，而是725000的四舍五入到万位的近

28、似数。因此，在实际操作中，不允许像上面那样对于一个数连续两次运用四舍五入法。A 1 -1 4 “ 小数”概念如何定义和分类？【 小数】【 十进分数】 把单位“ 1” 平均分成10份、100份、1000份、，这样的1份或几份，I 7 329可以用分母是10、100、1000、的分数来表示。如 一 、一 一、o 这种分母是10的正整10 100 1000数次幕的分数叫做十进分数。这些分数的单位分别是L、一L 、一! 一、，每两个相邻的单位间的10 100 1000进率都是10。从 - 到整数个位的计数单位1 , 进率也是10。所以这些分数可以仿照整数的写法，写在整10数个位的右面，并用小圆点“ 隔

29、开，写 成 0.L 0.07、0.329、。用这种形式写出的用来表示十分之几、百分之几、千分之几、的数叫做小数。【 小数点】 在小数中，用来将个位与十分位隔开的小圆点叫做小数点。小数点左边的部分称为这个小数的整数部分；小数点右边的部分称为小数的小数部分。小数的整数部分可以是0 , 也可以不是0。【 纯小数与带小数】 根据一个小数的整数部分是不是0 可以把小数分为纯小数和带小数。如果小数的整数部分是0 , 那么这个小数就称为纯小数。如果小数的整数部分不是0 , 那么这个小数就称为带小数。如 0 . 1 、0 . 0 7 、0 . 3 2 9 等都是纯小娄；1 . 5 、3 . 1 4 、1 2

30、. 0 6等都是带小数。【 有限小数与无限小数】小数还可以根据它的小数部分的位数是不是有限分为有限小数和无限小数。小数部分的位数是有限的这样的小数叫做有限小数。小数部分的位数是无限的小数叫做无限小数。由十进分数改写成的小数都是有限小数。1 0 3一 = 0 . 3 3 0 . 2 7 2 7 3 1 1以 及 圆 周 率 3 . 1 4 1 5 9 2 65 等则是无限小数。【 无限循环小数和无限不循环小数】 一个无限小数，如果从小数部分的某一位起，有一个或儿个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做无限循环小数。（ 简称循环小数）如果在无限小数的小数部分中，没有依次不断重复出现的数字，那么这样

31、的小数就叫无限不循环小数。如 3 . 3 3 和 0 . 2 7 2 7 都是循环小数。圆周率3 . 1 4 1 5 9 2 65 就是一个无限不循环小数。【 循环节】在循环小数的小数部分中，依次不断地重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。如 3 . 3 3 的循环节是“ 3 ” ，0 . 2 7 2 7 的循环节是“ 2 7 ” 。为了简便，写循环小数时，小数的循环部分只写出第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上各记一个小圆点。 如循环小数3 . 3 3 写作3 . 3 , 0 . 2 7 2 7 写作0 . 2 7 , 6. 2 4 1 64 1 6写作6. 2 4 1 6.【

32、纯循环小数和混循环小数】如果循环小数的循环节是从小数部分的第一位开始的，那么这种循环小数就叫纯循环小数。如果循环小数的循环节不是从小数部分的第一位开始的，就叫混循环小数。如 3 . 3 和0 . 2 7 都是纯循环小数。6. 2 4 1 6则是混循环小数。【 小数的分类】按照小数部分的位数是有限还是无限，可以把小数分为有限小数和无限小数。按照无限小数的小数部分是否有个或几个数字依次不断地重复出现，可以把无限小数分为（ 无限）循环小数和无限不循环小数。按照循环小数的循环节是否从小数部分的第一位开始，又可以把循环小数分为纯循环小数和混循环小数。如下表所示。r 有限小数 纯循环小数小数 （ 无限）循

33、环小数J、无限小数 0时，称K为正有理数；当pq V Oq q q时，称2为负有理数。所以对于有理数，可以作出以下两种分类：qr正整数 整 数 零L负整数有 理 数 正分数、分 数 Y、负分数有理数“ 正整数件 有 理 数 3读作：5大于3 。 3 5 读作：3小于5 。I II II I大于号 小于号【 自然数大小的序数意义】在自然数的序数理论中，自然数的大小是根据它们在自然数列中的前后位置来定义的。根据皮安诺公理，“ 0不是任何其它自然数的继数。 ”（ 参看本书P . 2 ） 。所 以 0应该排在自然数列的最前面，是所有自然数中最小的一个。根据皮安诺公理，“ 每一个自然数a都有一个继数”

34、，（ 参看本书P . 2 ） ,所以对于自然数列中的任何一个数来说，都有比它大的自然数。进而推出：自然数没有最大的；自然数列是无限的。自然数大小的以上两种意义虽然说法不同，但实质上是不矛盾的。A 1 - 2 6 为什么。 是最小的自然数，但不是最小的一位数？“ 0是最小的自然数”是根据皮安诺公理“ 0不是任何其它自然数的继数”推出的结论。（ 参看本书 P . 2 ） ,也可以根据“ 空集是任何一个非空有限集的真子集”推出。但由于0不是一位数（ 参看本书P . 1 2 ） ,所以也就不可能是最小的一位数。A 1 - 2 7 怎样构造最小的（ 或最大的）一位数，两位数，三位数，n 位数？在一位数1

35、 , 2 , 9中，显然，最小的是1 , 最大的是9 。两位数有两个有效数字，有效数字的最高位是十位。当十位是“ 1 ” ，个位是“ 0 ”时，两位数最小；当个位与十位都是“ 9 ”时两位数最大。即两位数中最小的是1 0 , 最大的是9 9 。从两位数在自然数列中的排列1 0 , 1 1 , 1 2 , ，9 9也可以看出：在两位数中，最小是1 0 , 最大的是9 9 。同理，三位数的有效数字的最高位是百位。当百位是“ 1 ” ，十位与个位都是“ 0时三位数最小，当百位、十位与个位都是“ 9时三位数最大。以下类推。一般地说, 在位数中，最小的是地1 , 即1 0 0 0；最大的是1 0 -1,

36、即9 9 9。、 -7 - ， - y - ， 一 1 个0 个9在这些数之间还存在下面的关系：最小的n位数= 最大的n 1 位 数 + 1最大的n位数= 最小的n + 1 位数-1A1 - 2 8 为什么多位数大小的比较法则推广到小数大小的比较后，只适用于有限小数，不适用于无限小数？ 0 . 5 。6对吗？【 多位数大小的比较】多位数大小的比较法则如F ：（ 1 ）如果两个多位数的位数不同，则位数多的数较大;（ 2 ）如果两个多位数的位数相同，则最高位上的数较大的数较大；如果最高位上的数又相同，则 第 二 位 数 （ 即次高位上的数）较大的数较大。（ 以下类推）（ 3 ）如果两个多位数的位数

37、相同，并且各个相同数位上的数也分别相等，那么这两个多位数相等。如下表所示：r位数不同- - - -（ D比位数, 位数相同，比 不 等 一 一（ 2 ）最 高 位 上 的 数J相等，比 次 不等一 一 （ I高位上的数Y 不 等 一 一（ 2 ）1相等XI相 等 一 一 （3这是经过有限次操作就能执行完毕的程序。【 有限小数大小的比较】多位数大小的比较法则可以推广，用于比较两个有限小数的大小。（ 1 ）如果两个有限小数的整数部分不等，则整数部分较大的有限小数较大；（ 2 ）如果两个有限小数的整数部分相等，则比十分位上的数。十分位上的数较大的有限小数较大；如果十分位上的数也相等，则比百分位上的数

38、，百分位上的数较大的有限小数较大； （ 以下类推）（ 3 ）如果两个有限小数的整数部分相等，并且小数部分各个相同数位上的数也分别相等，那么这两个有限小数相等。如下表：r不等- - - -（ 1 ）比整数部分3 不 等 一 一 （ I相等，比 十） 不 等 一 一 （ 分 位 上 的 数I相等，比百3 不 等 一 一 （ 分分 位 上 的 数L相等JI相等- - - -（ 3 ）【 无限小数大小的比较】多位数大小的比较法则推广到小数后，不适用于某些无限小数的大小比较 。如根据循环小数化分数的法则： 5 9 - 50 . 5 9 =- - - - - = 0 . 69 0但运用上述有限小数的大小比

39、较法则，则得如下错误结果：0 . 5 9 0 . 6这就说明：有限小数的大小比较法则不适用于无限小数。般地说，为了比较两个循环小数的大小，可以按法则先把它们分别化为分数，再比较两个分数的大小。或者把它们化为循环节所在的数位相同的循环小数，再依次比较小数部分中不循环的部分和循环节中数的大小。事实上，如果被比较的无限小数中，没有循环节是9的循环小数，则有限小数的大小比较法则对它们一般仍然适用。例如，0 . 4 54 5 _ 59 9 = n0 . 4 6 1 5 3 8 =4 6 1 5 3 89 9 9 9 9 961 3, _5_ _ _6_5_ _ _6_ _ _6_6_ _ , _5_ v

40、_6, 1 1 - 1 1 x 1 3 , 1 3 - 1 1 x 1 3 ) 1 1 1 3或者，V4 5 4 5 4 5 4 6 1 5 3 8 , A 0 . 4 5 = 0 . 4 5 4 5 4 5 均，或者p s V均。q s当p s r q时，就说上 ;当p s V应时，就说2 V 。q s q s【 两个分数相等以及大小的判定】 两个正分数K与二q s( 1 )如果 ps=rq,则 =；q sn r( 2 )如果p s r q ,则 一;q 5( 3 )如果p s r q ,则“ 二 。q sl小学数学中比较分数大小的法则】( 1 )分母相同时比分子。如果分子也相同则分数相等；

41、如果分子不等则分子大的分数较大；( 2 )分子相同时比分母。如果分母也相同则分数相等；如果分母不等则分母大的分数较小；( 3 )分子与分母都不同时先通分，转化为同分母分数后再比较大小。参考书： 大百科全书数学卷P 6 3 4A1 - 3 0 最小的分数单位是什么？最大的分数单位是什么？真分数有没有最小的？有没有最大的？【 自然数的单位和计数单位】“ 1 ”是自然数的单位，任何一个自然数都是由若干个“ 1 ”组成的。“ 1 ”也是自然数的最小的计数单位，因为一、十、百、千、万、都是自然数的计数单位，其中最小的计数单位是一，没有最大的计数单位。【 分数的单位】 分子是1的分数叫做分数单位。如 ,

