课时课时39 解答题（三）题型 解答题（三）题型 中考题型攻略 题型解读题型解读 解答题（三）是广东中考数学试卷中的最后一种题型，也是难度最大的一种题型，通常是由三道包含多个知识点的几何与代数综合题组成. 解此类问题要求学生具备扎实的基础知识和熟练的解题技能. 通过对广东中考命题规律的分析，我们发现解答题（三）的常见题型有一次函数与反比例函数综合题、二次函数综合题、圆的综合题、三角形综合题、四边形综合题等类型. 在复习备考时，需要同学们针对各种类型的综合题进行强化训练，不断提高自己分析与解决问题的能力，积累做题经验，争取在本大题上取得最为理想的成绩. 分类突破分类突破考点类型考点类型1 一次函数与反比例函数综合题 一次函数与反比例函数综合题巩固训练巩固训练1. （2016茂名）如图4-39-1，一次函数y=x+b的图象与反比例函数 （k为常数，k≠0）的图象交于点A（-1，4）和点B（a，1）. （1）求反比例函数的表达式和a，b的值；（2）若A，O两点关于直线l对称，请连接AO，并求出直线l与线段AO的交点坐标. 解：（解：（1 1））∵∵点点A A（（-1-1，，4 4）在反比例函数）在反比例函数 （（k k为常数，为常数，k k≠0≠0）的图象上，）的图象上，∴∴k k=-1=-1××4=-4.4=-4.∴∴反比例函数解析式为反比例函数解析式为把点把点A A（（-1-1，，4 4），），B B（（a a，，1 1）分别代入）分别代入y y= =x x+ +b b中，得中，得 （（2 2）连接）连接AOAO，设线段，设线段AOAO与直线与直线l l相交于点相交于点M M，如答图，如答图4-39-14-39-1所所示示. . ∵∵A A，，O O两点关于直线两点关于直线l l对称，对称，∴∴点点M M为线段为线段OAOA的中点的中点. .∵∵点点A A（（-1-1，，4 4），），O O（（0 0，，0 0），），∴∴点点M M的坐标为的坐标为∴∴直线直线l l与线段与线段AOAO的交点坐标为的交点坐标为 2. （2016重庆）如图4-39-2，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图形与反比例函数 （k≠0）的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH= ，点B的坐标为（m，-2）. （1）求△AHO的周长；（2）求该反比例函数和一次函数的解析式. 解：（解：（1 1）由）由OHOH=3=3，，tan∠tan∠AOHAOH= = ，得，得AHAH=4=4，即，即A A（（-4-4，，3 3））. . 由勾股定理，得由勾股定理，得△△AHOAHO的周长的周长= =AOAO+ +AHAH+ +OHOH=3+4+5=12. =3+4+5=12. （（2 2）将）将A A点坐标代入点坐标代入 ，得，得k k=-4=-4××3=-12. 3=-12. ∴∴反比例函数的解析式为反比例函数的解析式为 当当y y=-2=-2时，时， ，解得，解得x x=6=6，即，即B B（（6 6，，-2-2））. . 将将A A，，B B两点坐标代入两点坐标代入y y= =axax+ +b b，得，得 3. （2016泰安）如图4-39-3，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的负半轴上，点D，M分别在边AB，OA上，且AD=2DB，AM=2MO，一次函数y=kx+b的图象过点D和M，反比例函数的图象经过点D，与BC的交点为N. （1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标. 解：（解：（1 1））∵∵正方形正方形OABCOABC的顶点的顶点C C（（0 0，，3 3），），∴∴OAOA= =ABAB= =BCBC= =OCOC=3=3，，∠∠OABOAB=∠=∠B B=∠=∠BCOBCO=90=90°°. .∵∵ADAD=2=2DBDB，，∴∴ADAD= = ABAB=2.=2.∴∴D D（（-3-3，，2 2））. .把把D D坐标代入坐标代入 , ,得得m m=-6.=-6.∴∴反比例函数的解析式为反比例函数的解析式为 . .∵∵AMAM=2=2MOMO，，∴∴MOMO= = OAOA=1=1，即，即M M（（-1-1，，0 0））. .把把M M与与D D的坐标代入的坐标代入y y= =kxkx+ +b b中，得中，得解得解得k k= =b b=-1.=-1.则一次函数的解析式为则一次函数的解析式为y y=-=-x x-1.-1. （（2 2）把）把y y=3=3代入代入 ，得，得x x=-2.=-2.∴∴N N（（-2-2，，3 3），即），即NCNC=2.=2.设设P P（（x x，，y y），），∵△∵△OPMOPM的面积与四边形的面积与四边形OMNCOMNC的面积相等，的面积相等，解得解得y y= =±±9.9.当当y y=9=9时，时，x x=-10=-10，当，当y y=-9=-9时，时，x x=8.=8.则点则点P P坐标为（坐标为（-10-10，，9 9）或（）或（8 8，，-9-9））. . 