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1、3 3、李雅普诺夫稳定性分析、李雅普诺夫稳定性分析在在分分析析由由状状态态方方程程描描述述的的控控制制系系统统的的稳稳定定性性中中，李李雅雅普普诺诺夫夫稳稳定定性性分分析析具具有有重重要要的的作作用用。这这种种方方法法有有以以下下几几个个优优点：点：第第一一，有有可可能能在在不不解解出出状状态态方方程程式式解解的的条条件件下下确确定定系系统统的稳定性。的稳定性。第第二二，能能求求解解线线性性或或非非线线性性，定定常常或或时时变变系系统统的的稳稳定定性性。特特别别是是因因为为用用其其他他方方法法求求解解非非线线性性系系统统和和（或或）时时变变系系统统状态方程时较困难，所以这种方法就显出较大的优越
2、性。状态方程时较困难，所以这种方法就显出较大的优越性。虽虽然然运运用用李李亚亚普普诺诺夫夫第第2 2方方法法需需要要有有相相当当的的经经验验和和技技巧巧, ,然然而而当当其其他他方方法法无无效效时时，这这种种方方法法却却能能解解决决一一些些非非线线性性系系统的稳定性问题。统的稳定性问题。（1 1）李雅普诺夫函数）李雅普诺夫函数李亚普诺夫函数是一个正定的标量函数。这个函数及其一李亚普诺夫函数是一个正定的标量函数。这个函数及其一次偏导数在域次偏导数在域 中是连续的并使它沿轨迹对时间的导数中是连续的并使它沿轨迹对时间的导数总是为负定（或负半定）。总是为负定（或负半定）。 设状态方程式为设状态方程式为
3、设设 为李亚普诺夫函数，其中为李亚普诺夫函数，其中 是状态方程的解是状态方程的解 定义李亚普诺夫函数的差分运算为定义李亚普诺夫函数的差分运算为假定存在标量函数假定存在标量函数 ,并在并在 上连续，且有：上连续，且有： ， 对所有对所有 当当 时，时， 也达到无穷也达到无穷 , 对所有对所有在李雅普诺夫第在李雅普诺夫第2 2方法中，李亚普诺夫函数方法中，李亚普诺夫函数 和和它它对对差差分分运运算算 的的符符号号特特征征为为我我们们提提供供了了判判断断平平衡衡状状态态处处稳稳定定性性的的准准则则，而而不不必必直直接接求求出出方方程程的的解解。 （2）李亚普诺夫稳定性定律）李亚普诺夫稳定性定律设离散
4、系统为设离散系统为满满足足上上术术条条件件时时，平平衡衡状状态态 （对对所所有有k值值）是是大大范范围围渐近稳定的。其中渐近稳定的。其中 是李亚普诺夫函数。是李亚普诺夫函数。（3）李亚普诺夫不稳定性定律）李亚普诺夫不稳定性定律设离散系统为设离散系统为若存在标量函数若存在标量函数 ，在，在 上连续，若上连续，若 。若若在在有有限限范范围围内内， 不不是是正正半半定定的的，即即 ，则系统是不稳定的。则系统是不稳定的。当当 时时，对对所所有有 ， 不不是是正正半半定定的的，则则响响应是无界的。应是无界的。例例4.8 4.8 设离散系统为设离散系统为试判断该系统的稳定性？试判断该系统的稳定性？ 解：取
5、李亚普诺夫函数为解：取李亚普诺夫函数为 可见，对所有可见，对所有 ， ， 是正定的是正定的 而函数而函数 从从上上式式可可见见，对对所所有有 ， ， 是是负负定定的的，故该系统是渐近稳定的。故该系统是渐近稳定的。例例4.9 4.9 设离散系统为设离散系统为试判断该系统的稳定性？试判断该系统的稳定性？ 解：取李亚普诺夫函数为解：取李亚普诺夫函数为 上式可见，上式可见， 是不定的，故该系统的稳定性判断无结果。是不定的，故该系统的稳定性判断无结果。从从上上式式可可见见， 是是不不定定的的，因因此此，不不能能应应用用李李雅雅普普诺诺夫夫稳稳定定性性定定理理，进进行行该该系系统统的的稳稳定定性性判判别别
6、。现现转转向向应应用用李李雅雅普诺言夫不稳定性定律进行判断。普诺言夫不稳定性定律进行判断。 取李雅普诺夫函数为取李雅普诺夫函数为 令令 函数为函数为 （4.314.31） 从上式可见，对从上式可见，对 ， 的所有值，的所有值， 为负定的为负定的. . 从从 （4.324.32）比较（比较（4.314.31）式与（）式与（4.324.32）式，得）式，得于是，从（于是，从（4.314.31）式，得）式，得因为因为 是不定的，故稳定性判断仍无结果。是不定的，故稳定性判断仍无结果。（4）线性离散系统的李亚普诺夫稳定性定律）线性离散系统的李亚普诺夫稳定性定律但但对对线线性性定定常常离离散散系系统统，