42、，-都是分数单位。任何一个分2 3 4数都是由若干个分数单位组成的。分数单位是将自然数单位1平均分成若干份的结果。在所有的分数单位中，最大的是,；但没有最2小的。 设g是一个大于1的自然数， 则,就是一个分数单位。 因为自然数q没有最大的， 所以分数单位,没有最小的。【 最大的和最小的真分数】 分子小于分母的分数叫做真分数。在同分母的分数中，最小的只含一个分数单位的分数，即分数单位本身。所以最小的真分数就是最小的分数单位。因为分数单位没有最小的，所以真分数也没有最小的。在分母同为g的真分数 中，P=1时最小，pw 1时最大。因为幺二1 = 1一工。所以，如果真分数 和 一 一个 加 数 =另一

43、个加数III III III被 减 数 一 减 数 = 差一减 数 +差 = 被减数 、被减数一差=减数图 1-6【 乘、除法各部分间的关系】 同理，根据除法的定义，可以推出乘、除法中各部分之间的关系：( 1 ) 两个数相乘，每个因数都等于积除以另个因数；( 2 ) 被除数等于除数乘商；( 3 ) 除数等于被除数除以商。如 图 1-7所示。因 数 X因 数 = 积=积 + 一个因数=另一个因数IIIIIII I I被 除 数 除数= 商除 数 X 商= 被除数被 除 数 米 商 =除数图 1-7A 2 -2 “ 运算” 、“ 计算” 、“ 演算”有什么不同？【 运 算 (Operation)定

44、义在集合4 上的运算是指从直积集合4 X 4 到集合A 的一种对应。如果对于集合A 中的任何两个元素的序偶即A X 4 的一个元素( a, b ),集合A 中都有唯一确定的元素c 和它对应，就说在集合A 上定义了一种运算。例如，对于自然数集N 中的任何两个自然数a , 从 都有这样一个唯一确定的自然数c , 使 a+b=c。所以加法是定义在自然数集N 上的一种运算。然后，加法被推广到整数集、有理数集、实数集和复数集。类此，可以给出减法、乘法与除法的定义。力 口 、减、乘、除四种运算统称为四则运算或算术运算(arithmetic Operation)。小学数学中所说的“ 运算” 通常就是指算术运

45、算或四则运算，计算机中的运算器(Arithemetic u n it)就是进行四则运算的装置。【 计 算 (Calculation)根据算式中所给的数据和运算，按照一定的程序操作，以求出运算结果的过程叫做“ 计算” 。【 演 算 (Calculus)在小学数学中，人们常常用“ 演算”表示求一个算式的运算结果的操作过程。除了各种运算， “ 演算”还包括约分、通分之类的恒等变换，以及求最大公约数或最小公倍数，辗转相除法等操作。在数学科学中，还 用 “ 演算”表示某种理论的体系。如命题演算( Calculus of proposition).类演算(Calculus of classes)等。此 外

46、 “Calculus” 一词还用来表示“ 微积分学” 。计算机或计算器本身则被称之为 Calculator。A 2 -3 “ 口算” 、“ 心算” 、“ 简算” 、“ 速算” 、“ 验算”有什么不同？【 口算】 不借助计算工具，直接通过思维算出得数的一种计算方法。口算既是笔算、估算和简算的基础，也是计算能力的重要组成部分。【 心算】 口算也称心算。【 简算】 即 “ 简便计算” ，又 称 “ 速算” 。指的是类快速、巧妙的计算。如1 1- + -2 611111+ 一 + 一 + 一 + 一 + 一12 20 30 42 56_7L L I I6 1 54 X 11 = 6 7 6 9 4简算

47、有多种不同的方法和不同的理论依据。它与各种计算法则所包含的“ 程序性操作”不同，没有常规的思维模式可套，没有现成的操作程序可循。需要有对数据的敏感和对算式整体上的洞察力和敏锐的直觉，要求人们探索和发现，以找出简算的途径。【 速算】 “ 简算”又 称 “ 速算” 。【 验算】 式题计算或应用题解答后，为了确保结果正确，采用一定的方法核对。这种核对的过程叫 做 “ 验算” 。A 2 - 4在数的计算中，“ 横式” 、“ 竖式” 、“ 递等式”各指什么？ ( 经玲玲)【 横式】 通过运算符号，把一些数字连结起来，从左往右排列的式子叫做横式。横式可以笔算，也可以口算，并把算出的得数写在等号的后面。如5

48、3+24=77, 29+75-63=41。【 竖式】 把需要计算的数，写成符合规定的形式，再按运算法则进行计算。通常通过笔算进行。如：加法 125 减法125 乘法 125+ 48 - 48 X 48用竖式计算的实质是将当前对于二个数的计算归结为它们各个数位上的数的计算，以求得得数的各个数位上的数。【 递等式】 在进行混合运算时，要按运算顺序逐步计算。并用计算结果代替原式中的部分算式。用等号与原式相联。直至求出最后结果，这样的书写形式叫做递等式。如：125+48X2 125 + (4+1)IIiI=125 + 96 =125 + 4=221 = 25一般情况下竖式用于数目较大，数位较多的四则计

49、算，用于口算比较困难的场合。递等式用于四则混合运算。A 2 -5 “ 精确计算” 、“ 近似计算”和 “ 估算”的主要区别是什么?【 精确计算】为解决实际问题而进行数值计算时，有时需要得到与实际情况完全符合的准确数，有时只需要或只能得到同准确数相差不多的近似数。如购物该付多少钱？这是需要精确计算才能回答的问题。为了通过计算得到准确数，首先要求计算的原始数据准确无误；所用的计算公式正确表达了有关的几个数量间的关系，( 而不是“ 近似公式” ) 并且计算过程中的每一步都是按相关的计算法则正确地进行的。【 近似计算】在工程技术的计算中，所用的原始数据大多数不是准确数。许多数量都不要求完全准确，允许数

50、据有一定的误差，只要误差不超出规定的范围就可以了。为了使计算结果的误差不超过允许的范围，计算过程必须遵守相应的规则。这就是近似计算。通过近似计算，可以得到误差不超出指定范围的近似数。【 估算】“ 估算”是根据具体条件和有关知识，对事物的数量或计算的结果作出估计或大概的判断。如参加一次旅游，大概需要多少费用？这就是一个需要通过估算来解决的问题。总之，精确计算得到的是准确数；近似计算得到的是误差不超出指定范围的近似数。如果对计算结果的误差范围也没有提出要求，那就可以用估算来解决。A2 - 6怎样处理好“ 算法多样化”与 “ 算法系列化”之间的关系？2001年颁布的义务教育课程标准提倡“ 算法多样化

51、”和 “ 解题策略多样化” 。这对于拓宽学生的解题思路、培养思维的灵活性、发散性和创造性都是有益的。不过多种不同的算法往往反映了不同的思维水平。尽管在训练学生掌握一种算法的初期，应该允许学生达到不同的思维水平，允许学生运用他理解得最快的某种算法。但从不断提高学生的理性思维的根本目标来看，我们应该引导学生逐步掌握思维水平更高的算法，而不应该以学生主观上的“ 喜欢”作为选择算法的主要依据。此外，算法或解决问题的方法往往是以学生已经掌握的某种算法或解题方法为基础的。例如，2 0 以内退位减的“ 凑十法”和 “ 破十法”都是以10以内的减法及2 0 以内数的组成为基础的。如：17 - 9 = 8 17

52、 - 9 = 8/ /10 - 7 2 7 10 1而 “ 算减想加”：179 = ( ) ，想 9+ ( ) =17o因为9+ (8) = 1 7 ,所 以 179= (8 )。则是对一年级小学生进行的一次典型的推理训练。这是根据加、减法的关系( 或者说减法的意义) 进行的推理，它把 2 0 以内退位减的计算归结为2 0 以内的进位加。许多法则的实质都是将当前有待解决的问题。转化和归结为以前已经能解决的问题。认识算法的前后联系，弄清它们根据化归思想组成的体系，似乎比单纯的“ 算法多样化”更重要。A 2 -7 364- 8升67付6奸88?根据什么来证明常见的误解是：36+88+64=36+6

53、4+88是根据加法交换律来证明的。似乎在“36+88+64” 中，将 88与64交换位置，就可以得到“36+64+88”。这样的理解是错误的。加法交换律告诉我们：“ 两个数相加，交换加数的位置，和不变。 ”四则混合运算的顺序规定：“ 没有括号并且只含有同一级运算的算式，从左到或依次计算” 。这就是说，(36+88) +64中的括号可以省去。也就是说，对于36+88+64应该理解为(36+88) +64。因 此 , 在 算 式 “36+88+64” 中，与 64相加的并不是8 8 ,而 是 36+88的和。因为88 与 64并不是相加的两个数。所以，不能根据加法交换律交换它们的位置。上面的等式可

54、以证明如下:(36+88) +64=36+ (88+64) 加法结合律=36+ (64+88) 加法交换律=(36+64) +88 加法结合律或者，这样证明：(36+88) +64=64+ (36+88) .加法交换律=(64+36) +88 加法结合律=(36+64) +88 加法交换律A 2 - 8 整数加减法、小数加减法以及分数加减法有什么相同点和不同点？ （ 蒋宝红）整数加减法、小数加减法以及分数加减法的意义相同，但计算法则不同。不过计算法则的理论依据又是相同的：计数单位或分数单位相同的数才能直接相加（ 减） ，所以整数或小数加减法用竖式演算时，先要将数位对齐或小数点对齐。分母不同的分

55、数加减时要先通分，使分数单位相同。A 2 - 9 乘法在现代数学中的定义与在小学数学课本中的意义有什么不同？【 自然数的基数理论中乘法的定义】因为自然数的加法适合结合律，所以任意h个 。相加的结果与添加括号的方式无关，其唯一的结果记为d - a + a-a - abv- V - ,b 个 a称作a 与 6 的积，记作或“a b”或 “ 岫 ”读 作 a 乘以b 或 b 乘 求 积 的 运 算 叫 做 自 然数的乘法。在a X b中，a叫做被乘数，b叫乘数。被乘数与乘数也叫积的因数。“ X ” 或 “ ”叫做乘号。对于数与字母或者字母与字母的乘法，乘号可以省略。可以证明：自然数的乘法适合交换律、