4. （2016乐山）如图4-39-4，反比例函数 与一次函数y=ax+b的图象交于点A（2，2），（1）求这两个函数的解析式；（2）将一次函数y=ax+b的图象沿y轴向下平移m个单位，使平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，求m的值. 解：（解：（1 1））∵∵A A（（2 2，，2 2）在反比例函数）在反比例函数 的图象上，的图象上，∴∴k k=4. =4. ∴∴反比例函数的解析式为反比例函数的解析式为 . . 又又∵∵点点 在反比例函数在反比例函数 的图象上，的图象上，∴∴ n n=4=4，解得，解得n n=8.=8.即点即点B B的坐标为的坐标为B B . . 由由A A（（2 2，，2 2），），B B 在一次函数在一次函数y y= =axax+ +b b的图象上，得的图象上，得∴∴一次函数的解析式为一次函数的解析式为y y=-4=-4x x+10. +10. （（2 2）将直线）将直线y y=-4=-4x x+10+10向下平移向下平移m m个单位得直线的解析式为个单位得直线的解析式为y y=-4=-4x x+10-+10-m m，，∵∵直线直线y y=-4=-4x x+10-+10-m m与双曲线与双曲线 有且只有一个交点，有且只有一个交点，令令-4-4x x+10-+10-m m= = ，得，得4 4x x2 2+ +（（m m-10-10））x x+4=0.+4=0.∴Δ=∴Δ=（（m m-10-10））2 2-64=0.-64=0.解得解得m m=2=2或或m m=18. =18. 考点类型考点类型2 二次函数综合题 二次函数综合题巩固训练巩固训练1. （2016广州）已知抛物线y=mx2+（1-2m）x+1-3m与x轴相交于不同的两点A，B（1）求m的取值范围；（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；（3）当 ＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值. （（1 1）解：当）解：当m m=0=0时，函数为一次函数，不符合题意，舍去；时，函数为一次函数，不符合题意，舍去；当当m m≠0≠0时，时，∵∵抛物线抛物线y y= =mxmx2 2+ +（（1-21-2m m））x x+1-3+1-3m m与与x x轴相交于不同的两点轴相交于不同的两点A A，，B B，，∴∴Δ=Δ=（（1-21-2m m））2 2-4-4××m m××（（1-31-3m m））= =（（1-41-4m m））2 2＞＞0.0.∴1-4∴1-4m m≠0.∴≠0.∴m m≠ .≠ .（（2 2）证明：）证明：∵∵抛物线抛物线y y= =mxmx2 2+ +（（1-21-2m m））x x+1-3+1-3m m，，∴∴y y= =m m（（x x2 2-2-2x x-3-3））+ +x x+1.+1.抛物线过定点说明这一点的抛物线过定点说明这一点的y y与与m m无关，无关，显然当显然当x x2 2-2-2x x-3=0-3=0时，时，y y与与m m无关无关. .解得解得x x=3=3或或x x=-1.=-1.当当x x=3=3时，时，y y=4=4，定点坐标为（，定点坐标为（3 3，，4 4）；）；当当x x=-1=-1时，时，y y=0=0，定点坐标为（，定点坐标为（-1-1，，0 0））. .∵∵点点P P不在坐标轴上，不在坐标轴上，∴∴P P（（3 3，，4 4））. . 2. （2016梅州）如图4-39-5，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，-3），动点P在抛物线上. （1）b=________，c=________，点B的坐标为___________；（直接填写结果）（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由. -2-2-3-3（（-1-1，，0 0）） 解：存在解：存在. . 如答图如答图4-39-24-39-2所示所示. .①①当当∠∠ACPACP1 1=90=90°°时，时，∵∵A A（（3,03,0））, ,设设ACAC的解析式为的解析式为y y= =kxkx-3,-3,将点将点A A的坐标代入的坐标代入, ,得得3 3k k-3=0.-3=0.解得解得k k=1.=1.∴∴直线直线ACAC的解析式为的解析式为y y= =x x-3. -3. ∴∴直线直线CPCP1 1的解析式为的解析式为y y=-=-x x-3. -3. 将将y y=-=-x x-3-3与与y y= =x x2 2-2-2x x-3-3联立联立, ,解得解得x x1 1=1=1，，x x2 2=0=0（不合题意，舍去）（不合题意，舍去）. .∴∴点点P P1 1的坐标为（的坐标为（1 1，，-4-4））. . ②②当当∠∠P P2 2ACAC=90=90°°时，时， 设设APAP2 2的解析式为的解析式为y y=-=-x x+ +b b，，将点将点A A的坐标代入，得的坐标代入，得-3+-3+b b=0.