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1、第二篇第二篇 数学物理方程数学物理方程 介绍物理学中常见的三类偏微分方程及介绍物理学中常见的三类偏微分方程及有关的定解问题和常用解法。有关的定解问题和常用解法。 三类偏微分方程：三类偏微分方程：（1）波动方程（双曲型偏微分方程）波动方程（双曲型偏微分方程）描述波动过程（机械波、电磁波）描述波动过程（机械波、电磁波）（2）输运方程（抛物型偏微分方程）输运方程（抛物型偏微分方程）描述输运过程（热传导、扩散）描述输运过程（热传导、扩散）（3）平衡方程（椭圆型偏微分方程）平衡方程（椭圆型偏微分方程）描述平衡状态（静电场、热平衡状态）描述平衡状态（静电场、热平衡状态）第七章第七章 数学物理定解问题数学物
2、理定解问题定解定解问题问题在给定的定解条件下求解数在给定的定解条件下求解数 学物理方程。包括三个基本过程：学物理方程。包括三个基本过程：（1）导出数学物理方程，将研究的具体物理）导出数学物理方程，将研究的具体物理 问题转化为数学问题；问题转化为数学问题；（2）根据具体问题确定方程的初始条件和边）根据具体问题确定方程的初始条件和边 界条件；界条件；（3）在确定的初始条件和边界条件下解方程。）在确定的初始条件和边界条件下解方程。泛定泛定方程方程定解条件（边界条件、初始条件）定解条件（边界条件、初始条件）71 数学物理方程的导出数学物理方程的导出导出三类典型的数学物理方程导出三类典型的数学物理方程一
3、、波动方程（双曲型二阶线性偏微分方程）一、波动方程（双曲型二阶线性偏微分方程）1、均匀弦的微小横振动、均匀弦的微小横振动 假设：假设：（2）微小振动，）微小振动，u（x，t）很小很小（1）横向位移）横向位移 u（x，t）（3）单位长度横向力）单位长度横向力（4）弦线密度）弦线密度取微元取微元对对微小振动微小振动自由振动自由振动 f（x，t）= 02、均匀杆的纵振动、均匀杆的纵振动设均匀杆设均匀杆 密度密度横横截面积截面积 S两端纵向位移分别为两端纵向位移分别为取微取微元元 dx 该段该段伸长：伸长：和和相对伸长相对伸长对微元应用物理定律：对微元应用物理定律：设杆材料的杨氏模量设杆材料的杨氏模量
4、Y两端应力分别为：两端应力分别为：应用牛顿定律：应用牛顿定律：若杆受迫振动，设单位长度单位面积上所若杆受迫振动，设单位长度单位面积上所受纵向外力为受纵向外力为F（x，t）二、输运方程（抛物型二阶线性偏微分方程）二、输运方程（抛物型二阶线性偏微分方程）1、物质的扩散方程、物质的扩散方程扩散现象：扩散现象：由于浓度不均匀，物质从浓由于浓度不均匀，物质从浓度大的地方向浓度小的地方迁移的现象。度大的地方向浓度小的地方迁移的现象。扩散问题：扩散问题：研究在扩散过程中物质浓度研究在扩散过程中物质浓度u（x，y，z；t）在空间分布和随时间变化。在空间分布和随时间变化。基本物理量：基本物理量：浓度浓度u（x，
5、y，z；t）浓度梯度浓度梯度（方向：指向浓度增大的方向）方向：指向浓度增大的方向）扩散流强度扩散流强度（单位时间内通过单位横截面积单位时间内通过单位横截面积的粒子数或质量）的粒子数或质量）基本定律：基本定律：质量守恒定律质量守恒定律扩散定律扩散定律推导扩散方程推导扩散方程取微元取微元 dV=dxdydz对微元应用物理定律：对微元应用物理定律：质量守恒定律、扩散定律质量守恒定律、扩散定律单位时间内由单位时间内由 x 方向进入方向进入 dV 的的净流量净流量:同理同理,单位时间内由单位时间内由 y、z 方向进入方向进入 dV 的的净流量净流量:（1） dV 内内无物质源无物质源时时（2） dV 内
6、内有物质源时，设单位时间内单位有物质源时，设单位时间内单位体积中产生物质量为体积中产生物质量为F（x，y，z；t）无源扩散方程：无源扩散方程：有源扩散方程：有源扩散方程：如如扩散源与浓度扩散源与浓度u有关有关2 热传导方程热传导方程热传导问题：热传导问题：研究在热传导过程中温度研究在热传导过程中温度u（x，y，z；t）的空间分布和随时间变化的空间分布和随时间变化基本物理量：基本物理量： 温度温度u（x，y，z；t）温度梯度温度梯度（方向：指向温度增大的方向）（方向：指向温度增大的方向）热流强度热流强度（单位时间内通过单位横截面积的热量）（单位时间内通过单位横截面积的热量）热传导：热传导：由于温