56、结合律以及乘法对加法的分配律。通过补充规定a 义0=0、可以将述乘法的定义推广到乘数是0 或 1 的场合。【 自然数的序数理论中乘法的定义】在自然数的序数理论中，乘法可以用求继数的运算“S” 与加法“ + ”为基础，借助如下递推式来定义：7X0 = 0axSb - axb + a这样，我们就自然有a x 0 = 0 和a x l= a x S 0 = a x 0 + a = a【 小学数学课本中乘法的意义】有现行的小学数学教科书中，小学生先从教材创设的情境中，抽 取 出 “ 几个儿”的数量问题。然后列连加算式解决，继而将相同加数的连加算式改写成较为简短的乘法算式，引进新的运算“ 乘法” 。用这

57、样的方式解释“ 乘法”的意义，把 “ 乘法”描述为“ 求几个相同加数的和的简便计算” ，与基数理论中乘法的定义相同。【 不区分” 被乘数”与 “ 乘数”导致的后果】对比现行小学课本中乘法的意义与基数理论中乘法的定义，可以看到以下几点差异：( 1 ) “ 几个儿”的求和问题与连加算式的一一对应，在基数理论与小学数学中是一致的。如3 个 2 的和* - - - - - 2+2+2=6*- 2X3=62 个 3 的和 3 + 3=6 2 X 3=6“ 2 个 3 的和“ ：3+3=6 -*3 X 2 = 6损害了乘法定义应有的精确性。( 2 ) 在基础理论的乘法定义中，“ 被乘数”与 “ 乘数”既有

58、各自的不同名称，又有它们共同的名称“ 积的因数” 。在现行的小学数学中，不再区分被乘数与乘数。也就是在a _+_a_+ _+_a)b 个 a中不区分“ 相同的加数”与 “ 相同加数的个数” 。这样做不仅破坏了上述一一对应关系，而且使“ aX%”与“ b X a ”意义上的差异模糊不清。于是乘法交换律aXb= bXa将 如 同 “ a=a” 失去原有的意义要性。小学数学教科书在数学基础知识上的“ 变动”应该经过权威数学家群体的认可。数学名词的含义的“ 变动” ，必须经过中国科学院数学名词委员会的同意。A2-10 “ 4X 7X 25(M X 250X 7是根据乘法交换律吗？【 根据乘法交换律推理

59、】只根据乘法交换律推不出4X7X250=4X250X7。因为在等号两边的算式中，7 与 250都不是“ 相乘的两个数” 。为了证明这个等式，还需要运用乘法结合律。正确的推导过程如下：(4X7) X250=4X (7X 250).乘法结合律=4X (250X 7). 乘法交换律= (4 X 250) X7. 乘法结合律或者(4X7) X 250= 250X (4 X 7 ).乘法交换律= (250X4) X7. 乘法结合律= (4X250) X7. 乘法交换律或者(4X7) X 25g (7X4) X250. 乘法交换律=7X (4X250)= (4X250) X7乘法结合律乘法交换律应该强调：

60、在乘法交换律中，可以交换位置而不改变积的大不的只能是“ 相乘的两个数” 。根据乘法交换律推理时，必须首先确认交换位置的两个数是不是相乘的两个数。训练学生推理，一开始就要养成严格推理的依据思考、不能有丝毫含糊的习惯。否则，培养学生的理性思维和逻辑推理能力的要求就会大打折扣。【 乘法交换律与结合律的推论】“ 几个数相乘，可以将其中的任何两个因数交换，或者任何几个因数结合起来先乘” ，这是根据乘法交换律与结合律得出的推论，而不是乘法交换律或乘法结合律木身。A 2 - 1 1 做分数乘法时，“ 先约分、后相乘”的根据是什么？做分数乘法时，常 常 “ 先约分、后相乘” 。如在这里，为什么2 5与15可以

61、约分呢？约分诙理论依据是“ 分数的基本性质- - - - - 个分数的分子与分母都 乘 以 （ 或者都除以）同一个不为零的数，分数的大小不变” 。而这里的25与15并不是同一个分数的分子与分母，为什么它们可以都除以5呢？关于这种演算的合理性可以这样理解：2义直 x =.2x175即演算时省略了根据分数乘法法则写出的两个分数的积。根据这个法则，两个分数相乘的积是一个分数,25与15的公约数5就是这个积的分母与分子的公约数，当然可以把它“ 约去” 。【 对角约分】两个数相乘， - 个分数的分母与另一个分数的分子约分，通常被称为“ 对角约分” 。对角约分的合理性还可以这样认识：即两个数相乘时，一个因

62、数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。A 2 - 1 2 为什么在分数的乘法运算中，要先把带分数化成假分数?【 分数乘法的法则】两个分数相乘，以分子的积作为积的分子；以分母的积作为积的分母。即这个法则适用于任何两个分数相乘。但不能直接用于带分数。因 为 “ 带分数是一个自然数与一个真分数合并而成的数” 。实质上是一个自然数与一个真分数的和。严格地说，它是一个式（ 两个数相加的和式） ,而不是一个数。当然也就不是一个分数。因此，分数乘法法则不能直接用于带分数是顺理成章的。在做分数乘法时，如果有些因数是带分数，先要把这些带分数化为假分数，再按分数乘法法则演算。做分数除法时，如果有带分数，

63、也要先化为假分数。【 带分数做加、减法，不必化为假分数】在分数加、减法中用不着先把带分数化为假分数。这时，带分数的整数部分与分数部分可以作为两个数分别处理。以上所说的属于常规的操作程序。对于某些算题的简便计算，往往需要改变法则规定的操作程序，寻求某种简捷的途径。如7 735 x68 = 35x68 + x6817 17= 2 3 8 0 + 2 8= 2 4 0 8A 2 - 1 3 “ 等分除” 、“ 包含除”与 “ 除法”是什么关系。 除法 与 有余数除法”有什么不同？【 除法的意义】已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。在除法中，已知的积叫做被除数，已知的一个因数

64、叫做除数，求出的未知因数，作为除法运算的结果叫做商。如 1 3 X 7 = 9 1 。当已知1 3 与 7 , 要求它们的积时，那是一个乘法问题。如果已知两个因数的积是9 1 , 其中一个因数是1 3 , 求另一个因数，那么所用的运算就是除法。已知的因数 要求的因数 已知的积1 3 X = 9 1除数 商 被除数“ 9 1 除 以 1 3 , 商是7 ”记作9 1 + 1 3 = 7 。其 中 “ + ”叫 做 “ 除号” ，读 作 “ 除以除法的定义也可以这样表述：已 知 两 个 数h ,其中a W O 。如果存在数q,满足收斗，就说g等于b除以a , 记作, 7 bq- b- ra 或 g

65、 = 一a这里，由。 、b求 q的运算叫做除法，b叫做被除数，。叫除数，g叫做商。关于除法的意义，有以下三点注意：设 。是不为0的任意的一个数。( 1 )因为aT = a,所以a + l = a ,( 2 ) 因为a - 0 = 0,所以0 + 4= 0。( 3) 0不能做除数。因为0+0不确定( 任意的一个数乘以0都等于0 ) ；不存在( 不存在这样的数，它与0相乘的积是一个不为零的数) 。等分除与包含除都是应用除法来解决的问题，是除法的两种不同的实际模型，而不是两种不同的除法。认 为 “ 除法有等分除与包含除两种”的观点是错误的。【 等分除与包含除】用除法来解决的、把一个数量平均分几份，求

66、一份是多少的数学问题叫做等分除问题。用除法来解决的、求一个数量里包含几个另个数量的数学问题叫做包含除问题。如8 + 2 =?可以解释为8个圆片平均分为两份，每份是几个圆片( 图1 -8 ) ；也可以解释为：将8个圆片中的每2个圆片分为一份，共可分成几份？ ( 图1 -9)。OOOOOOOO OOOOOOOOoooo oooo oo OO OO OO图1 -8图1 -9上述问题在具体情境中表示不同的问题， 但这些问题都可以归结为已知两个因数的积是8 ,求其中 个因数是2 ,求另一个因数的问题，即都可以抽象成相同的数学问题8 + 2 =?都可以用除法来解决。【 有余数除法的意义】个整数除以另一个不

67、为零的整数，得到整数商后还有余数，这样的除法叫做“ 有余数的除法” 。有余数除法的意义也可以这样表述：已知两个整数a、b, Q W O )要求这样的两个整数( 7、r,使得小r满足：b=aq+r- , r a ,这样的运算叫做有余数除法。求得的整数q叫做不完全商，r叫做余数。b, a仍然分别叫做被除数和除数，这四个数的关系记作b+a=q. . .r, ( r 30： 7=300+70300-? 70=42 )3994-199=2.1 卜= 399-4-199=39994-199939994-1999=21J等推理都是错误的。参考书： 中学数学教师手册 ，上海教育出版社，1986年5月第一版Pl

68、38。A2 - 1 5为 什 么“ 0可 以 做 乘 数 ， 但“ 0不 能 作 除 数 ” ？( 李同贤)根据乘法的意义a x b = a + a + +。a x 8 = 0 xb = 0 + 0 + + 0 = 0当a=0时，根据积a x b的补充定义，当b=0时，a x b = a x 0 = 0 ,积也是唯一存在的，所有，0可以作乘数。0为什么不能作除数呢？根据除法的定义：已知数a、b ( a W O ),如果存在一个数q ,使“ X q =匕，就说q是b除以。的商。已知 、6求q的这种运算叫除法，记作匕+ a = q ,其中，b、a、q分别叫被除数、除数和商。( 1 )当。=0时，如

69、果又有匕= 0 ,则满足a x q = b ,即0 xq = 0的q可以是任何数;( 2 )当。=0、b W O时，满足a x q = b,即O x q = / ?的数g不存在。在这两种情况下都不符合四则运算要求结果必须存在且唯一的规定。因此，在除法运算中规定“ 0不能作除数”A 2-1 6四则运算的笔算法则与整数四则的笔算法则有什么区别与联系？【 多位数加减法的竖式演算法则】多位数加法的法则：( 1 )相同数位对齐；( 2 )从个位加起；( 3 )哪一位相加满十，就向前一位进一。多位数减法的法则：( 1 )相同数位对齐；( 2 )从个位减起；( 3 )哪一位不够减，就从前一位退一 ，与这位上