=0.解得解得b b=3. =3. ∴∴直线直线APAP2 2的解析式为的解析式为y y=-=-x x+3. +3. 将将y y=-=-x x+3+3与与y y= =x x2 2-2-2x x-3-3联立联立, ,解得解得x x1 1=-2=-2，，x x2 2=3=3（不合题意，舍去）（不合题意，舍去）. .∴∴点点P P2 2的坐标为（的坐标为（-2-2，，5 5））. . 综上所述，点综上所述，点P P的坐标是（的坐标是（1 1，，-4-4）或（）或（-2-2，，5 5））. . 3. （2016茂名）如图4-39-6，抛物线y=-x2+bx+c经过A（-1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD. （1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F，M，N，G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标. 解：（解：（1 1））∵∵抛物线抛物线y y=-=-x x2 2+ +bxbx+ +c c经过经过A A（（-1-1，，0 0），），B B（（3 3，，0 0）两）两点，点，∴∴抛物线的函数表达式为抛物线的函数表达式为y y=-=-x x2 2+2+2x x+3. +3. （（2 2）如答图）如答图4-39-34-39-3，连接，连接PCPC，，PEPE，，对称轴对称轴 ，，当当x x=1=1时，时，y y=4.=4.∴∴点点D D的坐标为（的坐标为（1 1，，4 4））. . 设直线设直线BDBD的解析式为的解析式为y y= =mxmx+ +n n，，∴∴直线直线BDBD的解析式为的解析式为y y=-2=-2x x+6. +6. 设点设点P P的坐标为（的坐标为（x x，，-2-2x x+6+6），），则则PCPC2 2= =x x2 2+ +（（3+23+2x x-6-6））2 2，，PEPE2 2= =（（x x-1-1））2 2+ +（（-2-2x x+6+6））2 2. . ∵∵PCPC= =PEPE，，∴∴x x2 2+ +（（3+23+2x x-6-6））2 2= =（（x x-1-1））2 2+ +（（-2-2x x+6+6））2 2. . 解得解得x x=2. =2. 则则y y=-2=-2××2+6=2. 2+6=2. ∴∴点点P P的坐标为（的坐标为（2 2，，2 2））. . （（3 3）如答图）如答图4-39-44-39-4，设点，设点M M的坐标为（的坐标为（a a，，0 0），），则点则点G G的坐标为（的坐标为（a a，，- -a a2 2+2+2a a+3+3））. . ∵∵以以F F，，M M，，N N，，G G为顶点的四边形是正方形，为顶点的四边形是正方形，∴∴FMFM= =MGMG，即，即|2-|2-a a|=|-|=|-a a2 2+2+2a a+3|. +3|. 当当2-2-a a=-=-a a2 2+2+2a a+3+3时，即时，即a a2 2-3-3a a-1=0. -1=0. 当当2-2-a a=-=-（（- -a a2 2+2+2a a+3+3）时，即）时，即a a2 2- -a a-5=0. -5=0. 4. （2016滨州）如图4-39-7，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C. （1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（解：（1 1）令）令y y=0,=0,得得 ∴∴x x2 2+2+2x x-8=0.-8=0.解得解得x x=-4=-4或或x x=2.=2.∴∴点点A A的坐标为（的坐标为（2 2，，0 0））. .点点B B的坐标为（的坐标为（-4-4，，0 0））. .令令x x=0=0，得，得y y=2=2，，∴∴点点C C的坐标为（的坐标为（0 0，，2 2））. . （（2 2））①①当当ABAB为平行四边形的边时，为平行四边形的边时，∵∵ABAB= =EFEF=6=6，对称轴，对称轴x x=-1=-1，，∴∴点点E E的横坐标为的横坐标为-7-7或或5.5. ②②当点当点E E在抛物线顶点时，点在抛物线顶点时，点 ，设对称轴与，设对称轴与x x轴交轴交点为点为P P，令，令EPEP与与FPFP相等，则四边形相等，则四边形AEBFAEBF是菱形，此时以是菱形，此时以A A，，B B，，E E，，F F为顶点的平行四边形的面积为顶点的平行四边形的面积= =（（3 3）如答图）如答图4-39-54-39-5所示，所示，①①当当C C为顶点时，为顶点时，CMCM1 1= =CACA，，CMCM2 2= =CACA，，作作M M1 1N N⊥⊥OCOC于点于点N N，，在在Rt△Rt△CMCM1 1N N中，中，∴∴点点M M1 1的坐标为（的坐标为（-1-1，，2+ 2+ ），），点点M M2 2的坐标为（的坐标为（-1-1，，2- 2- ））. . ②②当当M M3 3为顶点时，为顶点时，∵∵直线直线ACAC的解析式为的解析式为y y=-=-x x+2+2，，线段线段ACAC的垂直平分线为的垂直平分线为y y= =x x，，∴∴点点M M3 3的坐标为（的坐标为（-1-1，，-1-1））. . ③③当点当点A A为顶点的等腰三角形不存在为顶点的等腰三角形不存在. . 