7、度不均匀，热量从温度高由于温度不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移的现象。的地方向温度低的地方转移的现象。基本定律：基本定律：能量守恒定律能量守恒定律热传导定律热传导定律推导热传导方程推导热传导方程取微元取微元 dV=dxdydz对微元应用物理定律：对微元应用物理定律：能量守恒定律、能量守恒定律、热传导定律热传导定律单位时间内由单位时间内由 x 方向进入方向进入 dV 的净热流量的净热流量:单位时间内由单位时间内由 y、z 方向进入方向进入 dV 的净热流量的净热流量:设物质密度设物质密度 ，比热，比热 c 设单位时间内单位体积中产生热量设单位时间内单位体积中产生热量（热源强度）为（热
8、源强度）为F（x，y，z；t）（1） dV 内有热源内有热源（2） dV 内内无热源无热源三、平衡状态方程三、平衡状态方程（椭圆型二阶线性偏微分方程）（椭圆型二阶线性偏微分方程）泊松泊松方程：方程：拉普拉斯方程：拉普拉斯方程：1稳定浓度分布稳定浓度分布扩散达稳定状态扩散达稳定状态2稳定温度分布稳定温度分布热传导达稳定状态热传导达稳定状态3 静电场方程静电场方程静电场满足：静电场满足：而而又又可用电势描述静电场：可用电势描述静电场：72 定解条件定解条件定解条件：初始条件、边界条件（衔接条件）定解条件：初始条件、边界条件（衔接条件）泛定方程和定解条件一起构成定解问题泛定方程和定解条件一起构成定解
9、问题一、初始条件一、初始条件描述初始时刻系统的状态描述初始时刻系统的状态、1输运方程输运方程初始条件：初始条件：2波动方程波动方程初始条件：初始条件：3无初始条件问题无初始条件问题（1）稳定场问题（平衡状态方程）稳定场问题（平衡状态方程）（2）初始条件对问题的影响可忽略不计）初始条件对问题的影响可忽略不计周期性外源引起的输运过程周期性外源引起的输运过程周期性外力作用下的振动过程周期性外力作用下的振动过程例例 一根长一根长 l 两端固定的弦，用手将其中点两端固定的弦，用手将其中点横向拨开距离横向拨开距离h，然后放手任其振动。写出然后放手任其振动。写出弦振动方程和初始条件。弦振动方程和初始条件。解
10、解泛定方程：泛定方程：初始条件：初始条件：二、边界条件二、边界条件描述系统与周围环境相联系的边界点上的描述系统与周围环境相联系的边界点上的物理状态物理状态1第一类边界条件第一类边界条件(Dirichlet条件）条件）例例 两端（两端（x = 0，x = l）固定弦的振动固定弦的振动边界条件：边界条件：例例 杆的一端（杆的一端（x = a）与）与恒温热源恒温热源u0接触时接触时 的导热问题的导热问题边界条件：边界条件：例例 杆的一端（杆的一端（x = a）与非恒温热源与非恒温热源 f（t） 接触时的导热问题接触时的导热问题边界条件：边界条件：例例 恒定表面（恒定表面（x = 0，x= l）浓度浓
11、度 N0 扩散扩散边界条件：边界条件：2, 第二类边界条件第二类边界条件(Neumann条件）条件）例例 杆的纵向振动杆的纵向振动当两端（当两端（x = 0，x= l）受）受沿外法线纵向沿外法线纵向外力外力 f（t）作用时：作用时：相对伸长：相对伸长：根据胡克定律：根据胡克定律：边界条件：边界条件：当两端（当两端（x = 0，x= l）不受外力自由振动时：不受外力自由振动时：边界条件：边界条件：例例 细杆的导热问题细杆的导热问题当一端（当一端（x= l）有热量流有热量流 q(t) 沿端点外法线沿端点外法线方向流出时：方向流出时：边界条件：边界条件：当一端（当一端（x= l）有热量流有热量流q（
12、t）沿端点外法沿端点外法线方向流入时：线方向流入时：边界条件：边界条件：当一端（当一端（x= 0）有热量流有热量流q（t）沿端点外法沿端点外法线方向流出时：线方向流出时：边界条件：边界条件：当一端（当一端（x= 0）有热量流有热量流q（t）沿端点外法沿端点外法线方向流入时：线方向流入时：边界条件：边界条件：当两端（当两端（x= 0，x=l）绝热时：绝热时：边界条件：边界条件：3 第三类边界条件（第三类边界条件（Robin条件）条件）例例 细杆的导热问题细杆的导热问题当杆的两端（当杆的两端（x= 0，x=l）自由冷却时：自由冷却时：，杆与介质按牛顿，杆与介质按牛顿设杆周围介质温度为设杆周围介质温