70、的数合起来再减。说明：( 1 ) “ 多位数的笔算”指的就是“ 多位数的竖式演算” 。( 2 )多位数加减法则的实质是将两个多位数的加减归结为相同数位上的数( 即计数单位相同的数)直接地分别加、减。【 小数加减法的竖式演算法则】( 1 )先把各数的小数点对齐；( 2 )再按照整数加减法的法则计算；( 3 )最后，对齐横线上的小数点，在得数里点上小数点。( 小数部分末尾的0一般要去掉)说明：( 1 )法则中所说的“ 小数点对齐”实质上就是“ 相同数位对齐” 。( 2 )小数加减法的法则也是把两个小数的加减归结为相同数位上的数( 即计数单位相同的数) 直接地分别加减。( 3 )为了正确说明得数中各

71、数位的计数单位， 需要 对齐横线上面的小数点， 在得数里点上小数点。 ”【 多位数乘法的竖式演算法则】( 1 )从低位开始，分别用乘数每一位上的数去乘被乘数；( 2 )用乘数哪一位上的数去乘，乘得的部分积的末位就要和哪一位对齐；( 3 )把各次乘得的数( 被称之为“ 部分积” ) 加起来说明：( 1 )上述多位数乘多位数的运算法则实质上是将多位数乘多位数归结为位数乘多位数。( 2 ) 一位数乘多位数时、 就用这个一位数分别去乘被乘数的个位、十位、百位、各位上的数，并把各次乘得的数加起来。一位数乘多位数的这个法则，实质上是把一位数乘多位数归结为表内乘法。( 3 ) 表内乘法是根据乘法口诀计算的。

72、而乘法口诀是根据乘法的意义通过“ 同数连加”的计算得到的。【 小数乘法的竖式演算法则】( 1 ) 先按照整数乘法的法则算出积；( 2 ) 再看因数中一共有几位小数，就从积的末位往前数出几位，点上小数点。( 乘得的积的位数不够时，要在前面添0补足)( 3 ) 将积的小数部分末尾的0划去。说明：( 1 ) 小数乘法的法则，实质上是把两个小数的乘法，归结为两个整数的乘法；( 2 ) 在法则中，给出了根据两个因数的小数位数来确定积的小数位数的方法，据以定出积的小数点的位置。( 积的位数不够时，要在前面添0补足)【 多位数除法的竖式演算法则】假设除数是位数。( 1 ) 先用除数试被除数的前 位数。如果它

73、比除数小，就试除被除数的前n + 1 位数；( 2 ) 除到被除数的哪一位，除得的商就写在哪一位的上面；( 3 ) 每次除后余下的数必须比除数小。【 小数除法的竖式演算法则】( 1 ) 除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除。但商的小数点要和被除数的小数点对齐。( 2 ) 如果除数是小数，先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动几位( 位数不够时， 在末尾添0补足) 。 然后按照除数是整数的小数除法计算。例如 5 6 2 8 + 6 7 = 8 45 6 . 2 8 + 6 7 = 0 . 8 45 6 . 2 8 4 - 6 . 7 = 8

74、 . 4840.848.467)562867) 56.2867) 562.85365365362682 68268268268268000说明：( 1 ) 多位数除法的商是一位、一位地求出来的，每 求 一 位商都需要运用某一句乘法口诀；( 2 ) 除数是整数的小数除法法则，实质上是把除数是整数的小数除法归结为整数除法。只是最后要对着被除数的小数点，点上商的小数点。( 3 ) 除数是小数的小数除法法则， 实质上是把除数是小数的小数除法归结为除数是整数的小数除法。掌握运算法则的关键在于根据原始数据的小数点正确处理得数的小数点。可见，小数四则运算与整数四则运算的笔算( 即竖式演算) 法则构成了一个体

75、现化归思想的完整的体系。这个体系中的每一个法则都是力求将当前面临的新问题归结为早先已经解决的问题。A 2 - 1 7 什么是“ 结合符号”与 “ 分隔符号”？【 结合符号】用来表示运算顺序（ 即算式结构）的符号叫做结合符号。括号就是常用的结合符号。例如，假设我们要根据以下五个分步算式12+6=18100-18=8282X4=328328+22=350350+70=5列一个综合算式，那就需要用某种方式在下面的算式中 100 - 12 + 6 X 4 + 22 4- 70说明五个运算必须按照序号表示的顺序进行。这个要求可以用括号来达到：（ 100- （ 12+6） X4+22 4-70=5常用的括

76、号有以下几种：“ ”叫做大括号（ 也叫花括号或括带） ；“ 口”叫做中括号（ 也叫方括号或括号） ；“ （ ） ”叫做小括号（ 也叫园括号或括弧） 。“ ”叫做括线，规定要写在式子的匕面。引用几种形状不同的括号，目的仅仅是为了易于辨认。可以证明：只用一种括号“ （ ） ” ，同样能确切地表明运算的顺序和算式的结构。如上面的综合算式可以写成：（ （ 100- （ 12+6） ） X 4+22） 4-70=5【 分隔符号】起分隔作用的显示不同区域内符号的不同意义的数学符号叫做分隔符号。 如多位数分级的“ 分节号” ;区分个小数的整数部分与小数部分的“ 小数点” ；区分无限循环小数的小数部分中的循环

77、节和不循环部分的循环点；区分四则运算中参与运算的数和运算所得的数的“ 线条”（ 如下面的算式）都是分隔符号。84商除数67J5628被除数f536部分积11一268求出商的最高 268位后的余数0余数有些其它符号兼有分隔符号的作用。如分数线上面（ 或前面）的数或式是分子；下 面 （ 或后面）的数或式是分母。而分数线本身不但有除法运算的意义，还有分隔符号与结合符号的作用。如在, ”b一中，ab是分子，是分母。这个分式表示（ a -b ） + （ a2 + 2 + / ） 。a2+2ab + b2A 2 - 1 8四则混合运算为什么要规定：“ 从左到右” 、“ 先乘除、后加减”？【 四则运算】力I

78、I、减、乘、除四种运算统称“ 四则运算” 。如果一个算式中包含两种或两种以上的这些运算，则称之为四则混合运算算式。一般地说，有了结合符号(如各种括号) ，我们就可以根据需要表达出四则混合运算算式所要求的任何一种运算顺序。如算式1 5 X 4 + 1 6 4 - 4包含三个运算。适当运用括号，可以表示出实施这三个运算的任何一种顺序。如 (1 5 X 4 ) + 1 6 4 - 4 1 5 X (4 + (1 6 + 4 ) J 1 5 X (4 + 1 6 ) 4 - 4 等。共有6种不同的顺序。【 四则混合运算的运算顺序】在表达四则混合运算的算式中各个运算应有的顺序时，为了尽可能少用一些括号，

79、人们对运算顺序作出了以下儿点规定：(1 )在一个没有括号的算式中，如果只有加、减法， 或者只有乘、除法，则从左到右依次运算；(“ 从左到右” )(2 )如果没有括号的算式中既有加、减法，又有乘除法，则先做乘除法，再做加减法；(“ 先乘除，后加减” )(3 )在一个有括号的算式中，先按上述规定计算括号里面的式子；(4 )有几层括号时，从里到外依次计算。按照这样的规定，上述三个四则混合运算的算式可以简化为：( 1 5 X 4 + 1 6 ) + 4 1 5 X ( 4 + 1 6 4 - 4 ) 1 5 X ( 4 + 1 6 ) 4 - 4 : : : : : : : : * 这三个运算的另三种

80、运算顺序可分别表达为：1 5 X 4 + ( 1 6 4 - 4 ) 1 5 X 4 + 1 6 4 - 4 1 5 X 1 ( 4 + 1 6 ) 4 - 4 J 三个运算的六种不同的运算顺序只需平均用一对括号就能表达清楚。如果没有这些规定，那么为了说明上述每一个算式中三个运算的顺序平均得用两对括号。至于为什么要规定“ 从左到右” ，而 不 是 “ 从右到左” ，可能是为了使这种没有括号并且只有加、减法或者只有乘、 除法的算式的运算顺序与算式的书写顺序相同。 于是 ( 。+ 份 - 可 + 1 -e中的括号可以全部省略，而把这个算式写成a + b c + d - e ；但算式。+ 也 c +

81、 ( d e ) 要保持原定的运算顺序，其中的三对括号一对也不能省。规定了 “ 先乘除，后加减” 之后，( 1 5 X 4 ) + ( 1 6 + 4 )中的括号可以省略，把它写成1 5 X 4 + 1 6 + 4 ；而( 1 5 + 4 ) X ( 1 6 - 4 )中的括号就不能省。如果当初的规定不是“ 先乘除、后加减” ，而 是 “ 先加减、后乘除” ，则前一算式中的括号不能省，后一算式中的括号可以省去。“ 从左到右”和 “ 先乘除、后加减”都不是以客观规律为基础的定理或定律，而是一种有关数学符号语言的人为的规定，目的在于尽可能减少算式中为说明各个运算的顺序所用的括号。A 2 - 1 9

82、 为什么两个数相除，如果商不是整数和有限小数， 就一定是循环小数？ （ 张秀花）做除法时，如果除到个位还除不尽，可以在余数后面添0 再除，得商的小数部分各位上的数。这些数中每个数的大小都取决于前次除得的余数。因为每次做除法的余数，都必须是小于除数的正整数，而小于除数的正整数只有有限个。所以除法做了若干次之后，就会出现相同的余数。余数出现了相同的，那就表明：商的小数部分的下一个循环即将开始，如 22+7=3.142857的演算过程如下：3.1 4 2 8 5 7 17 )2 2) 2 1余 1. . . 1 07商 1余 3. 3028商 4余 2 2 01 4商 2余 66056商 8余 44

83、035商 5余 55 049商 7余 1 1 0商 1可见，两个数相除，如果商不是露数前有限小数，那么商就定是循环小数。A 2 - 2 0 怎样化分数为小数？为什么有些分数能化为有限小数， 有些分数不能化为有限小数？如果一个分数的分母只含有质因数2 或 5 , 那就可以根据分数的基本性质把它的分母化为10的正整数次累，从而先把它化为十进分数，再化为小数。如7 7x52 17540 23 X5X52 103 ,也可以用分子除以分母的办法，把这个分数化为小数。0.17540 7 040300280200200- - 0事实上，对于任何分数，都可以用分子除以分母的办法把它化为小数。分子除以分母时，如