综上所述点综上所述点M M的坐标为（的坐标为（-1-1，，-1-1）或（）或（-1-1，，2+ 2+ ）或（）或（-1-1，，2- 2- ））. . 考点类型考点类型3 圆的综合题 圆的综合题巩固训练巩固训练1. （2016广州）如图4-39-8，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在 上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°. （1）求证：BD是该外接圆的直径；（2）连接CD，求证： AC=BC+CD；（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论. （（1 1）解：）解：∵∵ ，，∴∠∴∠ACBACB=∠=∠ADBADB=45=45°°. . ∵∠∵∠ABDABD=45=45°°，，∴∠∴∠BADBAD=90=90°°. . ∴∴BDBD是是△△ABDABD外接圆的直径外接圆的直径. . （（2 2）证明：在）证明：在CDCD的延长线上截取的延长线上截取DEDE= =BCBC，，连接连接EAEA，如答图，如答图4-39-6. 4-39-6. ∵∠∵∠ABDABD=∠=∠ADBADB，，∴∴ABAB= =ADAD. . ∵∠∵∠ADEADE+∠+∠ADCADC=180=180°°，，∠∠ABCABC+∠+∠ADCADC=180=180°°，，∴∠∴∠ABCABC=∠=∠ADEADE. . 在在△△ABCABC与与△△ADEADE中，中， ∴△∴△ABCABC≌△≌△ADEADE（（SASSAS））. . ∴∠∴∠BACBAC=∠=∠DAEDAE. . ∴∠∴∠BACBAC+∠+∠CADCAD=∠=∠DAEDAE+∠+∠CADCAD. . ∴∠∴∠BADBAD=∠=∠CAECAE=90=90°°. . ∵∵ ，，∴∠∴∠ACDACD=∠=∠ABDABD=45=45°°. . ∴△∴△CAECAE是等腰直角三角形是等腰直角三角形. . （（3 3）解：）解：BMBM2 2+2+2AMAM2 2= =DMDM2 2. .证明：如答图证明：如答图4-39-74-39-7，过点，过点M M作作MFMF⊥⊥MBMB于点于点M M，过点，过点A A作作AFAF⊥⊥MAMA于点于点A A，，MFMF与与AFAF交于点交于点F F，连接，连接BFBF. . 由对称性可知由对称性可知∠∠AMBAMB=∠=∠ACBACB=45=45°°，，∴∠∴∠FMAFMA=45=45°°. . ∴△∴△AMFAMF是等腰直角三角形是等腰直角三角形. . ∴∴AMAM= =AFAF，，MFMF= = AMAM. . ∵∠∵∠MAFMAF+∠+∠MABMAB=∠=∠BADBAD+∠+∠MABMAB，，∴∠∴∠FABFAB=∠=∠MADMAD. . 在在△△ABFABF与与△△ADMADM中，中，∴△∴△ABFABF≌△≌△ADMADM（（SASSAS））. ∴. ∴BFBF= =DMDM. . 在在Rt△Rt△BMFBMF中，中，BMBM2 2+ +MFMF2 2= =BFBF2 2，，∴∴BMBM2 2+2+2AMAM2 2= =DMDM2 2. . 2. （2016深圳）如图4-39-9，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦. AB与CD交于点M，将 沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至点P，使AP=OA，连接PC.（1）求CD的长；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）点G为 的中点，在PC的延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E. 交 于点F（F与B，C不重合）. 问GE·GF是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由. 4-39-8 4-39-9 3. （2016长沙）如图4-39-10，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF. （1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC= DE，求tan∠ABD的值. （（1 1）解：）解：∵∵对角线对角线ACAC为为⊙⊙O O的直径，的直径，∴∠∴∠ADCADC=90=90°°，，∴∠∴∠CDECDE=90=90°°. . （（2 2）证明：如答图）证明：如答图4-39-104-39-10，连接，连接DODO. . ∵∠∵∠EDCEDC=90=90°°，点，点F F为为ECEC的中点，的中点，∴∴DFDF= =FCFC. . ∴∠∴∠FDCFDC=∠=∠FCDFCD. . ∵∵ODOD= =OCOC，，∴∠∴∠ODCODC=∠=∠OCDOCD. . ∵∠∵∠OCFOCF=90=90°°，，∴∠∴∠ODFODF=∠=∠ODCODC+∠+∠FDCFDC=∠=∠OCDOCD+∠+∠FCDFCD=90=90°°. . ∴∴DFDF是是⊙⊙O O的切线的切线. . （（3 3）解：）解：∵∠∵∠E E+∠+∠DCEDCE=90=90°°，，∠∠DCADCA+∠+∠DCEDCE=90=90°°，，∴∠∴∠E E =∠ =∠DCADCA. . 