7、的的选选择择有有一一种种简简单单的的方法。现介绍如下。方法。现介绍如下。设离散系统为设离散系统为其其中中 G 为为 维维常常数数矩矩阵阵， 为为 n 维维向向量量，设平衡状设平衡状 态态 。从从上上面面两两个个例例子子可可见见，用用李李亚亚普普诺诺夫夫函函数数来来判判断断系系统统稳稳定定性，取决于性，取决于 和和 的正确选择，一般来说，选择的正确选择，一般来说，选择 和和 是十分困难的。是十分困难的。若若给给定定任任意意正正定定实实对对称称矩矩阵阵Q，存存在在实实对对称称矩矩阵阵P，使满足使满足于是于是 是李亚普诺夫函数是李亚普诺夫函数 证证明明：该该定定理理的的证证明明是是基基于于Sylve
8、ster 定定理理。该该定定理理表表述述为为：如如果果 P 是是正正定定矩矩阵阵，则则 是是正正定定的的，利利用用上上述的李亚普诺夫函数，则述的李亚普诺夫函数，则 进一步进一步,可得可得 将状态方程式将状态方程式 代入上式，得代入上式，得例例4.10 已知线性定常离散系统的状态方程为已知线性定常离散系统的状态方程为试确定系统在原点的稳定性。试确定系统在原点的稳定性。选选取取 ，依依照照 式式,李李雅雅普普诺诺夫夫稳稳定定方方程为程为 （4.37）从从上上述述Sylvester定定理理可可见见：若若 是是负负定定的的，则则 Q 必必须须是是正正定定的的。反反之之，若若Q是是正正定定的的，则则 是
9、是负负定定的的。这样平衡状态这样平衡状态 是渐近稳定的。是渐近稳定的。如如果果求求得得的的是是P正正定定的的，于于是是在在原原点点 x=0 是是大大范范围围渐渐近近稳稳定的。定的。从方程（从方程（4.37），可写成下述），可写成下述3个方程个方程并可得并可得显然的显然的依依照照赛赛尔尔维维斯斯特特准准则则，矩矩阵阵是是正正定定的的。所所以以在在原原点点x=0的的平衡状态，系统是大范围渐近稳定的。平衡状态，系统是大范围渐近稳定的。（5 5）采采用用李李雅雅普普诺诺夫夫稳稳定定性性方方法法进进行行最最优优状状态态反反馈馈矩矩阵阵设计设计李李雅雅普普诺诺夫夫稳稳定定性性理理论论，可可以以用用来来设设
10、计计最最优优状状态态反反馈馈系系统。统。设状态反馈离散系统结构图，如图设状态反馈离散系统结构图，如图4.94.9所示所示图图4.9 4.9 状态反馈离散系统结构图状态反馈离散系统结构图-K系统的设计目标是：使任意状态，从任意初始位置系统的设计目标是：使任意状态，从任意初始位置 转转移移到到平平衡衡状状态态 ，并并使使某某种种意意义义上上的的量量为为最最优优时时的反馈矩阵的反馈矩阵K K。系统的状态方程可表示为系统的状态方程可表示为 （4.384.38）其中控制作用其中控制作用 可表示为可表示为 （4.394.39）假假设设该该系系统统在在 时时是是渐渐近近稳稳定定的的。若若给给定定一一个个实对
11、称正定矩阵实对称正定矩阵Q Q，存在着一个实对称矩阵存在着一个实对称矩阵P P，并满足并满足 （4.404.40）则则, ,李维普诺夫函数为李维普诺夫函数为 以及以及 因为因为 作作为为某某一一种种最最优优指指标标，可可选选最最优优控控制制作作用用 ，在某一在某一k时刻，使下列性能指标极小，即时刻，使下列性能指标极小，即 （4.434.43）因因为为 表表示示 的的离离散散变变化化率率，因因此此可可以以用用（4.434.43）式式表表示示 的的性性能能指指标标极极小小化化，即即在在物物理理意意义义上上为为最最优优控控制制。例例如如， 可可表表示示为为 沿沿用用轨轨迹迹的的能能量或距离的变化率。量或距离的变化率。将状态方程式将状态方程式代入上式，代入上式， 得 使性能指标使性能指标 为最优化，即，为最优化，即，得，得，因此，可得最优控制作用因此，可得最优控制作用即最优状态反馈增益矩阵即最优状态反馈增益矩阵 例例4.11 4.11 系统的状态方程可表示为系统的状态方程可表示为 其中其中 求最优控制解：设解：设 （单位矩阵）（单位矩阵）令令 ，它必须满足方程式，它必须满足方程式对上式求解，即对上式求解，即得得 使性能指标使性能指标 对对 求偏导为零求偏导为零,即即得