84、果能除尽，则分数被化为有限小数；如果除不尽，则分数被化为（ 无限）循环小数。为了辨别这两种情况，可以先把分数化为最筒分数。如果最简分数的分母含有2、5以外的质因数,则此分数不能化为十进分数，也就不能化为有限小数。这时，如果用分子除以分母，结果必然除不尽,得不到整数或有限小数，只能得到无限循环小数。（ 参 看 本 书 第 页 ）A 2 - 2 1 为什么一个最简分数，如果分母中除了 2和 5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化为有限小数； 如果分母中含有2和 5以外的质因数， 这个分数就不能化成有限小数？ （ 张秀花）因为2与5的积是1 0 ,所以分母只含有2和5的分数能转化成分母是10、1

85、00、1000的分数；如果分母含有2和5以外的质因数，那么这个分数就不能化为分母是10、100、1000的分数，从而不能化为有限小数。所以一个最简分数，如果分母中除了 2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。A 2 - 2 2 怎样化小数为分数?【 化有限小数为分数】化有限小数为分数，可先把它改写成十进分数，然后化为最简分数。例4.8 = 4若苗120.012 = 1000 2503【 化纯循环小数为分数】纯循环小数的小数部分化成分数，分子是一年循环节的数字所组成的数;分母是由数字9组成的数，9的个数等于一个循环节

86、的位数。例 16.6 = 169 = 1627 3 7。 =7翁7与004893【 化混循环小数为分数】混循环小数的小数部分化成分数，分子是小数点右边第一个数字到第一个循环节末位的数字组成的数（ 即第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数） ，减去不循环数字组成的数所得的差；分母是由数字9后面带数字0组成的数，其中9的个数等于循环节的位数，0的个数等于小数部分不循环部分的位数。tel309-3 306 17例：0.309 = - = -= 990 990 551Z264-26 238 11916.264 = 16- = 16=16900900450A 2 -2 3 “ 整除” 、“ 约数”（

87、“ 因数” ）和 “ 倍数”在小学数学中的解释和在 数论中的定义有什么不同？【 整除在数论中的定义】“ 整除”是数论中的个最基本的概念。任给两个整数“ 、b ,其 中 如 果 有 一 个 整 数c ,使 。 = 儿，就 称b整除a ,记作这时，h叫做。的 约 数 （ 或因数） ，a叫做的倍数。【 整除在小学数学中的解释】以往的版本：整数。除以整数b （ b /0 ） ,商是整数而没有余数，就 说“a能被人整除” ，也可以说“ 匕整除a”。如果。能被b整除，。就叫做b的倍数，匕叫做。的 约 数 （ 或 。的因数） 。当前的版本：根据4X3=12, 4是12的因数，3也 是12的因数。12是4的倍

88、数，12也是3的倍数。从以上的对比可以看到：( 1 ) “ 整除” 、 “ 约数”( “ 因数” ) 和 “ 倍数”在数论中的定义和在小学数学中的解释基本上是一致的。( 2 ) 以前的小学数学是先定义“ 整除” ，再用整除来定义“ 约数”( “ 因数” ) 和 “ 倍数” 。当前的小学数学回避了 “ 整除” ，直接用整数乘法来解释“ 因数”和 “ 倍数”的意义，而且只用具体数目的例证来说明，没有一般性的解释，时学生抽象思维能力的要求比过去低，不利于对学生思维的训练和抽象概括能力的培养。A2 - 2 4怎样判断一个自然数能不能被2, 3, 5, 7, 9, 11, 13整除？( 1 ) 能被2或

89、 5整除的数的特征是它的个位数能被2或 5整除。因为任何自然数都可以表示为它的个位数与另一 个 整十数的和，整十数必然能被2和 5整除，所以这个自然数能否被2或 5 整除就取决于它的个位数能否被2 或 5整除。( 2 ) 能被4或 2 5 整除的数的特征是它的末两位数能被4或 2 5 整除。( 证明同上。 )( 3 ) 能被8 或 1 2 5 整除的数的特征是它的末三位数能被8 或 1 2 5 整除。( 证明同上。 )( 4 ) 能被3或 9整除的数的特征是它的各位上的数的和能被3或 9整除。设N = & o + 6 ! 1 , 1 0 + , 1 0- + ” 3+= GQ + . ( 1

90、+ 9 ) + & ( 1 + 9 9 ) + % ( 1 + 9 9 9 ) + =( a 。 + + a , + % +)+ ( 9 q + 9 9 a , + 9 9 9 a 3 + )显然，后一组数的和能被3和 9整除。因此，N能否被3或 9整除，就取决于前一组数的和能不能被3或 9整除。( 5 ) 能 被 7 、1 1 或 1 3 整除的数的特征是它的末三位数与末三位以前的数字所组成的数相减之差能被 7 、I I 或 1 3 整除。设自然数N的末三位数是a, 末 二 位 以 前 的 数 字 所 组 成 的 数 是 人 则 当 时 ，N = 1 0 0 0 / ? + a = 100+

91、 ( a / ? )；当a b时，N = 1 0 0 0 。+ a = 1 0 0 1 b - 3 - a )。因 为 因 1 7 1 3 1 1 0 0 1 ,所以7 , 1 1 , 1 3 1 1 0 0 3 。因 此 ,N能不能被7 、1 1 或 1 3 整除。就取决于a - b能不能被7 , 1 1 或 1 3 整除。( 6 ) 能 被 1 1 整除的数的特征是这个数奇位上的数的和与偶位上的数的和相减的差能被1 1 整除。设N = a ( )+ 6 Z 1 , 1 0 + t z - , - 1 0 + tZ j - 1 0 +% T O + 牝+ , , ,=+ 6 t | ,( 1

92、 1 l ) + a , , ( 9 9 + 1 ) + i Z j , ( 1 0 0 1 1 ) + % ( 9 9 9 9 +1 ) + = ( 2 4 )为止。两个括号里可以填入的所有的数都是24的因数。A 2 -2 7 “ 倍”和 “ 倍数”有什么不同？说“ 5是4的1 . 25倍” 、或 者“ 5是4的倍数”对吗？ ( 张秀花)【 倍的意义】 如果。 = 处，a是一个数) 就说“ 。是 人的 4 倍。 ”这里的A可以是整数，也可以是小数、分数或无理数。心 匕 可以是两个数，也可以是两个同类的连续量或离散量。并且习惯上上述说法用于k 2 l的场合。【 倍数的意义】如果a 、b、q 都

93、是整数，并且则称“ 。是 6 的倍数” 、“ 人是。的因数” 。当然也可以说“ a是q的倍数” 、“q 是a的因数” 。“ 倍 ”和 “ 倍数”虽然都是乘法算式引伸出来的概念，但前者是有理数集、实数集上的乘法，后者则是整数集上的乘法。如 5 = 1 . 2 5 X 4 , 因此，我们可以说“ 5是 4的 L 2 5 倍 ” ，也可以说“ 5是 4 2 5 的 4倍 但 不 能 说 “ 5是 4的倍数”或 “ 5是 1 . 2 5 的倍数” 。A2-28 “ 约数”和 “ 因数”有什么区别和联系？ （ 李同贤）倍数和约数是两个整数有整除关系时. ，引伸出来的概念：若 b整除” ，则称人为的约数，

94、。为匕的倍数。” （ ）能 被 （ ）整除” 、气 ）整 除 （ ） ” 、“ （ ）是 （ ）的约数” 、气 ）是 （ ）的倍数”指的是两个整数之间的同一种关系。因数是与实数乘法有关的一个概念：设 八 A C都是实数，若 ebXc,则 a叫做b与 c的积， 匕叫做被乘数， c叫做乘数。 被乘数与乘数都叫做积的因数。例如，4 2 = 2 . 1 X 2 , 4 . 2 是 2 . 1 与 2的积，2 . 1 和 2都是4 . 2 的因数。又如，2 6 =2百 xVL 2 痣 是 2 百 与 啦 的积，2 百 与 也 都 是 2 几 的因数。把因数的概念用于整数乘法。如 3 2 = 4 X 8

95、, 3 2 是 4与 8的积，4与 8都是3 2 的因数。当然，4与 8也都是3 2 的约数。由于整除除法与整数乘法可以相互转化，即。=bxc等价于4 a , 所以在讨论整除问题时，有人不再区分约数和因数。A 2 - 2 9单数、双数与奇数、偶数有什么区别和连系？【 偶数】【 双数】能被2整除的整数叫做偶数。偶数有正偶数、负偶数和零。正偶数也叫双数。双数就是能被2整除的正整数。偶 数，6 , - 4 , 2 , 0 , 2, 4, 6, v- - - - -V - - - - - - - - - - -v- - - - 负偶数 正 偶 数 （ 双数）零不是双数；零是偶数，但不是最小的偶数。偶数

96、就是2的倍数。但有关“ 公倍数”与 “ 最小公倍数”的概念往往只涉及正的倍数。因此，我们通常认为：最小的偶数不存在，但 2的最小的倍数是2 。（ 参看A 2 - 3 0 ）【 奇数】【 单数】不能被2整除的整数叫做奇数。正奇数也叫单数。可见，单数就是不能被2整除的正整除。【 整数的奇偶性的判定】判定一个整数究竟是奇数还是偶数，可以根据“ 奇数” 、“ 偶数”的定义，并且运用“ 能被2整除的数的特征J凡个位上是0 、2 、4 、6、8的整数都是偶数；凡个位上是I 、3 、5 、7 、9的整数都是奇数。【 奇数与偶数的性质】（ 1 ）两个奇数的和或差都是偶数。（ 2 ）两个偶数的和或差都是偶数。（

97、 3 ） 一个奇数与一个偶数的和或差都是奇数。（ 4 ）两个奇数的根还是奇数。（ 5 ） 一个奇数与一个偶数的积或者两个偶数的枳都是偶数。A 2 -3 0 最小的质数” 、“ 最小的偶数”与 “ 最小的倍数”各指什么？为 什 么“ 0是任何一个整数的倍数” ，但不是几个整数的最小公倍数？ （ 张达成等）【 最小的质数】【 偶质数】质数中最小的一个叫做“ 最小的质数” 。最小的质数是2。它是唯一能被2整除的质数，所以又叫“ 偶质数” 。如果把“ 偶数”定义为能被2整除的整数，则 “ 偶数”应包括正偶数、负偶数和零。“ 最小的偶数”不存在。既使对于“ 能被2整除的自然数”而言，其中最小的是0 ,而