又又∵∠∵∠CDECDE=∠=∠ADCADC=90=90°°，，∴△∴△CDECDE∽△∽△ADCADC. . ∴ ∴∴ ∴DCDC2 2= =ADAD··DEDE. . ∵∵ACAC= = DEDE，，∴∴设设DEDE= =x x，则，则ACAC= = x x，，则则ACAC2 2- -ADAD2 2= =ADAD··DEDE，即（，即（ x x））2 2- -ADAD2 2= =ADAD··x x. . 整理，得整理，得ADAD2 2+ +ADAD··x x-20-20x x2 2=0. =0. 解得解得ADAD=4=4x x或或ADAD=-5=-5x x（负数不合题意，舍去）（负数不合题意，舍去）. . 4. （2016黔南州）如图4-39-11，AB是⊙O的直径，点D 一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F. （1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF·DB；（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长. （（1 1）证明：）证明：∵∵ABAB是是⊙⊙O O的直径，的直径，∴∠∴∠AEBAEB=90=90°°. . ∴∠∴∠EABEAB+∠+∠ABEABE=90=90°°. . ∵∠∵∠EABEAB=∠=∠BDEBDE，，∠∠BDEBDE=∠=∠CBECBE. . ∴∠∴∠CBECBE+∠+∠ABEABE=∠=∠EABEAB+∠+∠ABEABE=90=90°°，，即即∠∠ABCABC=90=90°°. . ∴∴ABAB⊥⊥BCBC. ∴. ∴BCBC是是⊙⊙O O的切线的切线. . （（2 2）证明：）证明：∵∵BDBD平分平分∠∠ABEABE，，∴∠∴∠EBDEBD=∠=∠DBADBA. . 而而∠∠DBADBA=∠=∠AEDAED，，∴∠∴∠AEDAED=∠=∠EBDEBD. . ∵∠∵∠FDEFDE=∠=∠EDBEDB，，∴△∴△DFEDFE∽△∽△DEBDEB. . ∴ ∴∴ ∴DEDE2 2= =DFDF··DBDB. . （（3 3）如答图）如答图4-39-114-39-11，连接，连接DODO. . ∵∵OBOB= =ODOD，，∴∠∴∠DBADBA=∠=∠ODBODB. . 而而∠∠EBDEBD=∠=∠DBADBA，，∴∠∴∠ODBODB=∠=∠EBDEBD. . ∴∴ODOD∥∥BEBE.∴△.∴△PODPOD∽△∽△PBEPBE. . ∵∵PAPA= =AOAO，，∴∴PAPA= =AOAO= =BOBO. . 解得解得PDPD=4.=4. 考点类型考点类型4 三角形综合题 三角形综合题巩固训练巩固训练1. （2016梅州）如图4-39-12，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5 cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t s（0≤t≤5），连接MN. （1）若BM=BN，求t的值；（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值. 4-39-12 2. （2016成都）如图4-39-13①，△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH=CH，连接BD. （1）求证：BD=AC；（2）将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE. 如图4-39-13②，当点F落在AC上时，（F不与C重合），若BC=4，tanC=3，求AE的长. 解：（解：（1 1）在）在Rt△Rt△AHBAHB中，中，∠∠ABCABC=45=45°°，，∴∴AHAH= =BHBH. . 在在△△BHDBHD和和△△AHCAHC中，中，∴△∴△BHDBHD≌△≌△AHCAHC. ∴. ∴BDBD= =ACAC. . （（2 2）在）在Rt△Rt△AHCAHC中，中，设设CHCH= =x x，则，则BHBH= =AHAH=3=3x x. . ∵∵BCBC=4=4，，∴∴3 3x x+ +x x=4. ∴=4. ∴x x=1. ∴=1. ∴AHAH=3=3，，CHCH=1. =1. 