13、度为冷却定律交换热量冷却定律交换热量在在 x = l 端：端：在在 x = 0端：端：当当例例 杆的纵向振动杆的纵向振动设杆的一端（设杆的一端（x = l）与）与固定物作弹性连结固定物作弹性连结该端相对伸长：该端相对伸长：杆杆中弹性力：中弹性力：弹簧恢复力：弹簧恢复力：根椐根椐 p = f 4 无边界条件问题无边界条件问题（1）无边界系统：无限长弦的振动）无边界系统：无限长弦的振动（2）半无界系统：只考虑一边边界）半无界系统：只考虑一边边界5 齐次和非齐次边界条件齐次和非齐次边界条件齐次边界条件：齐次边界条件：非齐次边界条件：非齐次边界条件：三、衔接条件三、衔接条件（1）出现跃变点（在该点泛定
14、方程无意义）出现跃变点（在该点泛定方程无意义）例例 横向力横向力F（t）集中作用于弦上一点集中作用于弦上一点 x0 时弦的振动时弦的振动点为跃变点点为跃变点不不存在存在在在 x0 点，泛点，泛定定方程方程无意义无意义但两段但两段并不独立振动，振动的振幅是连续的并不独立振动，振动的振幅是连续的又在又在点点衔接条件：衔接条件：（2）出现分界面（点）出现分界面（点）（在该分界面（点）两边方程不同）（在该分界面（点）两边方程不同）例例 由不同材料制成杆的纵振动由不同材料制成杆的纵振动：位移：位移：位移：位移在分界面：位移相等；作用力相同。在分界面：位移相等；作用力相同。衔接条件：衔接条件：例例 不同介
15、质中的静电场不同介质中的静电场在分界面：电势连续；电位移矢量法向分在分界面：电势连续；电位移矢量法向分量连续。量连续。衔接条件：衔接条件：在在介质介质 中：中：在在介质介质 中：中：三类偏微分方程：三类偏微分方程：（1）波动方程（双曲型偏微分方程）波动方程（双曲型偏微分方程）描述波动过程（机械波、电磁波）描述波动过程（机械波、电磁波）（2）输运方程（抛物型偏微分方程）输运方程（抛物型偏微分方程）描述输运过程（热传导、扩散）描述输运过程（热传导、扩散）（3）平衡方程（椭圆型偏微分方程）平衡方程（椭圆型偏微分方程）描述平衡状态（静电场、热平衡状态）描述平衡状态（静电场、热平衡状态）数学物理方程的分
16、类数学物理方程的分类74 定解问题定解问题 达朗贝尔公式达朗贝尔公式一、定解问题一、定解问题 1 定解问题定解问题 = 泛定方程泛定方程 + 定解条件定解条件发展方程发展方程边界条件边界条件初始条件初始条件初初值值问问题题混混合合问问题题平衡状态方程平衡状态方程边边值值问问题题2 定解问题的适定性定解问题的适定性如果一个定解问题的解满足：如果一个定解问题的解满足：（1）解的存在性）解的存在性有解有解（2）解的唯一性）解的唯一性只有唯一的解只有唯一的解（3）解的稳定性）解的稳定性对定解条件有连续依赖性对定解条件有连续依赖性则称则称这个定解问题是适定的。这个定解问题是适定的。怎样解一个定解问题？怎
17、样解一个定解问题？通常必须将泛定方程和定解条件作为整体来解。通常必须将泛定方程和定解条件作为整体来解。极极个别可先求泛定方程通解，再由定解条件确个别可先求泛定方程通解，再由定解条件确定通解中的待定函数。定通解中的待定函数。二、达朗贝尔公式二、达朗贝尔公式求解一维齐次求解一维齐次波动方程波动方程1 通解：通解：作作变量代换变量代换先对先对 积分：积分：再对再对 积分：积分：通解：通解：表示两个以速度表示两个以速度 a 向左右两方传播的行波向左右两方传播的行波2 由定解条件确定函数由定解条件确定函数 f1和和 f2（1）无界空间（无限长弦的振动）无界空间（无限长弦的振动）初始条件：初始条件：将将初
18、始条件代入通解：初始条件代入通解：积分积分解解方程组方程组达朗贝尔公式达朗贝尔公式初初位移位移例例 设初速设初速例例 设初位移设初位移初速度初速度（2）半无限长弦的振动）半无限长弦的振动1端点固定端点固定定解定解问题问题采用采用“奇延拓奇延拓”应用无限长弦自由振动的达朗贝尔公式应用无限长弦自由振动的达朗贝尔公式部分即所求的解。部分即所求的解。将延拓后的定解将延拓后的定解条件代入得条件代入得：若若初速为零初速为零2端点自由（半无限长杆的自由振动）端点自由（半无限长杆的自由振动）定解定解问题问题采用采用“偶延拓偶延拓”应用无限长杆自由振动的达朗贝尔公式应用无限长杆自由振动的达朗贝尔公式部分即所求的解。部分即所求的解。将延拓后的定解将延拓后的定解条件代入得条件代入得：