98、不是2。小学数学定义倍数时，小学生还没有负数的概念：a X （ ）=（ ）II III I自然数 a的倍数所以，在 。的倍数中，最小的是零。于是，几个数的公共的倍数中最小的也必然是零。但 是0不能作为几个分数的公分母，所以这样的“ 最小公倍数”在异分母分数的加减法中毫无用处。因此，在 “ 倍数” 、“ 公倍数”与 “ 最小公倍数”的序列定义中，应该在适当的地方把零排除。方案一：在定义“ 倍数”时，就将零排除：“ 自然数。与任何一个正整数1 , 2 , 3 ,的乘积都称之为 。的倍数.”因此，在 。的倍数中，最小的一个是心然后，定义公倍数与最小公倍数：” 几个数的公共的倍数称为这几个数的公倍数。

99、 ”“ 几个数的公倍数中最小的一个称为这几个数的最小公倍数。 ”方案二：定 义 “ 公倍数”时排除零。“自然数。与任何一个自然数的乘积都叫做的倍数。 ”因此，在的倍数中最小的是零“ 几个数的零以外的公共的倍数叫做这儿个数的公倍数。 ”“ 儿个数的公倍数中，最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 ”方案三：定 义 “ 最小的公倍数”时才排除零。“自然数。与任何个自然数的乘积都叫做。的倍数” 。因此，。的最小的倍数是0。“ 几个数的公共的倍数叫做这几个数的公倍数因此，零总是几个数的公倍数。“ 几个数的公倍数中，零以外的最小的那一个叫做这几个数的最小公倍数。 ”以上三个方案中，似乎方案二更便于小学生理

100、解。经过这样的规定，使得零虽然是任何一个整数的倍数，但不是几个整数的最小公倍数。A 2 - 3 1为什么说：“ 偶数都是合数” 、“ 质数都是奇数”都是错误的？ （ 王文净等）在整数中，奇数、偶数是以它是否能被2整除来定义的。能被2整除的整数叫偶数，不能被2整除的整数叫做奇数。质数与合数是以一个自然数约数的个数来区别的、一个大于I的自然数，如果除了 1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数；如果除了 1和它本身，还有别的约数，这个数就叫做合数。可见，这两组概念定义的标准不同。奇数不一定是质数。例如，9 、2 1 、3 3 都是奇数，但它们都不是质数，而是合数；质数也不一定是奇数。如 2是质数

101、，但它不是奇数。当然，除 2以外的质数都是奇数。偶数不一定是合数，如 2是偶数，但不是合数，而是质数；合数也不一定是偶数，例如：1 5 、2 7 、3 9 都是合数，但不是偶数，而是奇数，当然，除 2以外的偶数都是合数，2是质数中唯一的偶数。综上所述可知，” 偶数都是合数” 、“ 质数都是奇数”都是错误的。关于这个问题，用逻辑学的知识可以简短地回答如下：因 为 “ 有些 偶 数 （ 如 2 ）不是合数” ，所以说“ （ 所有的）偶数都是合数”是错误的。因 为 “ 有些 质 数 （ 如 2 ）不是奇数” ，所以说“ （ 所有的）质数都是奇数”是错误的。一般地说，特称否定判断“ 有些不 是 /真

102、，则全称肯定判断“ 所有 都 是 假； “ 有些。不是假，则 ” 所有。都是真。事实上， 如果如 。这两个概念的外延都不是空集。 那么这两个概念的外延之间可能有以下五种关系：图 1 -1 0当 如 b的外延关系是图（ I ）或 图 （ 2 ）时，“ 所有。是 /真 ，“ 有些。不是b ”假；当 “ 、人的外延关系是图（ 3 ） 、图 （ 4 ）或 图 （ 5 ）时，则 “ 所有。是 6 假，“ 有些。不是匕 ”真。A 2 -3 2 为什么1既不是质数、也不是合数？ （ 李同贤）人们在研究正整数的分类时，按它的正约数个数的多少，作出了如下分类: 只有一个正约数的正整数。这样的正整数只有一个，那就

103、是“ 1 ” ； 除 1 和自身两个正约数外，没有其它正约数的正整数（ 叫做质数） ； 除 1 和自身外，还有其它正约数的正整数（ 叫做合数） 。（ 如 图 1 -1 1 ）图 1 -1 1如果将1 视为质数，那么将合数分解为质因数的积时将带来混乱。例如，将合数1 8 分解质因数的结果就不是唯一的，而可以是下面的许多种结果:1 8 = 2 X 3 X 31 8 = 1 X 2 X 3 X 31 8 = 1 X 1 X 2 X 3 X 3一个合数分解质因数忖，如果有许多结果，那么将给分解本身以及分解的目的求几个不同正整数的最大公约数和最小公倍数带来混乱。如 果 将 1视为令数，那么把这个合数分解

104、质因数时，永远实现不了 “ 分解”的目标，也就是永远达不 到 “ 把这个数表示为更小的正因数相乘的积”的目的。因此，人们规定：“ 1 ”既不是质数，也不是合数。A 2 - 3 3 怎样判定一个数是不是质数？怎样把一个合数分解质因数？【 质数】 【 素数】 一个大于1 的整数，如果除1 和本身外， 不能被其它正整数整除， 这个数就称为“ 质数” ，又 称 “ 素数” 。如 2 , 3 , 5 , 7,都是质数。【 质数的判定方法】为了判定一个数是不是质数，可以用下面的方法。一、试除法。如 4 7 是不是质数？可以根据质数的定义，看它是不是除1 和 4 7 夕 卜 ，不再有其它的约数。为此，可以分

105、别用质数2 , 3 , 5 , 7,去试除4 7 , 看看能不能整除它。一般地，为了判定自然数N是不是质数，可以从小到大分别用质数四，凸 ，P “ 去试除N。如果有p “ IN,则 N是合数；如果p ”必 ， ， P ” 都不能整除M 则可断定N是质数。在上面的例子中，2 , 3 , 5 , 7都不能整除4 7 , 7 V 4 7 因此可以断定：4 7 是质数。二、查质数表。公元前3 0 0 年左右，爱拉托斯散用“ 筛法”制定了最早的质数表。1 9 0 9 年 莱 茉 ( D . N . L eh m er ) 用改进的筛法编制了不超过。 的质数表。1 9 7 7 年，查基尔( D . B.

106、Z a g i er ) 用电子计算机编制了不超过5 X 1 07的质数表。有了质数表，要判断一个数是不是质数，可以去查范围包括了这个数的质数表。如果这个数出现在表内，则它是质数；如果表内找不到它，则它是合数。书后所附的表就是1 0 0 0 以内的质数表。( 参看本书 P . )公元前3 0 0 年，欧几里得在它的 几何原本第九卷中用反证法巧妙地证明了 “ 质数有无穷多个” 。即“ 质数没有最大的” 。 大质数的检验是十分困难的。 截至本世纪初， 人们已经知道的最大的质数是2 2 59 M9 5 1-1,它有7 8 0 多万位，是德国的一位眼科医生、数学爱好者马丁 诺瓦克发现的。关于质数在自然

107、数列中的分布，有许多著名的猜想。其中大多数至今尚未证明或证伪。参考书口 中国大百科全书，数学，中国大百科全书出版社19 8 8 年 I I 月版。P .62 8 2 中学数学教师手册，上海教育出版社19 8 6年 5 月版，P . 1-32 3【 质因数】【 质约数】【 素因数】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的“ 质因数” 。也 叫 “ 质约数”或 “ 素因数” 。如 30 = 2 X 3X 5, 2 , 3, 5 都是30 的质因数。【 分解质因数】把个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如，把 30 分解质因数，就是把30

108、表示为2 X 3 X 5 。【 分解质因数的方法】把个合数分解质因数，先用一个能整除这个合数的质数( 通常从较小的质数开始) 去除该合数。如果得出的商是质数，就把该合数写成除数与商相乘的形式；如果得出的商是合数，就照上面的方法继续做下去，直到得出的商是质数为止。然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。上述过程常用短除式表示。如将9 0 分解质因数:21903 政3l_15_5.90=2 X 3 X 3 X 5=2 X 32 X5分解质因数也可以用书后所附的“ 质因数分解表” 。（ 参看本书P. ）A 2 - 3 4怎 样 证 明 “ 质数没有最大的”？为了证明“ 质数没有最大的” ，即 质数的

109、序列是无限的 ，可以这样证明：“ 对于任意给定的个质数，总还有比它更大的质数” 。证明如下：设 P 是任意给定的一个质数。按如下算式构造另一个数：卜2 3 p + l ,则此数必大于p。如果它是质数，则表明存在大于p 的质数。如果它是合数，则必有质因数p 。因为p 不可能是2, 3 , ， p,因此p 只能是大于p 的质数，所以也证明了大于p的质数的存在。这就是说，如果p 是一个质数，那么总还有比p 更大的质数。证完。A 2 -3 5 “ 质数” 、“ 质因数”与 “ 互质数” 、“ 互质”有什么不同？说“ 8和9是互质数”或 者“ 8和9都是质数”对吗？ （ 蒋克丽等）“ 质数”是一种大于1

110、 的自然数（ 或大于1的整数） ，它只有1和本身两个约数。“ 质因数”是针对某个合数而言。如果合数的某个因数又是质数，则称之为这个合数的质因数。“ 互质数”是针对两个自然数而言。“ 互质”是两个自然数之间的种关系。如果两个自然数的公约数只有1 , 则称这两个数“ 互质” ，或称它们是“ 互质数” 。例如，因为8 和 9 的公约数只有1 , 所 以 “ 8 和 9 互质” ，或者说“ 8 和 9 是互质数” 。但不能说“ 8和 9 都是质数” 。因为8 不是质数，9 也不是质数。它们都是合数。要准确理解和规范使用数学名词和数学语言。A 2 - 3 6怎样求两个数的最大公约数与最小公倍数？【 最大

111、公约数】 在儿个自然数所有的公约数中，最大的 个叫做这几个数的最大公约数。 。和 。的最大公约数记作（ a, 6） 。例8 和 12的公约数有1、2、4 , 其中最大的一个是4 , 所以8 和 12的最大公约数是4 , 记 作 （ 8,12） =4。【 求最大公约数的方法】（ 1）公解质因数法把每个数公别分解质因数，公有的质因数相乘的积，就是这几个数的最大公约数。例 求 72和 84的最大公约数。72=2X2X2X3X384=2X2X3X77 2 和 8 4的公有的质因数有2 、2 、3。所以，7 2 和 8 4 的最大公约数是2 X 2 X 3 = 1 2 , 即 ( 7 2 , 8 4)