由旋转可得由旋转可得∠∠EHFEHF=∠=∠BHDBHD=∠=∠AHCAHC=90=90°°，，EHEH= =AHAH=3=3，，CHCH= =DHDH= =FHFH，，∴△∴△EHAEHA∽△∽△FHCFHC. ∴∠. ∴∠EAHEAH=∠=∠C C. . ∴∴tan∠tan∠EAHEAH= =tantanC C=3. =3. 如答图如答图4-39-134-39-13，过点，过点H H作作HPHP⊥⊥AEAE于点于点P P. . ∴∴HPHP=3=3APAP，，AEAE=2=2APAP. . 在在Rt△Rt△AHPAHP中，中，APAP2 2+ +HPHP2 2= =AHAH2 2，，∴∴APAP2 2+ +（（3 3APAP））2 2=9. =9. 3. （2016威海）如图4-39-14，在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD. 延长CA至点E，使AE=AC；延长CB至点F，使BF=BC. 连接AD，AF，DF，EF，延长DB交EF于点N. （1）求证：AD=AF；（2）求证：BD=EF；（3）试判断四边形ABNE的形状，并说明理由. （（1 1）证明：）证明：∵∵ABAB= =ACAC，，∠∠BACBAC=90=90°°，，∴∠∴∠ABCABC=∠=∠ACBACB=45=45°°. .∴∠∴∠ABFABF=135=135°°. .∵∠∵∠BCDBCD=90=90°°，，∴∠∴∠ABFABF=∠=∠ACDACD. .∵∵CBCB= =CDCD，，CBCB= =BFBF，，∴∴BFBF= =CDCD. .在在△△ABFABF和和△△ACDACD中，中，∴△∴△ABFABF≌△≌△ACDACD（（SASSAS））. .∴∴ADAD= =AFAF. . （（2 2）证明：由（）证明：由（1 1）知，）知，△△ABFABF≌△≌△ACDACD，，∴∠∴∠FABFAB=∠=∠DACDAC. .∵∠∵∠BACBAC=90=90°°，，∴∠∴∠EABEAB=∠=∠BACBAC=90=90°°.∴∠.∴∠EAFEAF=∠=∠BADBAD. .在在△△AEFAEF和和△△ABDABD中，中，∴△∴△AEFAEF≌△≌△ABDABD（（SASSAS））.∴.∴BDBD= =EFEF. .（（3 3）解：四边形）解：四边形ABNEABNE是正方形是正方形. .理由如下：理由如下：∵∵CDCD= =CBCB，，∠∠BCDBCD=90=90°°，，∴∠∴∠CBDCBD=45=45°°. .又又∵∠∵∠ABCABC=45=45°°,∴,∴ABDABD=90=90°°. .由（由（2 2）知，）知，∠∠EABEAB=90=90°°，，△△AEFAEF≌△≌△ABDABD，，∴∠∴∠AEFAEF=∠=∠ABDABD=90=90°°. .∴∴四边形四边形ABNEABNE是矩形是矩形. .又又∵∵AEAE= =ABAB，，∴∴四边形四边形ABNEABNE是正方形是正方形. . 4. （2016抚顺）如图4-39-15，在△ABC中，BC＞AC，点E在BC上，CE=CA，点D在AB上，连接DE，∠ACB+∠ADE=180°，作CH⊥AB，垂足为点H. （1）如图2-5-15①，当∠ACB=90°时，连接CD，过点C作CF⊥CD交BA的延长线于点F. ①求证：FA=DE；②请猜想三条线段DE，AD，CH之间的数量关系，并证明；（2）如图2-5-15②，当∠ACB=120°时，三条线段DE，AD，CH之间存在怎样的数量关系？请证明你的结论. （（1 1））①①证明：证明：∵∵CFCF⊥⊥CDCD，，∴∠∴∠FCDFCD=90=90°°. . 又又∵∠∵∠ACBACB=90=90°°，，∴∠∴∠FCAFCA+∠+∠ACDACD=∠=∠ACDACD+∠+∠DCEDCE. . ∴∠∴∠FCAFCA=∠=∠DCEDCE. . ∵∠∵∠ACBACB+∠+∠ADEADE=180=180°°，，∴∠∴∠ADEADE=∠=∠BDEBDE=90=90°°. . ∵∠∵∠FACFAC=90=90°°+∠+∠B B，，∠∠CEDCED=90=90°°+∠+∠B B，，∴∠∴∠FACFAC=∠=∠CEDCED. . 又又∵∵ACAC= =CECE，，∴△∴△AFCAFC≌△≌△EDCEDC（（ASAASA））. ∴. ∴FAFA= =DEDE. . ②②解：解：DEDE+ +ADAD=2=2CHCH. . 证明：证明：∵△∵△AFCAFC≌△≌△EDCEDC，，∴∴CFCF= =CDCD. . ∵∵CHCH⊥⊥ABAB，，∴∴FHFH= =HDHD. . 在在Rt△Rt△FCDFCD中，中，CHCH是斜边是斜边FDFD的中线，的中线，∴∴FDFD=2=2CHCH. ∴. ∴AFAF+ +ADAD=2=2CHCH. . ∴∴DEDE+ +ADAD=2=2CHCH. . （（2 2）解：）解：ADAD+ +DEDE= = CHCH. . 证明：如答图证明：如答图4-39-144-39-14，作，作∠∠FCDFCD=∠=∠ACBACB，交，交BABA延长线于点延长线于点F F. . ∵∠∵∠FCAFCA+∠+∠ACDACD=∠=∠ACDACD+∠+∠DCBDCB，，∴∠∴∠FCAFCA=∠=∠DCBDCB. . ∵∠∵∠ACBACB+∠+∠ADEADE=180=180°°，，∴∠∴∠ADEADE=60=60°°. . ∴∠∴∠EDBEDB=120=120°°. . ∵∠∵∠FACFAC=120=120°°+∠+∠B B，，∠∠CEDCED=120=120°°+∠+∠B B，，∴∠∴∠FACFAC=∠=∠CEDCED. . 又又∵∵ACAC= =CECE，，∴△∴△FACFAC≌△≌△DECDEC（（ASAASA））. . ∴∴AFAF= =DEDE，，FCFC= =CDCD. . ∵∵CHCH⊥⊥FDFD，，∴∴FHFH= =HDHD，，∠∠FCHFCH=∠=∠HCDHCD=60=60°°. . 在在Rt△Rt△CHDCHD中，中，tan60tan60°°= =∴∴ADAD+ +DEDE= =ADAD+ +AFAF= =FDFD=2=2DHDH= = CHCH，，即即ADAD+ +DEDE= = CHCH. . 考点类型考点类型5 四边形综合题 四边形综合题巩固训练巩固训练1. （2016营口）已知：如图4-39-16①，将∠D=60°的菱形ABCD沿对角线AC剪开，将△ADC沿射线DC方向平移，得到△BCE，点M为边BC上一点（点M不与点B，点C重合），将射线AM绕点A逆时针旋转60°，与EB的延长线交于点N，连接MN. （1）①求证：∠ANB=∠AMC；②探究△AMN的形状；（2）如图4-39-16②，若菱形ABCD变为正方形ABCD，将射线AM绕点A逆时针旋转45°，原题其他条件不变，（1）中的①②两个结论是否仍然成立？若成立，请写出结论并说明理由；若不成立，请写出变化后的结论并证明. 证明：（证明：（1 1））①∵①∵四边形四边形ABCDABCD是菱形，是菱形，∴∴ABAB= =BCBC= =CDCD= =ADAD. . ∵∠∵∠D D=60=60°°，，∴△∴△ADCADC和和△△ABCABC都是等边三角形都是等边三角形. . ∴∴ABAB= =ACAC，，∠∠BACBAC=60=60°°. . ∵∠∵∠NAMNAM=60=60°°，，∴∠∴∠NABNAB=∠=∠CAMCAM. . 由由△△ADCADC沿射线沿射线DCDC方向平移得到方向平移得到△△BCEBCE，可知，可知∠∠CBECBE=60=60°°. . ∵∠∵∠ABCABC=60=60°°，，∴∠∴∠ABNABN=60=60°°. . ∴∠∴∠ABNABN=∠=∠ACBACB=60=60°°. . ∴△∴△ANBANB≌△≌△AMCAMC（（ASAASA））. ∴∠. ∴∠ANBANB=∠=∠AMCAMC. . ②△②△AMNAMN是等边三角形是等边三角形. . 理由如下：理由如下：由（由（1 1）知）知△△ANBANB≌△≌△AMCAMC，，∴∴AMAM= =ANAN. . ∵∠∵∠NAMNAM=60=60°°，，∴△∴△AMNAMN是等边三角形是等边三角形. . （（2 2）结论）结论①∠①∠ANBANB=∠=∠AMCAMC成立成立. . 理由如下：理由如下：在正方形在正方形ABCDABCD中，中，∠∠BACBAC=∠=∠DACDAC=∠=∠BCABCA=45=45°°，，∵∠∵∠NAMNAM=45=45°°，，∴∠∴∠NABNAB=∠=∠MACMAC. . 由平移，得由平移，得∠∠EBCEBC=∠=∠CADCAD=45=45°°. . ∵∠∵∠ABCABC=90=90°°，，∴∠∴∠ABNABN=180=180°°-90-90°°-45-45°°=45=45°°. . ∴∠∴∠ABNABN=∠=∠ACMACM=45=45°°. ∴△. ∴△ANBANB∽△∽△AMCAMC. ∴∠. ∴∠ANBANB=∠=∠AMCAMC. . 结论结论②△②△AMNAMN是等边三角形不成立，是等边三角形不成立，△△AMNAMN是等腰直角三角形是等腰直角三角形. . 证明：证明：∵△∵△ANBANB∽△∽△AMCAMC，，∵∠∵∠NAMNAM=∠=∠BACBAC=45=45°°，，∴△∴△NAMNAM∽△∽△BACBAC. . ∴∠∴∠ANMANM=∠=∠ABCABC=90=90°°. . 又又∵∵ANAN= =AMAM，，∴△∴△AMNAMN是等腰直角三角形是等腰直角三角形. . 2. （2016常德）如图4-39-17，已知四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE=AC，连接BE，过点A作AH⊥CD于点H交BE于点F. （1）如图2-5-17①，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF=EF；（2）如图2-5-17②，当E不在CD的延长线上时，BF=EF还成立吗？请证明你的结论. （（1 1）证明：）证明：①∵①∵ABAB⊥⊥ADAD，，AEAE⊥⊥ACAC，，∴∠∴∠BADBAD=90=90°°，，∠∠CAECAE=90=90°°. . ∴∠∴∠BACBAC=∠=∠DAEDAE. . 