112、= 12 ( 2 ) 短除法。用这几个数公有的质因数分别去除这几个数，直到得出的几个商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，积就是这几个数的最大公约数。例 求 2 4和 60 的最大公约数。2 | 2 4 6 0用公有质因数2 去除“ 12 3 0用公有质因数2 去除31 6 1 5 用公有质因数3 去除2 5 . 2 和5互质，不必再除把所有的除数乘起来，得 到 ( 2 4, 60 ) = 2 X 2 X 3 T 2 。事实上，求最大公约数的这两种方法根据的原理相同，不同的仅仅是解算过程的书写形式。“ 分解质因数法”要求先将每个数分别分解质因数，再从中找出公有的质因数。而短除法的每步演算都直接

113、找出了一个公有的质因数。( 3 ) 辗转相除法先用较小的数去除较大的数，写出所得的商和余数( 第一个余数) ；再用第一个余数去除除数，写出商和余数( 第二个余数) ；用第二个余数去除第一个余数，写出商和第三个余数：这样继续下去，直到余数是0为止，最后一个除数( 也就是不等于0的最后一个余数) 就是原来两个数的最大公约数。例 求 1 2 0 和 1 3 6的最大公约数。7 1 2 01 1 281 3 61 2 0I 61 601 3 6除 以 1 2 0 , 商 1 余 1 6； 1 2 0 除 以 1 6, 商 7余 8；1 6除以8 , 商 2余数0 。2因为最后一个除数是8 , 所 以

114、1 2 0 和 1 3 6的最大公约数是8。即 ( 1 2 0 , 1 3 6) =8“ 辗转相除法”( 又叫欧几里得算法) 在找两个较大的自然数的最大公约数时常常用到。( 4 ) 口算法。用于以下两种情况。如果两个数是互质数，那么它们的最大公约数是1 。如 8 和 1 7 的最大公约数是1 。在两个数中，如果较小的数是较大的数的约数，那么，较小的数就是这两个数的最大公约数。例如 因为6 是 3 0 的约数，因此6 是 6 和 3 0 的最大公约数。【 最小公倍数】在几个自然数所有的公倍数中，0以外最小的一个，叫做它们的最小公倍数。a和%的最小公倍数是N记作M， = N 。例如4 的倍数有 4

115、 、8、1 2 、1 6、2 0 、2 4 、2 8、3 2 、3 6、. . . . 。6 的倍数有 6、1 2 、1 8、2 4 、3 0 、3 6、4 2 、4 8、. . .。可见，1 2 、2 4 、3 6、都是4和 6 的公倍数，其 中 1 2 是最小的，因此，4和 6 的最小公倍数是1 2 ,记作 4 , 6 =1 2 ,【 求最小公倍数的方法】( 1 ) 分解质因数法，先把儿个自然数分别分解质因数，然后在所有的质因数中，选取指数最大的数相乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数。例 求 1 5 和 1 8的最小公倍数。因为1 5 =3 X 5 1 8=2 X 3 ?因 此 1 5

116、和 1 8的最小公倍数是2 X 3 2 X 5 =90 。即 1 5 , 网 =90 。( 2 ) 短除法，用任何两个数公有的质因数去除这几个数，不能整除时、 就把原数移下来，直到得出的一排数两两互质为止，然后把这些数和除数连乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数。例 求 1 2 、1 8和 2 0 的最小公倍数。2 1 8 2 0 用公约数2除;2 | 6 9 1 0 6 和 1 0 还有公约数2 , 再用2除这两个数，把 9 移下来；3 | 3 9 5 3 和 9 还有公约数3,再用3除这两个数，把 5 移下来。1 3 5 1 、3 、5每两个数都是互质数，不必再除。所以 1 2 , 1 8

117、, 2 0 =2 X 2 X 3 X 3 X 5 =1 80 ( 3 ) 口算法。用于以下情况：如果在两个数中，较大的数是较小的数的倍数，那么，较大的数就是这两个数的最小公倍数。例6 和 4 8 的最小公倍数就是4 8。如果两个数互质，那么，这两个数相乘的积就是它们的最小公倍数。例5和 9 的最小公倍数就是5 X 9=4 5 。( 4 ) 翻倍法。把两个数中较大的数扩大2 倍，如果所得的数是另一个数的倍数，那么它就是这两个数的最小公倍数，如果不是另一个数的倍数，再把较大的数扩大3 倍、4倍、，直到求出最小公倍数为止。例 求 6 和 8 的最小公倍数。把较大数8 依次扩大2 、3 、4 、倍，8

118、 扩大3 倍时得2 4 , 正好是6 的倍数，所以2 4 是 6 和 8 的最小公倍数。A 2 - 3 7 为什么两个数的公有质因数的积就是这两个数的最大公约数？ ( 蒋宝红)可以这样理解：如果我们知道了一个数的所有的质因数，那么其中每一个质因数、每两个质因数的积、每三个质因数的积、都是这个数的约数。其中，最大的约数就是这个数的所有质因数的积，即这个数本身。同样，我们可以根据两个数公有的质因数推算出“ 这两个数所有的公约数” ：它们的每一个公有的质因数、每两个公有的质因数的积、每三个公有的质因数的积、都是这两个数的公约数。其中最大的公约数当然就是这两个数的所有公有的质因数的积。A 2 -3 8

119、 “ 运算性质” 、“ 运算定律”和 “ 运算法则”有什么区别和联系?【 运算性质】定义在某个集合上的运算所具有的性质，叫做这种运算的“ 运算性质” 。运算性质是人们对大量的计算实践经验所作的理论概括。【 运算 定 律( O p e r a ti o na l r u le ) 基本的、可以推导出其它运算性质的那些运算性质叫做“ 运算定律” 。如加法交换律 a + b -b + a加法结合律 ( a + / ? ) + c = a + ( b + c )乘法交换律 ah = ha乘法结合律 ( ab)c = a ( be)乘法分配律 ( a + b)c - ac + be就是算术运算的基本的运

120、算性质，即运算定律。其它运算性质都可以根据这些运算定律以及运算的定义推出。如减法的运算性质。a - ( b c) = a b + c可以证明如下：因为( a - Z ? + c ) + S - c )= ( a- b) + c + (b -c ) 加法结合律= ( a- b) + b 减法的定义= a 减法的定义所 以a - ( b - c ) = a -h + c 减法的定义为了使小学生理解上述减法运算性质的正确性，可以借助他们已有的生活经验：” 多减了，要加上一” 。和a-S-c )比较，“一。多减了c,所以要把c加上。即a-( 6-c ) = a - 6 + c。同样，根据生活经验“ 少

121、减了，要再减去” ，得a -( b + c ) - a -b -cIII( 比a - S + c )少减了 c )【 运算 法 则( O p e r a ti o na l me th o d ) 完成运算，得出结果的方法、程序或途径通常叫做“ 运算法则” ，实质上也就是“ 运算方法” 。运算法则通常将所要求的操作程序表述为文本，并且分成几点表述。或者按化归的思想，将当前的运算归结为学生早先已掌握的运算。如 笔算“ 一位数乘多位数”的法则是： “ 从个位起用一位数依次去乘多位数各位上的数；乘到哪一位,积的末位就和哪 位对齐； 哪一位乘得的积满几十， 就向前一位进几。 ” 这个法则的实质就是将当

122、前的“ 一位数乘多位数”归结为“ 表内乘法【 算理】 运算法则的理论依据叫做算理。第 三 节 量 与 计 量A 3-1 “ 量”和 “ 数”有什么区别和联系？【 量】 【 计量】“ 量”也是数学中的一个基本概念。量（ l id n g）的主要特征就在于它可以量（ l iS n g） .也就是取一个同类量做标准时，可以比较出大小来。这种把要测定的量和一个作为标准的同类量进行比较的过程叫做“ 计量” 。计量时用来作为标准的同类量叫做“ 计量单位” 。如长短、轻重、快慢等都是量，这些量就是通常所说的长度、重量和速度。【 量数】作为计量的结果得到的数叫做“ 量数”【 计量单位】用来作为计量标准的量叫做

123、“ 计量单位” 。【 主单位】【 辅助单位】【 倍数单位】【 分数单位】在实际计量中，由于计量的需要，每一类量都有大小不同的计量单位，其中一个为主的单位叫做“ 主单位”（ 或 叫 “ 基本单位” ） 。其他的单位是主单位的若千倍或若干分之一，叫 做 “ 辅助单位”（ 包 括 “ 倍数单位”和 “ 分数单位” ） 。例如：计量长度的主单位是“ 米二比米大的单位有十米、百米、千米等，它们都是米的倍数单位。比米小的单位有分米、厘米、毫米等，它们都是米的分数单位。有了计量单位，我们就可以通过某个量的计量，得到一个数，它表示被量的量是计量单位的多少倍。用这个数联同计量单位来表示这个量的大小。用数的运算以

124、及计量单位的变换，进行量的运算。A 3 - 2 什么是连续量和不连续量？【 连续量】【 不连续量】【 离散量】 量可以分为连续量和不连续量两种。如苹果的个数、学生的人数、图书的册数等都是“ 不连续量” ，也可称做“ 离散量” 。对于不连续量，我们可以直接用数数的方法来计量。因为它从一种程度过渡到另一种程度是“ 跳跃地”变化的。我们可以用自然数来表示它的各种程度。不能直接用数数的方法来计量的量叫做“ 连续量” 。如长度、面积、体积、重量、速度、时间等都是连续量。连续量的特点是：它从一种程度过渡到另一种程度可以是“ 连续地”变化的。为了表示它的各种程度。用自然数是不够的。A 3 -3 “ 量数”与

125、 “ 名数”有什么不同？【 名数】计量任何一种量都要有相应的计量单位。有了计量单位，我们就可以通过某个量的计量,得到一个数。这个数叫做这个量的“ 量数” ，它表示被量的量是计量单位的多少倍。因此，用量数和计量单位就可以表示被量的量的大小。量数与计量单位合起来，被称之为“ 名数如用米做长度单位来量一个人的身高，得“ 1.78米” 。这里的“ 1.78”就是量数；“ 米”是计量单位。它们合 起 来“ 1.78米”就是名数。（ 量数） （ 计量单位）I II II I1.78 米-Y- （ 名数）A 3 -4 “ 单名数” 、“ 复名数” 、“ 同名数”与 “ 异名数”有什么不同？【 单名数】【 复