在在△△ABCABC和和△△ADEADE中，中，∴△∴△ABCABC≌△≌△ADEADE（（SASSAS））. . ②∵△②∵△ABCABC≌△≌△ADEADE，，∴∠∴∠ACBACB=∠=∠AEDAED. . 在在Rt△Rt△ACEACE中，中，∠∠ACEACE+∠+∠AECAEC=90=90°°，，∴∠∴∠BCEBCE=90=90°°. . ∵∵AHAH⊥⊥CDCD，，AEAE= =ACAC，，∴∴CHCH= =HEHE. . ∵∠∵∠AHEAHE=∠=∠BCEBCE=90=90°°，，∴∴BCBC∥∥FHFH. . （（2 2）解：结论仍然成立）解：结论仍然成立. .证明：如答图证明：如答图4-39-154-39-15所示，过所示，过E E作作MNMN∥∥AHAH，分别交，分别交BABA，，CDCD延延长线于点长线于点M M，，N N. . ∵∠∵∠CAECAE=90=90°°，，∠∠BADBAD=90=90°°，，∴∠∴∠1+∠2=901+∠2=90°°，，∠∠1+∠1+∠CADCAD=90=90°°. . ∴∠2=∠∴∠2=∠CADCAD. . ∵∵MNMN∥∥AHAH，，∴∠∴∠3=∠3=∠HAEHAE. . ∵∠∵∠ACHACH+∠+∠CAHCAH=90=90°°，，∠∠CAHCAH+∠+∠HAEHAE=90=90°°，，∴∠∴∠ACHACH=∠=∠HAEHAE. ∴∠3=∠. ∴∠3=∠ACHACH. . 在在△△MAEMAE和和△△DACDAC中，中，∴△∴△MAEMAE≌△≌△DACDAC（（ASAASA））. ∴. ∴AMAM= =ADAD. . ∵∵ABAB= =ADAD，，∴∴ABAB= =AMAM. ∵. ∵AFAF∥∥MEME，， ∴∴BFBF= =EFEF. . 3. （2016甘孜州）如图4-39-18①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG，AE. （1）求证：BG=AE；（2）如图4-39-18②，将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，①求证：BG⊥GE；②设DG与AB交于点M，若AG∶AE=3∶4，求 的值. （（1 1）证明：）证明：∵∵ADAD为等腰直角为等腰直角△△ABCABC的高，的高，∴∴ADAD= =BDBD. . ∵∵四边形四边形DEFGDEFG为正方形，为正方形，∴∠∴∠GDEGDE=90=90°°，，DGDG= =DEDE. . 在在△△BDGBDG和和△△ADEADE中，中，∴△∴△BDGBDG≌△≌△ADEADE（（SASSAS））. ∴. ∴BGBG= =AEAE. . （（2 2））①①证明：如答图证明：如答图4-39-164-39-16，连接，连接ADAD. . ∵∵四边形四边形DEFGDEFG为正方形，为正方形，∴△∴△DEGDEG为等腰直角三角形为等腰直角三角形. . ∴∠∴∠DGEDGE=∠=∠DEGDEG=45=45°°. . 由（由（1 1），得），得△△BDGBDG≌△≌△ADEADE，，∴∠∴∠BGDBGD=∠=∠DEGDEG=45=45°°. . ∴∠∴∠DGEDGE+∠+∠BGDBGD=45=45°°+45+45°°=90=90°°，即，即∠∠BGEBGE=90=90°°. . ∴∴BGBG⊥⊥GEGE. . 4. （2016黔南州）如图4-39-19，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O，A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MN∥AO，交BO于点N，连接ND，BM，设OP=t. （1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）；（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变，并说明理由； （3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小；（4）在x轴正半轴上存在点Q，使得△QMN是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点Q的坐标（用含t的式子表示）. 解：（解：（1 1）如答图）如答图4-39-174-39-17所示，作所示，作MEME⊥⊥OAOA于点于点E E. . ∴∠∴∠MEPMEP=∠=∠POCPOC=90=90°°. . ∵∵PMPM⊥⊥CPCP，，∴∠∴∠CPMCPM=90=90°°. . ∴∠∴∠OPCOPC+∠+∠MPEMPE=90=90°°. . 又又∵∠∵∠OPCOPC+∠+∠PCOPCO=90=90°°，，∴∠∴∠MPEMPE=∠=∠PCOPCO. . ∵∵PMPM= =CPCP，，∴△∴△MPEMPE≌△≌△PCOPCO（（AASAAS））. . ∴PE=CO=4∴PE=CO=4，，MEME= =POPO= =t t. ∴. ∴OEOE=4+=4+t t. . ∴∴点点M M的坐标为（的坐标为（4+4+t t，，t t）（）（0<0