126、名数】 只含有一个单位名称的名数叫做“ 单名数” 。例如：5米，20平方米，3小时等都是单名数。含有两个或两个以上同类单位名称的名数叫做“ 复名数” 。例如：8米3厘米，4分29秒等都是复名数。单名数可以化为复名数；复名数也可以化为单名数。如马拉松跑全程的长度是42.195千米=42千 米195米【 同名数】【 异名数】计量单位相同的名数叫做“ 同名数” ；计量单位不同的名数叫做“ 异名数同名数加、减时，把量数相加、减，计量单位名称不变。同类的异名数加、减时，先要化为同名数,再加、减。如42 千米+195 米=42000 米+195 米=42195 米A 3 -5 直接计量法”与 “ 间接计量

127、法”有什么区别和联系?【 直接计量法】把要计量的量直接同计量单位进行比较而得出量数的方法叫做直接计量法。例如：用米尺量布，用数方格的方法计量面积等都是直接计量。但直接计量并不是任何情况下都能做到的。如计量地球与月球之间的距离，用米尺直接去量是不可能的。但我们可以用激光由地球射向月球，并且从月球表面反射回地球。计量一个来回所用的时间f；再设法量出激光的传播速度V。它们的乘积Vf就是地、月之间距离的两倍。直接用面积单位去量圆的面积也同样是做不到的。我们只能用对应的长度单位去量圆的直径或半径,再按一定的公式计算圆面积。也就是说，必须用间接计量法。【 间接计量法】 先计量其它有关的量，然后通过计算得到

128、所需的计量结果，这样的计量方法叫做“ 间接计量法如：先量长方形的长和宽，然后用公式计算长方形的面积，就是面积的间接计算法。小学生学习长方形的面积公式是从直接计量法过渡到间接计量法的开 始。当他们面对长5cm、宽3cm的长方形（ 图1-12） ,力求用平方厘米小方 图1.12块拼出这个长方形时，或者将长方形分成若干个平方厘米小方格然后数方格的个数时，他们用的是计量面积的直接计量法。当他们意识到：每行5 个小方格（ 或方块） 、共有3 行时，求 方 格 （ 方块）总数的最简便的方法是用乘法；并且要知道这两点，不定需要将长方形分成厘米方格（ 或用方块来拼） ，只需用相应的长度单位去量一量长方形的长和

129、宽就行了。这样，学生就“ 自然地”由长方形面积的直接计量法过渡到间接计量法。A 3 - 6我国古代所说的“ 度” 、“ 量” 、“ 衡”各指什么？在我国古代，计量长、短称为“ 度 ” ；计量容积称为“ 量” ；计量轻重称为“ 衡 : 所 以 ，“ 度量衡”是计量长度、容积和重量的统称。后 来 “ 度量衡”被用来泛指各种量的计量。A 3 - 7什 么 是 “ 公制”？ “ 米、千克和升各是如何定义的？【 公制】【 米制】“ 公制”是 “ 国际公制”的简称。也 叫 “ 米制” 。它是法国在1 8 世纪首创的，采用当时认为最稳定而不变的自然物地球子午线的长度作为标准，以通过巴黎子午线的四千万分之一作

130、为长度单位，定 名 “ 米” 。1 8 7 5 年 1 7 个国家的代表在巴黎开会议定，将这种计量制度定为国际通用的计量制度。【 米】 【 千克】 【 升】 长度的主单位是米，标准米尺用钻钺合金制成，在 0 时米尺上两端的刻线之间的距离为一米。质量的主单位是千克，标准千克的祛码是用伯绿合金制成的圆柱体，它在纬度4 5 的海平面上的重量为1 千克。 容量的主单位是升， 一升等于一千克的纯水在标准大气压下4 时的体积。 1 9 5 9年 6月我国国务院发布命令，确定公制为我国当时基本的计量制度。【 米的定义】1 7 9 5 年法国人提出的“ 米”的最初的定义是： “ 通过巴黎的地球子午线的四千万分

131、之一叫做一米。 ”科学技术的发展，要求进一步提高米的定义的精确度。1 9 6 0 年第十一届国际权度大会作出决议；“ 米的长度等于氮- 8 6 原子在真空中在2 PH， 和 5 d $能级之间跃迁时所发射的橙色光波波长的1 6 5 0 7 6 3 . 7 3 倍。 ”1 9 8 3 年 第 1 7 届国际计量大会正式通过米的定义：一米是光在- - - -5- - - - - 秒的时间间隔内在真空中299792458行程的长度。A 3 -8 国际单位制”与 “ 法定计量单位”各指什么？【 国际单位制】 国际单位制（ S I）是由公制发展而来的更完善、更科学的计量制度，它选择了七个属于不同学科的量

132、作为基本量。对每个基本量的单位给予严格定义，以之作为国际单位制的基本单位。其它量的单位则通过选定的方程式根据基本单位来定义。国际单位制的倍数单位和分数单位，都山十进制国际制词冠加在国际制单位之前构成。采用国际单位制，可以使科学、技术、生产、贸易和日常生活等方面所用的一切计量单位统一在唯- 的单位制中，实现计量制度在全世界范围的全面统一。联合国教科文组织已通过决议，号召联合国成员国采用国际单位制。我国国务院1 9 8 4 年决定；推行以国际单位制为基础的法定计量单位，1 9 9 0 年完成向法定计量单位的过渡。【 法定计量单位】由国家以法令形式规定允许使用的计量单位叫做“ 法定计量单位” 。我国

133、新的法定计量单位包括：国际单位制的基本单位；国际单位制的辅助单位；国际单位制中具有专门名称的导出单位；国家选定的非国际单位制单位；由以上单位构成的组合形式的单位；由词头和以上单位所构成的十进倍数和分数单位.表 1国际单位制的基本单位量的名称单位名称单位符号长度米m质量千克，（ 公斤）kg时间秒s电流安 培A热力学温度开你文K物 质 的 量摩 你 mol发 光 强 度坎 德拉cd表 2国际单位制的辅助单位量的名称单位名称单位符号平面角弧 度rad立体角球面度sr表 3国际单位制中具有专门名称的导出单位量的名称单位名称单位符号其它表示式例频率赫 兹Hzs-1力；重力牛 顿Nkg , m/s2压力，

134、压强；应力帕 斯卡PaN/m2能量；功；热焦 耳JN , m功率；辐射通量瓦 特WJ/s电荷量库 仑CAs电位；电压；电动势伏 特VW/A电 容法 拉FC/V电 阻欧 姆QV/A电 导西 门子SA/V磁通量韦 伯WbV/s磁通量密度，磁感应强度特 斯拉TWb/m2电 感亨 利HWb/A摄氏温度摄氏度C光通量流 明Imcd , sr光照度勒 克斯lxIm/m2放射性活度贝可 勒尔Bqs-1吸收剂量戈 瑞GyJ/kg剂量当量希 沃特SvJ/kg表 4国家选定的非国际单位制单位量的名称单位名称单位符号换算关系和说明分min1 min=60s时间 小 时hlh=60min=3600s天 , (EI)d

135、ld=24h=86400s 角 秒( )1 = ( JI/648000) rad(“ 为圆周率)平面角 角 分( )r =60 = ( n/10800) rad度(0 )1 =60z = ( n/180) rad旋转速度转/ 分r/minlr/min=(l/60)s 1长度海里n mileIn mile=1852m（ 只用于航程）速度节knlkn=ln mile/h=( 1852/3600)m/s( 只用于航行)质量吨原子质量单位tHlt=103kg1 u =1.6605655 X1(F27kg体积升L(DlL=ldm3=10 3m3能电子伏eV1 eV 1.6021892 X 10l9J级差

136、分贝dB线密度特 克斯tex1 tex= 1 g/km表 5用于构成十进倍数和分数单位的词头所表示的因数词头名称词头符号所表示的因数词头名称词头符号1018艾 可萨E10 1分d1015拍 它P10-2厘C1012太 拉T10-3毫m109吉 咖G10 6微u106兆M10-9纳 诺nIO3千k10 12皮 可PIO2百h10-15飞 母托f10,十da1()78阿 托a北师大P331下一P332上A 3 -9 “ 基本单位”与 “ 导出单位”各指什么?【 基本单位】【 导出单位】在一种单位制中，基本量的主单位称为“ 基本单位” 。它是构成单位制中其它单位的基础。在选定了基本单位之后，由基本单

137、位以相乘或相除的形式构成的单位称为“ 导出单位” 。如 1 8 世纪的“ 国际公制” ，是以长度、质量和时间作为基本量，这些基本量的主单位米、千克和秒都 是 “ 基本单位” ，这种计量制度也称“ 米 千 克 秒制: 在这种计量制中，面积的单位是米 ad = beb cl比例的意义和等式的基本性质将等比式化为等积式， 达到解比例的目的A 4-9 “ 成正比例” 、“ 成反比例”与 “ 不成比例”有什么不同？【 成正比例的量】【 正比例关系】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（ 也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。如

138、果用字母x和y表示两种相关联的量，用左表示它们相对应的两个数的比值（ 一定） ，正比例关系可以用下面的式子表示：=k （ 一定）x判断两种量是不是成正比例的步骤：（ 1 ）看这两种量是不是相关联，即其中的一种量是不是随着另一种量的变化而变化。（ 2 ）看这两种量相对应的两个数的比值（ 商）是不是一定。【 成反比例的量】【 反比例关系】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用攵表示它们相对应的两个数的积，那么，反比例关系可以用下面的式子表示xxy = k （ 一

139、定）判断两种量是不是成反比例的步骤：（ 1 ）看这两种量是不是相关联，即其中的一种量是不是随着另一种量的变化而变化。（ 2 ）看这两种量中，相对应的两个数的积是不是一定。【 正比例关系和反比例关系的相同点和不同点】正比例关系反比例关系相同点两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。不同点变化的方向相同， 即一种量随着另一种量扩大（ 缩小）而 扩 大 （ 缩小） .变化的方向不同，即一种量随着另一种量扩大（ 缩小）反而缩 小 （ 扩大） 。相对应的两个数的比值（ 商）一定。相对应的两个数的积一定。“ 两种相关联的量”实质上是存在函数关系的两个变量。“ 正比例关系”与 “ 反比例关系”仅仅是两种特殊的函数关系。应该通过具体事例使小学生认识：两种相关联的量可能成正比例，可能成反比例，也可能不成比例。这取决于它们相对应的两个数X、y究竟是商工= k （ 一定） ，还 是 积 盯 = （ 一定） ,x还是商和积都不是定值。/ 寸应的两个数的商一定成正比例两种相关联的量，对应的两个数的积一定成反比例对应的两个数的积和商都不是定值不成比例